4.6反证法-2023-2024学年浙教版八年级下 同步分层作业（含解析）

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4.6反证法 同步分层作业
基础过关
1．用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设（　　）
A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0
2．用反证法证明“a∥b，b∥c，则a∥c”时，第一步应先假设（　　）
A．a不平行于c B．b不平行于c C．a⊥c D．b⊥c
3．用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b．若∠A＜∠B，则a＜b．”第一步应假设（　　）
A．a＜b B．a＝b C．a≤b D．a≥b
4．用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设（　　）
A．a＜0 B．a≠0 C．a≥0 D．a≤0
5．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个
步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B＞90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C＞90°，即∠B+∠C＞180°
这四个步骤正确的顺序应是（　　）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
6．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．③假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．④则三角形的三个内角的和大于180°．这四个步骤正确的顺序是（　　）
A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③②①
7．用反证法证明：“在△ABC中，若AB＝AC，则∠C＜90°”，则应先假设 　　．
8．小明在用反证法解答“已知△ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°这道题时，写出了下面的四个推理步骤：
①又因为∠A＞0°，所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
②所以∠B＜90°；
③假设∠B≥90°；
④由AB＝AC，得∠B＝∠C，所以∠C≥90°；
请写出这四个步骤正确的顺序 　 　．
9．用反证法证明（填空）：
已知：如图，∠1，∠2是直线l1，l2被直线l3截得的内错角，l1与l2不平行．
求证：∠1≠∠2．
证明：假设∠1＝∠2，
那么l1　 　l2（ 　 　），这与 　 　相矛盾，所以 　 　不能成立，即所求证的命题∠1≠∠2正确．
10．在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册P94页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：
已知：如图1，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点O，O'．
求证：∠1＝∠2．
（1）完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：
证明：假设 　 　．
如图2，过点O作直线A'B'，使∠EOB′＝∠2．
∴A'B'∥CD（ 　 　），
又∵AB∥CD，且直线AB经过点O，
∴过点O存在两条直线AB、A'B'与直线CD平行，
这与基本事实矛盾，假设不成立，
∴∠1＝∠2．
（2）上述证明过程中提到的基本事实是 　 　．（填序号）
①两点确定一条直线；
②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行．
11．用反证法证明“a＜|a|”，求证：a必为负数．
证明：假设a不是负数，那么a是　 　或a是　 　．
（1）如果a是零，那么a＝|a|，这与题设矛盾，所以a不可能是零；
（2）如果a是　 　，那么a＝|a|，这与　 　矛盾，所以a不可能是　 　．
综合（1）和（2），知a不可能是　 　，也不可能是　 　．所以a必为负数．
题组B 能力提升练
12．牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题“三角形中不能两个直角”，应先假设（　　）
A．三角形中有一个内角是直角 B．三角形中有两个内角是直角
C．三角形中有三个内角是直角 D．三角形中不能有内角是直角
13．利用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（　　）
A．直角三角形的两个锐角都小于45° B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的两个锐角都大于45° D．直角三角形有一个锐角小于45°
14．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于60° B．有一个内角大于60°
C．每一个内角都小于60° D．每一个内角都大于60°
15．用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角．
题组C 培优拔尖练
16．设a，b，c是不全相等的任意整数，若x＝a2﹣bc，y＝b2﹣ac，z＝c2﹣ab．求证：x，y，z中至少有一个大于零．
17．有12位同学围成一圈，其中有些同学手中持有鲜花，鲜花总数为13束，他们进行分花游戏，每次分花按如下规则进行：其中一位手中至少持有两束鲜花的同学拿出两束鲜花分给与其相邻的左右两位同学，每人一束．试证：在持续进行这种分花游戏的过程中，一定会出现至少有7位同学手中持有鲜花的情况．
18．反证法的思想也时常体现在人们的日常交流中，下面是有关的一个例子：
妈妈：小华，听说邻居小芳全家这几天正在外地旅游．
小华：妈妈，不可能，我昨天和今天上午都还在学校碰到了她和她妈妈呢!
上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么？他是如何推断该命题的正确性的？在你的日常生活中也有类似的例子吗？请举一至两个例子．
答案与解析
基础过关
1．用反证法证明“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0”时，第一步应假设（　　）
A．a＝0，b＝0 B．a≠0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a＝0，b≠0
【点拨】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
【解析】解：“若ab＝0，则a，b中至少有一个为0．”第一步应假设：a≠0，b≠0．
故选：B．
【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
2．用反证法证明“a∥b，b∥c，则a∥c”时，第一步应先假设（　　）
A．a不平行于c B．b不平行于c C．a⊥c D．b⊥c
【点拨】用反证法解题时，要假设结论不成立，即假设a与c不平行（或a与c相交）
【解析】解：原命题“在同一平面内，a∥b，b∥c，则a∥c”，
用反证法时应假设结论不成立，
即假设a与c不平行（或a与c相交）．
故选：A．
【点睛】此题考查了反证法证明的步骤：（1）假设原命题结论不成立；（2）根据假设进行推理，得出矛盾，说明假设不成立；（3）原命题正确．
3．用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b．若∠A＜∠B，则a＜b．”第一步应假设（　　）
A．a＜b B．a＝b C．a≤b D．a≥b
【点拨】根据反证法的步骤，直接选择即可．
【解析】解：根据反证法的步骤，得：
第一步应假设a＜b不成立，即a≥b．
故选：D．
【点睛】本题考查了反证法，熟知反证法的步骤是解答本题的关键．
4．用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设（　　）
A．a＜0 B．a≠0 C．a≥0 D．a≤0
【点拨】用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
【解析】解：用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设a≤0，
故选：D．
【点睛】考查了反证法，反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．”
5．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个
步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B＞90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C＞90°，即∠B+∠C＞180°
这四个步骤正确的顺序应是（　　）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
【点拨】根据反证法的一般步骤判断即可．
【解析】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B＞90°，
2、由AB＝AC，得∠B＝∠C＞90°，即∠B+∠C＞180°，
3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
6．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．③假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．④则三角形的三个内角的和大于180°．这四个步骤正确的顺序是（　　）
A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③②①
【点拨】利用反证法的一般步骤判断即可．
【解析】解：证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，
假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°，
则三角形的三个内角的和大于180°，
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾，
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°，
所以这四个步骤正确的顺序是③④①②，
故选：C．
【点睛】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
7．用反证法证明：“在△ABC中，若AB＝AC，则∠C＜90°”，则应先假设 　∠C≥90°　．
【点拨】根据反证法证明命题的步骤求解即可．
【解析】解：由反证法的定义可知，假设需要否定结论，
所以先假设∠C≥90°
故答案为：∠C≥90°．
【点睛】本题考查了反证法的概念，牢记反证法先假设否定结论是解题的关键．
8．小明在用反证法解答“已知△ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°这道题时，写出了下面的四个推理步骤：
①又因为∠A＞0°，所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
②所以∠B＜90°；
③假设∠B≥90°；
④由AB＝AC，得∠B＝∠C，所以∠C≥90°；
请写出这四个步骤正确的顺序 　③④①②　．
【点拨】根据反证法的一般步骤解答即可．
【解析】解：假设∠B≥90°，
由AB＝AC，得∠B＝∠C，所以∠C≥90°，
又因为∠A＞0°，所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以∠B＜90°，
故这四个步骤正确的顺序是③④①②，
故答案为：③④①②．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
9．用反证法证明（填空）：
已知：如图，∠1，∠2是直线l1，l2被直线l3截得的内错角，l1与l2不平行．
求证：∠1≠∠2．
证明：假设∠1＝∠2，
那么l1　∥　l2（ 　内错角相等，两直线平行　），这与 　已知　相矛盾，所以 　假设　不能成立，即所求证的命题∠1≠∠2正确．
【点拨】直接利用平行线的判定方法结合反证法的一般步骤得出答案．
【解析】解：证明：假设∠1＝∠2，
那么l1∥l2（内错角相等，两直线平行），这与已知相矛盾，所以假设不能成立，即所求证的命题∠1≠∠2正确．
故答案为：∥；内错角相等，两直线平行；已知；假设．
【点睛】此题主要考查了反证法、平行线的判定，正确掌握反证法的一般步骤是解题关键．
10．在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质．在九年级上册P94页学习反证法时对这一性质进行了证明．请大家阅读下列证明过程并把它补充完整：
已知：如图1，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点O，O'．
求证：∠1＝∠2．
（1）完成下面证明过程（将答案填在相应的空上）：
证明：假设 　∠1≠∠2　．
如图2，过点O作直线A'B'，使∠EOB′＝∠2．
∴A'B'∥CD（ 　同位角相等，两直线平行　），
又∵AB∥CD，且直线AB经过点O，
∴过点O存在两条直线AB、A'B'与直线CD平行，
这与基本事实矛盾，假设不成立，
∴∠1＝∠2．
（2）上述证明过程中提到的基本事实是 　②　．（填序号）
①两点确定一条直线；
②过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【点拨】根据反证法的证明步骤分析即可．
【解析】解：（1）证明：假设∠1≠∠2．
如图2，过点O作直线A'B'，使∠EOB′＝∠2．
∴A'B'∥CD（同位角相等，两直线平行），
又∵AB∥CD，且直线AB经过点O，
∴过点O存在两条直线AB、A'B'与直线CD平行，
这与平行公理“过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，故假设不成立，
∴∠1＝∠2．
（2）上述证明过程中提到的基本事实是：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【点睛】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证结的相反的命题，再根据已知条件进行正面，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确．
11．用反证法证明“a＜|a|”，求证：a必为负数．
证明：假设a不是负数，那么a是　正数　或a是　零　．
（1）如果a是零，那么a＝|a|，这与题设矛盾，所以a不可能是零；
（2）如果a是　正数　，那么a＝|a|，这与　题设　矛盾，所以a不可能是　正数　．
综合（1）和（2），知a不可能是　正数　，也不可能是　零　．所以a必为负数．
【点拨】根据绝对值的性质、有理数的分类、反证法的一般步骤解答．
【解析】证明：假设a不是负数，那么a是正数或a是零．
（1）如果a是零，那么a＝|a|，这与题设矛盾，所以a不可能是零；
（2）如果a是正数，那么a＝|a|，这与题设矛盾，所以a不可能是正数．
综合（1）和（2），知a不可能是正数，也不可能是零．所以a必为负数．
故答案为：（1）正数；零；（2）正数；题设；正数；正数；零．
【点睛】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
题组B 能力提升练
12．牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题“三角形中不能两个直角”，应先假设（　　）
A．三角形中有一个内角是直角 B．三角形中有两个内角是直角
C．三角形中有三个内角是直角 D．三角形中不能有内角是直角
【点拨】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【解析】解：用反证法证明：“三角形中不能两个直角”时，
第一步先假设三角形中有两个内角是直角，
故选：B．
【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
13．利用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（　　）
A．直角三角形的两个锐角都小于45° B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的两个锐角都大于45° D．直角三角形有一个锐角小于45°
【点拨】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
【解析】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于45°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
14．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于60° B．有一个内角大于60°
C．每一个内角都小于60° D．每一个内角都大于60°
【点拨】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【解析】解：反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中每一个内角都小于60°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
15．用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角．
【点拨】用反证法证明；先设等腰三角形的底角是直角或钝角，然后得出假设与三角形内角和定理相矛盾，从而得出原结论成立．
【解析】证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C＝180°，
而∠A+∠B+∠C＝180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．
②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B+∠C＞180°，
而∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．
综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．
故等腰三角形两底角必为锐角
【点睛】本题考查的是反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
题组C 培优拔尖练
16．设a，b，c是不全相等的任意整数，若x＝a2﹣bc，y＝b2﹣ac，z＝c2﹣ab．求证：x，y，z中至少有一个大于零．
【点拨】“至少有一个”的反面是“一个都没有”，所以“x，y，z中至少有一个大于零”的反面是“x，y，z中没有一个大于零”，而这句话等价于“x≤0，y≤0，z≤0”．
【解析】证明：假设x≤0，y≤0，z≤0，
∵x＝a2﹣bc，y＝b2﹣ca，z＝c2﹣ab，
∴2（x+y+z）＝2a2﹣2bc+2b2﹣2ca+2c2﹣2ab＝（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ca+c2）＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≤0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（c﹣a）2≥0，
∴（a﹣b）2＝0，（b﹣c）2＝0，（c﹣a）2＝0，
∴a＝b，b＝c，c＝a，
∴a，b，c是不全相等的任意整数
故假设不成立，
∴x，y，z中至少有一个大于零．
【点睛】此题主要考查了反证法的应用，正确运用配方法是解题关键．
17．有12位同学围成一圈，其中有些同学手中持有鲜花，鲜花总数为13束，他们进行分花游戏，每次分花按如下规则进行：其中一位手中至少持有两束鲜花的同学拿出两束鲜花分给与其相邻的左右两位同学，每人一束．试证：在持续进行这种分花游戏的过程中，一定会出现至少有7位同学手中持有鲜花的情况．
【点拨】运用反证法，假设开始时手中持有鲜花的同学不足7位，这样存在两种情况，在分花游戏过程中，任何相邻的两位同学其中一位手中持有鲜花和任何一位同学不可能手中始终无花，进行讨论，得出矛盾，从而得出假设不成立，原命题正确．
【解析】证明：不妨假设开始时手中持有鲜花的同学不足7位．我们以A1、A2、A3、…A12按逆时针方向依次分别标记这12位同学．
（1）在分花游戏过程中，任何相邻的两位同学一旦其中一位手中持有鲜花，那么，在此后的每次分花之后，他们两人中始终至少有一人手中持有鲜花．事实上，每次分花，如果分花的同学不是这两位同学中的一位，那么，他们俩手中的鲜花只会增加，不会减少．如果他们俩中的一位是分花者，那么，分花后另一位同学一定持有鲜花．
（2）任何一位同学不可能手中始终无花，可用反证法证明这一点．不妨假设A1手中始终无花，这意味着A2始终没作为分花者，A2手中鲜花只能增加，不会减少．因总共只有13束鲜花，所以经过有限次分花之后，A2不再接受鲜花．这又意味着经过有限次分花之后，A3不再为分花者．同理可知，再经过有限次分花后，A4不再为分花者．依此类推，经有限次分花之后，全部12位同学无一人为分花者，活动终止．这就与13束鲜花分置于12位同学手中，无论何种情况总能找到与可能分花的同学的事实相矛盾．
由（1）、（2）可知，经若干次分花之后，可使任何相邻的两位同学中至少有一位同学手中有花，因此至少有6位同学手中有花．若仅有6位同学手中有花，则手中有花的同学不可能相邻，否则就会有两位手中无花的同学相邻．因此，只要再进行一次分花，至少增加一位手中持花的同学，即至少有7位同学手中持有鲜花．
【点睛】此题主要考查了反证法证明问题的方法，此题综合性较强，从两点分析任何相邻的两位同学其中一位手中持有鲜花和任何一位同学不可能手中始终无花，进行分析是解决问题的关键．
18．反证法的思想也时常体现在人们的日常交流中，下面是有关的一个例子：
妈妈：小华，听说邻居小芳全家这几天正在外地旅游．
小华：妈妈，不可能，我昨天和今天上午都还在学校碰到了她和她妈妈呢!
上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么？他是如何推断该命题的正确性的？在你的日常生活中也有类似的例子吗？请举一至两个例子．
【点拨】小华要告诉妈妈的命题是：小芳全家这几天正在外地旅游是不可能的．利用举反例说明即可．
【解析】解：小华要告诉妈妈的命题是：小芳全家这几天正在外地旅游是不可能的．
他是举反例说明的．
举例：妈妈：小华，听说小芳昨天去了上海．
小华：妈妈，不可能，我今天上午还在学校碰到了她呢!
【点睛】本题考查反证法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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