初中数学浙教版八年级下册6.2 反比例函数的图象和性质-教学设计

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 八年级 学期 春季
课题 反比例函数的图象和性质（1）
教学目标
类比一次函数图象的画法，用描点法画出反比例函数的图象，了解反比例函数的图象的意义。 通过对反比例函数的图象的分析，掌握反比例函数的图象的性质：反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线。当k＞0时，图象在第一、三象限；当k＜0时，图象在二、四象限。反比例函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。 3. 在类比探究反比例函数的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的三种方法：列表法、图象法和解析法，培养学生的数据观念、几何直观和推理能力的核心素养。
教学内容
教学重点： 1. 反比例函数的图象。 2. 反比例函数图象的特征。 教学难点： 由于反比例函数的图象分成两支，给画图带来了复杂性，是本节教学的难点。
教学过程
一、温习旧知，延伸导入 问题1：下列函数中，是反比例函数的是（ ） A.y=6x B. C. D.y=6x+2 问题2：我们知道了反比例函数的定义，类比一次函数的研究思路，我们还可以从哪些角度去研究反比例函数？ 问题3：回顾探究一次函数的图象的方法。 【设计意图】先通过一个问题让学生区分一次函数与反比例函数，它们的表达式是不用的，但它们研究思路是可以联系在一起的：定义→图象→性质→应用；通过回顾探究一次函数图象时用的描点法，让学生自己说出可以通过列表、描点、连线三个步骤来探究反比例函数的图象。 二、描点作图，图象感知 问题4：利用描点法画反比例函数的图象，你会采取下面哪种取值方法？ 问题5：x可取小数吗？无理数呢？ 【设计意图】由于微课互动性不良，因此本教学设计没有采取让学生自己选取数对，而是采取了选择题的形式，可以优化互动性。通过自主选择和教师追问强化反比例函数的自变量x是不为0的任何实数。但为了便于观察图象的特征，仍可以以0为基准，正负对称均匀取值。 问题6：请你求出对应的y值，并以表中各组对应值为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点。先在第一象限，按自变量由小到大的顺序，将点用光滑曲线连结，得到图象的一个分支；再在第三象限内画出图象的另一个分支。 问题7：以下一些同学所画的反比例函数的图象，你认为正确吗？ 教师展示正确的反比例函数的图象，并介绍该图象是由两个分支组成的曲线，又称双曲线。 【设计意图】先让学生自己画图，还是考虑到微课互动性的问题，无法知道屏幕后学生的作图情况，因此直接在PPT上展示四类常见错误图象，和学生一起辨析，通过每个图象的特征和反比例函数自变量、函数值取值的矛盾，得出正确的反比例函数的图象。 三、对照旧知，类比识图 问题8：类比一次函数y=6x+2的研究方法，借助反比例函数的图象研究它的特征和性质。 问题9：反比例函数的图象为什么位于第一、三象限？ 问题10：如何证明整个图象是关于原点成中心对称的（提示：可在反比例函数上取点（a，b），证明该点关于原点的对称点（-a，-b）也在反比例函数图象上）？ 【设计意图】通过列表先复习一次函数y=6x+2图象的特征和性质，这是学生已有的知识经验，那么学生自然而然地就会类比得到反比例函数的特征和性质。在这个环节中，教师特意指出可以通过列表法、图象法直观感受到反比例函数的图象的位置与对称性，再通过追问要求学生利用解析法进行证明，有利于培养学生数感、几何直观、推理意识的数学核心素养。在这一环节，还安排了由一次函数的增减性引出反比例函数的增减性，但留到下一节课探讨的环节，激发学生的学习兴趣。 问题11：是不是所有的反比例函数的图象都具有这样的特征呢？请你在同一坐标系内画出反比例函数的图象。 问题12：请你借助的函数图象，补充这个表格。 问题13：从表格中我们可以知道反比例函数与的图象有哪些共同特征？ 问题14：为什么两个反比例函数图象的位置不同呢 【设计意图】通过类比刚才画反比例函数的图象与分析反比例函数的图象这两个环节，预测学生都能较顺利完成反比例函数的绘图与特征的分析，实际上这一环节既是巩固反比例函数图象的画法，又是归纳反比例函数图象的特征。不管是列表进行左右对比还是追问两个反比例函数图象位置为何不同，都是为后面归纳一般反比例函数图象的特征作铺垫。而追问“为什么两个反比例函数图象的位置不同”是为了强调反比例函数本质的理解。 四、类比识图，推及“一般” 问题15：当k取不同的值，上述结论是否适用于所有的反比例函数？ 教师演示几何画板，赋予不同的 k 值，观察所得到的不同的反比例函数图象的特征。 问题16：我只要修改一下刚才的表格，就可以总结反比例函数图象的特征和性质，怎么修改？ 答：把改为，把改为。 【设计意图】通过直观感受引导学生归纳“变化中的规律性”。然后从解析式的角度，引导学生分析上述结论的合理性，培养学生关注数学本质的习惯。 五、应用新知，读图演练 例1 已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点B(－4，2). 判断k是正数还是负数. 求这个反比例函数的表达式. 补画这个反比例函数图象的另一支. 画出反比例函数的图象. 【设计意图】第（1）题的设置让学生体会：不仅仅已知反比例函数k可知图象的位置，反过来已知图象位置也能判断k的正负性。第（2）题的设置既复习了“待定系数法”，也表明可以这样代入求解的依据是：函数的图象必须满足以下正反两方面条件：坐标满足函数表达式的所有点都在图象上，图象上所有的点的坐标都满足函数表达式。第（3）题的设置旨在学生学会应用反比例函数图象的对称性画图解题。第（4）题是在教材原有例题基础上增加的一问，改编于教材P145作业题第5题，第（3）题考查的是同一个反比例函数两支图象之间的对称性，又结合反比例函数与反比例函数的图象的位置关系，自然而然会进行猜测，是不是反比例函数与反比例函数的图象关于x轴对称，或关于y轴对称。乃至是不是反比例函数与反比例函数的图象关于x轴对称，或关于y轴对称。又是一个类比的过程，又是一个探索反比例函数本质的切入口。 梳理知识，小结新课 师总结（PPT展示）：本节课我们通过类比一次函数的研究方法对反比例函数进行了研究。通过反比例函数的表达式利用描点法画出图象，发现它是由两个分支组成的双曲线，且关于原点成中心对称。当k＞0时，图象位于第一、三象限；当k＜0时，图象位于第二、四象限。根据反比例函数图象我们还能发现它有什么性质呢？下节课继续探索。