浙教版八下第四章平行四边形（含解析）

浙教版八下第四章平行四边形
一、单选题
1．下列四个选项中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB=CD，AC=BD B．∠A=∠B，∠B=∠C
C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，∠A=∠C
2．平行四边形中两个内角的度数比是1：3，则其中较小的内角是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，已知平行四边形ABCD的周长等于22cm，AC=8cm，则△ABC的周长是（　　）
A．11cm B．15cm C．16cm D．19cm
4．如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．BO=DO B．CD=AB C．∠BAD=∠BCD D．AC=BD
5．下列命题正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
6．如图，菱形ABCD中，对角线BD与AC交于点O， BD=8cm，AC=6cm，过点O作OH⊥CB于点H，则OH的长为（　　）
A．5cm B． cm C． cm D． cm
7．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，则图中的平行四边形的个数共有（　　）个．
A．12个 B．9个 C．5个 D．7个
8．如图，正方形ABCD的边长为3，点EF在正方形ABCD内若四边形AECF恰是菱形连结FB，DE，且AF2-FB2=3，则菱形AECF的边长为（　　）．
A． B． C．2 D．
9．如图，正方形的边长为，点在对角线上，且，，垂足为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1，D1E1E2B2，A2B2C2D2，D2E3E4B3，A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1，E1，E2，E3，E4，C3，…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（　　）
A．( )2014 B．( )2015 C．( )2015 D．( )2014
二、填空题
11．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，在的延长线上取点E，使，连接交于点F，若，则　 　．
12．图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为 ，则 的值为　 　.
13．如图， 两地被一座小山阻隔，为测量 两地之间的距离，在地面上选一点 ，连接 ，分别取 的中点 ，测得 的长度为 米，则 两地之间的距离是　 　米．
14．如图，在平行四边形 中， ， ．以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，射线 交 的延长线于点 ，则 的长是　 　．
15．如图， 的面积为 ， 、 分别是 ， 上的点，且 ， .连接 ， 交于点 ，连接 并延长交 于点 .则四边形 的面积为　 　.
三、解答题
16．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．
17．如图，四边形ABCD为矩形，E是BC延长线上一点，AE交CD于点G，F是AE上一点，并且AC=CF=EF，∠AEB=15°．
（1）求∠ACF的度数；
（2）证明：矩形ABCD为正方形．
18．如图，正方形ABCD中，E，F分别是边CD，DA上的点，且CE=DF，AE与BF交于点M．求证：AE⊥BF．
19．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，连接BE，DF．求证：BE＝DF．
20．李华同学读题后有一个想法，延长FE，AD交于点M，要证AE平分∠DAF，只需证△AMF是等腰三角形即可．请你参考李华的想法，完成此题的证明.
21．证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；
已知：如图，D、E分别是的边，中点．
求证：，．
下面是证明的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法一 证明：如图，延长至F，使，连接、、． 方法二 证明：如图，过E作交于F，过A作交于M．
22．在△ABC中，AD平分∠BAC．BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E．
（1）求证：AE=DE；
（2）若AB=8，求线段DE的长．
23．在 中， ，点 为 所在平面内一点，过点 分别作 交 于点 ， 交 于点 ，交 于点 .
若点 在 上（如图①），此时 ，可得结论： .
请应用上述信息解决下列问题：
当点 分别在 内（如图②）， 外（如图③）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， ， ， ，与 之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明.
24．综合与实践
问题情境：在综合实践课上，李老师让同学们根据如下问题情境，写出两个数学结论：如图1，正方形的对角线交于点O，点O又是正方形的一个顶点（正方形 的边长足够长），将正方形绕点O做旋转实验，与交于点M，与交于点N.如图1“求实小组”写出的两个数学结论是：① ； ②.
（1）问题解决：
请你证明“求实小组”所写的两个结论的正确性.
（2）类比探究：如图2
解决完“求实小组”的两个问题后，老师让同学们继续探究，再提出新的问题﹔如图2，将正方形在图1的基础上旋转一定的角度，当与的延长线交于点M， 与的延长线交于点N，则“求实小组”所写的两个结论是否仍然成立 请说明理由.
25．
（1）【问题情境】如图1，已知是正方形，是对角线上一点，求证：；请你完成证明．
（2）【深入探究】
如图2，在正方形中，点是对角线上一点，，，垂足分别为．，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
（3）如图3，延长，交于点，与交于点，为的中点，连接，则的形状为　 　．
（4）【拓展应用】
如图4，在正方形中，若，是上一点，过点作于，于．则最小值为　 　．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
A、AB=CD，AC=BD，不能证明四边形是平行四边形，故A错误；
B、∠A=∠B，∠B=∠C，不能证明四边形是平行四边形，故B错误；
C、AB=CD，AD∥BC，不能证明四边形是平行四边形，故C错误；
D、AB∥CD，则∠A+∠D=180°，由∠A=∠C，则∠C+∠D=180°，得到AD∥BC，能证明四边形是平行四边形，故D正确；
故选：D．
【分析】两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，据此逐一判断即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：设，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
解得：.
故答案为：B.
【分析】设∠A=3x，∠B=x，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠A+∠B=180°，据此求解.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ ABCD的周长是22cm，
∴AB＋BC＝11cm，
∵AC＝8cm，
∴△ABC的周长为AC＋（AB＋BC）＝8＋11＝19（cm），
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的周长等于两邻边和的2倍可得AB+BC=11cm，进而根据三角形周长的计算方法即可算出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD（平行四边形的对角线互相平分），正确，不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，正确，不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，正确，不符合题意；
D、根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AC=BD，错误，符合题意；
故选D．
【分析】根据平行四边形的性质（①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分）判断即可．
5．【答案】D
【解析】【分析】根据特殊四边形的判定方法进行判断．
对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．
【解答】A、应为对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；
B、应为对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项错误；
C、应为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；
D、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确．
故选D．
【点评】本题主要考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定等知识，解题时要注意判定方法的综合应用．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△BOC中，由勾股定理得，
∵OH⊥BC，
∴
∴
故答案为：C.
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，在直角三角形BOC中，用勾股定理可求得BC的长，由面积法可得关于OH的方程OB.OC=BC.OH可求解。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得：EF∥AD∥BC，GH∥AB∥CD，
则图中的四边形BEOH、HOFC、GOFD、AEOG、AEFD、EBCF、AGHB、GDCH和ABCD都是平行四边形，共9个；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质和判定定理解答即可．
8．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接AC、EF，
则AC垂直平分BD，也垂直平分EF，
∵AB=3，AC=
则OA=OB=，
AF2=OA2+OF2=OA2+(OA-FB)2，
AF2=+(-FB)2，
AF2=+-3FB+FB2，
AF2-FB2=9- 3FB=3，
3FB=6，
则FB=，
故答案为：A.
【分析】连接AC、EF，利用勾股定理先求出AC，则得OA和OB的长度，再根据已知条件 AF2-FB2=3 列式，求解FB即可。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD=4，∠ADB=45°，∠BDA=45°；
∵∠BAE=22.5°；
∴∠DAE=67.5°；
∴∠AED=67.5=∠DAE；
∴DE=AD=4；
∵，∠ABD=45°；
∴EF=BF
BD=；
BE=BD-DE=；
BE==；
EF=.
故答案为：A.
【分析】在正方形中对角线平分对角，又∠BAE=22.5°， ，所以可以确定△ADE和△BEF都是等腰三角形，通过勾股定理可以求的对角线的长度，线段相减可以的到BE的长度，在利用勾股定理即可求得EF的长度。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】利用正方形的性质及平行线的性质，可得D1E1=C1D1=，B2C2=，进而得出B3C3=，观察数据找到变化规律，即可求得答案.
11．【答案】3
【解析】【解答】解：过O作OM∥BC交CD于M，
∵在平行四边形ABCD中，，
∴BO＝DO，
∴CM＝DM=，
∵，
∴CE=CM，
∵OM∥BC，
∴CF是△EMO中位线，即；
故答案为：3．
【分析】
根据平行四边形对角线互相平分和三角形中位线定理求得，再根据中位线定理求得CF.
12．【答案】9
【解析】【解答】解：设直角三角形另一直角边为a，则 ，
故答案为：9.
【分析】设直角三角形另一直角边为a，则S1=(a+3)2-4××3a，S2=a2，据此解答.
13．【答案】650
【解析】【解答】解：连接AB．
由题意得AD=DC，BE=EC，
∴DE= AB，
∵DE=325米，
∴AB=650米．
故答案为650．
【分析】利用三角形中位线定理解决问题即可．
14．【答案】3
【解析】【解答】由作图可知：BH是∠ABC的角平分线，
∴∠ABG=∠GBC，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠AGB=∠GBC，
∴∠ABG=∠AGB，
∴AG=AB=4，
∴GD=AD=AG=7-4=3，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠H=∠ABH=∠AGB，
∵∠AGB=∠HGD，
∴∠H=∠HGD，
∴DH=GD=3，
故答案为：3.
【分析】根据角平分线的作图和平行四边形的性质以及等腰三角形的判定和性质解答即可．
15．【答案】
【解析】【解答】根据题意画出图形：
作DJ∥EC交AB于J，交AH于K作DG∥BC交AH于G.
∵DJ∥EC，AD=DC，
∴AJ=JE，AK=KF，
∴EF=2JK，DJ=2EF，CF=2DK，
设JK=m，则EF=2m，DJ=4m，DK=3m，CF=6m，
∴EF：CF=1：3，
∵AE= 2BE，
∴BE=EJ，
∵EF∥DJ，
∴BF=DF，
∵GD∥BH，
∴∠GDF=∠FBH，
∵∠GFD=∠HFB，BF=DF，
∴△DFG≌△BFH（ASA），
∴DG=BH，
∵DG∥CH，AD=DC，
∴AG=GH，
∴CH=2DG，
∴BH=2CH，
∵BE= AB，
∴S△BEC= S△ABC= ，
∵EG= EC，
∴S△BEF= S△BEC= ，S△BFC= ，
∵BH= BC，
∴S△BHF= × = ，
∴S四边形BEFH= + =
【分析】先画出图形，再作DJ∥EC交AB于J，交AH于K，作DG∥BC交AH于G.由题推出EF：FC=1：3，BH：CH=1：2，求出△BEF，△BFH的面积即可.
16．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF=BE，
又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF．
【解析】【分析】由平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB=CD，结合线段中点定义可得DF=BE，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形DEBF是平行四边形，然后由平行四边形的对边相等可求解．
17．【答案】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠DAG=∠AEB=15°，
∵CF=EF，
∴∠FCE=∠AEB=15°，
∴∠AFC=∠FCE+∠AEB=30°，
∵AC=CF，
∴∠FAC=∠AFC=30°，
∴∠ACF=18O°﹣∠FAC﹣∠AFC=120°；
（2）由（1）知∠DAG=15°，∠FAC=30°，
∴∠DAC=∠DAG+∠FAC=45°，
∵∠D=90°，
∴∠ACD=∠DAC=45°，
∴AD=CD，
∴矩形ABCD为正方形．
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可得∠DAG=∠AEB=15°，利用外角的性质和等腰三角形的性质可得∠AFC与∠CAF的度数，可得∠ACF；
（2）由∠DAG=15°，∠FAC=30°，易得∠DAC=45°，可得∠ACD=∠DAC=45°，由等腰三角形的判定可得AD=CD，由正方形的判定定理证得结论．
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ADE=90°，AD=AB=DC，∵DF=CE，∴AF=DE，∵在△ABF和△DAE中， ，∴△ABF≌△DAE（SAS）；∴∠AFB=∠DEA，∵∠D=90°，∴∠DEA+∠DAE=90°，∴∠AFB+∠DAE=90°，∴∠AMF=180°﹣90°=90°，∴AE⊥BF．
【解析】【分析】因为四边形ABCD是正方形，得到四个角都是直角，四条边都相等，从而得到△ABF≌△DAE，得到对应角相等，得到∠AMF=90°.
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
∴BE＝DF
【解析】【分析】利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
20．【答案】证明：延长AD，FE交于M．
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠MDE=∠FCE，∠EMD=∠EFC,
又E是CD的中点，∴DE= CE，
∴△EDM≌△ECF，
∴EM= EF，
又EF⊥AE，∴AF=AM，即△AMF是等腰三角形，
又AE⊥FM，∴AE平分∠DAF
【解析】【分析】根据题目提供的思路，延长FE作辅助线，构造出△AMF，然后利用平行四边形的性质及中点证明 △EDM≌△ECF ,得到E点是MF中点，再结合垂直的条件，从而确定△AMF为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可以得到AE为顶角平分线，即可证得结论。
21．【答案】解：方法一：延长DE至F，使，连接、、．
∵D、E分别是的边，中点，
∴，，
又∵，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴，，即，
∵，
∴，
∴；
方法二：过E作交于F，过A作交于M，
同理有：，，
∵，，
∴四边形AMFB是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，．
【解析】【分析】方法一：结合已给出的辅助线，先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形ADCF是平行四边形，得AD∥CF，AD=CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BDFC是平行四边形，得DF∥BC，DF=BC，从而问题得证；
方法二：首先用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证四边形AMFB是平行四边形，得AM=FB，AM∥FB，AB∥FM，再从AAS证明△AME≌△CFE，得AM=FC，EM=EF，最后用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AMED是平行四边形，得AM=ED，AM∥ED，从而问题得证.
22．【答案】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE∥AC，∴∠EAD=∠CAD，∠EDA=∠CAD，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=DE；（2）由（1）知，∠EAD=∠EDA．∵BD⊥AD，∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA∴∠EBD=∠BDE，∴DE=BE．又由（1）知，DE=BE，∴DE=AB=×8=4．
【解析】【分析】（1）欲证明AE=DE，只需推知∠EAD=∠EDA．
（2）证明DE为直角△ABD斜边的中线，即可解决问题．
23．【答案】解：当点 在 内时，上述结论 成立.
证明：∵ ， ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ， ，
∴ ；
当点 在 外时，上述结论不成立，此时数量关系为 .
证明：∵ ， ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ， ，
∴ .
【解析】【分析】当点 在 内时（如图②），通过FD∥AB与AB=AC可知，FD=FC.即PD+PF=FC.要想FC+PE=AB，根据等量代换，只需要知道PE=AF，PE=AF可通过证明四边形AEPF是平行四边形，用对边相等得到；
当点 在 外时（如图③），类似于①可知FD=FC；同样可通过证明四边形AEPF是平行四边形，得到对边PE=AF，此时FD=PF-PD，所以数量关系上类似于①但不同于①，只是FD=PF-PD的区别.
24．【答案】（1）解：①∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴
∴.
②∵
∴
∴
∴
在中，根据勾股定理得，CM2+CN2=MN2
在中，根据勾股定理得，
∵
∴
∴
∴；
（2）解：①∵四边形是正方形，
，
又
；
②成立，
连接
，
在中，根据勾股定理得，
在中，根据勾股定理得，，
【解析】【分析】（1）①利用ASA证明 ，即可得出BM=CN；②首先由BM=CN可证明CM=DN，故而 ，然后由勾股定理得： CM2+CN2=MN2 ，，进而得出CM2+CN2=OM2+ON2，再根据可得OM=ON。从而得出 ；（2）成立。①利用ASA证明 ，即可得出BM=CN；②连接 首先由BM=CN可证明CM=DN，故而，然后由勾股定理得： CM2+CN2=MN2 ，，进而得出CM2+CN2=OM2+ON2，再根据可得OM=ON，从而得出 ；
25．【答案】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：延长交于H，
∵，，四边形是正方形，
∴，，
∴，四边形是矩形，
∴四边形是正方形，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）直角三角形
（4）
【解析】【解答】 解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）在正方形中，GC∥AB，∴∠G=∠GBA，
由（1）得 ，∴∠PDA=∠GBA ，∠G=∠PDA，
在Rt△GDO中，∠GDO=∠GDH+∠ODH=90°，为的中点 ，
∴GH=OH=DH，∠G=∠GDH，∠PDA=∠GDH，
∴∠PDA+∠ODH=90°，∠PDH=90°，
∴的形状为直角三角形 ；
（4）∵四边形ABCD是正方形，PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠B=∠CNP=∠BNP=∠PMB=90°，∠PCN=45°，
∴∠CPN=∠PCN=45°，四边形PMNB是矩形，
∴MN= PB，当BP⊥AC时MN最小，
∵∠BAC=45°，
∴BP=AP，由勾股定理可得：2BP2=42，
解得：BP= ，
MN最小值为： 。
【分析】（1）根据四边形是正方形得到，且，所以即可得出；
（2）延长交于H，由，，四边形是正方形得，从而得出四边形是正方形进而证明出即可得出；
（3）根据四边形是正方形得到GC∥AB、∠G=∠GBA由（1）中得到∠PDA=∠GBA ，通过等量代换推出∠G=∠PDA，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以推出答案；
（4）四边形ABCD是正方形，PM⊥AB，PN⊥BC可推出四边形PMNB是矩形，根据点到直线的距离垂线段最短即可得到当BP⊥AC时MN最小计算即可。
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