初中数学浙教版八年级下册 第4章 平行四边形单元复习 含解析

平行四边形单元复习
一、选择题
1．垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案，下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．若一个多边形的内角和为1260°，则这个多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是（　　）
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．一组对边平行且相等
D．两组对边分别相等
4．如图，在△ABC 中，BC=4，D，E分别为AB，AC的中点，则 DE的长为（　　）
A． B． C．1 D．2
5．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板左上方所成的是，那么光线与纸板右下方所成的的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形中，，，，则的周长是（　　）
A．21 B．22 C．25 D．32
7．如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中点若AE=AD，DF=2，则BD的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
8．如图，在 ABCD中，AB⊥AC.若AB=8，AC=12，则BD的长是（　　）
A．14 B．16 C．18 D．20
9．如果平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是 （　　）
A．8 和14 B．10 和14 C．18 和20 D．10 和34
10．如图，在 ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°.若CE=3，DF=1，则 ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．用反证法证明命题：“若a，b是有理数，则 ab是有理数”时，应先假设　 　.
12．若从一个多边形的顶点出发可引出6条对角线，则这个多边形共有　 　条对角线.
13．如图，在 ABCD中，若AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为　 　.
14．如图，在 ABCD中，点F，E分别在边AD，BC上，若要使AE=CF，则需添加的条件是　 　(填一个即可).
15．如图，在 ABCD中，∠ABD=25°，现将 ABCD 折叠成如图所示的形状，使点B与点D 重合，EF 为折痕，点C的对应点为C′，则∠C'EF 的度数为　 　
16．如图，在 ABCD中，过点 B 作 BM⊥AC 于点E，交 CD于点 M，过点 D作 DN⊥AC 于点 F，交 AB于点 N，AF=12，EM=5.若 AD=15，则直线AB 与CD之间的距离为　 　.
三、解答题
17．小红在求一个凸n边形的内角和时，多算了一个角，求得的内角和为1920°.求多算进去的内角的度数及n的值.
18．如图，线段AC、BD相交于点O，AB∥CD，AB=CD．线段AC上的两点E、F关于点O中心对称．求证：BF=DE．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别为边AB，AC的中点，连结DE，BE，F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，连结FG，FH.
（1）求证：FG=FH，
（2）若∠A=90°，求证：FG⊥FH.
（3）若∠A=80°，求∠GFH的度数.
20．如图，在△ABC的边BC的同侧分别作等边三角形ABD，BCF和ACE.
（1）证明：△ABC≌△DBF.
（2）证明：四边形AEFD是平行四边形.
（3）若AB=3，AC=4，BC=5，则∠DFE的度数为　 　°.
21．如图，□ABCD的对角线 AC，BD 相交于点O，AB⊥AC，BC=5，点 P从点A 出发，沿 AD 以每秒1个单位的速度向终点 D 运动.连结PO并延长，交 BC 于点Q.设点 P 的运动时间为 t秒.
（1）求 BQ的长(用含 t的代数式表示).
（2）当四边形 ABQP 是平行四边形时，求t 的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意；
B、属于轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、属于轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、属于轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
2．【答案】D
【解析】【解答】解： 设这个多边形的边数为n，
（n-2）×180°= 1260° ，
解得：n=9.
故答案为：D.
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式建立方程并解之即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】A、两组对边分别平行的四边形是平行四边行，可以判定，A不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行，另一组对边相等的四边形不能判定，也可能是等腰梯形，B符合题意；
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边行，可以判定，C不符合题意；
D、一两组对边分别相等的四边形是平行四边行，可以判定，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ D，E分别为AB，AC的中点
∴DE为△ABC的中位线，
∴ DE=BC=2.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半可得答案.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠2=∠1= ；
故答案为：C.
【分析】先判定四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的对角相等即可求解.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，BD=14，AC=8，
∴BO=BD=7，OC=AC=4，
∴△BOC的周长为OB+OC+BC=7+4+10=21.
故答案为：A.
【分析】由平行四边形的性质可得BO=BD=7，OC=AC=4，然后根据周长的意义进行计算.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵D是AC的中点，F是CE中点，DF=2，
∴AE=2DF=4，
∵AE=AD，
∴AD=4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD=AD=4，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的中位线性质可知AE=2DF，从而得知AD=4，再根据直角三角形的中线性质，中线等于斜边的一半可得出答案.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AC=12，
∴OA=AC=6，
∵AB⊥AC，AB=8，
∴OB=，
∴BD=2OB=20.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，在直角三角形ABO中，用勾股定理求出OB的值，然后根据平行四边形的性质得BD=2OB可求解.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，作CE∥BD，交AB的延长线于点E，
∵AB=CD，DC∥AB
∴四边形BECD是平行四边形，
∴CE=BD，BE=CD=AB，
∴在△ACE中，AE=2AB=24＜AC+CE，
A、24>8+14，A错误.
B、24=10+14，B错误.
C、24<18+20，C符合.
D、24<10+34，D符合.
∴四个选项中只有C，D符合条件，但是10，34，24不符合三边关系，
故选：C．
【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形的三边关系.作CE∥BD，交AB的延长线于点E，根据平行四边形的性质得到△ACE中，AE=2AB=24，再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，因此可得：AE＜AC+CE，即AC+CE>24.逐个选项进行判断：A、24>8+14，A错误.B、24=10+14，B错误.C、24<18+20，C符合.D、24<10+34，D符合.但是10，34，24不符合三边关系：10+24=34，D选项排除.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：
四边形ABCD是平行四边形
同理：
又
在中，
又
．
故答案为： A．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，可求出BC的长，得出AD的长，因此根据求出AF的长.利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，代入平行四边形的面积公式：可求出面积.
11．【答案】ab是无理数
【解析】【解答】解：先假设结论ab是无理数.
故答案为：ab是无理数.
【分析】反证法证明时，应先假设结论的相反面成立.
12．【答案】27
【解析】【解答】解：由题意得多边形边数为6+3=9，
∴ 这个多边形的对角线共有×9×（9-3）=27.
故答案为：27.
【分析】n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，对角线的条数共有n（n-3）条，据此解答即可.
13．【答案】10
【解析】【解答】∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴EA=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，AD=BC=6，
∴△CDE的周长=CD+EC+DE=CD+EA+DE=CD+AD=4+6=10.
故答案为：10.
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得EA=EC，根据平行四边形的性质得CD=AB，AD=BC，然后根据三角形的周长等于三角形的三边之和可求解.
14．【答案】BE=DF(答案不唯一)
【解析】【解答】解：BE=DF；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AF =CE ，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE =CF .
故答案为：BE=DF.
【分析】根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”以及平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形AECF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可求解.
15．【答案】115°
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠ABD=∠CDB＝25°
∵翻折的原理
∴DF=BF，EF⊥BD， C'E ∥DF，∠FDB＝∠ABD＝25°
∴∠DFE=90°-25°=65°
∵C'E ∥DF，
∴∠ C'EF =180°-65°=115°
故答案为：115°.
【分析】根据平行四边形的性质，可得CD∥AB，由平行线的性质可得∠ABD=∠CDB；根据翻折的性质，可得DF=BF，EF⊥BD， C'E ∥DF，∠FDB＝∠ABD＝25°；最后根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠C'EF的度数.
16．【答案】
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，
∴∠AHD=90°，
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠BCE，
∵DN⊥AC，BM⊥AC，
∴∠AFD=∠CEB=90°，DN∥BM，
∴四边形DMBN是平行四边形，
∴DN=BM，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴DF=BE；
∴ME=NF=5，
在Rt△ADF中
，
∴DN=DF+NF=9+5=14，
在Rt△AFN中
；
∵
∴13DH=14×12
解之：，
∴直线AB 与CD之间的距离为.
故答案为：.
【分析】过点D作DH⊥AB于点H，利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AD=BC，AD∥BC，∠DAF=∠BCE，利用垂直的定义可得到∠AFD=∠CEB=90°，DN∥BM，由此可证得四边形DMBN是平行四边形，利用平行四边形的性质可推出DN=BM；利用AAS证明△ADF≌△CBE，可得到DF=BE；即可求出NF的长；利用勾股定理求出DF的长，据此可求出DN的长；再利用勾股定理求出AN的长；然后；利用△ADN的面积可求出DH的长，即可得到直线AB 与CD之间的距离.
17．【答案】解：由题意列不等式组：
，
解得：，
∵边长为正整数，
∴n=12，
∴多算进去的内角的度数=1920°-（12-2）×180°=120°.
【解析】【分析】根据题意可列关于n的不等式组，解不等式组求出n的范围，根据边长为正整数求得n的值，然后用1920减去原12边形的内角和即可求解.
18．【答案】【解答】证明：如图，连接AD、BC，∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，∵点E、F关于点O中心对称，∴OF=OE，在△BOF和△DOE中， ∴△BOF≌△DOE（SAS），∴BF=DE．
【解析】【分析】连接AD、BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分可得BO=DO，根据E、F关于点O中心对称可得OE=OF，然后利用“边角边”证明△BOF和△DOE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．
19．【答案】（1）证明：∵ D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE=BC，AD=DB=AB，AE=EC=AC，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
∵ F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，
∴FG=BD，FH=EC，
∴FG=FH；
（2）证明：∵ F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，
∴FG∥BD，FH∥EC，
∵∠A=90°，
∴FG⊥AC，
∴FG⊥FH；
（3）解：延长FG交AC于点K，
∵FG∥BD，∠A=80°，
∴∠FKC=∠A=80° ，
∵FH∥EC，
∴∠GFH=180°-∠FKC=100°.
【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理和线段中点的性质可求解；
（2）由三角形的中位线定理可得：FG∥BD，FH∥EC，结合已知∠A=90°可求解；
（3）延长FG交AC于点K，由平行线的性质可求得∠FKC=∠A的度数，然后根据两直线平行同旁内角互补可求解.
20．【答案】（1）证明：∵△ABD、△BCF是等边三角形，
∴AB=AD=BD，BC=CF=BF，∠CBF=∠ABD=60°，
∴∠CBA=∠FBD=60°-∠ABF，
在△ABC和△DBF中
∴△ABC≌△DBF（SAS）
（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DBF，
∴DF=AC，
∵△ACE是等边三角形，
∴AC=AE，
∴DF=AC=AE，
同理可得：EF=BA=AD，
∴ 四边形AEFD是平行四边形 ；
（3）150
【解析】【解答】解：（3）∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴BC2=AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∵△ABD、△ACE是等边三角形，
∴∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAE=360°-∠BAC-∠BAD-∠CAE=150°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠DFE=∠DAE=150°.
故答案为：150°.
【分析】（1）由等边三角形的性质用边角边可证得△ABC≌△DBF；
（2）根据全等三角形的性质可得DF=AC=AE，EF=BA=AD，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可求解；
（3）由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，然后根据周角的定义可求出∠DAE的度数，再根据平行四边形的对角相等可求解.
21．【答案】（1）解：∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC=5，BO=DO，AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
在△PDO和△QBO中
∴△PDO≌△QBO（ASA）
∴BQ=PD；
∵点 P从点A 出发，沿 AD 以每秒1个单位的速度向终点D运动，运动时间为t妙，
∴AP=t，
∴BQ=PD=AD-AP=5-t
（2）解：当四边形ABQP是平行四边形，
∴AP=BQ，
∴t=5-t，
解之：
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AD=BC=5，BO=DO，∠PDO=∠QBO，利用ASA可知△PDO≌△QBO，利用全等三角形的对应边相等，可证得BQ=PD；再利用点的运动方向和速度，可表示出AP，BQ的长.
（2）利用平行四边形的对边相等，可得到AP=BQ，由此可得到关于t的方程，解方程求出t的值.
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