初中数学浙教版八年级下册 第四章 平行四边形提高训练 含解析

八下第四章平行四边形提高训练
一、选择题
1．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成，其中黑皮的正五边形有12块，白皮的正六边形有20块．如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
3．在□ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：1，则∠D的度数为（　　）
A．67.5° B．90° C．112.5° D．120°
4．依据所标数据，下列四边形一定为平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，的周长为15，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中点若AE=AD，DF=2，则BD的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
7．如图，在 ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°.若CE=3，DF=1，则 ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A，C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，P为 ABCD内一点，过点P 分别作AB，AD的平行线，交平行四边形各边于 E，F，G，H 四点.若 S四边形AHPE=3，S四边形PFCG=5，则 （　　）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
10．如图在 ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG．则△BEG的面积为（　　）
A．16 B．14 C．8 D．7
二、填空题
11．若一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和为　 　°
12．如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则　 　cm．
13．如图，在四边形纸片ABCD中，∠B+∠D=n°，将∠A向内折出△EA'F，恰使EA'∥CD，FA'∥BC，则∠A的度数为　 　°.
14．如图，在 ABCD中，AC是对角线，∠ACD=90°，E 是BC的中点，AF平分∠BAC，连结CF，EF.若CF ⊥AF，AB=5，BC=13，则EF的长为　 　
15．如图，的三边长分别为，，，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形，，以此类推，第次组成的三角形的周长　 　 ．
16．如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是　 　．
三、解答题
17．如图，在ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上， 且AE=CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连结BD交AC于点O，若BD= 10，AE+CF=EF ，求EG的长．
18．如图，在ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM=DC，连结BM，CM，BP，PD．
（1）求证：△ADP≌△BCM；
（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值.
19．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，M为BC的中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.
（1）求证：BN平分∠ABE.
（2）连结DN，若BD=1，四边形DNBC为平行四边形，求线段BC的长.
20．在□ABCD 中，∠ABC = 45°，对角 线 AC ⊥CD.
（1）如图1，若 AD=6，求□ABCD的面积.
（2）如图2，连结 BD交 AC 于点O，过点 A 作AE⊥BD于点 E，连结 EC.求证：ED=AE+EC.
21．
（1）如图1，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=　 　°.
（2）若将图1中星形的一个角截去，如图2，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=　 　°.
（3）若再将图2中图形的角截去，如图3，则由(2)中所得的方法或规律，猜想∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠F+∠H+∠M+∠N=　 　°.
22．已知，点E是的中线上一动点，交于点F，连接．
（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：；
（2）如图2，当点E与点D不重合时，延长交于点G，交于点H．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②如图3，若的边，以为腰作等腰直角，连接，点M为的中点，当点E从点D运动到点A过程中，请直接写出点M的运动路径长．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐项判断即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵黑色是正五边形，
∴一块黑色皮块的内角和为(5-2)×180°=540°.
故答案为：C.
【分析】根据内角和公式(n-2)×180°进行计算.
3．【答案】D
【解析】【解答】解： 在□ABCD中，∠A+∠B=180°，∠D=∠B，
∵∠A：∠B=1：2，
∴∠B=180°×=120°，
∴∠D=∠B=120°.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可得∠A+∠B=180°，∠D=∠B，利用∠A：∠B=1：2求出∠B的度数即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，，A错误；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，B错误；
C、一组对边相等的四边形不能判断是平行四边形，C错误；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，D正确；
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】∵平行四边形的对角线，交于点，已知，，
∴BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，
∵的周长为15，
∴BC=15-（BO+CO）=15-（5+3）=7，
∴AD=BC=7，
故答案为：C.
【分析】先利用平行四边形的性质可得BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，再利用三角形的周长公式求出BC的长，最后利用平行四边形的性质可得AD=BC.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵D是AC的中点，F是CE中点，DF=2，
∴AE=2DF=4，
∵AE=AD，
∴AD=4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD=AD=4，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的中位线性质可知AE=2DF，从而得知AD=4，再根据直角三角形的中线性质，中线等于斜边的一半可得出答案.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：
四边形ABCD是平行四边形
同理：
又
在中，
又
．
故答案为： A．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，可求出BC的长，得出AD的长，因此根据求出AF的长.利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，代入平行四边形的面积公式：可求出面积.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，
∵直线x=1与直线x=4都垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC，
在△OAF和△BCD中
∴△OAF≌△BCD（ASA）
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=.
∵OE的值是定值，
∴当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE=5.
故答案为：C.
【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，易得OB=，根据四边形OABC是平行四边形可得OA=BC，由平行线的性质可得∠OAF=∠BCD，结合已知用角边角易证△OAF≌△BCD，由OE的值是定值即可得当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE可求解.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AB，GH∥AD，
∴EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，
∴四边形AEPH、四边形HPFB、四边形EPGD、四边形GPFC均为平行四边形，
∴S△PDE=S△PDG=S平行四边形PEDG，S△BPH=S△BPF=S平行四边形BFPH，S△ABD=S△CBD=S平行四边形ABCD，
∵S△ABD=S△PDE+S四边形AEPH+S△BPH+S△BDP①，S△CBD=S△PDG+S四边形PGCF+S△BPF-S△BDP②，
∴①-②得S四边形AEPH-S四边形PGCF+2S△BDP=0，
又∵ S四边形AHPE=3，S四边形PFCG=5 ，
∴2S△BDP=5-3，
∴S△BDP=1.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对边平行得AB∥CD，AD∥BC，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，根据两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形AEPH、四边形HPFB、四边形EPGD、四边形GPFC均为平行四边形，由平行四边形的一条对角线平分平行四边形的面积得S△PDE=S△PDG，S△BPH=S△BPF，S△ABD=S△CBD，进而由割补法可得S△ABD=S△PDE+S四边形AEPH+S△BPH+S△BDP①，S△CBD=S△PDG+S四边形PGCF+S△BPF-S△BDP②，进而根据①-②列出方程可求解.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于点N，作EM⊥CD交CD的延长线于点M，
∵BC=2AB，BC=2BH=2CH，
∴BA=BH=CH，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABH是等边三角形，
∴HA=HB=HC，
∴∠BAC=90°，
∴∠ACB=30°，
∵EC⊥BC，
∠BCD=180°-∠ABC=120°，
∴∠ACE=60°，∠ECM=30°，
∵BC=2AB=8，
∴CD=4，CN=EN=，
∴EC=，EM=，
∴S△BEG=S△BCE+S△ECG-S△BCG=S平行四边形ABCD，
=.
故答案为：B.
【分析】取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于点N，作EM⊥CD交CD的延长线于点M，判断出△ABH是等边三角形，得HA=HB=HC，由等边对等角及三角形的内角和定理得∠BAC=90°，进而根据含30°角直角三角形的性质得∠ACB=30°，推出∠ACE=60°，∠ECM=30°，根据平行四边形的性质及轴对称的性质可得EC=，EM=，进而根据S△BEG=S△BCE+S△ECG-S△BCG算出答案.
11．【答案】1440
【解析】【解答】解：由题意得：，
该多边形的内角和为.
故答案为：1440.
【分析】根据多边形的外角和为360°，求出边数，再代入多边形内角和公式，即可得解.
12．【答案】3
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=4cm，AD=7cm，
∴AB=CD=4cm，AB∥CD，BC=AD=7cm，
∴∠ABE=∠F，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBC，
∴∠FBC=∠F，
∴CF=BC=7cm，
∴DF=FC-CD=7-4=3cm；
故答案为：3.
【分析】由平形四边形的性质可得AB=CD=4cm，AB∥CD，BC=AD=7cm，利用平行线的性质及角平分线的定义可得∠FBC=∠F，可得CF=BC=7cm，利用DF=FC-CD即可求解.
13．【答案】
【解析】【解答】∵EA'∥CD，FA'∥BC，
∴，.
又∵∠B+∠D=n°，
∴，
又∵四边形内角和为，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，得到，，再利用四边形的内角和等于求解即可.
14．【答案】
【解析】【解答】解：延长CF和AB，交于点H，如下图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC=90°
∴AC＝
∵AF平分∠BAC，且CF⊥AF
∴AH＝AC＝12，FH＝FC
∵AB=5
∴BH＝12-5=7
∵点E是BC的中点，FH=FC
∴EF=BH=
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质，可得∠ACD＝∠BAC；根据勾股定理，可得AC的长；根据等腰三角形三线合一的性质，可得AH=HC；根据三角形中线的性质，可得EF的长.
15．【答案】
【解析】【解答】解：第1个 的周长为a+b+c
由三角形中位线定理可得：
第2个三角形的周长为（a+b+c），
第3个三角形的周长为×（a+b+c），
第4个三角形的周长为××（a+b+c），
······，
第n个三角形的周长为（a+b+c），
∴ 第次组成的三角形的周长 ；
故答案为： .
【分析】根据三角形中位线定理求解，可得规律第n个三角形的周长为（a+b+c），继而得解.
16．【答案】
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接并延长，作，
四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
当点是边延长线上时，点在的延长线上 ，
，，
，
的最小值是，
故答案为：.
【分析】利用瓜豆原理可知点F的运动轨迹是一条直线，故勾手拉手全等三角形模型是本题的解题关键.利用等边三角形的性质通过SAS判定得到，再通过直角三角形的性质求得CM的长度即FC的最小值.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠GAE=∠HCF．
∵点G，H分别是AB ，CD的中点，AB= CD，∴AG=CH．∵AE=CF，
∴△AGE≌△CHF ( SAS)，∴GE= HF， ∠AEG= ∠CFH，∴∠GEF =∠HFE，∴GE∥HF．又∵GE=HF，∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：连结BD交AC于点O，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC， OB=0D． BD= 10，
∴ OB=OD=5．∵AE= CF ，OA=OC，
∴ OE=OF．∵AE+CF= EF，
∴2AE= EF=20E，∴AE=OE．又∵点G是AB的中点，∴EG是△ABO
的中位线，∴EG=OB=2.5，∴EG的长为2.5．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可证出△AGE≌△CHF ( SAS)，再根据全等三角形的性质可得出GF=HF且GF∥HF，从而证出四边形EGFH是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质和已知 AE+CF=EF ，可知E是OA的中点，所以EG是△ABO的中位线，根据中位线的性质可求出EG的长度.
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD= BC，∠ADC+ ∠BCD =180°．∵PM∥ DC，且PM=DC，∴四边形PMCD是平行四边形，
∴PD=CM，∠PDC+∠DCM= 180°，∴∠ADP= ∠ BCM．在△ADP和△BCM中，，∴△ADP≌△BCM( SAS)． ．
（2）解：如图，作BH⊥AC于点H，DG⊥AC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，△ABC≌△CDA，∴BH= DG，
∴，即S△BCP = 2S△ABP，，即S△ADP=S△ABP．
∵△ADP≌△BCM，∴S△ADP=S△BCM，∴
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知四边形PMCD是平行四边形，则根据平行四边形的性质可证△ADP≌△BCM；
（2）根据四边形ABCD是平行四边形，可知△ABC≌△CDA，从而得到同底边上的高BH= DG，得到S△BCP= 2S△ABP，而△ABP和△ADP是同底等高，所以面积相等，四边形BPCM的面积=△BCP的面积+△ACM的面积，而根据（1）可知△ACM的面积=△ADP的面积，从而可得出答案.
19．【答案】（1）证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，
∵M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM和Rt△CBE中，∠MAB+∠ABC=90°，∠ACB+∠EBC=90°，
∴∠MAB=∠EBC，
∵MB=MN，
∴△MBN是等腰直角三角形，
∴∠MNB=∠MBN=45°，
∵∠EBC+∠NBE=∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，
∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；
（2）解：设BM=CM=MN=a，
∵四边形DNBC是平行四边形，
∴DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中
∴△ABN≌△DBN（SAS）
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，由勾股定理可得AM2+BM2=AB2，
即（2a+a）2+a2=1，解得：a=，或a=-(舍去），
∴BC=2a=.
【解析】【分析】(1)由等边对等角可得∠ABC=∠ACB，根据等腰三角形的三线合一可得AM⊥BC，由同角的余角相等可得∠MAB=∠EBC，于是可得△MBN是等腰直角三角形，结合角的构成可求解；
（2）设BM=CM=MN=a，由题意用边角边可证△ABN≌△DBN，由全等三角形的性质可得AN=DN=2a，在Rt△ABM中，由勾股定理可得关于a的方程，然后由BC=2a可求解.
20．【答案】（1）解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∵∠ABC=45°，平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABC=∠D=∠DAC=45°，
∴AC=CD，
∵AC2+CD2=AD2即2AC2=36，
∴AC2=18，
∴平行四边形ABCD的面积为AC2=18
（2）证明：过点C作CF⊥CE交BD于点F，
∴∠ECF=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠ACD=∠AED=90°，
∴∠ACF+∠FCD=∠ACF+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠FCD，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠ABD+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠ABE=∠EAC=∠CDF，
在△ACE和△DCF中
∴△ACE≌△DCF（SAS），
∴CE=CF，DF=AE
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF2=CE2+CF2=2CE2，
∴，
∵DE=EF+DF，
∴
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ACD=90°，利用平行四边形的性质及平行线的性质可证得AC=CD，利用勾股定理求出AC2的值，即可求出平行四边形ABCD的面积.
（2）过点C作CF⊥CE交BD于点F，利用垂直的定义和余角的性质可推出∠ACE=∠FCD，∠ABE=∠EAC=∠CDF，利用SAS证明△ACE≌△DCF，利用全等三角形的性质可证得CE=CF，DF=AE，可推出△CEF是等腰直角三角形，利用勾股定理可证得，然后根据DE=EF+DF，可证得结论.
21．【答案】（1）180
（2）360
（3）1080
【解析】【解答】解：（1）如图1，
∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D，∠A+∠C+∠1=180°，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ∠A+∠C+∠1=180°；
故答案为：180；
（2）如图2，∵∠2=∠1+∠F=∠B+∠E+∠F，∠A+∠C+∠2+∠D=360°，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ∠A+∠C+∠2+∠D=360°；
故答案为：360；
（3）由（1）（2）知：每截去一个角则增加180°，当截去5个角时，增加了180°×5的度数，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠F+∠H+∠M+∠N=180°+180°×5=1080°.
故答案为：1080.
【分析】（1）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质求解即可；
（2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°进行解答即可；
（3）由（1）（2）知：每截去一个角则增加180°，当截去5个角时，增加了180°×5的度数，据此即可求解.
22．【答案】（1）证明：，，
，，
为的中线，
，
在与中，
，
，
．
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
如图所示，过D作交点Q，连接．
四边形为平行四边形，
．
同（1）可证明，
，
又∵，
四边形是平行四边形；②
【解析】【解答】解：（2）②如图所示，取的中点P，连接，
∵是的中线，即点D为的中点，
∴是的中位线，
∴，
又∵，
∴由平行线的唯一性可知重合，即点E和点P重合，
∴点E为的中点，
∴，
∵四边形使平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴当点E在上运动时，点F在直线上运动，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴点Q在直线上运动，
如图所示，以点B为原点，以为x轴，y轴建立坐标系，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴点M在直线上运动，
当时，，当时，；
∴点M的运动轨迹是从点沿着直线运动到点，
∴点M的运动路径长为
【分析】 （1）利用ASA可证明△ACD≌△FDB，再利用全等三角形的性质可得AC=DF；
（2）①如图所示，过D作DQ∥EF交BF点Q，连接AQ，先证明四边形DEFQ为平行四边形，得到DQ=EF，同（1）可证明AC=DQ，得到AC=EF，由此即可四边形ACEF是平行四边形；
②如图所示，取CH的中点P，连接DP，利用平行四边形的性质和判定说明AE=FH，再依次说明点E在AD上运动时，点F在直线BF上运动，点Q在直线BQ上运动，点M在直线上运动，求得M点的运动轨迹为从点沿着直线运动到点，最后利用勾股定理求得点M的运动路径长.
1 / 1