4.5三角形的中位线-2023-2024学年浙教版八年级下 同步分层作业（含解析）

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4.5三角形的中位线 同步分层作业
基础过关
1．如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N．若MN的长为18米，则A，B间的距离是（　　）
A．9米 B．18米 C．27米 D．36米
2．如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
3．已知点D，E分别是△ABC两边AB，AC的中点，如果AB＝3，BC＝5，CA＝4，那么△ADE的周长是　　．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，CF//AB交DE的延长线于点F．
（1）求证：FC＝DB；
（2）若AC＝8，CF＝5．求BC的长．
5．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，线段EF与DG之间有什么关系？为什么？
6．如图，在△ABC中，点E，F分别为AC，BC的中点，点D为BC上一点，连结AD交EF于点G，已知AE＝EG．
（1）求证：∠CAD＝∠BAD；
（2）已知DG＝DF，若∠B＝32°，求∠C的度数．
能力提升
7．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（　　）
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
8．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝10，CD＝6，EF＝4，∠AFE＝52°，则∠ADC的度数为（　　）
A．140° B．142° C．150° D．152°
9．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③∠APB的大小；④直线MN，AB之间的距离．其中会随点P的移动而不改变的是（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
10．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，点G是BC上一点，连接DE、DG，GE，点F是DE的中点，连接GF，若DG⊥EG，GF＝3，则BC的长为（　　）
A．6 B．16 C．18 D．12
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，连结CD，过点E作EF∥DC交BC的延长线于点F．
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形．
（2）若四边形CDEF的周长是18，AC的长为12，求线段AB的长度．
12.在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，点E、F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE，DF、AE，EF，DE与AF交于点O．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）若AB＝4，BC＝6．请直接写出DE的长为 ．
13.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E、F分别为边BC、AC的中点．
（1）求证：DF＝BE；
（2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：AG＝DG．
14.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．
培优拔尖
15．已知，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，E为BC中点，连结DE，DE＝1，则AD的值为（　　）
A． B． C． D．
16．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于（　　）
A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7
17．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边AB、BC上，且AD＝CE＝3，M、N分别为线段DE、AC的中点，则线段MN的长为（　　）
A．1.5 B．3 C． D．3
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，CD＝7，E、F分别是AD、BC的中点，若EF的长恰为整数，则EF的长可以是（　　）
A．2，3，4 B．3，4 C．3，4，5 D．2，3，4，5
19．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点，AD＝2，BC＝4，则EF的取值范围是　　．
20.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是AB，BC边上的动点，连接DE，M，N分别是CE，DE的中点，若AC＝6，AB＝10，则MN的最小值为 　　．
21.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝BD，M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点，Q是MN的中点．
（1）求证：PQ⊥MN；
（2）判定△OEF的形状．
22．（1）如图所示，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么？
即：FG＝（AB+BC+AC）
（直接写出结果即可）
（2）如图，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与△ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：线段FG与△ABC三边之间数量关系是 　．
23．如图，已知AD与BC相交于E，∠1＝∠2＝∠3，BD＝CD，∠ADB＝90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．
（1）求证：CD∥AB；
（2）求证：△BDE≌△ACE；
（3）若O为AB中点，求证：OF＝BE．
24．在△ABC中，AC＞BC，D为AB的中点，E为线段AC上的一点．
（1）如图1，若AE＝AC，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，求DE的长；
（2）如图2，若AE＝BC且F为EC中点，求证：∠AFD＝∠C；
（3）若2∠AED﹣∠C＝180°，试探究AE、BC、AC的数量关系，并证明．
25．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不必证明）
（温馨提示：在图（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE．HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME＝∠CNE）
（1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF，分别交CD．BA于点M．N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．
（2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD形状并证明．
答案与解析
基础过关
1．如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N．若MN的长为18米，则A，B间的距离是（　　）
A．9米 B．18米 C．27米 D．36米
【点拨】根据三角形中位线定理计算即可．
【解析】解：∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴AB＝2MN，
∵MN＝18米，
∴AB＝36米，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
2．如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【点拨】延长AF交BC于H，由三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC＝6，AF＝FH，再证△BFA≌△BFH（AAS），得BH＝AB＝8，然后由三角形中位线定理得DF＝4，求解即可．
【解析】解：连接AF并延长交BC于H，如图所示：
∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC＝6，AF＝FH，
在△BFA和△BFH中，
，
∴△BFA≌△BFH（AAS），
∴BH＝AB＝8，
∵AD＝DB，AF＝FH，
∴DF是△ABH的中位线，
∴DF＝BH＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故选：C．
解法二：
∵DE是△ABC的中位线，AB＝8，BC＝12，
∴BD＝AB＝4，DE∥BC，DE＝BC＝6，
∴∠DFB＝∠CBF，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠DBF＝∠CBF，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DF＝BD＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝6﹣4＝2，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．已知点D，E分别是△ABC两边AB，AC的中点，如果AB＝3，BC＝5，CA＝4，那么△ADE的周长是　6　．
【点拨】由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得到△ABC的周长是△ADE周长的2倍，进而根据已知可求解．
【解析】解：∵点D，E分别是△ABC两边AB，AC的中点，
∴△ABC的周长是△ADE周长的2倍．
又∵AB＝3，BC＝5，CA＝4，
∴△ADE的周长是（3+4+5）＝6．
故答案为6．
【点睛】解决本题的关键是利用中点定义和中位线定理得到新三角形各边长与原三角形各边长的数量关系．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，CF//AB交DE的延长线于点F．
（1）求证：FC＝DB；
（2）若AC＝8，CF＝5．求BC的长．
【点拨】（1）证明△FEC≌△DEB，根据全等三角形的性质证明；
（2）由（1）求出BD，进而求出AB，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解析】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠F＝∠ECD，
在△FEC和△DEB中，
，
∴△FEC≌△DEB（AAS），
∴FC＝DB；
（2）解：由（1）可知：BD＝CF＝5，
∵D是AB的中点，
∴AB＝2BD＝10，
由勾股定理得：BC＝＝＝6．
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
5．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，线段EF与DG之间有什么关系？为什么？
【点拨】连接OA，根据三角形中位线定理解答．
【解析】解：EF＝DG，EF∥DG，
理由如下：连接OA，
∵F、E分别是OB、AB的中点，
∴EF＝OA，EF∥OA，
同理，DG＝OA，DG∥OA，
∴EF＝DG，EF∥DG．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
6．如图，在△ABC中，点E，F分别为AC，BC的中点，点D为BC上一点，连结AD交EF于点G，已知AE＝EG．
（1）求证：∠CAD＝∠BAD；
（2）已知DG＝DF，若∠B＝32°，求∠C的度数．
【点拨】（1）根据三角形中位线定理得出EF∥AB，进而利用平行线的性质和等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据平行线的性质和三角形的外角性质得出∠C即可．
【解析】（1）证明：∵点E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，
∴∠EGA＝∠DAB，
∵AE＝EG，
∴∠EGA＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠BAD；
（2）解：∵EF∥AB，∠B＝32°，
∴∠DFG＝32°，
∵DG＝DF，
∴∠DGF＝32°，∠GDF＝180°﹣32°﹣32°＝116°，
∴∠EGA＝∠DGF＝32°，
∵AE＝EG，
∴∠EAG＝∠EGA＝32°，
∴∠C＝∠GDF﹣∠EAG＝116°﹣32°＝84°．
【点睛】此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形中位线定理得出EF∥AB解答．
能力提升
7．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（　　）
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
【点拨】先根据三角形中位线定理求出DE的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长即可得到答案．
【解析】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，
∴，D是AB的中点，
∵∠AFB＝90°，
∴，
∴EF＝DE﹣DF＝1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
8．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝10，CD＝6，EF＝4，∠AFE＝52°，则∠ADC的度数为（　　）
A．140° B．142° C．150° D．152°
【点拨】连接BD，根据三角形中位线定理得到BD＝8，EF∥BD，根据平行线的性质求出∠ADB，根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，计算即可．
【解析】解：如图，连接BD，
∵点E、F分别是边AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴BD＝2EF＝2×4＝8，EF∥BD，
∴∠ADB＝∠AFE，
∵∠AFE＝52°，
∴∠ADB＝52°，
在△BDC中，BD2+CD2＝82+62＝100，BC2＝102＝100，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝52°+90°＝142°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
9．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③∠APB的大小；④直线MN，AB之间的距离．其中会随点P的移动而不改变的是（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【点拨】根据三角形中位线定理判断即可．
【解析】解：∵点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN＝AB，MN∥AB，
∴线段MN的长不变，直线MN，AB之间的距离，故①④符合题意，
PA、PB的长随点P的运动而改变，∠APB的大小随点P的运动而改变，故②③不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
10．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，点G是BC上一点，连接DE、DG，GE，点F是DE的中点，连接GF，若DG⊥EG，GF＝3，则BC的长为（　　）
A．6 B．16 C．18 D．12
【点拨】由直角三角形三角形的性质求出DE＝6，由三角形中位线定理可得出答案．
【解析】解：∵DG⊥EG，
∴∠DGE＝90°，
∵F为DE的中点，
∴GF＝DE，
∵GF＝3，
∴DE＝6，
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∴BC＝12．
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，连结CD，过点E作EF∥DC交BC的延长线于点F．
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形．
（2）若四边形CDEF的周长是18，AC的长为12，求线段AB的长度．
【点拨】（1）由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE＝BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形；
（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB＝2DC，即可得出四边形DCFE的周长＝AB+BC，故BC＝18﹣AB，然后根据勾股定理即可求得．
【解析】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC．BC＝2DE，
又 EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形；
∴DC＝EF，
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB＝2DC，
∴四边形DCFE的周长＝AB+BC，
∵四边形DCFE的周长为18，AC的长12，
∴BC＝18﹣AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，即AB2＝（18﹣AB）2+122，
解得：AB＝13．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
12.在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，点E、F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE，DF、AE，EF，DE与AF交于点O．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）若AB＝4，BC＝6．请直接写出DE的长为 ．
【点拨】（1）结合已知条件推知四边形AEFD是平行四边形，在该平行四边形的两条对角线互相平分；
（2）根据勾股定理求得AC的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求DO的长度，即可求得DE的长．
【解析】（1）证明：∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EF＝AB，
又AB＝2AD，即AD＝AB，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝6，
由勾股定理得AC＝，
又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，
∴，
在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝2，OA＝，
∴由勾股定理得，
∴DE＝2DO＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
13.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E、F分别为边BC、AC的中点．
（1）求证：DF＝BE；
（2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：AG＝DG．
【点拨】（1）过点F作FH∥BC，交AB于点H，则四边形HAEF是平行四边形，有HF＝BE，证得AC是HD的中垂线后得到HF＝FD，故有FD＝BE；
（2）由于四边形DAEF是等腰梯形，有∠B＝∠D，而AG∥BC有∠B＝∠DAG，故有∠D＝∠DAG AG＝DG．
【解析】证明：（1）如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，
∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，
∴AH＝BH＝AB，EF∥AB．
∵AD＝AB，
∴AD＝AH．
∵CA⊥AB，
∴CA是DH的中垂线．
∴DF＝FH．
∵FH∥BC，EF∥AB，
∴四边形HFEB是平行四边形．
∴FH＝BE．
∴BE＝FD．
（2）由（1）知BE＝FD，
又∵EF∥AD，
∵EF＜BD，
∴四边形DBEF是等腰梯形．
∴∠B＝∠D．
∵AG∥BC，∠B＝∠DAG，
∴∠D＝∠DAG．
∴AG＝DG．
【点睛】本题利用了三角形的中位线的性质，中垂线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边对等角求解．
14.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．
【点拨】连接AC，取AC中点G，连接NG、MG，根据中位线定理证明MG∥BC，且GM＝BC，根据AD＝BC证明GM＝GN，可得∠GNM＝∠GMN，根据平行线性质可得：∠GMF＝∠F，∠GNM＝∠DEN从而得出∠DEN＝∠F．
【解析】证明：连接AC，取AC中点G，连接NG、MG．
∵N是CD的中点，G是AC的中点，
∴NG＝AD，
又∵M是AB的中点，
∴MG∥BC，且MG＝BC．
∵AD＝BC，
∴NG＝GM，
△GNM为等腰三角形，
∴∠GNM＝∠GMN，
∵GM∥BF，
∴∠GMF＝∠F，
∵GN∥AD，
∴∠GNM＝∠DEN，
∴∠DEN＝∠F．
【点睛】此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明△GNM为等腰三角形．
培优拔尖
15．已知，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，E为BC中点，连结DE，DE＝1，则AD的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】延长BD与AC相交于点F，过点B作BM⊥AC于M，根据等腰三角形的性质可得BD＝DF，用三角形的中位线定理可得CF＝2，确定AC的长，并计算BC的长，由面积法可得BM和BF的长，最后由面积法可得结论．
【解析】解：如图，延长BD与AC相交于点F，过点B作BM⊥AC于M，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADF＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAF，
∴∠ABD＝∠AFD，
∴AB＝AF＝3，
∴BD＝DF，
∵E为BC中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴CF＝2DE＝2，
∴AC＝3+2＝5，
由勾股定理得：BC＝＝4，
S△ABC＝×AB×BC＝×AC×BM，
∴×3×4＝×5×BM，
∴BM＝，
由勾股定理得：AM＝＝＝，
∴FM＝3﹣＝，
由勾股定理得：BF＝＝＝，
∵S△ABF＝×BF×AD＝×AF×BM，即××AD＝×3×，
∴AD＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，作辅助线构造出以DE为中位线的三角形是解题的关键．
16．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于（　　）
A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7
【点拨】连接DE，连接并延长EP交BC于点F，利用DE是△ABC中位线，求出FC＝BC，再用PQ是△EFC中位线，PQ＝CF，即可求得答案．
【解析】解：连接DE，连接并延长EP交BC于点F，
∵DE是△ABC中位线，
∴DE∥BC，
∴DE＝BC，AE＝BE，AD＝CD，
∴∠EDB＝∠DBF，
∵P、Q是BD、CE的中点，
∴DP＝BP，
∵在△DEP与△BFP中，
，
∴△DEP≌△BFP（ASA），
∴BF＝DE＝BC，P是EF中点，
∴FC＝BC，
PQ是△EFC中位线，
PQ＝FC，
∴PQ：BC＝1：4．
故选：A．
【点睛】此题考查学生对三角形中位线定理的理解与掌握，连接DE，连接并延长EP交BC于点F，求出△DEP≌△BFP，FC＝BC，是解答此题的关键．
17．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边AB、BC上，且AD＝CE＝3，M、N分别为线段DE、AC的中点，则线段MN的长为（　　）
A．1.5 B．3 C． D．3
【点拨】连接CD，取CD的中点H，连接MH、NH，根据三角形中位线定理得到MH＝CE＝，MH∥CE，证明∠MHN＝90°，根据勾股定理计算，得到答案．
【解析】解：连接CD，取CD的中点H，连接MH、NH，
∵M、H分别为DE、DC的中点，
∴MH是△EDC的中位线，
∴MH＝CE＝，MH∥CE，
∴∠DHM＝∠DCE，
同理可得：NH＝AD＝，NH∥AD，
∴∠CNH＝∠A，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，
∴∠MHN＝∠MHD+∠NHD＝∠DCE+∠A+∠ACD＝90°，
∴MN＝＝，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、三角形的外角性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，CD＝7，E、F分别是AD、BC的中点，若EF的长恰为整数，则EF的长可以是（　　）
A．2，3，4 B．3，4 C．3，4，5 D．2，3，4，5
【点拨】连接AF并延长至G，使得AF＝FG，连接CG、DG，证明△BAF≌△CGF，根据三角形三边关系，可得GD的范围，根据中位线的性质即可求解．
【解析】解：如图，连接AF并延长至G，使得AF＝FG，连接CG、DG，
∵F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△BAF与△CGF中，
，
∴△BAF≌△CGF（SAS），
∴AB＝CG，
∵AB＝3，CD＝7，
∴7﹣3＜DG＜7+3，
当∠ABC＝∠DCB＝90°时，G，D，C三点共线，
∴4＜DG≤10，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴EF＝DG，
∴EF长x的取值范围为：2＜x≤5．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，准确作出辅助线并灵活运用三角形三边关系，全等三角形的性质与判定是解题的关键．
19．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点，AD＝2，BC＝4，则EF的取值范围是　1≤EF＜3　．
【点拨】根据三角形中位线定理得出FG和EG长度，再根据三角形三边关系得出EF的取值即可．
【解析】解：设AB的中点为G，分别连接EG，FG，
∵F是BD的中点，
∴FG∥AD，且FG＝AD＝1，
∵E是BC的中点，
∴EG∥BC，且EG＝BC＝2，
△EFG中，根据三角形三边关系，
EG﹣GF＜EF＜EG+GF，
当E，F，G三点共线时，EF＝EG﹣GF＝1，
即：1≤EF＜3．
【点睛】此题考查的是三角形中位线的定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是AB，BC边上的动点，连接DE，M，N分别是CE，DE的中点，若AC＝6，AB＝10，则MN的最小值为 　2.4　．
【点拨】连接CD，由三角形中位线定理得到MN＝CD，当CD⊥AB时，CD最小，由勾股定理求出BC＝＝8，由△ABC的面积＝AB CD＝AC BC，得到10CD＝6×8，得到CD＝4.8，因此MN＝2.4，得到MN的最小值是2.4．
【解析】解：连接CD，
∵M、N分别是CE，DE的中点，
∴MN是△EDC的中位线，
∴MN＝CD，
∴当CD最小时，MN最小，
当CD⊥AB时，CD最小，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，
∴BC＝＝8，
∵△ABC的面积＝AB CD＝AC BC，
∴10CD＝6×8，
∴CD＝4.8，
∴MN＝2.4，
∴MN的最小值是2.4．
故答案为：2.4．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，三角形的面积，勾股定理，关键是清楚当CD⊥AB时，MN最小，由三角形的面积公式求出CD长，即可解决问题．
21.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝BD，M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点，Q是MN的中点．
（1）求证：PQ⊥MN；
（2）判定△OEF的形状．
【点拨】（1）连接PM，PN，由三角形中位线定理可证明△PMN是等腰三角形，再由等腰三角形的性质即可证明PQ⊥MN；
（2）△OEF的形状是等腰三角形，由（1）中的条件可证明∠PMN＝∠EFO，∠OEF＝∠FNP，又因为∠PMN＝∠PNM，所以∠EFO＝∠OEF，所以△OEF是等腰三角形．
【解析】（1）证明：
∵M，P分别是边AB，BC的中点，
∴AM＝BM，BP＝CP，
∴PM＝AC
∵DN＝CN，BP＝CP，
∴PN＝BD．
又∵AC＝BD，
∴PM＝PN，
∴P在MN的中垂线上，
∵MQ＝NQ，
∴PQ⊥MN；
（2）△OEF的形状是等腰三角形，
理由如下：
∵PM∥AC，
∴∠PMN＝∠EFO，
∵PN∥BD，
∴∠OEF＝∠FNP，
又∵∠PMN＝∠PNM，
∴∠EFO＝∠OEF，
∴△OEF的形状是等腰三角形．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用三角形中位线定理证明PM＝PN．
22．（1）如图所示，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F，G，连接FG，延长AF，AG，与直线BC分别交于点M、N，那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么？
即：FG＝（AB+BC+AC）
（直接写出结果即可）
（2）如图，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与△ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想即可．不需要证明．答：线段FG与△ABC三边之间数量关系是GF＝（AC+BC﹣AB）　．
【点拨】（1）延长AG交BC于N，延长AF交BC于M，根据AF⊥BD，AG⊥CE，求证Rt△AGC≌Rt△NGC，可得AC＝CN，AG＝NG，同理可证：AF＝FM，AB＝BM．然后得出GF是△AMN的中位线即可．
（2）根据GF是△AMN的中位线，利用AB+AC＝MB+CN＝BN+MN+CM+MN，BC＝BN+MN+CM，利用等量代换即可．
（3）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，即可求得GF＝（AC+BC﹣AB）
【解析】解：（1）结论：FG＝（AB+BC+AC）．
理由：如图，
在Rt△AGC和Rt△CGN中
∠AGC＝∠CGN＝90°，CG＝CG，∠ACG＝∠NCG
∴△AGC≌Rt△NGC
∴AC＝CN，AG＝NG
同理可证：AF＝FM，AB＝BM．
∴GF是△AMN的中位线
∴GF＝MN．
∵MN＝BM+BC+CN＝AB+BC+AC，
∴GF＝MN＝（AB+AC+BC）；
（2）答：FG＝（AB+AC﹣BC）；
证明：延长AG交BC于N，延长AF交BC于M．
∵AF⊥BD，AG⊥CE，
∴∠AGC＝∠CGN＝90°，∠AFB＝∠BFM＝90°
在Rt△AGC和Rt△CGN中
∠AGC＝∠CGN＝90°，CG＝CG，∠ACG＝∠NCG
∴△AGC≌Rt△NGC
∴AC＝CN，AG＝NG
同理可证：AF＝FM，AB＝BM．
∴GF是△AMN的中位线
∴GF＝MN．
∵AB+AC＝MB+CN＝BN+MN+CM+MN，BC＝BN+MN+CM
∴AB+AC﹣BC＝MN
∴GF＝MN＝（AB+AC﹣BC）；
（3）线段FG与△ABC三边之间数量关系是：GF＝（AC+BC﹣AB）．
理由：如图，延长AG交BC于N，延长AF交BC于M．
∵AF⊥BD，AG⊥CE．
∴∠AGC＝∠CGN＝90°，∠AFB＝∠BFM＝90°
在Rt△AGC和Rt△CGN中
∠AGC＝∠CGN＝90°，CG＝CG，∠ACG＝∠NCG
∴△AGC≌Rt△NGC
∴AC＝CN，AG＝NG
同理可证：AF＝FM，AB＝BM．
∴GF是△AMN的中位线
∴GF＝MN．
∵MN＝CM+CN＝BC﹣BM+AC＝BC﹣AB+AC，
∴GF＝（AC+BC﹣AB）．
【点睛】此题主要考查三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质等知识点，有一定的拔高难度，是一道典型的题目
23．如图，已知AD与BC相交于E，∠1＝∠2＝∠3，BD＝CD，∠ADB＝90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．
（1）求证：CD∥AB；
（2）求证：△BDE≌△ACE；
（3）若O为AB中点，求证：OF＝BE．
【点拨】（1）有BD＝CD，可得∠1＝∠BCD，那么就有∠2＝∠BCD，从而CD∥AB；
（2）由∠2＝∠3，可得BE＝AE，又因为CD∥AB，同样可知DE＝CE，根据SAS即可证出：△BDE≌△ACE；
（3）由于O是AB的中点，因此只需证得AF＝EF即可得出OF是△ABE的中位线，进而可得出OF＝BE．根据（2）的全等三角形，可得出∠ACE＝90°，因此可通过证CF是直角三角形ACE斜边上的中线，来得出AF＝EF．
【解析】证明：（1）∵BD＝CD，
∴∠BCD＝∠1；
∵∠1＝∠2，
∴∠BCD＝∠2；
∴CD∥AB．
（2）∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠3．
∵∠BCD＝∠2＝∠3，
∴BE＝AE．
且∠CDA＝∠BCD，
∴DE＝CE．
在△BDE和△ACE中，
∵．
∴△BDE≌△ACE（SAS）；
（3）∵△BDE≌△ACE，
∴∠4＝∠1，∠ACE＝∠BDE＝90°
∴∠ACH＝90°﹣∠BCH；
又∵CH⊥AB，
∴∠2＝90°﹣∠BCH；
∴∠ACH＝∠2＝∠1＝∠4，
∴AF＝CF；
∵∠AEC＝90°﹣∠4，∠ECF＝90°﹣∠ACH，
又∵∠ACH＝∠4，
∴∠AEC＝∠ECF；
∴CF＝EF；
∴EF＝AF；
∵O为AB中点，
∴OF为△ABE的中位线；
∴OF＝BE．
【点睛】本题利用了内错角相等，两直线平行，以及全等三角形的判定和性质，等角对等边，中位线的判定等知识．综合性强，难度较大．
24．在△ABC中，AC＞BC，D为AB的中点，E为线段AC上的一点．
（1）如图1，若AE＝AC，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，求DE的长；
（2）如图2，若AE＝BC且F为EC中点，求证：∠AFD＝∠C；
（3）若2∠AED﹣∠C＝180°，试探究AE、BC、AC的数量关系，并证明．
【点拨】（1）过点D作DG⊥AC交AC于G，因为D为AB的中点，所以E为AC的中点，则DG为△ACB的中位线，在△DGE中利用勾股定理即可求出DE的长；
（2）连接BE，取BE中点M，再连接MF、MD．因为F为EC中点，D为AB中点，所以 MF∥BC且MF＝BC/2，MD∥AE且MD＝AB，所以 MF＝MD，所以∠MED＝∠MDE，又因为MD∥AB，所以∠AFD＝∠MDE，因为∠MED＝∠MDE，所以∠AFD＝∠AFM，因为MF∥AC，所以∠AFM＝∠ACB，所以∠AFD＝∠ACB，即：∠AFD＝∠C；
（3）AC＝2AE+BC，在EC上截取EM＝AE，连接BM，作CH⊥BM，易证∠AED＝90°+∠MCH，由已知可得，得∠C＝2∠MCH，证△CHM≌△CHB，得BC＝MC，结论可得．
【解析】（1）证明：过点D作DG⊥AC交AC于G，（如图1）
∵D为AB的中点，
∴E为AC的中点，
∴DG为△ACB的中位线，
∴DG＝BC＝1，
∵AE＝AC，AC＝4，
∴AE＝1，
在Rt△DGE中，DE＝＝；
（2）证明：连接BE，取BE中点M，再连接MF、MD．（如图2）
∵F为EC中点，D为AB中点，
∴MF∥BC且MF＝BC，MD∥AB且MD＝AE，
∴MF＝MD，
∴∠MDF＝∠MFD，
又∵MD∥AE，
∴∠AFD＝∠MDF，
∴∠AFD＝∠AFM，
∵MF∥AC，
∴∠AFM＝∠ACB，
∴∠AFD＝∠ACB，
即：∠AFD＝∠C；
（3）答：AC＝2AE+BC，（如图3）
证明：在EC上截取EM＝AE，连接BM，作CH⊥BM，
∵AE＝EM，AD＝DB，
∴DE∥BM，
∴∠AED＝∠AMB＝∠MHC+∠MCH＝90°+∠MCH，
∵2∠AED﹣∠C＝180°，
∴∠AED＝90°+∠C，
∴∠MCH＝∠C
∴∠C＝2∠MCH，易证△CHM≌△CHB，
∴BC＝MC，
∴AC＝2AE+BC．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理和外角和定理，解题的关键是截取线段相等，各种全等三角形，题目的难度不小．
25．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不必证明）
（温馨提示：在图（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE．HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME＝∠CNE）
（1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF，分别交CD．BA于点M．N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．
（2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD形状并证明．
【点拨】（1）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状．
（2）利用平行线和中位线定理，可以证得三角形△FAG是等边三角形，再进一步确定∠FGD＝∠FDG＝30°，进而求出∠AGD＝90°，故△AGD的形状可证．
【解析】解：（1）取AC中点P，连接PF，PE，
可知PE＝，
PE∥AB，
∴∠PEF＝∠ANF，
同理PF＝，
PF∥CD，
∴∠PFE＝∠CME，
又PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF，
∴∠OMN＝∠ONM，
∴△OMN为等腰三角形．
（2）判断出△AGD是直角三角形．
证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，
∵F是AD的中点，
∴HF∥AB，HF＝AB，
同理，HE∥CD，HE＝CD，
∵AB＝CD
∴HF＝HE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∵∠EFC＝60°，
∴∠HEF＝60°，
∴∠HEF＝∠HFE＝60°，
∴△EHF是等边三角形，
∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，
∴△AGF是等边三角形．
∵AF＝FD，
∴GF＝FD，
∴∠FGD＝∠FDG＝30°
∴∠AGD＝90°
即△AGD是直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，解答此题的关键是作出三条辅助线，构造出和中位线定理相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．
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