初中数学浙教版八年级下册6.1 反比例函数-教学设计（第1课时）

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 八年级 学期 春季
课题 6.1 反比例函数（第一课时）
教学目标
1．从具体情境和已有经验出发，学生用数学的眼光观察现实世界，经历例举实例、直观想象、数学抽象的过程，加深对函数概念的理解，并认识到生活中两个变量的反比例关系是大量存在的。 2．经历抽象反比例函数概念的过程，了解两个变量成反比例的意义，理解反比例函数的概念，培养抽象能力。 3．在解决微项目化问题的过程中，学生用数学的语言表达现实世界，求跨学科情境中的反比例函数表达式，形成主动探究的学习习惯，培养模型意识和应用意识。
教学内容
教学重点： 1. 反比例函数的概念。
教学难点： 1. 会求跨学科情境中反比例函数的表达式。
教学过程
（一）走近生活，感受反比例函数的本质 活动一：如图1，用一根长为20cm的绳子围成一个矩形，请尝试列举矩形的长和宽可能出现的情况，填入表格中． 长（cm）长（cm）宽（cm）宽（cm）
图1 图2 问题1：长和宽之间存在什么关系？ 这种关系你熟悉吗？ 问题2：我们是从哪些方面来研究一次函数的？ 活动二：如图2，一个面积为20cm2的矩形，请学生尝试列举矩形的长和宽可能出现的情况，填入表格中． 问题3：长宽之间存在怎样的关系呢？这种关系你熟悉吗？ 【设计意图】回答问题1时，学生通过数据例举或直接利用周长公式确定矩形长与宽之间的关系，回忆起函数的相关概念；回答问题2时，学生进一步回忆八年级上册时通过表达式、取值范围、图象、性质来研究一次函数的学习历程．问题3带领学生回忆小学学过的“两个量成反比例”相关知识． （二）关联旧知，形成反比例函数的概念 活动一：例举生活中类似的两个变量乘积为定值的例子，并列出相应函数表达式． 问题1：这些函数的形式有何共同特征？ 问题2：你能类比一次函数，归纳这类新函数的一般形式吗？你会如何对其进行命名？ 小结1：若变量y与x成反比例，则有xy=k（k为常数，且k≠0），变形可得形如的函数．抓住“两个变量成反比例”的本质特征，将其形象地命名为反比例函数．其中的x是自变量，y是函数，k是一个常数，叫做比例系数． 问题3：判断常数k与自变量x的取值范围，并说明理由． 【设计意图】问题1带领学生关注用数学的眼光观察现实世界，挖掘现实情境中两个变量的特殊关系——乘积为定值．在回答问题2，抽象反比例函数概念的过程中，始终强调变量成反比例（乘积为定值）的函数本质．为了避免“成正比例”“成反比例”“乘积为定值”“比为定值”等过多概念引起学生混淆，在下一环节再让学生比较正比例函数与反比例函数的相同与不同之处． 活动二：判断下列函数中哪些是y关于x的反比例函数．若是的，需指出比例系数． （1） （2） （3） （4） 变式： 问题4：针对第（1）题，这是什么函数？ 问题5：针对第（2）、（3）题，如何正确求出比例系数？ 小结2：对照反比例函数的一般形式，可以帮助我们做出判断． 小结3：判断y关于x的反比例函数的比例系数时，要抓住反比例函数的本质属性：xy=k，将函数变形为x与y的乘积，等式右边的定值就是k． 问题6：针对第（4）题，这似乎并不是我们熟悉的形式，它怎么就是反比例函数了呢？比例系数怎么得到？ 小结4：反比例函数也可以表示成． 问题7：针对变式题，如何判断它是否是反比例函数？ 【设计意图】通过活动二的系列追问，学生加深印象，无论是判断是否是反比例函数或者求反比例函数的比例系数，只要抓住变量乘积为定值问题就可以迎刃而解．对于变试题，将x-1看成一个整体，那么y关于（x-1）的反比例函数，复合函数虽然是高中的学习内容，但是学生抓住反比例函数本质后还是可以轻松理解，在此处体现了初高衔接． （三）解决问题，掌握反比例函数的应用 任务一：探究称量原理． 甲组同学制作了如图3的称量工具．木尺上的固定点A，O分别在“0”(cm)，“5” (cm)刻度线处．点B在点O的右侧移动．砝码质量为100克．为了探索工具称量物品的原理，甲组同学进行了如下的数学实验：分别在托盘上放置100g，50g，25g，20g的砝码，在表1中记录木尺平衡时OB的长度． 图3 表1 问题1：观察四组实验，问题中包含了哪些量？哪些量在变哪些量不变，这些量之间存在什么关系？ 小结1：OA和左边的物品质量不变，右边物品质量和OB的长度是变量，左边物品质量×OA=等于右边物品质量×OB． 【设计意图】例题1是一个跨学科情境，学生虽然在小学《科学》中有初步学习，但对于杠杆原理涉及的四个量和它们之间的关系仍是模糊的，是本节课的难点．因此，本环节最先从生活中的简易称量工具的设计与制作引入，吸引学生兴趣．再通过教师的数学实验演示，让学生经历从根据生活经验感性猜想（变大或变小）到基于实验数据理性验证的过程． 任务二：模拟称量过程 如图4是甲组的称量模型．木尺上的固定点A，O分别在“0” (cm)，“5” (cm)刻度线处．点B在点O的右侧移动．砝码质量为100克．设木尺平衡时OB长为x厘米，待测物体质量为y克（木尺、塑料盘、绳子质量均不计）． （1）求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比例系数． （2）求当x=4时，函数y的值，并说明这个值的实际意义． （3）利用y关于x的函数表达式， 说明当OB扩大到原来的n（n＞1）倍时，待测物体质量将怎样变化？ 图4 【设计意图】任务二改编自课本，在制作简易称量工具的微项目背景下，研究OB成倍变化时，y对应的变化情况就更有了现实意义——通过读取OB直接确定称量物品质量，这其实也是源于两个变量成反比例的函数本质．如果直接利用表达式去理解这个问题难度较大，所以在讲解时还可以引导学生列表（表2），从特殊到一般地研究问题． 表2 如图5，是乙组的称量模型．木尺上的固定点A，O分别在“0” (cm)，“5” (cm)刻度线处．点B在点O的右侧移动．砝码质量为100克．设木尺平衡时OB长为x厘米，待测物体质量为y克（木尺、塑料盘、绳子质量均不计）． （1）求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比例系数． （2）利用y关于x的函数表达式， 说明当OB扩大到原来的n（n＞1）倍时，待测物体质量将怎样变化？ 图5 问题2：甲、乙两组模拟称量的函数表达式恰好一个是反比例函数，一个是正比例函数，比较它们有何相同之处，有何不同之处？ 小结2：两个函数的一般形式不同，它们的关系本质也不同．正比例函数两个变量成正比例，比为定值；而反比例函数两个变量成反比例，乘积为定值．相同之处是，它们都含有不为0的常数k，我们只要确定k的值，就能得到函数表达式． 【设计意图】在此处才引入正比例函数和反比例函数的比较是为了避免学生受前摄抑制． 任务三：制作称量工具 为了重新标注木尺刻度，同学们依次增加塑料盘的砝码个数，移动点B使木杠杆尺平衡，并在点B处标记对应的砝码质量．乙小组操作报告如图6，请在图7的甲小组报告的木尺上标记20g，25g和50g的位置，并补全报告. 图6 图7 【设计意图】任务三旨在引导学生关注自变量变化函数值的变化情况，为后续反比例函数的性质和图象作铺垫．整个微项目的设计围绕着称量工具这一跨学科情境进行，通过任务分解让学生逐步深入地探索反比例函数． （四）课堂小结，梳理反比例函数的知识 活动一：交流本节课的学习收获，构建知识体系（图8）．提出思考题，自主展开对反比例函数的图象、性质等的预习． 思考题：回顾一次函数图象的研究过程，与同伴合作，尝试画出反比例函数的图象． 图8