2024年浙教版数学八年级下册4.4平行四边形的判定课后培优练
一、选择题
1．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：6.2.1 平行四边形的判定——用边的关系判定平行四边形）下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形
C．两个锐角三角形 D．两个全等三角形
2．从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中选取两个，使四边形 ABCD 为平行四边形，选法有（ ）
A．2 种 B．3种 C．4 种 D．6 种
3．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC，且.
证明：延长 DE 至点 F，使 EF=DE，连结 FC，DC，AF.
又∵AE=EC，
∴四边形ADCF是平行四边形.
以下是接着的排序错误的证明步骤：
①∴DF∥BC.
②∴CF∥AD，即CF∥BD.
③∴四边形 DBCF 是平行四边形.
④∴DE∥BC，且正确的证明顺序应是（ ）
A．②→③→①→④ B．②→①→③→④
C．①→③→④→② D．①→③→②→④
4．（2023八下·番禺期中）如图，在 中，已知，，平分交边于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·滨江期中）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．17 C．13 D．10
6．如图，△ABC的面积为 24，点D为边AC 上的一点，连结BD 并延长，交 BC 的平行线AG 于点E，连结EC，以DE，EC为邻边作□DECF，DF 交边BC 于点 H，连结 AH.当 时，△AHC 的面积为 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
7．（北师大版数学八年级下册6.2平行四边形的判定同步练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）
A．4s B．3s C．2s D．1s
8．（2020八下·甘州期中）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝ ；④S△AEF＝ .其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2022八下·包河期末）如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺成的大正方形，若勾为3，弦为5，则图中四边形ABCD的周长为 ．
10．（2022八下·朝阳期末）已知直线l及线段AB，点B在直线上，点A在直线外．如图，
⑴在直线l上取一点C（不与点B重合），连接AC；
⑵以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点B为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D（与点C位于直线AB异侧）；
⑶连接CD交AB于点O，连接AD，BD．
根据以上作图过程及所作图形，在下列结论①OA＝OB；②；③∠ACD＝∠ADC中，一定正确的是 （填写序号）．
11．（2023八下·慈溪期中）如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积是 ．
12．（2023八下·光明期中）如图，中，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为 ．
三、解答题
13．如图，在四边形 ABED中，AD∥BE，AE平分∠BAD，BF⊥AE 于点F，连结 DF 并延长，交 BE 于点 C，连结 AC.求证：四边形 ACED 是平行四边形.
14．（2023八下·榆阳期末）在中，点O是对角线的中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接如图1．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，过点C作的垂线，与分别交于点G、H、P如图2．
①当．时，求的长；
②求证：．
15．（2023八下·武鸣期末）在平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，，且与直线：交于点．
（1）分别求出，，三点的坐标．
（2）若是射线上的点，且的面积为12，求直线的函数解析式．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：两个完全一样的三角形，即两个全等三角形，一定可以拼成一个平行四边形。
骨答案为：D.
【分析】在拼组平行四边形时，平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，所以只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，①③使四边形 ABCD 为平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②④使四边形 ABCD 为平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ①②使四边形 ABCD 为平行四边形，③④使四边形 ABCD 为平行四边形；
选法共4种.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理可选.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：证明：延长DE至点 F，使EF=DE，连结FC，DC，AF.
又∵AE=EC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CF∥AD，AD=FC，
又∵ AD=BD，
∴ CF∥BD，CF=BD，
∴ 四边形DBCF是平行四边形，
∴ DE∥BC，DF=BC，
∵ DE=DF，
∴ DE=BC.
故答案为：A.
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形ADCF是平行四边形，根据平行四边形的性质得CF∥BD，AD=FC，再根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形判定四边形DBCF是平行四边形，最后根据平行四边形的对边平行且相等即可证明.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC
又∵平分交边于点，
∴，，
∴，
∴三角形CED为等腰三角形，CD=CE=5cm，
∴BE=8-5=3cm
故答案为：C.
【分析】本题主要考察平行四边形的性质、平行线的性质（一条直线相较于两条平行直线，内错角相等）以及等腰三角形（两底角相等，对应的两边相等）的性质，
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BEC=∠FCE，
∵点Q是CE的中点，
∴CQ=EQ，
在△BEQ和△FCQ中，
∵∠BQE=∠FQC，EQ=CQ，∠BEQ=∠FCQ，
∴△BEQ≌△FCQ（ASA），
∴BE=CF，
又∵BE∥CF，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴S△BEF=2S△BQC=14cm2，
∵AB-BE=CD-CF，即AE=FD，
又∵AE∥FD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴S△PEF=S△APD=3cm2，
∴阴影部分的面积为=S△BEF+S△PEF=17cm2.
故答案为：B.
【分析】连接EF，如图，先根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明△BEQ≌△FCQ，得到BE=CF，则可判定四边形BCFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得到SBEF=2S△BQC =14cm2，接着证明四边形ADFE为平行四边形，所以S△PEF=S△APD=3cm2，然后计算S△BEF+S△PEF得到阴影部分的面积.
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
的面积为，，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：C.
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积公式．先连接，根据的面积为，，可推出；又知，可推出，
由面积的和差关系可求得，再结合可得出答案．
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，则CP=12-3t，BQ=t，
根据题意得到12-3t=t，
解得：t=3，
故选B．
【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP=BQ，据此列出方程求解即可．
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接EC，作CH⊥EF于H.
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB＝60°，
∴△EFC是等边三角形，CH＝ ，
∴EF＝EC＝BD，∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，
∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，
∴△ABD≌△BCF，故①正确，
∵S平行四边形BDEF＝BD CH＝ ，
故③正确，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，S△ABC＝
∴S△ABD
∴S△AEF＝ S△AEC＝ S△ABD＝
故④错误，
故答案为：C.
【分析】连接EC，作CH⊥EF于H.首先证明△BAD≌△CAE，再证明△EFC是等边三角形即可解决问题；
9．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，DF＝3，CF＝5，∠CDF＝90°，
∴CD＝4，
∵四个直角三角形全等，
∴CE＝DF＝3，
∴BE＝DE＝CD CE＝4 3＝1，
∴，
∵，AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD的周长为：．
故答案为：．
【分析】先证出四边形ABCD为平行四边形，再利用四边形的周长公式求解即可。
10．【答案】①②
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可得，AD=BC，AC=BD，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∴OA=OB，AD∥BC，∠ACD=∠BDC，即①②符合题意，③不符合题意，
故答案为：①②．
【分析】根据平行四边形的判定方法和性质求解即可。
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接EC，过A作AM∥BC交CE的延长线于点M，
∵四边形CDEF为平行四边形，
∴EF∥CD，DE∥CF，
∴AC∥FM，AM∥DE∥CF，
∴四边形ACFM为平行四边形.
∵△CDE的边DE上的高与△BDE的边DE上的高相同，
∴△BDE的面积与△CDE的面积相等，同理可得△ADE的面积与△AME的面积相等，
∴S阴影=S ACFM=CF·hCF.
∵△ABC的面积为8，BC=3CF，
∴×3CF×hCF=8，
∴CF·hCF=，
∴S阴影=.
故答案为：.
【分析】连接EC，过A作AM∥BC交CE的延长线于点M，则四边形ACFM为平行四边形，根据同底等高的三角形面积相等可得△BDE的面积与△CDE的面积相等，△ADE的面积与△AME的面积相等，进而推出S阴影=S ACFM=CF·hCF，根据△ABC的面积公式可得×3CF×hCF=8，据此求解.
12．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于点N，过点C作C1C2//AB，且CC2=，过点C2作C2F⊥AC于点F，交AB于E，C2F的长度即为所求的最小值，
∵C1C2//DE，C1C2=DE，
∴四边形C1DEC2是平行四边形，
∴C1D= C2E，
又∵C，C1关于AB对称，
∴CD= C1D，
∴CD+EF= C2F，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴AC = BC = ，
∴，，
过点C2作C2M⊥AB，则C2M=C1N =CN =，
∴C2M//C1N， C1C2//MN，
∴MN = C1C2 =，
∵∠MEC2 = ∠AEF，∠AFE= ∠C2ME =90°，
∴∠MC2E=∠A=30°，
∴ME=1，C2M=，C2E= 2，
∴AE=AN-MN-ME=3--1=2-，
∴EF=1-，
∴C2F=3-，
即CD+EF的最小值为3-，
故答案为：3-.
【分析】利用平行四边形的判定方法求出四边形C1DEC2是平行四边形，再求出EF=1-，最后计算求解即可。
13．【答案】证明：∵ AD∥BE，
∴ ∠DAF=∠CEF，
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠DAF，
∴ ∠BAE=∠CEF，
∴ △BAE为等腰三角形，
∵ BF⊥AE，
∴ AF=EF，
∵ ∠DAF=∠CEF，∠AFD=∠EFC，
∴ △ADF≌ △ECF（ASA），
∴ AD=EC，
∵ AD∥EC，
∴ 四边形ACED是平行四边形.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠BAE=∠CEF，可推出△BAE为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得AF=EF，根据ASA判定△ADF≌ △ECF推出AD=EC，即可判定.
14．【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：①如图，过点D作于点N，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
②证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠ADB=∠CBD，从而用ASA可判断出△BOE≌△DOF，得DF=BE，然后根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形可得结论；
（2）①如图，过点D作于点N，由等腰三角形的三线合一得EN=CN=1，然后根据勾股定理算出DN=3，根据等腰直角三角形的性质可得DN=BN=3，最后根据BE=BN-EN可算出BE的长；
②首先根据直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等得∠EDN=∠ECG，由等腰三角形的三线合一得∠EDN=∠CDN，则∠ECG=∠CDN，进而根据角的和差及三角形外角相等可的∠DHC=∠CDB，由等角对等边可得CD=CH.
15．【答案】（1）解：直线，当时，，当时，，
，，
解方程组：，
得：，
，
即：，，；
（2）解：是射线上的点，
设，
由（1）得，，
，
的面积为12，
，
解得：，
，
设直线的函数表达式是，
把，代入得：
，
解得：，
，
即直线的函数表达式是；
（3）解：存在点，分以下三种情况：
以为对角线时，，如图，
，，，
点即为点向上平移6个单位，
；
以为对角线时，，
，，，
点即为点向下平移6个单位，
；
以为对角线时，
，，，四边形是平行四边形，
的中点坐标与的中点坐标相同，为，
；
综上所述，符合条件的点坐标有或或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）将x=0代入即可解出点C的坐标；将y=0代入即可解出点B的值坐标，联立两个函数，即可解得点A的坐标.
（2）首先设出点D的坐标，根据的面积即可得出点D的坐标，再设出CD的函数解析式，将点C点D代入运用待定系数法解出解析式即可.
（3）本题分三种情况可解：①以CD为对角线，OC∥DP；②以OD为对角线，OC∥DP'；③以OC为对角线，分别解出上述情况的点P的坐标即可.
1 / 12024年浙教版数学八年级下册4.4平行四边形的判定课后培优练
一、选择题
1．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：6.2.1 平行四边形的判定——用边的关系判定平行四边形）下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形
C．两个锐角三角形 D．两个全等三角形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：两个完全一样的三角形，即两个全等三角形，一定可以拼成一个平行四边形。
骨答案为：D.
【分析】在拼组平行四边形时，平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，所以只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形即可得出答案。
2．从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中选取两个，使四边形 ABCD 为平行四边形，选法有（ ）
A．2 种 B．3种 C．4 种 D．6 种
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，①③使四边形 ABCD 为平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②④使四边形 ABCD 为平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ①②使四边形 ABCD 为平行四边形，③④使四边形 ABCD 为平行四边形；
选法共4种.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理可选.
3．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC，且.
证明：延长 DE 至点 F，使 EF=DE，连结 FC，DC，AF.
又∵AE=EC，
∴四边形ADCF是平行四边形.
以下是接着的排序错误的证明步骤：
①∴DF∥BC.
②∴CF∥AD，即CF∥BD.
③∴四边形 DBCF 是平行四边形.
④∴DE∥BC，且正确的证明顺序应是（ ）
A．②→③→①→④ B．②→①→③→④
C．①→③→④→② D．①→③→②→④
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：证明：延长DE至点 F，使EF=DE，连结FC，DC，AF.
又∵AE=EC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CF∥AD，AD=FC，
又∵ AD=BD，
∴ CF∥BD，CF=BD，
∴ 四边形DBCF是平行四边形，
∴ DE∥BC，DF=BC，
∵ DE=DF，
∴ DE=BC.
故答案为：A.
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形ADCF是平行四边形，根据平行四边形的性质得CF∥BD，AD=FC，再根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形判定四边形DBCF是平行四边形，最后根据平行四边形的对边平行且相等即可证明.
4．（2023八下·番禺期中）如图，在 中，已知，，平分交边于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC
又∵平分交边于点，
∴，，
∴，
∴三角形CED为等腰三角形，CD=CE=5cm，
∴BE=8-5=3cm
故答案为：C.
【分析】本题主要考察平行四边形的性质、平行线的性质（一条直线相较于两条平行直线，内错角相等）以及等腰三角形（两底角相等，对应的两边相等）的性质，
5．（2023八下·滨江期中）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．17 C．13 D．10
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BEC=∠FCE，
∵点Q是CE的中点，
∴CQ=EQ，
在△BEQ和△FCQ中，
∵∠BQE=∠FQC，EQ=CQ，∠BEQ=∠FCQ，
∴△BEQ≌△FCQ（ASA），
∴BE=CF，
又∵BE∥CF，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴S△BEF=2S△BQC=14cm2，
∵AB-BE=CD-CF，即AE=FD，
又∵AE∥FD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴S△PEF=S△APD=3cm2，
∴阴影部分的面积为=S△BEF+S△PEF=17cm2.
故答案为：B.
【分析】连接EF，如图，先根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明△BEQ≌△FCQ，得到BE=CF，则可判定四边形BCFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得到SBEF=2S△BQC =14cm2，接着证明四边形ADFE为平行四边形，所以S△PEF=S△APD=3cm2，然后计算S△BEF+S△PEF得到阴影部分的面积.
6．如图，△ABC的面积为 24，点D为边AC 上的一点，连结BD 并延长，交 BC 的平行线AG 于点E，连结EC，以DE，EC为邻边作□DECF，DF 交边BC 于点 H，连结 AH.当 时，△AHC 的面积为 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
的面积为，，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：C.
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积公式．先连接，根据的面积为，，可推出；又知，可推出，
由面积的和差关系可求得，再结合可得出答案．
7．（北师大版数学八年级下册6.2平行四边形的判定同步练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）
A．4s B．3s C．2s D．1s
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，则CP=12-3t，BQ=t，
根据题意得到12-3t=t，
解得：t=3，
故选B．
【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP=BQ，据此列出方程求解即可．
8．（2020八下·甘州期中）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝ ；④S△AEF＝ .其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接EC，作CH⊥EF于H.
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB＝60°，
∴△EFC是等边三角形，CH＝ ，
∴EF＝EC＝BD，∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，
∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，
∴△ABD≌△BCF，故①正确，
∵S平行四边形BDEF＝BD CH＝ ，
故③正确，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，S△ABC＝
∴S△ABD
∴S△AEF＝ S△AEC＝ S△ABD＝
故④错误，
故答案为：C.
【分析】连接EC，作CH⊥EF于H.首先证明△BAD≌△CAE，再证明△EFC是等边三角形即可解决问题；
二、填空题
9．（2022八下·包河期末）如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺成的大正方形，若勾为3，弦为5，则图中四边形ABCD的周长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，DF＝3，CF＝5，∠CDF＝90°，
∴CD＝4，
∵四个直角三角形全等，
∴CE＝DF＝3，
∴BE＝DE＝CD CE＝4 3＝1，
∴，
∵，AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD的周长为：．
故答案为：．
【分析】先证出四边形ABCD为平行四边形，再利用四边形的周长公式求解即可。
10．（2022八下·朝阳期末）已知直线l及线段AB，点B在直线上，点A在直线外．如图，
⑴在直线l上取一点C（不与点B重合），连接AC；
⑵以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点B为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D（与点C位于直线AB异侧）；
⑶连接CD交AB于点O，连接AD，BD．
根据以上作图过程及所作图形，在下列结论①OA＝OB；②；③∠ACD＝∠ADC中，一定正确的是 （填写序号）．
【答案】①②
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可得，AD=BC，AC=BD，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∴OA=OB，AD∥BC，∠ACD=∠BDC，即①②符合题意，③不符合题意，
故答案为：①②．
【分析】根据平行四边形的判定方法和性质求解即可。
11．（2023八下·慈溪期中）如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接EC，过A作AM∥BC交CE的延长线于点M，
∵四边形CDEF为平行四边形，
∴EF∥CD，DE∥CF，
∴AC∥FM，AM∥DE∥CF，
∴四边形ACFM为平行四边形.
∵△CDE的边DE上的高与△BDE的边DE上的高相同，
∴△BDE的面积与△CDE的面积相等，同理可得△ADE的面积与△AME的面积相等，
∴S阴影=S ACFM=CF·hCF.
∵△ABC的面积为8，BC=3CF，
∴×3CF×hCF=8，
∴CF·hCF=，
∴S阴影=.
故答案为：.
【分析】连接EC，过A作AM∥BC交CE的延长线于点M，则四边形ACFM为平行四边形，根据同底等高的三角形面积相等可得△BDE的面积与△CDE的面积相等，△ADE的面积与△AME的面积相等，进而推出S阴影=S ACFM=CF·hCF，根据△ABC的面积公式可得×3CF×hCF=8，据此求解.
12．（2023八下·光明期中）如图，中，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于点N，过点C作C1C2//AB，且CC2=，过点C2作C2F⊥AC于点F，交AB于E，C2F的长度即为所求的最小值，
∵C1C2//DE，C1C2=DE，
∴四边形C1DEC2是平行四边形，
∴C1D= C2E，
又∵C，C1关于AB对称，
∴CD= C1D，
∴CD+EF= C2F，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴AC = BC = ，
∴，，
过点C2作C2M⊥AB，则C2M=C1N =CN =，
∴C2M//C1N， C1C2//MN，
∴MN = C1C2 =，
∵∠MEC2 = ∠AEF，∠AFE= ∠C2ME =90°，
∴∠MC2E=∠A=30°，
∴ME=1，C2M=，C2E= 2，
∴AE=AN-MN-ME=3--1=2-，
∴EF=1-，
∴C2F=3-，
即CD+EF的最小值为3-，
故答案为：3-.
【分析】利用平行四边形的判定方法求出四边形C1DEC2是平行四边形，再求出EF=1-，最后计算求解即可。
三、解答题
13．如图，在四边形 ABED中，AD∥BE，AE平分∠BAD，BF⊥AE 于点F，连结 DF 并延长，交 BE 于点 C，连结 AC.求证：四边形 ACED 是平行四边形.
【答案】证明：∵ AD∥BE，
∴ ∠DAF=∠CEF，
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠DAF，
∴ ∠BAE=∠CEF，
∴ △BAE为等腰三角形，
∵ BF⊥AE，
∴ AF=EF，
∵ ∠DAF=∠CEF，∠AFD=∠EFC，
∴ △ADF≌ △ECF（ASA），
∴ AD=EC，
∵ AD∥EC，
∴ 四边形ACED是平行四边形.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠BAE=∠CEF，可推出△BAE为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得AF=EF，根据ASA判定△ADF≌ △ECF推出AD=EC，即可判定.
14．（2023八下·榆阳期末）在中，点O是对角线的中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接如图1．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，过点C作的垂线，与分别交于点G、H、P如图2．
①当．时，求的长；
②求证：．
【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：①如图，过点D作于点N，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
②证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠ADB=∠CBD，从而用ASA可判断出△BOE≌△DOF，得DF=BE，然后根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形可得结论；
（2）①如图，过点D作于点N，由等腰三角形的三线合一得EN=CN=1，然后根据勾股定理算出DN=3，根据等腰直角三角形的性质可得DN=BN=3，最后根据BE=BN-EN可算出BE的长；
②首先根据直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等得∠EDN=∠ECG，由等腰三角形的三线合一得∠EDN=∠CDN，则∠ECG=∠CDN，进而根据角的和差及三角形外角相等可的∠DHC=∠CDB，由等角对等边可得CD=CH.
15．（2023八下·武鸣期末）在平面直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点，，且与直线：交于点．
（1）分别求出，，三点的坐标．
（2）若是射线上的点，且的面积为12，求直线的函数解析式．
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：直线，当时，，当时，，
，，
解方程组：，
得：，
，
即：，，；
（2）解：是射线上的点，
设，
由（1）得，，
，
的面积为12，
，
解得：，
，
设直线的函数表达式是，
把，代入得：
，
解得：，
，
即直线的函数表达式是；
（3）解：存在点，分以下三种情况：
以为对角线时，，如图，
，，，
点即为点向上平移6个单位，
；
以为对角线时，，
，，，
点即为点向下平移6个单位，
；
以为对角线时，
，，，四边形是平行四边形，
的中点坐标与的中点坐标相同，为，
；
综上所述，符合条件的点坐标有或或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）将x=0代入即可解出点C的坐标；将y=0代入即可解出点B的值坐标，联立两个函数，即可解得点A的坐标.
（2）首先设出点D的坐标，根据的面积即可得出点D的坐标，再设出CD的函数解析式，将点C点D代入运用待定系数法解出解析式即可.
（3）本题分三种情况可解：①以CD为对角线，OC∥DP；②以OD为对角线，OC∥DP'；③以OC为对角线，分别解出上述情况的点P的坐标即可.
1 / 1
