2024年浙教版数学八年级下册4.2平行四边形课后培优练
一、选择题
1．（2017八下·广州期中）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D=（ ）
A．36° B．108° C．72° D．60°
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB=8，AC=12，则BD的长是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
3．（2023八下·余姚期末）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·东阳期末）平面直角坐标系内有点A（0，0），B（2，2），C（6，0）三点，请确定一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则的点D的坐标不可以是（ ）
A．（-4，2） B．（4，-2） C．（8，2） D．（2，-2）
5．（2023八下·滨江期末）如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于F，连接；再分别以B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于E．则以下结论：①平分；②平分；③垂直平分线段；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
6．（2023八下·慈溪期末）如图，在中，AE平分交BC于点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·拱墅期中）在 ABCD中，∠ABC＝30°，AB＝8，AC＝5，则 ABCD的周长是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
8．（2022八下·乐清期中）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（）的长直角边与含45°角的三角尺（）的斜边恰好重合.点E，F分别是边，上的动点，各自同时从点A，点B向终点C运动，已知点E的速度为1单位/秒，若存在某个时刻四边形为平行四边形，则点F的速度为（ ）单位/秒.
A．1 B． C． D．2
二、填空题
9．（2023八下·新昌期末）如图，在平行四边形中，，，则与之间的距离为 ．
10．（2023八下·慈溪期中）在中，对角线和相交于点O，如果，，那么m的取值范围是 ．
11．（2023八下·温州期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，BC＝3．点P为BC边上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作 PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为 ．
12．（2022八下·余杭期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，点E是DC的中点，作BF⊥AD，垂足F在线段AD上，连结EF，BE，则下列结论正确的是 .（将正确的结论的序号填在横线上）①EF＝BE；②∠CBE＝ ∠ABC；③△ABF的面积等于△BEF的面积的2倍；④∠CEF＝3∠DFE.
三、解答题
13．（2023八下·义乌期中）如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（3，3），（6，4），（4，6）．
（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
（2）在△ABC中，作出BC边上的高，并求其长度；
（3）求这个平行四边形的面积．
14．（2022八下·杭州月考）如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，AD＝3，CD＝5，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线．求EF的长.
15．（2023八下·嵊州期中）如图，AC，BD是ABCD的两条对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：EO=FO
16．（2023八下·龙湾期中）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为BO，OD的中点，连结AE，CF．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若∠BAC＝90°，AB＝3，AE＝ ，求 ABCD的周长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：2：3，
设每份比为x，则得到2x+3x+2x+3x=360°，
解得x=36°
则∠D=108°．
故选B．
【分析】利用平行四边形的内角和是360度，平行四边形对角相等，则平行四边形的四个角之比为，∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：2：3，则∠D的值可求出．
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=12，
∴OA=AC=6，BD=2OB，
∵AB⊥AC，AB=8，
∴OB==10，
∴BD=2OB=20．
故选C．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA的长，然后由AB⊥AC，AB=8，AC=12，根据勾股定理可求得OB的长，继而求得答案．
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D.
【分析】先利用平行四边形的性质得到与互补，进而得到的度数，再求得的度数.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：当BC为对角线时，D（8，2）；
当AB为对角线时，D（-4，2）；
当AC为对角线时，D（4，-2）.
故答案为：D.
【分析】分BC、AB、AC为对角线，根据平行四边形的对角线互相平分就可得到点D的坐标.
5．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：根据尺规作图过程可得AE是∠BAD的角平分线，故①正确；
∵AB=AF，
∴∠AFB=∠ABF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBE，
∴∠FBE=∠ABF，即BF平分∠ABC，故②正确；
∵AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠FAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
又BF平分∠ABC，
∴BF⊥AE，BF平分AE，故③正确；
∵AB=AF，BE=AB，若BE=BF，则AB=BF=AF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠BAD=60°，显然与已知条件不相符，故④错误，
综上正确的有①②③.
故答案为：A.
【分析】由尺规作图过程得AE是∠BAD的角平分线，据此可判断①；由等边对等角得∠AFB=∠ABF，由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由平行线的性质及等量代换得∠FBE=∠ABF，即BF平分∠ABC，据此可判断②；由平行线的性质及等量代换得∠BAE=∠AEB，由等角对等边得AB=BE，进而根据等腰三角形的三线合一得BF⊥AE，BF平分AE，据此可判断③；由AB=AF，BE=AB，若BE=BF，则AB=BF=AF，即△ABF是等边三角形，根据等边三角形的性质得∠BAD=60°，显然与已知条件不相符，据此可判断④.
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形的性质，DC∥AB，∠D=∠B，
∵∠D=112°，则∠DAB=180°-∠D=68°，
∵AE平分∠DAB，则∠BAE=34°，又∠D=∠B，则∠B=112°，
可得∠AEB=180°-∠B-∠BAE=34°，∠AEC=180°-∠AEB=146°，
故答案为：D.
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的邻角互补.
7．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：第一种情况：作AE⊥BC，交BC于点E，
∵∠ABC=30°，AB=8，AC=5，
∴AE=4，
∴BE==，EC==3，
∴BC=BE+CE=+3，
∴平行四边形ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(8++3)=22+.
第二种情况：作AE⊥BC，交BC的延长线于点E，
∵∠ABC=30°，AB=8，AC=5，
∴AE=4，
∴BE==，EC==3，
∴BC=BE-CE=-3，
∴平行四边形ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(8+-3)=10+.
综上可得：平行四边形ABCD的周长为22+或10+.
故答案为：B.
【分析】当BC边上的高在平行四边形ABCD内部时，作AE⊥BC，交BC于点E，由含30°角的直角三角形的性质可得AE，由勾股定理可得BE、EC，然后求出BC，再根据平行四边形的性质不难求出周长；当BC边上的高AE在平行四边形外部时，同理进行求解.
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意得，当四边形DEBF为平行四边形时，，
∴∠DEC＝∠ACB＝90°，
∵AD＝CD，∠ADC=90°，
∴AE＝CE＝DE，
设AC=2a，则，
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴BF＝DE=a，
∵点E运动时间为：，
∴点F的运动时间为a，
∴点F的速度为（单位/秒），故A正确.
故答案为：A.
【分析】当四边形DEBF为平行四边形时，则，利用平行线的性质可得∠DEC＝∠ACB＝90°，再根据等腰直角三角形的性质可得
AE＝CE＝DE，设AC=2a，则，由平行四边形的性质可得BF＝DE=a，再根据速度=路程÷时间即可求解.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点D作于E，如图所示，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=2，
∵，，
∴AE=DE.
∴在中，，
∴.
∴AB与CD之间的距离为.
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质和勾股定理即可求出AB和CD之间的距离.
10．【答案】1＜m＜9
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AC=8，BD=10，
∴AO=AC=4，BO=BD=5..
∵BO-AO
∴1∴1故答案为：1【分析】根据平行四边形的性质可得AO=AC=4，BO=BD=5，然后根据三角形三边关系就可求出m的范围.
11．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，作OP'⊥BC于P'，延长P'O，交AQ于点Q'.
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA=OC，PQ=2OP，
∵P为BC边上任意一点，
∴当OP⊥BC时，OP最小，此时PQ最小，
即P与P'重合时，PQ最小，
∵在△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∴，
∵BC=3，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即PQ的最小值为.
故答案为：.
【分析】 以PA，PC为邻边作 PAQC ，根据平行四边形的性质知道O是AC重点，PQ最短也就是OP最短，根据垂线段最短可知，当OP⊥BC时，OP最短，从而得到PQ的最小值。
12．【答案】①②④
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：延长FE交BC的延长线与M，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BM，
∴∠DFE＝∠M，
在△DFE与△CME中，
，
∴△DFE≌△CME（AAS），
∴EF＝EM＝ FM，
∵BF⊥AD，
∴∠AFB＝90°，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF＝90°，
∴BE＝ FM，
∴EF＝BE，故①正确；
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在 ABCD中，AB＝2AD，
∴DE＝CE＝BC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵AB∥CD，
∴∠CEB＝∠EBA，
∴∠CBE＝∠ABE，
∴∠CBE＝ ∠ABC，故②正确；
∵EF＝EM，
∴S△BEF＝S△BME，
∵BM＞AF，
∴S△ABF＜2S△BEF，
故③错误；
设∠EFB＝x，则∠FBE＝x，
∴∠CBE＝∠CEB＝90°﹣x，
∴∠FEB＝180°﹣2x，
∴∠CEF＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠DFE＝90°﹣x，
∴∠CEF＝3∠DFE，
故④正确，
故答案为：①②④.
【分析】延长FE交BC的延长线与M，利用AAS证明△DFE≌△CME，可得EF＝EM＝ FM，利用直角三角形斜边中线的性质可得BE＝ FM，即得EF＝BE，据此判断①；利用平行四边形的性质及线段的中点可得DE＝CE＝BC，从而得出∠CEB＝∠CBE，利用平行线的性质可得∠CEB＝∠EBA=∠CBE，从而得出∠CBE＝ ∠ABC，据此判断②；由于S△BEF＝S△BME，BM＞AF，可得S△ABF＜2S△BEF，据此判断③错误；设∠EFB＝x，则∠FBE＝x，根据角的和差可得∠CEF＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，由于∠DFE＝90°﹣x，可得∠CEF＝3∠DFE，据此判断④正确.
13．【答案】（1）解：（1，5）
（2）解：∵S△ABC＝ ×BC×h＝3×3- （1×3+1×3+2×2）＝4，
BC＝2 ，
∴h＝2 ．
（3）解：平行四边形的面积＝2S△ABC＝8．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；作图-垂线
【解析】【解答】解：（1）BC为对角线时，第四个点坐标为（7，7）；AB为对角线时，第四个点为（5，1）；当AC为对角线时，第四个点坐标为（1，5）．
【分析】（1）分BC为对角线、AB为对角线、AC为对角线，结合图形可得第四个点的坐标；
（2）根据垂线的作法画出BC边上的高，然后根据△ABC的面积=外接正方形的面积-周围三个三角形的面积，结合三角形的面积公式就可求出BC边上的高；
（3）根据平行四边形的性质可得：S平行四边形=2S△ABC，据此求解.
14．【答案】解：∵平行四边形ABCD
∴AB // CD，AD = BC
∵ AF ，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由平行四边形性质可得AB∥CD，AD = BC，从而得∠DFA＝∠FAB，∠CEB=∠EBA，再由角平分线定义得∠DAF＝∠FAB，∠CBE=∠EBA，从而得出∠DAF＝∠DFA，∠CEB=∠CBE，即DA＝DF=3，CE＝CB=3，最后由EF＝DF+EC﹣DC，代入数据计算EF的值即可．
15．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∵OB=OD，
∴OB-BE=OD-DF，
∴OE=OF．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可知AB=CD，AB∥CD，利用平行线的性质可证∠ABE=∠CDF，利用垂直的定义可得到∠AEB=∠CFD=90°；再利用AAS证明△ABE≌△CDF，利用全等三角形的性质可证得BE=DF，即可证得结论.
16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE＝ OB，OF＝ OD，
∵OE＝OF，
在△AOE和△COF，
，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF；
（2）解：在Rt△AOB中，∵∠BAC＝90°，点E是OB的中点，AB＝3，AE＝ ，
∴OB＝2AE＝2× ＝ ，
∴OA＝ ＝2，
∴AC＝2OA＝2×2＝4，
∴BC＝ ＝5，
∴2AB+2BC＝2×3+2×5＝16，
∴ ABCD的周长为16．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得OA＝OC，OB＝OD， 结合中点的定义得OE＝OF，利用SAS判断出△AOE≌△COF，可得AE=CF；
（2）在Rt△AOB中，根据直角三角形斜边的上中线等于斜边的一半可得OB=，从而利用勾股定理算出OA的长，进而得到AC的长，再在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC的长，最后根据平行四边形的周长等于两邻边和的2倍可得答案.
1 / 12024年浙教版数学八年级下册4.2平行四边形课后培优练
一、选择题
1．（2017八下·广州期中）在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D=（ ）
A．36° B．108° C．72° D．60°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：2：3，
设每份比为x，则得到2x+3x+2x+3x=360°，
解得x=36°
则∠D=108°．
故选B．
【分析】利用平行四边形的内角和是360度，平行四边形对角相等，则平行四边形的四个角之比为，∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：2：3，则∠D的值可求出．
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB=8，AC=12，则BD的长是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=12，
∴OA=AC=6，BD=2OB，
∵AB⊥AC，AB=8，
∴OB==10，
∴BD=2OB=20．
故选C．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA的长，然后由AB⊥AC，AB=8，AC=12，根据勾股定理可求得OB的长，继而求得答案．
3．（2023八下·余姚期末）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D.
【分析】先利用平行四边形的性质得到与互补，进而得到的度数，再求得的度数.
4．（2023八下·东阳期末）平面直角坐标系内有点A（0，0），B（2，2），C（6，0）三点，请确定一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则的点D的坐标不可以是（ ）
A．（-4，2） B．（4，-2） C．（8，2） D．（2，-2）
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：当BC为对角线时，D（8，2）；
当AB为对角线时，D（-4，2）；
当AC为对角线时，D（4，-2）.
故答案为：D.
【分析】分BC、AB、AC为对角线，根据平行四边形的对角线互相平分就可得到点D的坐标.
5．（2023八下·滨江期末）如图，在中，以A为圆心，长为半径画弧交于F，连接；再分别以B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于E．则以下结论：①平分；②平分；③垂直平分线段；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：根据尺规作图过程可得AE是∠BAD的角平分线，故①正确；
∵AB=AF，
∴∠AFB=∠ABF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBE，
∴∠FBE=∠ABF，即BF平分∠ABC，故②正确；
∵AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠FAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
又BF平分∠ABC，
∴BF⊥AE，BF平分AE，故③正确；
∵AB=AF，BE=AB，若BE=BF，则AB=BF=AF，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠BAD=60°，显然与已知条件不相符，故④错误，
综上正确的有①②③.
故答案为：A.
【分析】由尺规作图过程得AE是∠BAD的角平分线，据此可判断①；由等边对等角得∠AFB=∠ABF，由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由平行线的性质及等量代换得∠FBE=∠ABF，即BF平分∠ABC，据此可判断②；由平行线的性质及等量代换得∠BAE=∠AEB，由等角对等边得AB=BE，进而根据等腰三角形的三线合一得BF⊥AE，BF平分AE，据此可判断③；由AB=AF，BE=AB，若BE=BF，则AB=BF=AF，即△ABF是等边三角形，根据等边三角形的性质得∠BAD=60°，显然与已知条件不相符，据此可判断④.
6．（2023八下·慈溪期末）如图，在中，AE平分交BC于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形的性质，DC∥AB，∠D=∠B，
∵∠D=112°，则∠DAB=180°-∠D=68°，
∵AE平分∠DAB，则∠BAE=34°，又∠D=∠B，则∠B=112°，
可得∠AEB=180°-∠B-∠BAE=34°，∠AEC=180°-∠AEB=146°，
故答案为：D.
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的邻角互补.
7．（2023八下·拱墅期中）在 ABCD中，∠ABC＝30°，AB＝8，AC＝5，则 ABCD的周长是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：第一种情况：作AE⊥BC，交BC于点E，
∵∠ABC=30°，AB=8，AC=5，
∴AE=4，
∴BE==，EC==3，
∴BC=BE+CE=+3，
∴平行四边形ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(8++3)=22+.
第二种情况：作AE⊥BC，交BC的延长线于点E，
∵∠ABC=30°，AB=8，AC=5，
∴AE=4，
∴BE==，EC==3，
∴BC=BE-CE=-3，
∴平行四边形ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(8+-3)=10+.
综上可得：平行四边形ABCD的周长为22+或10+.
故答案为：B.
【分析】当BC边上的高在平行四边形ABCD内部时，作AE⊥BC，交BC于点E，由含30°角的直角三角形的性质可得AE，由勾股定理可得BE、EC，然后求出BC，再根据平行四边形的性质不难求出周长；当BC边上的高AE在平行四边形外部时，同理进行求解.
8．（2022八下·乐清期中）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（）的长直角边与含45°角的三角尺（）的斜边恰好重合.点E，F分别是边，上的动点，各自同时从点A，点B向终点C运动，已知点E的速度为1单位/秒，若存在某个时刻四边形为平行四边形，则点F的速度为（ ）单位/秒.
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意得，当四边形DEBF为平行四边形时，，
∴∠DEC＝∠ACB＝90°，
∵AD＝CD，∠ADC=90°，
∴AE＝CE＝DE，
设AC=2a，则，
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴BF＝DE=a，
∵点E运动时间为：，
∴点F的运动时间为a，
∴点F的速度为（单位/秒），故A正确.
故答案为：A.
【分析】当四边形DEBF为平行四边形时，则，利用平行线的性质可得∠DEC＝∠ACB＝90°，再根据等腰直角三角形的性质可得
AE＝CE＝DE，设AC=2a，则，由平行四边形的性质可得BF＝DE=a，再根据速度=路程÷时间即可求解.
二、填空题
9．（2023八下·新昌期末）如图，在平行四边形中，，，则与之间的距离为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点D作于E，如图所示，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=2，
∵，，
∴AE=DE.
∴在中，，
∴.
∴AB与CD之间的距离为.
故答案为：.
【分析】根据平行四边形的性质和勾股定理即可求出AB和CD之间的距离.
10．（2023八下·慈溪期中）在中，对角线和相交于点O，如果，，那么m的取值范围是 ．
【答案】1＜m＜9
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AC=8，BD=10，
∴AO=AC=4，BO=BD=5..
∵BO-AO∴1∴1故答案为：1【分析】根据平行四边形的性质可得AO=AC=4，BO=BD=5，然后根据三角形三边关系就可求出m的范围.
11．（2023八下·温州期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，BC＝3．点P为BC边上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作 PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，作OP'⊥BC于P'，延长P'O，交AQ于点Q'.
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA=OC，PQ=2OP，
∵P为BC边上任意一点，
∴当OP⊥BC时，OP最小，此时PQ最小，
即P与P'重合时，PQ最小，
∵在△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∴，
∵BC=3，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即PQ的最小值为.
故答案为：.
【分析】 以PA，PC为邻边作 PAQC ，根据平行四边形的性质知道O是AC重点，PQ最短也就是OP最短，根据垂线段最短可知，当OP⊥BC时，OP最短，从而得到PQ的最小值。
12．（2022八下·余杭期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，点E是DC的中点，作BF⊥AD，垂足F在线段AD上，连结EF，BE，则下列结论正确的是 .（将正确的结论的序号填在横线上）①EF＝BE；②∠CBE＝ ∠ABC；③△ABF的面积等于△BEF的面积的2倍；④∠CEF＝3∠DFE.
【答案】①②④
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：延长FE交BC的延长线与M，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BM，
∴∠DFE＝∠M，
在△DFE与△CME中，
，
∴△DFE≌△CME（AAS），
∴EF＝EM＝ FM，
∵BF⊥AD，
∴∠AFB＝90°，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF＝90°，
∴BE＝ FM，
∴EF＝BE，故①正确；
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在 ABCD中，AB＝2AD，
∴DE＝CE＝BC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵AB∥CD，
∴∠CEB＝∠EBA，
∴∠CBE＝∠ABE，
∴∠CBE＝ ∠ABC，故②正确；
∵EF＝EM，
∴S△BEF＝S△BME，
∵BM＞AF，
∴S△ABF＜2S△BEF，
故③错误；
设∠EFB＝x，则∠FBE＝x，
∴∠CBE＝∠CEB＝90°﹣x，
∴∠FEB＝180°﹣2x，
∴∠CEF＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠DFE＝90°﹣x，
∴∠CEF＝3∠DFE，
故④正确，
故答案为：①②④.
【分析】延长FE交BC的延长线与M，利用AAS证明△DFE≌△CME，可得EF＝EM＝ FM，利用直角三角形斜边中线的性质可得BE＝ FM，即得EF＝BE，据此判断①；利用平行四边形的性质及线段的中点可得DE＝CE＝BC，从而得出∠CEB＝∠CBE，利用平行线的性质可得∠CEB＝∠EBA=∠CBE，从而得出∠CBE＝ ∠ABC，据此判断②；由于S△BEF＝S△BME，BM＞AF，可得S△ABF＜2S△BEF，据此判断③错误；设∠EFB＝x，则∠FBE＝x，根据角的和差可得∠CEF＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，由于∠DFE＝90°﹣x，可得∠CEF＝3∠DFE，据此判断④正确.
三、解答题
13．（2023八下·义乌期中）如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（3，3），（6，4），（4，6）．
（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
（2）在△ABC中，作出BC边上的高，并求其长度；
（3）求这个平行四边形的面积．
【答案】（1）解：（1，5）
（2）解：∵S△ABC＝ ×BC×h＝3×3- （1×3+1×3+2×2）＝4，
BC＝2 ，
∴h＝2 ．
（3）解：平行四边形的面积＝2S△ABC＝8．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；作图-垂线
【解析】【解答】解：（1）BC为对角线时，第四个点坐标为（7，7）；AB为对角线时，第四个点为（5，1）；当AC为对角线时，第四个点坐标为（1，5）．
【分析】（1）分BC为对角线、AB为对角线、AC为对角线，结合图形可得第四个点的坐标；
（2）根据垂线的作法画出BC边上的高，然后根据△ABC的面积=外接正方形的面积-周围三个三角形的面积，结合三角形的面积公式就可求出BC边上的高；
（3）根据平行四边形的性质可得：S平行四边形=2S△ABC，据此求解.
14．（2022八下·杭州月考）如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，AD＝3，CD＝5，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线．求EF的长.
【答案】解：∵平行四边形ABCD
∴AB // CD，AD = BC
∵ AF ，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由平行四边形性质可得AB∥CD，AD = BC，从而得∠DFA＝∠FAB，∠CEB=∠EBA，再由角平分线定义得∠DAF＝∠FAB，∠CBE=∠EBA，从而得出∠DAF＝∠DFA，∠CEB=∠CBE，即DA＝DF=3，CE＝CB=3，最后由EF＝DF+EC﹣DC，代入数据计算EF的值即可．
15．（2023八下·嵊州期中）如图，AC，BD是ABCD的两条对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：EO=FO
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∵OB=OD，
∴OB-BE=OD-DF，
∴OE=OF．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可知AB=CD，AB∥CD，利用平行线的性质可证∠ABE=∠CDF，利用垂直的定义可得到∠AEB=∠CFD=90°；再利用AAS证明△ABE≌△CDF，利用全等三角形的性质可证得BE=DF，即可证得结论.
16．（2023八下·龙湾期中）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为BO，OD的中点，连结AE，CF．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若∠BAC＝90°，AB＝3，AE＝ ，求 ABCD的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE＝ OB，OF＝ OD，
∵OE＝OF，
在△AOE和△COF，
，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF；
（2）解：在Rt△AOB中，∵∠BAC＝90°，点E是OB的中点，AB＝3，AE＝ ，
∴OB＝2AE＝2× ＝ ，
∴OA＝ ＝2，
∴AC＝2OA＝2×2＝4，
∴BC＝ ＝5，
∴2AB+2BC＝2×3+2×5＝16，
∴ ABCD的周长为16．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得OA＝OC，OB＝OD， 结合中点的定义得OE＝OF，利用SAS判断出△AOE≌△COF，可得AE=CF；
（2）在Rt△AOB中，根据直角三角形斜边的上中线等于斜边的一半可得OB=，从而利用勾股定理算出OA的长，进而得到AC的长，再在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC的长，最后根据平行四边形的周长等于两邻边和的2倍可得答案.
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