4.4平行四边形的判定定理-2023-2024学年浙教版八年级下 同步分层作业（含解析）

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4.4平行四边形的判定定理 同步分层作业
基础过关
1．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列各组条件，其中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．OA＝OC，OB＝OD B．OA＝OC，AB∥CD
C．AB＝CD，OA＝OC D．∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD
2．下面给出四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．3：4：4：3 B．2：2：3：3 C．4：3：2：1 D．2：1：2：1
3．已知：如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：四边形EBFD是平行四边形．以下是排乱的证明过程：①EB＝FD；②AB＝CD，EB∥FD；③∴四边形EBFD是平行四边形；④又EB＝AB，FD＝CD；⑤四边形ABCD是平行四边形．证明步骤正确的顺序是（　　）
A．④→①→②→③→⑤ B．⑤→③→①→②→④
C．⑤→②→④→①→③ D．⑤→②→①→④→③
4．在四边形ABCD中，如果∠A+∠C＝∠B+∠D，那么这个四边形　　是平行四边形，（填“一定”或“不一定”或“一定不”）
5．某人设计装饰地面的图案，拟以长为8cm、10cm、12cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画不同形状的平行四边形，他可以画出形状不同的平行四边形的个数为　　．
6．已知：如图，在 ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且DF＝BE，分别连接AE、EC、CF、AF．求证：四边形AECF是平行四边形．
7．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，F为AB上一点，DF与AC交于点E，DE＝FE．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若，BC＝6CE＝12，BC⊥AC，求BF的长．
8．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F为BD上两点，连接AE，AF，CE，CF，且BF＝DE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AB⊥AC，CD＝4，AC＝6，E，F为BD的三等分点，求OE的长度．
9．如图，在 ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E．
（1）若AD＝12，AB＝8，求CF的长；
（2）连接BE和AF相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．
能力提升
10．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
11．如图，在 ABCD中，要在对角线BD上找两点E、F，使A、E、C、F四点构成平行四边形，现有①，②，③，④四种方案，①只需要满足BE＝DF；②只需要满足AE⊥BD，CF⊥BD；③只需要满足AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD，④只需要满足AE＝CF．则对四种方案判断正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
12．如图，点P是 ABCD内的一点，过点P作直线EF、GH分别平行于AB、BC，与 ABCD的边分别交于G、F、H、E．则图中平行四边形的个数为（　　）
A．4个 B．5个 C．8个 D．9个
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点E，F，D分别在边AC，BC，AB上，EF∥AB，DF∥AC，则四边形AEFD的周长是（　　）
A．10 B．15 C．18 D．20
14．如图，将一条宽度为1和一条宽度为2的两条纸条叠放在一起，使得∠ABC＝60°则四边形ABCD的面积为 　　．
15．已知：如图，在 ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．若AD＝10，AB＝6，AE＝4，则DF的长为　8　．
16.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AB∥CD；②AD∥BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有　6　种．
17.已知一个四边形的边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且a2+b2+c2+d2＝2ac+2bd，则此四边形为　平行　四边形．
18.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形；
（3）若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
19.如图，△ABC和△BEF都是等边三角形，点D在BC边上，点F在AB边上，且∠EAD＝60°，连接ED、CF．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．
20.如图，在 ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，BE、DF分别交AC于点G、H，连接DG、BH．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）四边形GBHD是平行四边形吗？请说明理由；
培优拔尖
21．在四边形ABCD中，AD＝6cm，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 　时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
22．在平面直角坐标系中，A（2，﹣1），B（﹣2，2），C（m，m+1），D在x轴上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 　 　．
23．下面三个图分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图．已知甲的路线为A→C→B，路线长度和为S1；乙的路线为A→D→E→F→B（其中E为AB的中点），路线长度和为S2；丙的路线为A→I→J→K→B（其中AJ＞JB），路线长度和为S3．三人行进路线长度和S1、S2、S3的大小关系为　 　．
24．如图，有八个全等的三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ，连接EF、GH得到四边形EFGH，设S四边形ABCD＝S1，S四边形EFGH＝S2，S四边形MNPQ＝S3，若S1+S2+S3＝10，则S2＝　　．
25.在△ABC中，AB＝AC，点P△ABC为所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F
（1）当点P在BC边上（如图1）时，请你探索线段PD，PE，PF，AB与之间的数量关系，并给出证明；
（2）当点P在△ABC内（如图2）时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，线段PD，PE，PF，AB与之间又有怎样的数量关系．
（3）当点P在△ABC外（如图3）时，线段PD，PE，PF，AB与之间又有怎样的数量关系．
26．如图，△ABC中AB＝AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；
（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论．
答案与解析
基础过关
1．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列各组条件，其中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．OA＝OC，OB＝OD B．OA＝OC，AB∥CD
C．AB＝CD，OA＝OC D．∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD
【点拨】根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解析】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；
B、∵OA＝OC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形；
C、AB＝CD，OA＝OC，
∴四边形ABCD不是平行四边形．故不能判定这个四边形是平行四边形；
D、∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故能判定这个四边形是平行四边形．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
2．下面给出四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．3：4：4：3 B．2：2：3：3 C．4：3：2：1 D．2：1：2：1
【点拨】根据对角相等的四边形是平行四边形求解即可．
【解析】解：∵对角相等的四边形是平行四边形，
∴能判定四边形ABCD是平行四边形的是2：1：2：1．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法．
3．已知：如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：四边形EBFD是平行四边形．以下是排乱的证明过程：①EB＝FD；②AB＝CD，EB∥FD；③∴四边形EBFD是平行四边形；④又EB＝AB，FD＝CD；⑤四边形ABCD是平行四边形．证明步骤正确的顺序是（　　）
A．④→①→②→③→⑤ B．⑤→③→①→②→④
C．⑤→②→④→①→③ D．⑤→②→①→④→③
【点拨】由平行四边形的性质得AB＝CD，EB∥FD，再证EB＝AB，FD＝CD，则EB＝FD，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，EB∥FD，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴EB＝AB，FD＝CD，
∴EB＝FD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
即证明步骤正确的顺序是⑤→②→④→①→③，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键，平行四边形的判定；（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4．在四边形ABCD中，如果∠A+∠C＝∠B+∠D，那么这个四边形　不一定　是平行四边形，（填“一定”或“不一定”或“一定不”）
【点拨】由题意得出∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，即可得出结论．
【解析】解：如果∠A+∠C＝∠B+∠D，则∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，
那么这个四边形不一定是平行四边形；
故答案为：不一定．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
5．某人设计装饰地面的图案，拟以长为8cm、10cm、12cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画不同形状的平行四边形，他可以画出形状不同的平行四边形的个数为　3　．
【点拨】利用作图，将三条线段中的两条为边，另一条为对角线画不同形状的平行四边形画出，即可知有3个平行四边形．
【解析】解：如图，以△ABC能做三个平行四边形： ABCD， ABFC， AEBC．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是先将三条线段组成三角形，然后画出得到的平行四边形．
6．已知：如图，在 ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且DF＝BE，分别连接AE、EC、CF、AF．求证：四边形AECF是平行四边形．
【点拨】想办法证明OA＝OC，OE＝OF即可解决问题．
【解析】证明：如图，连接AC交BD于O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵DF＝BE，
∴DE＝BF，
∴OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，F为AB上一点，DF与AC交于点E，DE＝FE．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）若，BC＝6CE＝12，BC⊥AC，求BF的长．
【点拨】（1）由AB∥CD，得∠EDC＝∠EFA，∠ECD＝∠EAF，而DE＝FE，可根据“AAS”证明△ECD≌△EAF，得CD＝AF，即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFCD是平行四边形；
（2）由BC＝6CE＝12，得CE＝2，由平行四边形的性质得AE＝CE＝2，AF＝CD＝2，所以AC＝4，由勾股定理求得AB＝＝4，则BF＝AB﹣AF＝2．
【解析】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠EDC＝∠EFA，∠ECD＝∠EAF，
在△ECD和△EAF中，
，
∴△ECD≌△EAF（AAS），
∴CD＝AF，
∵CD∥AF，CD＝AF，
∴四边形AFCD是平行四边形．
（2）解：∵BC＝6CE＝12，
∴CE＝2，
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴AE＝CE＝2，AF＝CD＝2，
∴AC＝2AE＝4，
∵BC⊥AC，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝4，
∴BF＝AB﹣AF＝4﹣2＝2，
∴BF的长是2．
【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△ECD≌△EAF是解题的关键．
8．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F为BD上两点，连接AE，AF，CE，CF，且BF＝DE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AB⊥AC，CD＝4，AC＝6，E，F为BD的三等分点，求OE的长度．
【点拨】（1）根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，由BF＝DE，利用线段的和差得OE＝OF，再利用平行四边形的判定即可解决问题；
（2）利用勾股定理求出OB＝5，然后根据E，F为BD的三等分点，求出BE，进而可得OE．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，OA＝OC＝3，
∵AB⊥AC，
∴OB＝＝＝5，
∴BD＝2OB＝10，
∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，
∴BE＝DF，
∵E，F为BD的三等分点，
∴BE＝DF＝EF＝BD＝，
∴OE＝EF＝．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
9．如图，在 ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E．
（1）若AD＝12，AB＝8，求CF的长；
（2）连接BE和AF相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．
【点拨】（1）由平行线的性质得出∠DAF＝∠AFB，由已知得出∠BAF＝∠DAF，得出∠AFB＝∠BAF，证出BF＝AB＝8，即可得出答案；
（2）证出四边形AFCE是平行四边形，再证明四边形BFDE是平行四边形，得出BE∥DF，得出四边形EGFH是平行四边形，即可得出EF和GH互相平分．
【解析】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝12，∠BAD＝∠BCD，∠ABF＝∠CDE，AB＝CD，
∴∠DAF＝∠AFB，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠AFB＝∠BAF，
∴BF＝AB＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝12﹣8＝4；
（2）证明：∵∠BAD＝∠BCD，AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠FCE＝∠DCE，
∵∠DAF＝∠AFB，
∴∠FCE＝∠AFB，
∴AF∥CE，
ABCD中，AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE＝CF，
∴DE＝BF，
∵AD∥BC，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE∥DF，
∵AF∥CE，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EF和GH互相平分．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
能力提升
10．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【点拨】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【解析】解：∵只有③④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带③④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．
11．如图，在 ABCD中，要在对角线BD上找两点E、F，使A、E、C、F四点构成平行四边形，现有①，②，③，④四种方案，①只需要满足BE＝DF；②只需要满足AE⊥BD，CF⊥BD；③只需要满足AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD，④只需要满足AE＝CF．则对四种方案判断正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【点拨】只要证明△ABE≌△CDF，即可解决问题．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABE＝∠CDF，
①在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，故①正确；
②∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，故②正确；
③∵AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，故③正确；
④由AE＝CF，不能证明△ABE≌△CDF，不能判定四边形AECF为平行四边形，故④不正确；
判断正确的是①②③，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键．
12．如图，点P是 ABCD内的一点，过点P作直线EF、GH分别平行于AB、BC，与 ABCD的边分别交于G、F、H、E．则图中平行四边形的个数为（　　）
A．4个 B．5个 C．8个 D．9个
【点拨】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥AB，GH∥BC，
∴EF∥CD，GH∥AD，
∴四边形ABCD、ABFE、EFCD、AGHD、GBCH、AGPE、GBFP、EPHD、PFCH是平行四边形，
∴图中共有9个平行四边形．
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质，掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点E，F，D分别在边AC，BC，AB上，EF∥AB，DF∥AC，则四边形AEFD的周长是（　　）
A．10 B．15 C．18 D．20
【点拨】根据平行四边形的判定得出四边形ADFE是平行四边形，进而利用平行四边形的性质解答即可．
【解析】解：∵EF∥AB，DF∥AC，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AD＝EF，DF＝AE，
∵DF∥AC，
∴∠DFB＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DFB，
∴DB＝DF，
同理可得，EF＝EC，
∴四边形AEFD的周长＝AD+DF+EF+AE＝AD+DB+EC+AE＝AB+AC＝5+5＝10，
故选：A．
【点睛】此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的判定得出四边形ADFE是平行四边形解答．
14．如图，将一条宽度为1和一条宽度为2的两条纸条叠放在一起，使得∠ABC＝60°则四边形ABCD的面积为 　　．
【点拨】证四边形ABCD是平行四边形，过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AB于F，则CF＝1，AE＝2，再证2BC＝AB，然后由勾股定理求出BC＝，即可解决问题．
【解析】解：由题意得：AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AB于F，则CF＝1，AE＝2，
∵S平行四边形ABCD＝BC AE＝AB CF，
∴2BC＝AB，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴AB＝2BE，
∴BE＝BC，点E与C重合，
∴AB2﹣BC2＝AE2，
即（2BC）2﹣BC2＝22，
解得：BC＝（负值已舍去），
∴S平行四边形ABCD＝BC AE＝×2＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
15．已知：如图，在 ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．若AD＝10，AB＝6，AE＝4，则DF的长为　8　．
【点拨】如图，过点C作CK∥AE交AD于K．证明CF＝CD，CI⊥DF，推出DI＝IF，再证明IK＝IC＝2，利用勾股定理求出DI即可解决问题．
【解析】解：如图，过点C作CK∥AE交AD于K．
在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°．AB＝CD＝6，
∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．
∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．
∴∠AGD＝90°．
∵AK∥EC，AE∥CK，
∴四边形AECK是平行四边形，∠AGD＝∠KID＝90°，
∴AE＝CK＝4，
∵∠KDI+∠DKI＝90°，∠CDI+∠DCI＝90°，∠IDK＝∠IDC，
∴∠DKI＝∠DCI，
∴DK＝DC，
∴KI＝CI＝2，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
∵CI⊥DF，
∴FI＝DI，
∵DI＝＝＝4，
∴DF＝2DI＝8，
∴故答案为8．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、解直角三角形等知识，解题时，一定要数形结合，便于求得相关线段间的数量关系．
16.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AB∥CD；②AD∥BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有　6　种．
【点拨】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
根据平行四边形的判定进行逐一验证即可．
【解析】解：任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有①②；③④；①③；①④；②③；②④．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
17.已知一个四边形的边长分别是a，b，c，d，其中a，c为对边，且a2+b2+c2+d2＝2ac+2bd，则此四边形为　平行　四边形．
【点拨】根据题中的等式关系，可知四边形的边的关系，再根据平行四边形的判定，可知四边形是平行四边形．
【解析】解：由a2+b2+c2+d2＝2ac+2bd，可整理为（a﹣c）2+（b﹣d）2＝0，即a＝c，b＝d．则这个四边形一定是平行四边形．
故答案为：平行．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，求出a＝c，b＝d，是关键，灵活应用了非负数的性质．
18.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形；
（3）若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
【点拨】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，根据平行线的性质得出∠DAE＝∠AEB，根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠DAE，证明∠BAE＝∠AEB，得出BE＝AB，即可证明结论；
（2）证明△ADF≌△ECF（ASA），得出DF＝CF，根据AF＝EF，即可证明结论；
（3）证明△ABE是等边三角形，得出AB＝AE＝4，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明△ADF≌△ECF，根据平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积求出结果即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD；
（2）证明：由（1）知BE＝AB，
∵BF平分∠ABE，
∴AF＝EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形；
（3）解：由（1）知BE＝AB，
又∵∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝4，
∵BF⊥AE，
∴，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，，
∵∠DAE＝∠AEB，AF＝EF，∠AFD＝∠CFE，
∴△ADF≌△ECF，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
19.如图，△ABC和△BEF都是等边三角形，点D在BC边上，点F在AB边上，且∠EAD＝60°，连接ED、CF．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．
【点拨】（1）欲证明△ABE≌△ACD只要证明∠EAB＝∠CAD，AB＝AC，∠EBA＝∠ACD即可．
（2）欲证明四边形EFCD是平行四边形，只要证明EF∥CD，EF＝CD即可．
【解析】证明：（1）∵△ABC和△BEF都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠EBF＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵∠EAD＝60°，
∴∠EAD＝∠BAC，
∴∠EAB＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD．
（2）由（1）得△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD，
∵△BEF、△ABC是等边三角形，
∴BE＝EF，
∴∠EFB＝∠ABC＝60°，
∴EF∥CD，
∴BE＝EF＝CD，
∴EF＝CD，且EF∥CD，
∴四边形EFCD是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活应用平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．
20.如图，在 ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，BE、DF分别交AC于点G、H，连接DG、BH．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）四边形GBHD是平行四边形吗？请说明理由；
【点拨】（1）由平行四边形的性质得到AD＝BC，DE∥BF，由E、F分别是AD、BC的中点得到DE＝BF，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，BE∥DF，推出∠DAH＝∠BCG，∠AHD＝∠CGB，证得△ADH≌△CBG，得到DH＝BG，即可得出结论；
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，DE∥BF，
∵E、F分别是AD、BC中点，
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形；
（2）解：∵四边形EBFD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，BE∥DF，
∴∠DAH＝∠BCG，∠AHD＝∠CGB，
在△ADH与△CBG中，，
∴△ADH≌△CBG（AAS），
∴DH＝BG，
∵DH∥BG，
∴四边形GBHD是平行四边形；
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质证明三角形全等是解题的关键．
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21．在四边形ABCD中，AD＝6cm，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 　s或4s　时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【点拨】分两种情形，由平行四边形的判定列出方程，即可解决问题．
【解析】解：分两种情况：
①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，
解得：t＝；
②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，
解得：t＝4，
综上所述，t＝s或4s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：s或4s．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
22．在平面直角坐标系中，A（2，﹣1），B（﹣2，2），C（m，m+1），D在x轴上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 　（6，0）或（0，0）或（﹣8，0）　．
【点拨】需要以已知线段AB为边和对角线分类讨论，利用平行四边形的对角线交点也是对角线的中点和两点坐标求中点坐标的知识点，从而求出点D坐标．
【解析】解：设D（n，0），
∵A（2，﹣1），B（﹣2，2），C（m，m+1），
∴以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形可得：
①若四边形ABCD为平行四边形，
对角线中点坐标为：（，）或（，），
∴，
解得，
∴D（6，0），
②若四边形ADBC为平行四边形，
对角线中点坐标为：（，）或（，），
∴，
解得，
∴D（0，0），
③若四边形ABDC为平行四边形，
对角线中点坐标为：（，）或（，），
∴，
解得，
∴D（﹣8，0），
故答案为：（6，0）或（0，0）或（﹣8，0）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，以AB为边和对角线进行分类是本题的关键点所在．
23．下面三个图分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图．已知甲的路线为A→C→B，路线长度和为S1；乙的路线为A→D→E→F→B（其中E为AB的中点），路线长度和为S2；丙的路线为A→I→J→K→B（其中AJ＞JB），路线长度和为S3．三人行进路线长度和S1、S2、S3的大小关系为　S1＝S2＝S3　．
【点拨】延长AD，BF交于点G，延长AI，BK交于点H，依据四边形DEFG是平行四边形，即可得出EF＝DG，DE＝FG，同理可得IJ＝HK，JK＝IH，进而得出S1、S2、S3的大小关系．
【解析】解：如图所示，延长AD，BF交于点G，延长AI，BK交于点H，
依据ASA可知，△ABC≌△ABG≌△ABH，
∴AC＝AG＝AH，BC＝BG＝BH，
∵∠A＝∠BEF＝50°，∠AED＝∠B＝60°，
∴DG∥EF，DE∥GF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴EF＝DG，DE＝FG，
同理可得IJ＝HK，JK＝IH，
∴S2＝AD+DE+EF+BF＝AD+FG+DG+BF＝AG+BG＝AC+BC，
S3＝AI+IJ+JK+BK＝AI+KH+IH+BK＝AH+BH＝AC+BC，
又∵S1＝AC+BC，
∴S1＝S2＝S3，
故答案为：S1＝S2＝S3．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，利用平行四边形对应边相等是解决问题的关键．
24．如图，有八个全等的三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ，连接EF、GH得到四边形EFGH，设S四边形ABCD＝S1，S四边形EFGH＝S2，S四边形MNPQ＝S3，若S1+S2+S3＝10，则S2＝　　．
【点拨】根据图形的特征设出四边形MNPQ的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．
【解析】解：将四边形MNPQ的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵S四边形ABCD＝S1，S四边形EFGH＝S2，S四边形MNPQ＝S3，若S1+S2+S3＝10，
∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝10，故3x+12y＝10，
∴x+4y＝
S2＝x+4y＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，图形面积关系，根据已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3＝10求出是解决问题的关键．
25.在△ABC中，AB＝AC，点P△ABC为所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F
（1）当点P在BC边上（如图1）时，请你探索线段PD，PE，PF，AB与之间的数量关系，并给出证明；
（2）当点P在△ABC内（如图2）时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，线段PD，PE，PF，AB与之间又有怎样的数量关系．
（3）当点P在△ABC外（如图3）时，线段PD，PE，PF，AB与之间又有怎样的数量关系．
【点拨】（1）先求出四边形PFAE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PF＝AE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠BPE＝∠C，然后求出∠B＝∠BPE，利用等角对等边求出PE＝BE，然后求解即可；
（2）根据等边对等角可得∠B＝∠C，再根据两直线平行，同位角相等可得∠B＝∠CDF，然后求出∠C＝∠CDF，再根据等角对等边可得CF＝PD+PF，然后求出四边形PFAE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得PE＝AF，然后求出PD+PE+PF＝AC，等量代换即可得证；
（3）证明思路同（2）．
【解析】（1）答：PD+PE+PF＝AB．
证明如下：∵点P在BC上，
∴PD＝0，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PFAE是平行四边形，
∴PF＝AE，
∵PE∥AC，
∴∠BPE＝∠C，
∴∠B＝∠BPE，
∴PE＝BE，
∴PE+PF＝BE+AE＝AB，
∵PD＝0，
∴PD+PE+PF＝AB；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵PF∥AB，
∴∠B＝∠CDF，
∴∠C＝∠CDF，
∴CF＝PD+PF，
∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PFAE是平行四边形，
∴PE＝AF，
∴PD+PE+PF＝AC，
∴PD+PE+PF＝AB；
（3）证明：同（2）可证DF＝CF，PE＝AF，
∵AF+CF＝AC，
∴PE+PF﹣PD＝AC，
∴PE+PF﹣PD＝AB．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记平行四边形的判定方法与性质，并准确识图理清图中边的关系是解题的关键，此类题目，关键在于后面小题与前面小题的求解思路相同．
26．如图，△ABC中AB＝AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；
（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论．
【点拨】（1）由题意得出BD＝CE，由平行线的性质得出∠DGB＝∠ACB，由等腰三角形的性质得出∠B＝∠ACB，得出∠B＝∠DGB，证出BD＝GD＝CE，即可得出结论；
（2））①点D在线段BA上时，由（1）得：BD＝GD＝CE，由等腰三角形的三线合一性质得出BM＝GM，由平行线得出GF＝CF，即可得出结论；
②点D在线段BA延长线上时，解法同①．
【解析】解：（1）四边形CDGE是平行四边形．理由如下：
作DG∥AE交BC于G，如图1所示：
∵D、E移动的速度相同，
∴BD＝CE，
∵DG∥AE，
∴∠DGB＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠DGB，
∴BD＝GD＝CE，
又∵DG∥CE，
∴四边形CDGE是平行四边形；
（2）①点D在线段BA上时，BM+CF＝MF；理由如下：
作DG∥AE交BC于G，如图2所示：
由（1）得：BD＝GD＝CE，
∵DM⊥BC，
∴BM＝GM，
∵DG∥AE，
∴GF＝CF，
∴BM+CF＝GM+GF＝MF；
②点D在线段BA延长线上时，MF+CF＝BM；理由如下：
作DG∥AE交BC于G，如图3所示：
由（1）得：BD＝GD＝CE，
∵DM⊥BC，
∴BM＝GM，
∵DG∥AE，
∴GF＝CF，
∴MF+CF＝MF+GF＝GM＝BM．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
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