2024年浙教版数学八年级下册4.5三角形的中位线课后提高练
一、选择题
1．如图，在△ABC 中，BC=4，D，E分别为AB，AC的中点，则 DE的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023八下·黄岛期末）如图，在一次实践活动课上，小明为了测量池塘，两点间的距离，他先在池塘的一侧选定一点，然后分别取线段，的中点，，测量出，于是可以计算出，两点间的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八下·香洲期末）在中，，点D和点E分别为和的中点，则长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
4．（2022八下·海淀期中）如图，CD是的中线，E，F分别是AC，DC的中点，，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022八下·海淀期中）如图，在中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形BCHG，若，，则的面积是（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
6．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长 CB 至点E，使 BE=BC，连结 DE，F 是DE 的中点，连结 BF.若 AC=8，BC=6，则 BF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
7．（2023八下·荆门期末）如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA边上的一个动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为（ ）
A． B．(-6，0) C． D．
8．（2023八下·安达期末）下列说法中错误的是（ ）
A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B．等底等高三角形的面积相等
C．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
D．如果三角形两条边的长分别是a、b，第三边长为c，则有a2+b2=c2
二、填空题
9．在△ABC中，AB=4，BC=6，AC=8，D，E，F分别为边AB，BC，AC的中点，则△DEF的周长为
10．如图，在△ABC中，M，N分别是AB 和AC 的中点，连结 MN，E 是CN 的中点，连结 ME 并延长，交 BC 的延长线于点 D.若 BC=4，则CD的长为 .
11．如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD=4 cm，则该工件内槽宽AB的长为 cm．
12．（2021八下·拱墅月考）如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为 .
三、解答题
13．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE至点F，使EF=2DE，连结FC.求证：四边形BCFE是平行四边形.
14．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，F为边CD的中点，E为矩形ABCD外一动点，且∠AEC=90°，求线段EF的最大值．
15．（2023八下·大荔期末）如图①所示，平行四边形是某公园的平面示意图．、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：
（1）若，，，公园的面积为 ；
（2）在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了南湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种郁金香区域的面积；
（3）若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的是小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ D，E分别为AB，AC的中点
∴DE为△ABC的中位线，
∴ DE=BC=2.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半可得答案.
2．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是OA、OB的中点
∴DE是△OAB的中位线
∴AB=2DE
=2×20
=40
故答案为：D.
【分析】由题意可得DE是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理即可求解。
3．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，点D和点E分别为和的中点，
是的中位线，
故答案为：A.
【分析】先求出DE是的中位线，再根据BC=8计算求解即可。
4．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E、F分别是AC、DC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴AD=2EF=2，
∵CD是△ABC的中线，
∴BD=AD=2
故答案为：B．
【分析】根据中位线的性质可得AD=2EF=2，再利用中线的性质可得BD=AD=2。
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=8，
由题意得BG=AF=2，，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用中位线的性质可得BC=2DE=8，再结合，利用三角形的面积公式可得。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=
∵CD为中线，
∴CD=
∵BE=BC，
∴B是EC的中点，
又∵F为DE的中点，
∴BF是△CDE的中位线，
∴BF=
故答案为：B.
【分析】在Rt△ABC中，用勾股定理可求得AB的值，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AB的值，由已知可得BF是三角形ECD的中位线，根据三角形的中位线定理可求解.
7．【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CD，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
令中x=0，则y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令中y=0，则，
解得：x=-6，
∴点A的坐标为（-6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（-3，2），点D（0，2），CD∥x轴，
∵点D'和点D关于x轴对称，
∴点D'的坐标为（0，-2），点O为线段DD'的中点．
又∵OP∥CD，
∴点P为线段CD'的中点，
∴点P的坐标为．
故答案为：A.
【分析】根据一次函数解析式求一次函数与坐标轴的交点坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D关于x轴的对称点D'的坐标，根据三角形中位线定理：连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位；即可得出点P为线段CD'的中点，由此即可得出点P的坐标．
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，本项正确；
B、等底等高三角形的面积相等，本项正确；
C、三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，本项正确；
D、如果三角形两条边的长分别是a、b，第三边长为c，则有，那该三角形一定是直角三角
形，本项错误；
故答案为：D.
【分析】根据三角形的相关性质，逐项判断语句是否正确.
9．【答案】9
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ D，E，F分别为边AB，BC，AC的中点，
∴DF=BC=3，EF=AB=2，ED=AC=4，
∴△DEF的周长为DF+EF+DE=3+2+4=9.
故答案为：9.
【分析】根据三角形中位线定理分别求出DF、EF、ED的长，继而求出△DEF的周长.
10．【答案】2
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵M，N分别是AB 和AC 的中点 ，
∴ MN=BC=2， MN∥BC，即MN∥CD，
∴ ∠MNE=∠DCE，
∵ E是CN的中点，
∴ EN=EC，
∵ ∠MEN=∠DEC，
∴ △MEN≌△DEC（ASA），
∴ CD=MN=2.
故答案为：2.
【分析】根据三角形的中位线的性质得MN=BC，MN∥BC，根据平行线的性质得∠MNE=∠DCE，依据ASA判定△MEN≌△DEC推出CD=MN，即可求得.
11．【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴
故答案为：8.
【分析】根据三角形中位线定理即可得到即可求解.
12．【答案】12
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA），
∴AD＝AB＝8，BN＝ND，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴DC＝2MN＝4，
∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，
故答案为：12.
【分析】 延长BN交AC于D，利用ASA证明△ANB≌△AND，得出AD的长度和BN=ND，然后根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可求出AC的长．
13．【答案】证明：∵ D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∵EF=2DE，
则DE=EF，
∴EF=BC，
∴ 四边形BCFE是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】由三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”并根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可求解.
14．【答案】解：如图，连结AC，OE，OF，取AC的中点O，如图：
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∠B=90°，F为CD的中点，
∴AC= =10．
∵AO=OC，CF=FD，
∴OF=AD=BC=4．
∵∠AEC= 90° ，
∴OE=AC=×10=5．由三角形的三边关系，得O，E，F三点共线时EF最大，此时EF的最大值为4+5=9．
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连结AC，OE，OF，取AC的中点O，根据已知条件并利用勾股定理即可求出AC的长度，然后根据三角形的中位线定理得到进而求出OE的长度，最后根据三角形的三边关系，得O，E，F三点共线时，EF最大，进而即可求解.
15．【答案】（1）
（2）解：连接、，如图：
在中，，
，
，
，，，
，
，
．
种植郁金香区域的面积为．
（3）解：将沿向下平移至，
连接交于点，此时即为取最小值，此时点位于处，过作于点，如图：
，，
为的中位线，
，
四边形和四边形均为平行四边形，
，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，
由勾股定理得：，
，
、、和的最小值为：，
投入资金的最小值为：（万元）．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）作BE⊥OA，如下图：
∵四边形ABCD为平行四边形，AC=2.6km，BD=2km，
∴
∵AB=OB，BE⊥OA，
∴
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】（1）作BE⊥OA，根据平行四边形的性质求OA、OB，从而求得，即可得出答案；
（2）根据已知条件得：，从而，再根据：，证明：，即可求解；
（3）由题意可知MN为定值，从而将AN沿NM向下平移2km至PM，连接PC交BD于点M'，此时即为 AN+CM=PC取最小值，此时点N位于N'处，过M'作M'G⊥AC于点G，先判定四边形APM'N'和四边形AM'CN'均为平行四边形，再用三角函数求得：的长，然后利用·勾股定理求得PC的长，可得最短的绿道长度，从而求得费用的最小值.
1 / 12024年浙教版数学八年级下册4.5三角形的中位线课后提高练
一、选择题
1．如图，在△ABC 中，BC=4，D，E分别为AB，AC的中点，则 DE的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ D，E分别为AB，AC的中点
∴DE为△ABC的中位线，
∴ DE=BC=2.
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半可得答案.
2．（2023八下·黄岛期末）如图，在一次实践活动课上，小明为了测量池塘，两点间的距离，他先在池塘的一侧选定一点，然后分别取线段，的中点，，测量出，于是可以计算出，两点间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是OA、OB的中点
∴DE是△OAB的中位线
∴AB=2DE
=2×20
=40
故答案为：D.
【分析】由题意可得DE是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理即可求解。
3．（2022八下·香洲期末）在中，，点D和点E分别为和的中点，则长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，点D和点E分别为和的中点，
是的中位线，
故答案为：A.
【分析】先求出DE是的中位线，再根据BC=8计算求解即可。
4．（2022八下·海淀期中）如图，CD是的中线，E，F分别是AC，DC的中点，，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点E、F分别是AC、DC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴AD=2EF=2，
∵CD是△ABC的中线，
∴BD=AD=2
故答案为：B．
【分析】根据中位线的性质可得AD=2EF=2，再利用中线的性质可得BD=AD=2。
5．（2022八下·海淀期中）如图，在中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形BCHG，若，，则的面积是（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=8，
由题意得BG=AF=2，，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用中位线的性质可得BC=2DE=8，再结合，利用三角形的面积公式可得。
6．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长 CB 至点E，使 BE=BC，连结 DE，F 是DE 的中点，连结 BF.若 AC=8，BC=6，则 BF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=
∵CD为中线，
∴CD=
∵BE=BC，
∴B是EC的中点，
又∵F为DE的中点，
∴BF是△CDE的中位线，
∴BF=
故答案为：B.
【分析】在Rt△ABC中，用勾股定理可求得AB的值，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AB的值，由已知可得BF是三角形ECD的中位线，根据三角形的中位线定理可求解.
7．（2023八下·荆门期末）如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA边上的一个动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为（ ）
A． B．(-6，0) C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CD，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
令中x=0，则y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令中y=0，则，
解得：x=-6，
∴点A的坐标为（-6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（-3，2），点D（0，2），CD∥x轴，
∵点D'和点D关于x轴对称，
∴点D'的坐标为（0，-2），点O为线段DD'的中点．
又∵OP∥CD，
∴点P为线段CD'的中点，
∴点P的坐标为．
故答案为：A.
【分析】根据一次函数解析式求一次函数与坐标轴的交点坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D关于x轴的对称点D'的坐标，根据三角形中位线定理：连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位；即可得出点P为线段CD'的中点，由此即可得出点P的坐标．
8．（2023八下·安达期末）下列说法中错误的是（ ）
A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B．等底等高三角形的面积相等
C．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
D．如果三角形两条边的长分别是a、b，第三边长为c，则有a2+b2=c2
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，本项正确；
B、等底等高三角形的面积相等，本项正确；
C、三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，本项正确；
D、如果三角形两条边的长分别是a、b，第三边长为c，则有，那该三角形一定是直角三角
形，本项错误；
故答案为：D.
【分析】根据三角形的相关性质，逐项判断语句是否正确.
二、填空题
9．在△ABC中，AB=4，BC=6，AC=8，D，E，F分别为边AB，BC，AC的中点，则△DEF的周长为
【答案】9
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ D，E，F分别为边AB，BC，AC的中点，
∴DF=BC=3，EF=AB=2，ED=AC=4，
∴△DEF的周长为DF+EF+DE=3+2+4=9.
故答案为：9.
【分析】根据三角形中位线定理分别求出DF、EF、ED的长，继而求出△DEF的周长.
10．如图，在△ABC中，M，N分别是AB 和AC 的中点，连结 MN，E 是CN 的中点，连结 ME 并延长，交 BC 的延长线于点 D.若 BC=4，则CD的长为 .
【答案】2
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵M，N分别是AB 和AC 的中点 ，
∴ MN=BC=2， MN∥BC，即MN∥CD，
∴ ∠MNE=∠DCE，
∵ E是CN的中点，
∴ EN=EC，
∵ ∠MEN=∠DEC，
∴ △MEN≌△DEC（ASA），
∴ CD=MN=2.
故答案为：2.
【分析】根据三角形的中位线的性质得MN=BC，MN∥BC，根据平行线的性质得∠MNE=∠DCE，依据ASA判定△MEN≌△DEC推出CD=MN，即可求得.
11．如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD=4 cm，则该工件内槽宽AB的长为 cm．
【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴
故答案为：8.
【分析】根据三角形中位线定理即可得到即可求解.
12．（2021八下·拱墅月考）如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为 .
【答案】12
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA），
∴AD＝AB＝8，BN＝ND，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴DC＝2MN＝4，
∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，
故答案为：12.
【分析】 延长BN交AC于D，利用ASA证明△ANB≌△AND，得出AD的长度和BN=ND，然后根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可求出AC的长．
三、解答题
13．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE至点F，使EF=2DE，连结FC.求证：四边形BCFE是平行四边形.
【答案】证明：∵ D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∵EF=2DE，
则DE=EF，
∴EF=BC，
∴ 四边形BCFE是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】由三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”并根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可求解.
14．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，F为边CD的中点，E为矩形ABCD外一动点，且∠AEC=90°，求线段EF的最大值．
【答案】解：如图，连结AC，OE，OF，取AC的中点O，如图：
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∠B=90°，F为CD的中点，
∴AC= =10．
∵AO=OC，CF=FD，
∴OF=AD=BC=4．
∵∠AEC= 90° ，
∴OE=AC=×10=5．由三角形的三边关系，得O，E，F三点共线时EF最大，此时EF的最大值为4+5=9．
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连结AC，OE，OF，取AC的中点O，根据已知条件并利用勾股定理即可求出AC的长度，然后根据三角形的中位线定理得到进而求出OE的长度，最后根据三角形的三边关系，得O，E，F三点共线时，EF最大，进而即可求解.
15．（2023八下·大荔期末）如图①所示，平行四边形是某公园的平面示意图．、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：
（1）若，，，公园的面积为 ；
（2）在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了南湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种郁金香区域的面积；
（3）若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的是小值．
【答案】（1）
（2）解：连接、，如图：
在中，，
，
，
，，，
，
，
．
种植郁金香区域的面积为．
（3）解：将沿向下平移至，
连接交于点，此时即为取最小值，此时点位于处，过作于点，如图：
，，
为的中位线，
，
四边形和四边形均为平行四边形，
，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，
由勾股定理得：，
，
、、和的最小值为：，
投入资金的最小值为：（万元）．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）作BE⊥OA，如下图：
∵四边形ABCD为平行四边形，AC=2.6km，BD=2km，
∴
∵AB=OB，BE⊥OA，
∴
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】（1）作BE⊥OA，根据平行四边形的性质求OA、OB，从而求得，即可得出答案；
（2）根据已知条件得：，从而，再根据：，证明：，即可求解；
（3）由题意可知MN为定值，从而将AN沿NM向下平移2km至PM，连接PC交BD于点M'，此时即为 AN+CM=PC取最小值，此时点N位于N'处，过M'作M'G⊥AC于点G，先判定四边形APM'N'和四边形AM'CN'均为平行四边形，再用三角函数求得：的长，然后利用·勾股定理求得PC的长，可得最短的绿道长度，从而求得费用的最小值.
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