浙教版八年级数学下册第6章 反比例函数小结教学设计

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 八年级 学期 春季
课题 第6章 反比例函数
教学目标
1.教学目标 （1）巩固反比例函数概念，根据反比例函数的表达式和图象，理解反比例函数增减性、对称性、面积不变性等性质； （2）熟练运用反比例函数的图象和性质解决与不等式、一次函数函数 、图形面积等综合问题，并感受数形结合的思想方法，培养观察、分析和归纳的能力，发展数学思维； （3）借助反比例函数及其图象解决函数实际问题，感悟数形结合、函数、转化等数学思想，发展抽象能力、运算能力、几何直观等核心素养。 2.目标解析 达成目标（1）的标志是：基于引入环节实验数据的分析，选择利用反比例函数的进行描述，并根据图象回忆起反比例函数相关性质； 达成目标（2）的标志是：利用反比例函数的图象与性质解决“已知某一变量的范围求另一个变量范围”、不等式与图形面积等问题； 达成目标（3）的标志是：从实际问题中抽象出有关反比例函数的数学问题，并利用反比例函数的图象与性质解决问题。
教学内容
1.地位和作用 反比例函数是初中数学中的基本函数之一，主要内容包括概念、图象、性质和应用。反比例函数与已经学过的一次函数的研究路径相同，但是本质属性有明显的不同：从“数”的角度来说，满足反比例函数关系的两个变量的积为定值；从“形”上来看，一次函数图象是连续的直线，反比例函数图象是曲线，分两支，则要从比例系数的几何意义、对称性与增减性等方面来体现和刻画，反比例函数是对一次函数的提升。从整体来看，反比例函数与之前所学的一次函数、方程、不等式、三角形、四边形、分式都有着密不可分的联系，也是今后学习二次函数以及高中函数知识的基础。反比例函数的复习课起承上启下的作用。 2.思想方法 以一个具有生长功能，又能承载复习重点的图象为载体，通过不断地添技加叶，衍生问题，层层推进，并借助反比例函数及其图象解决问题，体会数形结合、转化、函数等数学思想。 3.问题诊断： 此阶段的学生已经具备了坐标系、函数的知识，并类比一次函数的学习经验对反比例函数的概念、图象、性质和应用进行了探究，积累了研究函数的思维活动经验，对建立函数模型和数形结合思想也有了进一步的体会。本课需要学生综合应用反比例函图象和性质的解决反比例函数与一次函数、不等式以及图形面积等问题，并在深层次理解反比例函数的图象和性质的基础上，运用数形结合的思想方法解决反比例函数的实际问题，从而将点状知识转化为结构化的知识体系。对反比例函数的图象与性质理解不深刻，对反比例函数综合问题的分析没有条理，表达也较为薄弱。 4.教学重点： 以数形结合思想为立意，构建反比例函数的知识结构关系。 5.教学难点： 综合应用反比例函数的图象与性质解决问题。
教学过程
第一节 情境引入，梳理反比例函数相关概念 问题1 通过某次实验获得两个变量 x（x＞0）、y（y＞0）的一组对应值如下表： x12456y631.51.21
思考1：根据表中的数据，你认为能用什么函数刻画这两个变量x和y的关系？请说明理由. 预设1：反比例函数，因为两个变量的乘积一定. 预设2：分别以表中对应的x、y的值作为点的横、纵坐标，利用描点法画 出函数图象，根据图象的特征确定用反比例函数刻画两变量间的关系. 思考2：你能求出该函数表达式吗？ 预设：利用待定系数法，设，把其中一对变量的值代入，求得k=6. 【设计意图】引导学生用数学的眼光观察分析实验数据，从“数”和“形”两种角度判断函数类型，这也是反比例函数区别于其他函数的本质属性，体现了函数学习中数形结合的思想方法，也体现数学来源于生活又应用与生活，符合知识发生与发展的规律。 第二节 畅所欲言，构建反比例函数的知识结构 问题2 根据反比例函数的部分图象，你能获得哪些信息？ 预设：该反比例函数图象的另一支在第三象限. 追问：反比例函数的图象在哪两个象限由什么因素决定？ 预设：由反比例函数的系数k决定，k＞0，图象在一、三象限，k＜0，图象在二、四象限. 追问：反比例函数的图象有什么特征？能否利用这种特征补画出反比例函数的另一个分支？ 预设1：反比例函数图象关于原点成中心对称，只需将第一象限的这一部分图象绕着原点旋转180°，便可得到在第三象限的图象. 预设2：反比例函数图象具有轴对称性，直线y=x是其中一条对称轴，只需将第一象限的这一部分图象关于直线y=x做轴对称变换，便可得到在第三象限的图象. 思考：观察图象，还能获得哪些信息？ 预设：在每一个象限内，y随x的增大而减小. 【设计意图】通过一个开放式的问题对反比例函数的性质进行复习和归纳,也是对学生已有的知识结构进行复习和梳理。由于起点低，各个层次的学生都有能力参与，通过小组合作、自主表达、相互启发、相互补充，激发学生思维，也为后续的复习做准备。 第三节 深化理解，运用图象与性质解决不等式、一次函数等问题 问题3 在反比例函数的图象上取一点A（2，3）（如图1），请你回答下列问题. 思考：当x＞2时，y的取值范围 预设：如图1，当x=2时，y=3，当x＞2时，y随x的增大而减小，所以y＜3，又由(x＞0)可判断出此时y＞0，所以0＜y＜3. 图1 图2 图3 预设：当x＞2时的图象直线x=2右边的部分，y取最大值的点是图象上的最高点，观察图象，最高点为图象上x=2时对应的点，该点的纵坐标为2，由于x＞2，x无法取值为2，所以y无法取值为3，即y＜3，最低点无限接近x轴，但始终位于x轴上方，所以y＞0 观察图象，0＜y＜3. （将上述“数”、“形”两种方法进行比较，利用增减性求函数值的取值范围是利用数的原理，即本质原理，利用函数图象求函数值的取值范围更直观、更简便！） 思考：当y＜3时，x的取值范围 预设：如图2，当y＜3时，对应的图象是直线y=3下方部分，观察第三象限的这一部分图象，可得x＜0，再观察第一象限的这一部分图象，x取最小值的点即为图象中最左边的点，y无法取值为3，所以x无法取值为2，所以x＞2，由此确定当y＜3时，x＜0或x＞2. 思考：通过上述两小问的解答，请你总结已知某一变量的范围求另一个变量范围问题的一般方法. 预设：先根据某一变量范围描出对应图象，再根据所描图象，确定另一个变量的范围. 【设计意图】在原图形上“添点”，并以问题串的形式让学生深度参与课堂，理解函数与不等式之间的关联。其中“当x＞2时，求y的取值范围”的问题利用“数”与“形”两种方法解决，让学生感悟“形”的方法的直观性，反之“已知y的范围，求x的范围”的问题进一步巩固“形”的方法，使得数形结合思想得到潜移默化，直观想象素养就能根植学生内心深处。 问题4 如图所示，过 A,O 两点作直线l1 ,交反比例函数的图象的另一支于点B，请回答下列问题. 思考：你能说出点B的坐标吗？ 预设：交点A，B也关于原点中心对称，B（-2，-3）. 思考：你能求出直线l1的函数解析式吗 预设：. 思考：求不等式 的解集. 追问1：这一个不等式让你联想到什么？ 预设：由不等式联想到一次函数与反比例函数，此时问题转化为“当一次 函数的函数值小于反比例函数的函数值时，求自变量x的取值范围”的问题. 追问2：当x为何值时，两个函数的函数值相等？ 预设：当x=-2或x=2时，两个函数的函数值相等. 追问3：现在你能求解这个问题吗？ 预设：直线x=－2，直线x=2与y轴是两个函数值大小关系的分界线，图象被分为四部分.第一部分图象中，一次函数的图象在下方，说明一次函数的函数值小于反比例函数的函数值，符合题意，x＜-2;观察第二部分，一次函数的图象在上方，说明此时一次函数函数值大于反比例函数的函数值，不符题 意.依次判断第三部分与第四部分，其中第三部分也符合题意，从而 确定该不等式的解为x＜-2或0＜x＜2. 思考：你能总结利用函数图象解决不等式问题的一般方法吗？ 预设：由不等式关联对应的函数，转化成“已知两个函数值的大小关系，求对应的自变量x的范围”的问题.接着过交点画出分界线，通过图象的高低位置判断函数值的大小关系，求出符合题意的自变量x的取值范围，从而求出一元一次不等式的解. 解不等式→函数值大小的比较→图象上下位置的比较；数→形. 【设计意图】在“添点”的基础上进一步“添线”，衍生问题。该问题中的不等式不易直接求解，以问题串的形式引发学生思考，自然联想到用图象的方法解决，让学生体会反比例函数与一次函数、不等式之间的联系，深刻体会到用数形结合思想解决不等式问题的优越性，提高学生的读图、识图和释图能力。 第四节 综合运用，利用图象与性质解决面积问题 问题5 如图所示，点A（2,3），C(x1,y1)在反比例函数的函数图象上，且x1＞2，若S△AOC=8，求点C的坐标. 思考：若设点C的横坐标为a，你能表示出点C的纵坐标吗？ 预设：将x=a代入函数解析式可得. 思考：如何用含a的代数式表示S△AOC呢？ 预设：S△AOC不易直接表示，可用“割补”法，本题可将△AOC补成一个矩形.易得S△AOC=S矩形DEFO-S△DOA-S△COF-S△ACE，其中S矩形DEFO＝3a，又由反比例函数k的几何意义得: S△DOA=S△COF==3，S△ACE=，从而得到S△AOC= 思考：你能求解a吗？ 预设：由S△AOC=8，列出方程，解得a1=6，a2=，a2舍去. （还有多种方法可以解决本问题，在课后与老师作进一步交流） 【设计意图】在原图形上继续“添枝加叶”，生长出反比例函数图象背景下探究几何图形的面积的问题，这类问题是系数的几何意义的应用，是数形结合思想的典范。本问题引导充分利用平行于坐标轴的线段进行割补，让学生感悟割补法的本质是“化斜为直”。问题解决过程中，从“形”的角度转化为图形的面积的和或差求解，从“数”的角度转化为求点的坐标，进而转化为求水平线段或者铅垂线段的长度，增强学生思维的深刻性，提高学生分析问题、解决问题的思辨能力，发展运算能力、推理能力，几何直观等核心素养。课后通过不同的方法探讨,促使学生对坐标内利用割补法求图形的面积有了进一步认识，割补法的复习和深化为学生今后解决二次函数中的面积问题积累了经验,具有长远意义。 第五节 回归生活，应用图象与性质解决实际问题 问题6 为了预防新冠，某车站安装全自动消毒装置，已知第一次喷洒消毒药水时，车站内空气中每立方米的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，2分钟时空气中每立方米的含药量为3毫克，则停止喷洒，空气中的含药量下降，此时含药量y与时间x成反比例（如图所示）,当空气中每立方米的含药量不低于1.5毫克才能有消毒作用. （1）第一次喷洒消毒液有效消毒时间持续几分钟？ 思考：你能结合实际情境，理解题中的图象吗？ 预设：红色一段为的实际意义为第一次喷洒消毒药水时含药量y随时间x增加而增大，(2,3）这一点的实际意义为当第一次喷洒时间为2分钟，时每立方米的含量为3毫克，蓝色的这一段表示两分钟后停止喷洒，含药量y随时间x的增加而减小. 思考：上述实际问题可转化为怎么样的数学问题？ 预设：空气中每立方米的含药量不低于1.5毫克才能有消毒作用，即y≥1.5，所以上述实际问题可转化为“已知y≥1.5，求x的取值范围”这一数学问题. 思考：你能求解这一数学问题吗？ 预设：当y≥1.5时，对应的图象是直线y=1.5上方部分，观察图象，要求x的范围，关键点是A,B两个点，易得正比例函数的解析式为（0≤x≤2），反比例函数解析式为（x≥2），点A纵坐标为1.5，代入正比例函数解析式得x=1，点C纵坐标也为1.5，代入反比例函数解析式得x=4，通过观察图象可得当y≥1.5时，1≤x≤4，有效消毒的时间持续3分钟. 【设计意图】本课选择一个具有生长功能，又能承载复习重点的图象，以此为一图一课的问题的载体，唤醒学生的认知，激活已有经验，激发学生的参与，产生破冰效应，然后通过不断地添技加叶，衍生问题，层层推进，让复习课更加简约。本问题在原图形基础上“去线”，继续生长，进一步巩固反比例函数在生活实际问题中的应用。问题解决过程中，先引导学生读题、读图，理解题意的基础上进一步将实际问题转化为数学问题，并运用数学结合的思想方法利用反比例以及一次函数的图象与性质解决这一数学问题，发展学生抽象能力，运算能力和应用意识，渗透“三会”核心素养的培育。 （2）问题：当空气中每立方米的含药量降至1毫克时，装置会再次自动喷洒药水，直至每立方米的含药量达到3毫克，停止喷洒.当距离第一次开始消毒10分钟时，空气内的含药量是否达到消毒效果？ 思考：理解题意，上述问题可转化为怎样的数学问题？ 预设：转化为“已知x=10，求y的值”的数学问题. 思考：你能画出第二次喷洒药水时以及第二次喷洒药水后含药量y（毫克）随时间x（分钟）变化的函数图象吗？ 预设：如图所示，点D即为当空气中每立方米的含药量降至1毫克时第二次开始加热的起始点，E即为空气中每立方米的含药量为3毫克时，停止加热，红色一段的实际意义为第二次喷洒消毒药水时含药量y从每立方米1毫克增加至3毫克，蓝色的这一段表示第二次喷药停止后，含药量y从每立方米3毫克降至1毫克.由此可同理画出第三次喷药周期内含药量y（毫克）随时间x（分钟）变化的函数图象. 思考：你能求出点D，E，F的坐标吗？ 预设：当空气中每立方米的含药量降至1毫克时，装置会再次自动喷洒药水，则点D的纵坐标为1，点D在反比例函数的图象上，代入求得其横坐标为6，即D（6,1）；易得点E的纵坐标为3，要求点E的横坐标需求出第二次喷洒消毒药水时每立方米的含药量y从1毫克上升至3毫克所需的时间，这与第一次喷洒消毒药水时每立方米的含药量y从1毫克上升至3毫克所需的时间相同，易得点G的纵坐标为1，代入正比例函数得其横坐标为.喷药时含药量y从1毫克上升至3毫克所需时间为分钟,则点E的横坐标为，喷药后含药量从3毫克再下降至1毫克所需时间为4分钟，则点F的横坐标为. 思考：结合图象与点的坐标，你又有什么发现？ 预设：第二轮喷洒药水时的图象向左平移个单位，与第一轮喷洒药水时的一部分图象重合. 思考：现在你能求解当x=10时，y的值吗？ 预设：此问题即求图中点H的纵坐标，其所在图象的解析式未知，无法直接代入求值，此时我们可将点H向左平移个单位至点H’，点H’在的图象上，易得点H’的横坐标为，代入求得其纵坐标，所以点H的纵坐标也为，所以当x=10时，y＜1.5，没有消毒效果. 【设计意图】在读图、识图、释图的基础上进一步自主画图，在情境和图象之间能自由转化，并通过对图象的观察、分析、归纳，利用象的平移将“未知点”的坐标转化为“已知点”的坐标，发展学生的高阶思维。 第六节 课堂小结 【设计意图】通过师生互相补充总结,学生完善已有知识结构，明晰反比例函数的学习路径，明确函数大单元学习的方法，从而让思路关联、数学方法得到梳理，能力得到提升。