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第3章 圆的基本性质
复习课
本章主要知识内容
圆
3.1圆的有关概念
3.2图形的旋转
3.3垂径定理
3.4圆心角
3.5圆周角
3.6圆内接四边形
3.7正多边形
3.8弧长及扇形的面积
3.1 圆的有关概念
★注意“弦”与“弧”之间的区别.
1.圆：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转
一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做
圆心，线段OP叫做圆的半径.
★圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
2.弦、直径：连结圆上任意两点的线段叫做弦，
经过圆心的弦叫做直径.
★直经是同圆 中最长的弦，直径等于半径的2倍.
3.弧、半圆：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条
弧都叫做半圆.
6.点与圆的位置关系：
如果用r表示圆的半径，d表示同一平面内点到圆心的距离，
则有：
d＞r
点在圆外
d＝r
点在圆上
d＜r
点在圆内
如图，点P1在⊙O外；点P2在⊙O上；点P3在⊙O内.
4.劣弧、优弧：小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧
叫做优弧，注意优弧要用三字母表示.
5.等圆、等弧：半径相等的两个圆叫做等圆；能够重合的
圆弧叫做等弧.
8.三角形与圆的位置关系：
(2)三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点.
△ABC是⊙O的内接三角形；
如图：
⊙O是△ABC的外接圆；
点O是△ABC的外心.
7.圆的确定：不在同一条直线上的三点确定一个圆.
(1)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个
外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内
接三角形.
C
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A.三点确定一个圆
D.三角形的外心到三角形的三边距离相等
C. 任意一个三角形只有一个外接圆
B.长度相等的弧是等弧
2.给出下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直
径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆.
其中错误说法的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
B
3. (2015湘西州)⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离OA=
3cm，则点A与圆O的位置关系为（ ）
A.点A在圆上 B.点A在圆内
C.点A在圆外 D.无法确定
4.点P到⊙O各点的最大距离为5，最小距离为1，则⊙O的
半径为（ ）
A.2 B.4 C.2或3 D.4或6
C
5.(2015贵满仓)如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动
点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM.若⊙O的半径为2，
OP=4，则线段OM的最小值是（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
B
B
3.2 图形的旋转
1.旋转：一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程
中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方
向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，
这个固定的点叫做旋转中心.
(1)图形经过旋转所得的
图形和原图形全等；
2.图形旋转的性质：
(2)对应点到旋转中心的
距离相等，任何一对
对应点与旋转中心连
线所成的角度等于旋
转的角度.
3.中心对称：当图形旋转的角度为180°时.所得的图形和原
图形关于旋转中心对称.
4.圆不仅是轴对称图形，还是中心对称图形，它具有旋转
不变性.
1.下列图形中，旋转120°后能与原图形重合的是（ ）
A.等边三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正八边形
A
2.(2015贺州)如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°
后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为
100°，则∠DOB的度数是（ ）
A.34° B.36°
C.38° D.40°
C
3.下列说法中错误的是（ ）
A.成中心对称的两个图形全等
B.成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分
C.中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心
D.中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合
B
4.(2015南通) 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形
的是（ ）
A.
B.
C.
D.
A
3.3 垂径定理
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧.
2.推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的弧.
推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
3.弧的中点：分一条弧成相等的两条弧的点.
4.弦心距：圆心到圆的一条弦的距离.
1.(2015遂宁)如图，在半径为5cm的⊙O中，弦
AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（ ）
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
B
2.(2015大庆)在⊙O中，圆心O到弦AB的距离
为AB长度的一半，则弦所对圆心角的大小
为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
D
3.(2015广元)如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则
下列结论错误的是（ ）
A.CE=DE B.AE=OE
C. D. △OCE≌△ODE
B
4.如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是
弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，
求OD的长.
解：
∵E为弧AC的中点，
∴OE⊥AC，
∴ ，
∵OD=OE－DE=(OE－2)cm，OA=OE，
∴在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2，
即OA2=(OE－2)2＋42，
又知OA=OE，解得：OE=5，
∴OD=OE－DE=3cm.
3.4 圆心角
1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
2.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
相等，所对的弦也相等.
3.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所
对应的其余各对量都相等.
1.在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ）
C.相等的圆心角所对的弧相等
B.相等的弦所对的圆心角相等
A.相等的弦所对的弧相等
D.相等的圆心角所对的弦相等
A.54° B.60°
C.64° D.68°
2.如图，AB，CD是⊙O的直径， ,
若∠AOE=32°，则∠COE的度数是（ ）
A
C
3.如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，
求证： .
证明：
连结OE，
∵CE∥AB，
∴∠DOB=∠C，∠BOE=∠E，
∵OC=OE，
∴∠C=∠E，
∴∠DOB=∠BOE，
∴ ，
1.圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2.圆周角定理：圆周角的度数等于它
所对弧上的圆心角度数的一半.
3.推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆
周角所对的弦是直径.
推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
3.5 圆周角
1.下列命题中，正确的命题个数是（ ）
2.(2015巴中)如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，
∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（ ）
A.25° B.50°
C.60° D.30°
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
①顶点在圆周上的角是圆周角；
②圆周角度数等于圆心角度数的一半；
③90°的圆周角所对的弦是直径；
④圆周角相等，则它们所对的弧也相等.
A
A
3.(2015台州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角
线AC上，EC=BC=DC.
(1)若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；
(2)求证明：∠1=∠2.
(1)解：∵BC=DC，
∴∠CBD=∠CDB=30°，
∵∠BAC=∠CDB=39°， ∠CAD=∠CBD=39°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；
(2)证明：∵EC=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，
∵∠BAE=∠CBD，
∴∠1=∠2.
1.圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆
上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做
四边形的外接圆.
2.圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补.
3.6 圆内接四边形
四边形ABCD是⊙O的内接四边形
⊙O是四边形ABCD的外接圆
3.推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
∠EAD=∠C
1.(2015邵阳)如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知
∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（ ）
A.80° B.100°
C.60° D.40°
2.如图，MN是⊙O的直径，若∠E=25°，
∠PMQ=35°，则∠MQP的度数为（ ）
A.30° B.35°
C.40° D.50°
A
C
1.正多边形：各边都相等、各内角也相等的多边形.
2.正多边形与圆的位置关系
3.7 正多边形
经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形
的外接圆，这个正多边形叫做圆内接正多边形，任何正
多边形都有一个外接圆.
1.顺次连结正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图
的图形，下列说法错误的是（ ）
△ACE是等边三角形
此图既是轴对称图形也是中心对称图形
连结AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC
图中一共能画出3条对称轴
2.(2015成都)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为
4，则这个正六边形的边心距OM和 的长分别为（ ）
B
D
3.8 弧长及扇形的面积
1.弧长计算公式
如果扇形的半径为R，圆心角为n°，扇形的弧长为l，
那么扇形面积S的计算公式为：
2.扇形面积的计算公式
在半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l的计算公式为：
1.(2015义乌)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
⊙O的半径为2，∠B=135°则 的长（ ）
B
2.(2015兰州)如图，⊙O的半径为2，AB、CD
是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意
一点(P与A、B、C、D不重合)，经过P作
PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是
MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，
点Q走过的路径长为（ ）
A
3.(2015自贡)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∠CDB=30°，CD= ，则阴影部分图形的面
积为（ ）
D
4.(2015日照)如图，等腰直角△ABC中，
AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜
边BC于D，则阴影部分面积为（结果
保留 ）（ ）
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参考答案
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B C D A C D D
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11. 50； 12. 20； 13. ；21世纪教育网版权所有
14. 50°； 15. 215°； 16. ；
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
17.解答：证明：如图，在AE上截取AF＝BD，连结CF，CD，
在△ACF和△BCD中，
∵，
∴△ACF≌△BCD（SAS），
∴CF＝CD，
∵CE⊥AD，
∴EF＝DE，
∴AE＝AF+EF＝BD+DE.
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18.解答：连结AO，
∵点C是的中点，半径OC与AB相交于点D，
∴OC⊥AB，
∴AB＝12，
∴AD＝BD＝6，
设⊙O的半径为R，
∵CD＝2，
∴在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝OD2+AD2，
即：R2＝(R－2)2+62，
解得：R＝10，
答：⊙O的半径长为10.
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19.解答：证明：连结AC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°＝∠ACE，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC＝180°，又∠EBC+∠ABC＝180°，
∴∠EBC＝∠D，
∵C是的中点，
∴∠1＝∠2，
∴∠1+∠E＝∠2+∠D＝90°，
∴∠E＝∠D，
∴∠EBC＝∠E，
∴BC＝EC.
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20.解答：（1）证明：∵ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，
在△ABG和△BCH中，
∵，
∴△ABG≌△BCH（SAS），
（2）解：由（1）△ABG≌△BCH，
∴∠BAG＝∠HBC，
∴∠BPG＝∠ABG＝120°，
∴∠APH＝∠BPG＝120°.
21.解答：（1）∵OF⊥AB，
∴∠BOF＝90°，
∵∠B＝30°，FO＝2，
∴OB＝6，AB＝2OB＝12，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝AB＝6，
（2）∵由（1）可知：AB＝12，
∴AO＝6，即AC＝AO，
在Rt△ACF和Rt△AOF中，
∵AF＝AF，AC＝AO，
∴Rt△ACF≌Rt△AOF（HL），
∴∠FAO＝∠FAC＝30°，
∴∠DOB＝60°，
过点D作DG⊥AB于点G，
∵OD＝6，∴DG＝3，
∴S△ACF+S△OFD＝S△AOD＝×6×3＝9，
即阴影部分的面积为9.
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22.解答：（1）证明：∵AD是直径，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE；
（2）四边形BFCD是菱形．
证明：∵AD是直径，AB＝AC，
∴AD⊥BC，BE＝CE，
∵CF∥BD，
∴∠FCE＝∠DBE，
在△BED和△CEF中，，
∴△BED≌△CEF（ASA），
∴CF＝BD，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝CD，
∴四边形BFCD是菱形；
（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE＝CE，
∴CE2＝DEAE，
设DE＝x，
∵BC＝8，AD＝10，
∴42＝x(10﹣x)，
解得：x＝2或x＝8（舍去）
在Rt△CED中，
CD＝＝＝2．
23.解答：（1）证明：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）在PC上截取PD＝AP，如图1，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．
又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，
∴∠ADC＝∠APB，
在△APB和△ADC中，，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP＝CD，
又∵PD＝AP，
∴CP＝BP+AP；
（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E，
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APB＝ABPE，S△ABC＝ABCF，
∴S四边形APBC＝AB(PE+CF)，
当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB＝，
∴S四边形APBC＝×2×＝．
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第3章 圆的基本性质单元综合测试卷
班级__________ 姓名______________ 得分____________
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1﹒⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与圆O的位置关系为（ ）
A.点A在圆内 B.点A在圆上 C.点A在圆外 D.无法确定
2﹒下列命题中，正确的个数有（ ）
①过两点可以作无数个圆；
②经过三点一定可以作圆；
③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
④任意一个圆有且只有一个内接三角形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3﹒下列命题中，正确的个数有（ ）
①圆是轴对称图形，它的对称轴是直径；
②半径相等的两个半圆是等弧；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；
④三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4﹒如图，AB是⊙O的直径，D、C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，连结AC，则∠DAC等于（ ）21世纪教育网版权所有
A.15° B.30° C.45° D.60°
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第4题图 第5题图 第6题图 第7题图
5﹒如图，⊙O的直径垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（ ）
A.2 B.4 C.4 D.8
6﹒如图，在⊙O中，,∠AOB＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A.50° B.40° C.30° D.25°
7﹒如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD＝52°，则
∠BCD等于（ ）
A.38° B.32° C.66° D.52°
8﹒如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（ ）
A.45° B.50° C.60° D.75°
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第8题图 第9题图 第10题图
9﹒如图，点A、B、C都在⊙O上，⊙O的半径为2，∠ACB＝30°，则的长是（ ）
A.2 B. C. D.
10.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB＝30°，
CD＝4，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11.如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD＝________度.
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第11题图 第12题图 第13题图
12.如图，⊙O的弦AB与半径OC的延长线相交于点D，且BD＝OA.若∠AOC＝120°，则∠D＝_____度.21cnjy.com
13.如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD＝4，AE＝1，则⊙O的半径为____________.www.21-cn-jy.com
14.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为___________.【来源：21·世纪·教育·网】
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第14题图 第15题图 第16题图
15. 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B+∠E＝____________.
16. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D.若OA＝2，则阴影部分的面积为______.
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.( 6分)如图，等腰△ABC中，AC＝BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为上一点，
CE⊥AD于E，求证：AE＝BD+DE.
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18.( 8分)如图，在⊙O中，点C是的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB＝12，CD＝2.求⊙O半径的长.21教育网
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19.( 8分)如图，四边形ABCD内接于 ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E.求证：BC＝EC.21·cn·jy·com
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20.( 10分)如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG＝CH，AG交BH于点P.21·世纪*教育网
（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH的度数.
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21.( 10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，垂足为点O，连结AF并延长交⊙O于点D，连结OD交BC于点E，∠B＝30°，FO＝2.
（1）求AC的长度；
（2）求图中阴影部分面积.（计算结果保留根号）
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22.( 12分)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.2·1·c·n·j·y
（1）求证：BE＝CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
（3）若BC＝8，AD＝10，求CD的长.
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23.( 12分)如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
（1）判断△ABC的形状：________________；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.
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备用图
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