浙教版数学八年级下册 第2章 一元二次方程 小结教学设计（表格式）

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 八年级 学期 春季
课题 第 2 章一元二次方程小结
单元分析
1. 课标分析： 本单元是“数与代数 ”领域中，“方程与不等式 ”主题下的“一元二次方程 ”单元。“方 程 ”揭示了数学中最基本的数量关系（相等关系），是一类应用广泛的数学工具。数与代数 领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发展几何直观和运算能力。 2. 教材分析： （1）内容分析：一元二次方程作为初中“方程主题 ”的最后一个单元（终端单元），身 处“收口 ”位置，承载着融合与升华的重任。本单元的主要内容有一元二次方程的概念、解 法和应用。一元二次方程是一类重要的整式方程。作为方程， 自然遵循方程学习的“基本套 路 ”；而从数学知识的内部发展看，一元二次方程是一元一次方程在“次 ”上的推广，是最 简单的高次方程；从方程的解法而言，类比“消元 ”，解一元二次方程的基本思路是“ 降次 ”， 学生经历从特殊到一般、从一般到特殊的研究过程，体现了将未知转化为已知的化归思想。 本单元的韦达定理从之前的选学变为必学内容，学生经历了“具体——抽象 ”、“配方—— 分类讨论 ”的过程，利用代数推理得到根与系数的关系，并感悟根的判别式和韦达定理对方 程解的意义。分式方程、根式方程， 以及高次方程等都是通过转化为一元一次方程或一元二 次方程来求解。因此，一元二次方程是今后继续学习方程的重要基础。一元二次方程与后续 的二次函数等内容也存在关联，将构成一个更为完整的知识体系。一元二次方程与图形的面 积、物体的运动、量的平均变化率等都有着密切的联系，在日常生活和生产实践中有着许多 应用。 （2）单元结构：
3. 学情分析 : 学生在之前学习一元一次方程时已经形成原初经验，后续通过二元一次方程（组）、分 式方程的学习积累了再生经验，类比学习一元二次方程形成一定的经验图式。此外，学生还 具备了一定的观察、比较、归纳、演绎等思维能力。学生学习一元二次方程的难点主要在于 其抽象性，在《一元二次方程小结》这一课时能否对之前形成的知识框架性结构进行纠偏， 能否对学习的方法性结构和知识形成的过程性结构进行整体性、关联性和递进性融合对学生 来说极具挑战。 4. 单元大概念： （1）方程就是含有未知量、表达等量关系的式子，通过运算和等式性质可以使未知量成 为可知。 （2）可以使用变量、表达式和方程抽象地转化、表征数学情境与结构。 单元核心问题： （1）能否有逻辑地经历观察、方法选择，利用化归思想进行方程求解？ （2）如何将实际情境抽象成数学问题，建立数学模型（方程）来描述和解决现实生活中 的问题？
教学目标
知识与技能： 1. 会用恰当的方法解方程。 2. 会列一元二次方程解应用题。 过程与方法： 1. 通过对比分析发现共性与不同，体会解法的联系与区别，形成系统化认识。 2. 分析和解决实际问题时能运用各种方式，如借助表格。 3. 通过观察、分析、选择，提高运算能力和解决问题的能力。 情感态度与价值观： 1. 通过小组合作、各种评价促进学生形成主动学习，整体构建以及有逻辑地思考的习惯，激 发有意义学习的心向。
学习目标
知识技能（K 目标）： 1. 学生知道：一元二次方程的概念，所有的一元二次方程都能化为 ax2+bx+c=0 的一般形式， 根与系数的关系。 2. 学生掌握：会用恰当的方法解一元二次方程；会列一元二次方程解应用题。分析和解决实 际问题时能运用各种方式，如借助表格。 意义理解（U 目标）： 1. 思考“方程从哪里来 ”“为什么要建立方程 ”“如何建立方程 ”“如何解方程 ”“方程的 解是否有意义 ”等问题，促进对学习方程价值的认识。 学习迁移（T 目标）：
1. 发展运算能力、推理能力、抽象能力、创新意识与应用能力、模型观念。 2. 在解决实际问题中能主动运用方程等模型来研究并解决问题，深化对方程单元大概念的理 解与认识。 3. 提升合作、交流与表达能力、质疑、评价等学习能力，能够批判性地看待问题，有效改变 学习方式。
教学内容
教学重点： 1. 能对一元二次方程进行观察并选择恰当的方法求解。 2. 多个一元二次方程之间的关联分析。 教学难点： 1. 复杂应用题的分析与解决。 2. 单元之间、单元与学科之间、单元与现实世界等的关联认知。
教法学法
教学过程
环节一 设计先行组织者，定位精准教学 【任务一】（此为“学习任务单 ”的“课前学习任务 ”的内容。） 1、课本第 2 章目标与评定第 8 题：选择适当的方法解下列方程： 问题一：请观察第 8 题，思考这 8 个小题之间是否有关联，比如方法、知识点等之间的 关联。请从中至少选择 3 个小题进行求解，并阐述所选小题之间的关联。
2、问题二：请从以下两个小题中选择其中一个进行解答。 （1）请将本章《一元二次方程》的知识框架图画出来。 （2）请将初中阶段学过的方程单元的知识框架图画出来。 3、问题三：课本 P51 目标与评定第 21 题： 某租赁公司拥有汽车 100 辆.据统计，当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出.每辆 车的月租金每增加 50 元，未租出的车将增加 1 辆.租出的车每辆每月的维护费为 150 元，未 租出的车每辆每月只需维护费 50 元. （1）当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达 到 306600 元？ 【设计意图】在课前，收集学生的解答素材进行分析归类，为课堂的精准教学提供支撑， 提升小结复习课的效度。设计先行组织者为教学“定位、把向 ”。
将课前收集的解答结果做如下归类整理： 31 名学生问题一的结果统计如下：（表 1）
31 名学生问题二中 24 人选择（1）来画框架图，4 人选择（2）来画框架图，3 人放弃此 问题。提及根的判别式的有 11 人，提及韦达定理的有 14 人。 特别值得关注的是，问题一的无效审题有 8 人，约占 26%。表 1 的最后两类的人数为 0， 学生还停留在基本知识、基本技能的层面，对基本思想的提炼是非常弱的，这在问题二中只 有 4 人选择（2）来画框架图可见一斑；另外，在问题二提及根的判别式及韦达定理的人数如 上，但在问题一的关联分析中却无人进行此方面的关联，其中，将具体的方程与方程的一般 形式或定义关联的仅 3 人，说明学生的认知缺乏知识的整体性，思维的系统性等，抽象能力 的素养不尽人意。 31 名学生问题三解答的结果统计如下： （1）4 人错误（列方程的两个人均失分，算术法 1 人失分，1 人没有作答），28 人用算 术法
（2）（表2）
环节二 筛选有用类比源，引导思维方向 【任务二】模块一 “评一评 ”
教师：结合课前的统计表，选择（1）（2）（3）的同学占了一定的比例，我们一起来评 一评。 学生：有人把它们关联为 E 类别还是有道理的，确实都是一元二次方程，也都能化为 的一般形式。 教师：那将第（2）题化为一般形式后，b 、c 分别是多少呢？ 学生：经过计算，我们发现，b= -5, c= -3。 教师：那（1）（2）（5）归入 E 类别可以吗？ 学生：当然可以。 教师：那还有哪些选择是可以归入 E 类别的呢？ 学生：其实所有的选择应该都可以。因为从定义看，它们都属于同一种方程，即一元二 次方程。
教师：太对了，因此我们发现，除了象同学们那样从解法维度去关联分析外，我们首先 要能从概念的视角去看待一类数学对象。请没有进行概念关联的同学在任务单上做好修正。
学生：那（1）（2）（3）归入类别 F 是什么意思？ 教师：我们一起来了解一下。（如右图） 学生：第（1）题方法正确，计算错误； 学生：欸，第（2）题这种方法我没有想到； 学生：第（3）题漏写了平方； 学生：老师，第（3）题用十字相乘法更快； 教师：那这位同学所说的整体思想大家 get 到了？ 学生：嗯，特别是第（2）题，移项后公因式是一个
多项式，x-3 就是一个整体。 教师：很不错，但是，从统计的表格中我们需要关注到，将数学对象的本质概念、或者 诸如整体思想这样的数学思想进行关联的同学非常少，更多的同学还仅仅局限在解法的关联 维度上。我们重新来看这位同学及大家自己解方程的过程，思考方程的解是通过什么对象的 求解得到的？方程的解的情况如何呢？ 经过师生共同探讨、及时评价将转化化归思想（新知——>旧知、二次——>一次等）与 根的判别式等融合入知识框架。 【设计意图】针对学生的思维层次， 引导学生从本质概念、从解法（通法、优法）、从 思想方法（化归）、从知识生长的逻辑连贯性等多维角度进行关联，形成一个系统网络，而 非零散的碎片知识点。 【任务二】模块二 “究一究 ” 教师：经历过刚才的“评一评 ”，同学们对从哪些维度进行关联有了一定的了解。那如 果我们选择（3）（6）（8）放在一起的话，大家能不能发现一些新的关联维度呢？ （3）（6）（8）中 a、b、c符号的一致性，从而直接判断根的符号特征，与
韦达定理进行关联等。以第（6）题为例进行分享。并对前面小结的结构框图等进行更新。 练习：课本目标与评定 T15 题（ 一题多解） 此题如果从方程解的定义切入，那么可以先求得 k，将 k 代入原方程后通过因式分解法 中的十字相乘法求得另一个解为 - 1/3。 但如果我们掌握根与系数的关系，借助韦达定理，能快速解决问题。所以同学们在学习 数学的过程中，不妨多试一试从不同的切入点来研究一个问题，对学习的方法性结构进行梳 理。 【设计意图】从模块一学生的已有选择到模块二的新选择的横向扩展，激发认知的纵向 递进。借助一题多解，对学习的方法性结构进行梳理。
这里值得一提的是，我们采集的 31 位同学的任务单中，其中问题二提及根的判别式的有 11 人，提及韦达定理的有 14 人。但在问题一的关联分析中却无人进行此方面的关联，说明 同学们还不能将单元的结构框图自主地运用到问题分析中去，以后应引起重视。
环节三 借助学伴共同体，增强反思评价 【任务二】模块三 “思一思 ” 结合环节二的两个模块，请学习小组内的成员对自己及其他组员的任务一的第 1 题进行 自评、他评，并在学习任务单上就“关联维度 ”做小结，对框架图做补充调整，反思收获。 借助小组学伴的评价合作，我们再对其中几个小题做一下补充，比如第（4）题，有小组 发现采用直接开平方法会比移项后用平方差公式在书写上来得更简洁，也有同学提议第（6） 题要想一想十字相乘法，不能一味地只会用公式法，虽然公式法确实很万能。那希望接收建
议的同学能积极消化，有所思，有所悟。结合评价量表，我们将关联图做如下归纳： 一元二次方程多维关联图 象刚才总结的那样，在初中阶段，我们在解一元二次方程时，一般地，总是将之通过降 幂、转化为一元一次方程来求解。但，这是唯一的路径吗？在课后，我们将给同学们推荐一 篇由曹宝和陈建花老师写的一篇文章，其中的一部分内容相信会给大家提供新的视野，拓宽 我们的认知。也期待大家在课余时间能多多阅读，在书的海洋中享受数学学习的乐趣，同时 对我们的认知进行结构化梳理。 ★★★阅读材料 作为课后长作业（例谈“升维法 ”在方程（组）求解中的应用） 作者：曹宝、陈建花 刚才有小组在分享的时候，提出了一个疑惑， 问：老师，我们大家画的框图都有一点点 差别，怎么办？ 以谁的为标准呢？还有同学很好奇如果是老师来画的话，会画成什么样子。 那让我们一起来鉴赏一下。比如，这位同学，他是先以“元 ”的个数为标准进行分类，再继 续以次数为标准进行划分，他还特别提到了等式基本性质与转化的思想。你看，转化这一点 与我们之前的这张框架图是一致的。通过对比，我们也会发现，这两张图都还不完整，我们 再来看另外一张。 这位同学对本章的知识内容梳理相对完整，他还细致地进行了举例说明，是个很不错的 点子。那同学们，我们学过的方程除了这里列出的一元一次方程，一元二次方程等等之外， 还有哪类方程呢？是的，我们也已经学过了分式方程，它与这里列举的方程的区别是什么呢？ 嗯，它不是整式方程。所以，在初中阶段方程大单元的视角下，我们还需对之前的图进行补 充和完善，我们也将在课的结尾分享给大家，但是，在分享之前，希望同学能先行思考，绘 制属于自己的方程单元 GPS。看，这位同学的 GPS 中，将常见的几类应用问题罗列了出来， 那我们就一起来看看第 21 题吧。 【设计意图】学生经历环节二两个模块的活动，从原初经验到再生经验，最后在模块三 形成一定的经验图式。通过自评与他评，借助评价的力量、反思的力量达成深度学习，提升 思维的层级。学伴共享，促进有意义的学习心向。 评价量表附后：
任务一第 1 题问题一评价量表 评价内容★★★★★★自评他评师评关联概念没有关联到一元 二次方程的概念有想到概念有关联概念，并能 抽象成一般形式 关联解法没有选择恰达的 解法有选择恰当的解 法，关联有偏差有选择恰当的解 法，解法的关联准 确 关联符号 没有考虑数字系 数的符号问题有关注到系数的 符号，但方程之间 的共性没有关联有关注到系数的 符号，并能关联根 的判别式及韦达 定理关联思想没有关联部分数学思想关联到整体、转 化、化归思想等关联观念 如“方程 的本质是 一个‘关 系 ’”。 没有关联 有直观感受，但不 深刻对方程单元有一 定的认知，能主动 运用方程模型解 决生活中的问题思考思考 1：后续学习中，需在哪些方面做加强？思考 2：在几个模块的学习过程中，你关键的收获是什么？
环节四 融合解法与应用，强化模型观念 【任务三】课本 P51 目标与评定第 21 题： 某租赁公司拥有汽车 100 辆.据统计，当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出.每辆 车的月租金每增加 50 元，未租出的车将增加 1 辆.租出的车每辆每月的维护费为 150 元，未 租出的车每辆每月只需维护费 50 元. （1）当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达 到 306600 元？ 【任务三】模块一 “类比迁移 交流表达 ” 根据前面对“关联维度 ”的小结，在小组内进行交流，大家解决此应用题的共性和区别。 共性：基本上第（1）小题都使用了算术法；第（2）小题利用了“方程模型 ”（一元二 次方程）来解决；而利用方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答。 区别：设元的选择不同（直接设元、间接设元）；解方程的方法不同等 数据统计： 第（2）小题有 18 人做对，准确率约 58%。将直接设元的作答情况（类别 A）分享。
类别 A： 看到这样的书写过程，你的直观感受是什么呢？确实，看着好复杂，数据又这么大，方 程求解如此麻烦等等，令人望而却步。让我们一起来帮助审一下此题的已知量、未知量及相 关的数量关系吧。 通过审题，此题为“增 1 减 1 ”模型的应用题。包括了车辆总数、每辆车的月租金、维 护费（租出与未租出的维护费还不同）、月收益等量，而这句文本体现了“增 1 减 1 ”的规 律。 那当题中所含的量较多、令人感觉复杂时，我们可以借助什么工具呢？很好，我们可以 尝试列表分析，看看思路能否变得清晰起来。 当采用直接设元时，月租金相对于 3000 元来说共增加了 x-3000 元，因为每辆车的月租 金每增加 50 元，未租出的车辆就增加 1 辆。所以，我们就看 x-3000 元中含了多少个 50 元， 即将 x-3000 除以 50 即可表示未租出的车辆数量。由于车辆总数为 100 辆，因此用 100 减去 它即表示租出的车辆数量。 而本题的等量关系如题中的提示为：租出的车辆租金收入 －租出的车辆维护费 －未租 出的车辆维护费=月收益，前两者合在一起即表示：租出的车辆月收益 ，因此等量关系也可 写成这样：租出的车辆月收益 －未租出的车辆维护费=月收益 随之，我们列出了匹配的方程。而这两部分其实都运用了公式：单价×数量=总价 只不过单价 1 表示的是租出的每辆车的月收益单价，而单价 2 表示的是未租出的每辆车的月 维护费单价。但这两处的公式本质是一致的。
虽然方程已经列出，但这个方程太难解了对吧？为什么难呢？ 是的，有同学已经发现这个解会比较大。那到底是多大呢？其实，在审题时，初始月租 金已经达到 3000 元了，那方程的解必定大于 3000. 【任务三】模块二 “关联单元 整体建构 ” 这也提醒了我们，在面对真实情境的生活问题时，我们应当有一定的数据预估能力，而 不能停留在只对某一个具体数字的大小感知上，并且，这种预估能力在以后也能迁移至各个 领域。 其实，在解答此题时，大部分同学除了缺乏对答案的预估之外，也缺乏一种将两个小题 进行整体关联分析的意识。什么意思呢？让我们重新来解读一下。 某租赁公司拥有汽车 100 辆.据统计，当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出.每辆 车的月租金每增加 50 元，未租出的车将增加 1 辆.租出的车每辆每月的维护费为 150 元，未 租出的车每辆每月只需维护费 50 元. （1）当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达 到 306600 元？ 其实，在处理“增 1 减 1 ”模型的应用题时，我们完全可以通过列表法、同时结合小学 的枚举法，将表示规律的文本转化为数学语言，达到化难为易的目的。小组合作交流。 每辆车的月租金租出的车辆数未租出的车辆数300010003000+50100-113000+50×2100-1×22………………3000+50n100-nn
这里的重点是，我们只做规律的呈现，并不是把注意力放在结果的计算上。 那用数学语言呈现规律之后，大家有什么新的想法呢？ 是的，有变量 n，有我们熟悉的一次函数。每辆车的月租金、租出的车辆数都随着 n 的 变化而变化。那这时候我们再去看本题的两个问题，是否有不一样的视角了呢？ 第（1）小题相当于已知函数值为 3600，求得自变量 n 的值后，100-n 的值随之得到。 而第（2）小题我们通过间接设元，设 n，那么化简整理后的方程会简单很多。 好，我们来欣赏一下几位同学的作答情况。
类别 B： 这位同学相当于是把我们表格中的 50n这个整体设为了 x，所以结果的值还是相当大的。 类别 C： 这两位跟我们表格中的设元方式是一样的。相对而言，右边这位同学的书写会更有排版 上的布局规划。也请同学们在任务单上做好订正批注。 结合课前的统计结果，与我们刚才的深入探究，我们会发现，在审题时，做好整体分析， 关注规律的数学表达，能让我们透过现象看清本质。看似在用算术法或者方程解决问题，实 际上方程、函数之间是紧密关联的，单元与单元之间也不是割裂的，并且这也能大大提升我 们解决问题的效度。 问题链梳理如下： （1）请梳理本题的已知量、未知量、等量关系等。（引导使用表格等工具，助力规律的 呈现） （2）通过小组交流分享，再展示如上部分作品，问题：在解答之前，有对结果值的大小 做过预判吗？ 如果有预判，结果的值必大于 3000，是一个相对来说比较大的数。所以此题在设元上如 果选择了直接设元的同学才会出现后续如此庞大的运算量，给自己解方程造成阻力。 （3）本题的两个小题之间有关联吗？（再次使用表格法、枚举法，引导关联变量、函数 ——一次函数，一元一次方程等） 思考：近 90%的同学此题用了算术法，算术法、方程模型、函数模型孰优孰劣？ （激发 学生的批判性思维） （4）设增加 x 元的这位同学，是以什么量为基准的？能跟以前的旧知进行关联吗？
（此处关联可视课堂具体情况做删除。） 关联七上有理数的加法 （5）你能提出新的问题吗？（引导最值的讨论，配方法求最值，渗透关联后续的二次函 数）
【设计意图】师生合作探究，学生体会预判的意义与重要性（如金融投资的风险评估预 判），并能用批判的眼光看待算术法和方程模型、函数模型，进而对方程在生活中的应用有 更深的理解；在解决问题的过程中，学生能体验合理使用工具（如表格）给解题分析带来的 优势作用；通过问题链激发学生站在“ 大单元 ”视角看待问题的意识，对单元之间、单元与 学科之间、单元与现实世界等的关联有新的认知，培养学习的信心，发展数学的核心素养。 寻径有方，双星照程。
作业布置
一、作业目标： 1. 巩固一元二次方程的解法，灵活运用，发展运算能力. 2. 自主整理单元知识框架，形成系统性的框架图，完成知识结构化. 3. 通过阅读拓展作业，拓展思维的宽度和深度. 4. 解决一些具有现实意义的问题，体会数学学习的意义，感受数学来源于生活又服务于生活. 二、素养作业内容
1.请结合课堂研究过程，归纳体会：解法的灵活性、对数学对象进行关联的维度多样性. 必做：学习小组内相互出若干道解一元二次方程的题目进行说题（做到个性化）. 2.必做：完善章节知识框架图.（课件的最后板书可供参考） 3.必做：（1）从课本 P51 目标与评定的剩余应用题中选择一题或若干题进行解答. 选做：（2）对所选题进行整体性关联分析. 4.选做：观点表达——算术法、方程模型、函数模型孰优孰劣？ 5.必做：长作业（1---5 天内完成）：阅读材料 （例谈“升维法 ”在方程（组）求解中的应 用 作者：曹宝、陈建花），写一份阅读小报告. 【设计意图】利用素养作业对课堂所学进行迁移，提升学生的综合能力。
板书设计