2024年浙教版数学八年级下册4.4平行四边形的判定课后提高练
一、选择题
1．下列四组条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CD
C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
2．如图，E是 ABCD的边 AD 延长线上一点，连结BE，CE，BD，BE 交 CD 于点F.添加以下条件，不能判定四边形 BCED为平行四边形的是 （ ）
A．∠ABD=∠DCE B．DF=CF
C．∠AEB=∠BCD D．.∠AEC=∠CBD
3．如图，两条宽度分别为1和2的长方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD.若AB+BC=6，则四边形ABCD的面积为 （ ）
A．4 B．2 C．8 D．6
4．小明不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
5．如图，l1∥l2，AB∥CD，则下列结论错误的是（ ）
A．AB=CD
B．CE=FG
C．A，B两点间距离就是线段AB的长度
D．l1与l2之间的距离就是线段CD的长度
6．（2023八下·承德期末）如图1， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要用尺规作图的方法在对边AD，BC上分别找点M，N，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
A．只有乙、丙才是 B．只有甲，丙才是
C．只有甲，乙才是 D．甲、乙、丙都是
7．（2019八下·嘉兴期中）如图，在△ABC中，BC＝a．作BC边的三等分点C1，使得CC1∶BC1＝1∶2，过点C1作AC的平行线交AB于点A1，过点A1作BC的平行线交AC于点D1，作BC1边的三等分点C2，使得C1C2∶BC2＝1∶2，过点C2作AC的平行线交AB于点A2，过点A2作BC的平行线交A1C1于点D2；如此进行下去，则线段AnDn的长度为（ ）
A． a B． a C． a D． a
8．（2022八下·城固期末）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF；④S△AEF．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．如图，在 ABCD中，点F，E分别在边AD，BC上，若要使AE=CF，则需添加的条件是 (填一个即可).
10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C的坐标分别为A(0，2)，B(-1，0)，C(4，0)，E是 BC 的中点，P 是线段AD 上的动点.若△BEP是等腰三角形，则点P 的坐标为 .
·
11．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为
12．（2023八下·郴州期中）如图中，是角平分线，交于E，交于F，若，那么四边形的周长为 ．
三、解答题
13．如图，线段AC、BD相交于点O，AB∥CD，AB=CD．线段AC上的两点E、F关于点O中心对称．求证：BF=DE．
14．如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于点M，N.
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形.
（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长.
15．（2023八下·佛山期末）已知，如图，在中，为的中线，为上一个动点不与点，重合分别过点和点作与的平行线交于点，连．
（1）求证：；
（2）如图，延长交于点，若，且，请判断与的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
B、∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
C、∵AB=CD，AD∥BC，∴四边形ABCD不一定是平行四边形，此选项符合题意；
D、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理“①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形”并结合各选项即可判断求解.
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥CD
∴∠ABD=∠CDB，DE∥BC
∵ ∠ABD=∠DCE
∴∠CDB＝∠DCE
∴EC∥DB
∴四边形BCED是平行四边形，故选项A正确，不符合题意；
B、∵DE∥BC
∴∠CDE＝∠DCB
∵∠CDE＝∠DCB，DF＝CF，∠DFE＝∠BFC
∴△DFE≌△CFB
∴EF＝BF
∴四边形BCED是平行四边形，故选项B正确，不符合题意；
C、∵DE∥BC
∴∠AEB＝∠EBF
∵∠AEB＝∠BCD
∴∠EBF＝∠BCD
∴FC=FB，无法判定四边形BCED是平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵DE∥BC
∴∠AEB=∠CBE
∵∠AEC=∠CBD
∴∠BEC=∠EBD
∴EC∥BD
∴四边形BCED是平行四边形，故选项D正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理：①对边平行的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形，逐项判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：依题意得：AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．
如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∴AE＝1，AF＝2，
∴BC AE＝AB AF，
∴BC＝2AB．
又∵AB+BC＝6，
∴AB＝2，BC＝4
∴四边形ABCD的面积＝2×2＝4
故答案为：A．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质.先作辅助线：过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，平行四边形ABCD的面积可表示为：BC AE＝AB AF，可推出：BC＝2AB.进而得出AB与BC的数量关系：BC＝2AB，结合AB+BC＝6，可求AB和BC，即可求出平行四边形的面积．
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵ 只有②③两块碎玻璃的两边互相平行，且这两块有公共边
∴ 角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点.
∴ 带②③两块玻璃就可以确定平行四边形的大小.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
四块玻璃中需要找到两边互相平行且可以连在一起的两块玻璃.
5．【答案】D
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵l1∥l2，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD ，故选项A不符合题意；
B、，∴，又∵l1∥l2 ，∴四边形CEGF是平行四边形，∴CE=FG ，故选项B不符合题意；
C、 A，B两点间距离就是线段AB的长度，故选项C不符合题意；
D、于点E， l1与l2之间的距离就是线段CE的长度，故选项D符合题意.
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的定义、性质，平行线之间的距离的定义，逐项判断即可得解.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：甲：由作图知M、N分别为AD、BC的中点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AM=CN，且AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形；
乙：由作图知：BN=AB，DM=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CD，AD=BC，AB=CD，
∴BN=DM，
∴AD-DM=BC-BN，
∴AM=CN，
∴四边形ANCM是平行四边形；
丙：由作图知：BN=AB，CM=BN=AB=CD，
∴不能判断DM=BN，也就不能得出AM=CN，
∴不能得出四边形ANCM是平行四边形。
所以甲、乙是正确方案。
故答案为：C。
【分析】根据作图步骤，依据平行四边形的判定，即可得出正确方案。
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可知A1D1∥CC1，A1C1∥CD1，
∴四边形A1D1CC1是平行四边形
∴C1C=A1D1
∵ 在△ABC中，BC＝a．作BC边的三等分点C1，使得CC1∶BC1＝1∶2，
∴C1C=A1D1=13a
∴BC1=a-13a=a
同理可证四边形A2D2C1C2是平行四边形
∴C1C2=A2D2=BC1=×a=
同理可得：C2C3=A3D3=
C3C4=A4D4=
∴ 线段AnDn的长度为：
故答案为：C
【分析】根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知四边形A1D1CC1是平行四边形，就可得到C1C=A1D1，再由在△ABC中，BC＝a．作BC边的三等分点C1，使得CC1∶BC1＝1∶2，就可得到A1D1=13a，从而可求出BC1的长，同理可证四边形A2D2C1C2是平行四边形，就可求出A2D2，A3D3，A4D4观察其规律，就可得到线段AnDn的长度。
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接EC，作CH⊥EF于H，
∵△ABC，△ADE均是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB=60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴ EF=EC，
∴EF=BD，
又∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确；
∵BD=CF=1，BA=BC，∠ABD=∠BCF，
∴△ABD≌△BCF（SAS），故①正确；
∵△CEF为等边三角形，CH⊥EF，
FH=FC=，
∴CH==，
∵S平行四边形BDEF=BD·CH=，故 ③ 正确；
S△AEF=S△AEC=S△ABD=，故④错误；
综上所述，正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】连接EC，作CH⊥EF于H，利用SAS证明△BAD≌△CAE，得出BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，再证明△EFC是等边三角形，然后根据一组对比平行且相等判定四边形BDEF是平行四边形，则可判断②；再根据SAS证明△ABD≌△BCF，则可判断①；根据等边三角形的性质和勾股定理求出FH，再计算四边形BDEF的面积，即可判断 ③ ；根据三角形的面积关系求△AEF的面积即可判断 ④ .
9．【答案】BE=DF(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：BE=DF；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AF =CE ，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE =CF .
故答案为：BE=DF.
【分析】根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”以及平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形AECF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可求解.
10．【答案】(0，2)或(3，2)或(，2)或( ，2)
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：①当EP=EB时，
如图1，作EH⊥AD于H，则四边形OAHE是矩形．
∵，，，
∴OA=EH=2，BC=5，
∵点是的中点，
∴BE=2.5，OE=AH=1.5，
PH==1.5，
当点P在点H左侧时，P″(0，2)，当点P在点H右侧时，P'(3，2)；
②当BP=BE时，
如图2，作PF⊥BC于F，则四边形OAPF是矩形，
∵，，，
∴OA=PF=2，BC=5，
∵点是的中点，
∴BE=2.5，OE =1.5，
∴OF=AP=0.5，
∴P(0.5，2)；
③当PB=PE时，如图2，
∵PB=PE，PF⊥BC，
∴BF==1.25，
∴OF=0.25，
∴P(0.25，2)；
综上所述，满足条件的点P坐标为或或或．
【分析】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的判定和性质．因为 P 是线段AD 上的动点. 所以分三种情形讨论点P的位置：①当EP=EB时，②当BP=BE时，③当PB=PE时．①当EP=EB时，先作EH⊥AD于H，则四边形OAHE是矩形，由勾股定理：PH=可求出PH的长度，分当点P在点H左侧时或点P在点H右侧时，可写出点P的坐标：②当BP=BE时，先作PF⊥BC于F，则四边形OAPF是矩形，由点是的中点，可得BE=2.5，OE =1.5，进而推出OF=AP=0.5，由此写出点P的坐标；当PB=PE时，已知PB=PE，PF⊥BC，根据直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边上的一半，可得BF=，所以OF=0.25，由此可写出点P的坐标.
11．【答案】6
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴BC2=AB2+AC2，
∴∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°．
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC与△DBF中，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，
∴S AEFD=AD （DF sin30°）=3×（4×）=6．
即四边形AEFD的面积是6．
故答案为：6．
【分析】根据题中的等式关系可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形AEFD为平行四边形．由勾股定理的逆定理判定∠BAC=90°，则∠DAE=150°，故易求∠FDA=30°．所以由平行四边形的面积公式即可解答．
12．【答案】16
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∠EAF=∠EDF，
∵AD是角平分线，
∴∠EAD=∠EDA，
∴EA=ED，
∴四边形AEDF是菱形，
∵AE=4cm，
∴四边形AEDF的周长为：4AE=16cm。
故第1空答案为：16cm.
【分析】首先证明四边形AEDF是菱形，然后根据菱形的性质求得菱形的周长即可。
13．【答案】【解答】证明：如图，连接AD、BC，∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，∵点E、F关于点O中心对称，∴OF=OE，在△BOF和△DOE中， ∴△BOF≌△DOE（SAS），∴BF=DE．
【知识点】平行四边形的判定与性质；中心对称及中心对称图形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】连接AD、BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分可得BO=DO，根据E、F关于点O中心对称可得OE=OF，然后利用“边角边”证明△BOF和△DOE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．
14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AM∥CN，
∴ 四边形CMAN是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠BFC=90°，
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF（AAS）
∴DE=BF，
在Rt△BFN中，
BN=.
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，然后根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可求解；
（2）由题意用角角边可证△ADE≌△CBF，则DE=BF，在Rt△BFN中，用勾股定理可求解.
15．【答案】（1）证明：如图中，
过点作交于点，连接，
，
，
，
，
是的中线，
，
≌，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：，
理由：如图中，过点作交于点，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）过点作交于点，连接，根据平行线的性质得到：利用"ASA"证明得到：，最后根据平行四边形的判定定理判定四边形是平行四边形，即可得出答案；
（2）过点作交于点，根据平行线等分线段得：，然后根据三角形中位线定理得：最后根据三角形边角关系得即可求解.
1 / 12024年浙教版数学八年级下册4.4平行四边形的判定课后提高练
一、选择题
1．下列四组条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CD
C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
B、∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
C、∵AB=CD，AD∥BC，∴四边形ABCD不一定是平行四边形，此选项符合题意；
D、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理“①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形”并结合各选项即可判断求解.
2．如图，E是 ABCD的边 AD 延长线上一点，连结BE，CE，BD，BE 交 CD 于点F.添加以下条件，不能判定四边形 BCED为平行四边形的是 （ ）
A．∠ABD=∠DCE B．DF=CF
C．∠AEB=∠BCD D．.∠AEC=∠CBD
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥CD
∴∠ABD=∠CDB，DE∥BC
∵ ∠ABD=∠DCE
∴∠CDB＝∠DCE
∴EC∥DB
∴四边形BCED是平行四边形，故选项A正确，不符合题意；
B、∵DE∥BC
∴∠CDE＝∠DCB
∵∠CDE＝∠DCB，DF＝CF，∠DFE＝∠BFC
∴△DFE≌△CFB
∴EF＝BF
∴四边形BCED是平行四边形，故选项B正确，不符合题意；
C、∵DE∥BC
∴∠AEB＝∠EBF
∵∠AEB＝∠BCD
∴∠EBF＝∠BCD
∴FC=FB，无法判定四边形BCED是平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵DE∥BC
∴∠AEB=∠CBE
∵∠AEC=∠CBD
∴∠BEC=∠EBD
∴EC∥BD
∴四边形BCED是平行四边形，故选项D正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理：①对边平行的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形，逐项判断得出答案.
3．如图，两条宽度分别为1和2的长方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD.若AB+BC=6，则四边形ABCD的面积为 （ ）
A．4 B．2 C．8 D．6
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：依题意得：AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．
如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∴AE＝1，AF＝2，
∴BC AE＝AB AF，
∴BC＝2AB．
又∵AB+BC＝6，
∴AB＝2，BC＝4
∴四边形ABCD的面积＝2×2＝4
故答案为：A．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质.先作辅助线：过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，平行四边形ABCD的面积可表示为：BC AE＝AB AF，可推出：BC＝2AB.进而得出AB与BC的数量关系：BC＝2AB，结合AB+BC＝6，可求AB和BC，即可求出平行四边形的面积．
4．小明不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵ 只有②③两块碎玻璃的两边互相平行，且这两块有公共边
∴ 角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点.
∴ 带②③两块玻璃就可以确定平行四边形的大小.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
四块玻璃中需要找到两边互相平行且可以连在一起的两块玻璃.
5．如图，l1∥l2，AB∥CD，则下列结论错误的是（ ）
A．AB=CD
B．CE=FG
C．A，B两点间距离就是线段AB的长度
D．l1与l2之间的距离就是线段CD的长度
【答案】D
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵l1∥l2，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD ，故选项A不符合题意；
B、，∴，又∵l1∥l2 ，∴四边形CEGF是平行四边形，∴CE=FG ，故选项B不符合题意；
C、 A，B两点间距离就是线段AB的长度，故选项C不符合题意；
D、于点E， l1与l2之间的距离就是线段CE的长度，故选项D符合题意.
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的定义、性质，平行线之间的距离的定义，逐项判断即可得解.
6．（2023八下·承德期末）如图1， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要用尺规作图的方法在对边AD，BC上分别找点M，N，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
A．只有乙、丙才是 B．只有甲，丙才是
C．只有甲，乙才是 D．甲、乙、丙都是
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：甲：由作图知M、N分别为AD、BC的中点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AM=CN，且AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形；
乙：由作图知：BN=AB，DM=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CD，AD=BC，AB=CD，
∴BN=DM，
∴AD-DM=BC-BN，
∴AM=CN，
∴四边形ANCM是平行四边形；
丙：由作图知：BN=AB，CM=BN=AB=CD，
∴不能判断DM=BN，也就不能得出AM=CN，
∴不能得出四边形ANCM是平行四边形。
所以甲、乙是正确方案。
故答案为：C。
【分析】根据作图步骤，依据平行四边形的判定，即可得出正确方案。
7．（2019八下·嘉兴期中）如图，在△ABC中，BC＝a．作BC边的三等分点C1，使得CC1∶BC1＝1∶2，过点C1作AC的平行线交AB于点A1，过点A1作BC的平行线交AC于点D1，作BC1边的三等分点C2，使得C1C2∶BC2＝1∶2，过点C2作AC的平行线交AB于点A2，过点A2作BC的平行线交A1C1于点D2；如此进行下去，则线段AnDn的长度为（ ）
A． a B． a C． a D． a
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可知A1D1∥CC1，A1C1∥CD1，
∴四边形A1D1CC1是平行四边形
∴C1C=A1D1
∵ 在△ABC中，BC＝a．作BC边的三等分点C1，使得CC1∶BC1＝1∶2，
∴C1C=A1D1=13a
∴BC1=a-13a=a
同理可证四边形A2D2C1C2是平行四边形
∴C1C2=A2D2=BC1=×a=
同理可得：C2C3=A3D3=
C3C4=A4D4=
∴ 线段AnDn的长度为：
故答案为：C
【分析】根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知四边形A1D1CC1是平行四边形，就可得到C1C=A1D1，再由在△ABC中，BC＝a．作BC边的三等分点C1，使得CC1∶BC1＝1∶2，就可得到A1D1=13a，从而可求出BC1的长，同理可证四边形A2D2C1C2是平行四边形，就可求出A2D2，A3D3，A4D4观察其规律，就可得到线段AnDn的长度。
8．（2022八下·城固期末）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF；④S△AEF．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接EC，作CH⊥EF于H，
∵△ABC，△ADE均是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB=60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴ EF=EC，
∴EF=BD，
又∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确；
∵BD=CF=1，BA=BC，∠ABD=∠BCF，
∴△ABD≌△BCF（SAS），故①正确；
∵△CEF为等边三角形，CH⊥EF，
FH=FC=，
∴CH==，
∵S平行四边形BDEF=BD·CH=，故 ③ 正确；
S△AEF=S△AEC=S△ABD=，故④错误；
综上所述，正确的有①②③.
故答案为：①②③.
【分析】连接EC，作CH⊥EF于H，利用SAS证明△BAD≌△CAE，得出BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，再证明△EFC是等边三角形，然后根据一组对比平行且相等判定四边形BDEF是平行四边形，则可判断②；再根据SAS证明△ABD≌△BCF，则可判断①；根据等边三角形的性质和勾股定理求出FH，再计算四边形BDEF的面积，即可判断 ③ ；根据三角形的面积关系求△AEF的面积即可判断 ④ .
二、填空题
9．如图，在 ABCD中，点F，E分别在边AD，BC上，若要使AE=CF，则需添加的条件是 (填一个即可).
【答案】BE=DF(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：BE=DF；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AF =CE ，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE =CF .
故答案为：BE=DF.
【分析】根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”以及平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形AECF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可求解.
10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C的坐标分别为A(0，2)，B(-1，0)，C(4，0)，E是 BC 的中点，P 是线段AD 上的动点.若△BEP是等腰三角形，则点P 的坐标为 .
·
【答案】(0，2)或(3，2)或(，2)或( ，2)
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：①当EP=EB时，
如图1，作EH⊥AD于H，则四边形OAHE是矩形．
∵，，，
∴OA=EH=2，BC=5，
∵点是的中点，
∴BE=2.5，OE=AH=1.5，
PH==1.5，
当点P在点H左侧时，P″(0，2)，当点P在点H右侧时，P'(3，2)；
②当BP=BE时，
如图2，作PF⊥BC于F，则四边形OAPF是矩形，
∵，，，
∴OA=PF=2，BC=5，
∵点是的中点，
∴BE=2.5，OE =1.5，
∴OF=AP=0.5，
∴P(0.5，2)；
③当PB=PE时，如图2，
∵PB=PE，PF⊥BC，
∴BF==1.25，
∴OF=0.25，
∴P(0.25，2)；
综上所述，满足条件的点P坐标为或或或．
【分析】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的判定和性质．因为 P 是线段AD 上的动点. 所以分三种情形讨论点P的位置：①当EP=EB时，②当BP=BE时，③当PB=PE时．①当EP=EB时，先作EH⊥AD于H，则四边形OAHE是矩形，由勾股定理：PH=可求出PH的长度，分当点P在点H左侧时或点P在点H右侧时，可写出点P的坐标：②当BP=BE时，先作PF⊥BC于F，则四边形OAPF是矩形，由点是的中点，可得BE=2.5，OE =1.5，进而推出OF=AP=0.5，由此写出点P的坐标；当PB=PE时，已知PB=PE，PF⊥BC，根据直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边上的一半，可得BF=，所以OF=0.25，由此可写出点P的坐标.
11．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为
【答案】6
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴BC2=AB2+AC2，
∴∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°．
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC与△DBF中，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，
∴S AEFD=AD （DF sin30°）=3×（4×）=6．
即四边形AEFD的面积是6．
故答案为：6．
【分析】根据题中的等式关系可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形AEFD为平行四边形．由勾股定理的逆定理判定∠BAC=90°，则∠DAE=150°，故易求∠FDA=30°．所以由平行四边形的面积公式即可解答．
12．（2023八下·郴州期中）如图中，是角平分线，交于E，交于F，若，那么四边形的周长为 ．
【答案】16
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∠EAF=∠EDF，
∵AD是角平分线，
∴∠EAD=∠EDA，
∴EA=ED，
∴四边形AEDF是菱形，
∵AE=4cm，
∴四边形AEDF的周长为：4AE=16cm。
故第1空答案为：16cm.
【分析】首先证明四边形AEDF是菱形，然后根据菱形的性质求得菱形的周长即可。
三、解答题
13．如图，线段AC、BD相交于点O，AB∥CD，AB=CD．线段AC上的两点E、F关于点O中心对称．求证：BF=DE．
【答案】【解答】证明：如图，连接AD、BC，∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，∵点E、F关于点O中心对称，∴OF=OE，在△BOF和△DOE中， ∴△BOF≌△DOE（SAS），∴BF=DE．
【知识点】平行四边形的判定与性质；中心对称及中心对称图形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】连接AD、BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分可得BO=DO，根据E、F关于点O中心对称可得OE=OF，然后利用“边角边”证明△BOF和△DOE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．
14．如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于点M，N.
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形.
（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AM∥CN，
∴ 四边形CMAN是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠BFC=90°，
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF（AAS）
∴DE=BF，
在Rt△BFN中，
BN=.
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，然后根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可求解；
（2）由题意用角角边可证△ADE≌△CBF，则DE=BF，在Rt△BFN中，用勾股定理可求解.
15．（2023八下·佛山期末）已知，如图，在中，为的中线，为上一个动点不与点，重合分别过点和点作与的平行线交于点，连．
（1）求证：；
（2）如图，延长交于点，若，且，请判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：如图中，
过点作交于点，连接，
，
，
，
，
是的中线，
，
≌，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：，
理由：如图中，过点作交于点，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）过点作交于点，连接，根据平行线的性质得到：利用"ASA"证明得到：，最后根据平行四边形的判定定理判定四边形是平行四边形，即可得出答案；
（2）过点作交于点，根据平行线等分线段得：，然后根据三角形中位线定理得：最后根据三角形边角关系得即可求解.
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