2024年浙教版数学八年级下册4.5三角形的中位线课后培优练
一、选择题
1．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的周长是（ ）
A．28 B．14 C．10 D．7
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，E是CA延长线上-点，F是CB上一点，AE=12，BF=8，点P，Q，D分别是AF ，BE，AB的中点，则PQ的长为（ ）
A． B．4 C．6 D．
3．（2023八下·岳池期末）如图，在中，，分别是，的中点，是上一点，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·雅安期末）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，，若，，则的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（2023八下·黄山期末）如图，在中，，、、分别是三边的中点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·海曙期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=8，点D是AC上一个动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，线段DE的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．6
7．（2022八下·临渭期末）如图，在 中， ， ， 分别是 ， 的中点， ， 为 上的点，连接 ， ．若 cm， cm， cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A．25cm2 B．35cm2 C．30cm2 D．42cm2
8．（2020八下·江岸期中）如图， 中， ，点 在边 上，且满足 ， 为线段 的中点，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．6
二、填空题
9．（2023八下·双流期末）如图，在中，，，，，分别为，上的中点，连接，，分别取，，的中点，，，顺次连接，，，则的周长为 ．
10．（2023八下·乌鲁木齐期末）在正方形中，，点在边上，沿直线翻折后点落到正方形的内部点，连接、、，如图，如果，那么 ．
11．（2023八下·嵊州期末）如图，在中，于点，其中分别是，，的中点，下列三个结论：①四边形是平行四边形；②；③．其中正确的结论是 ．（填上相应的序号即可）
12．（2023八下·温州期中）如图1是雨伞的结构示意图．OP是伞柄，OM，AB，CD是伞骨．已知点A，C分别是OM，AB的中点．CD＝（dm），点B，D在OP上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当OP与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，∠ABD＝90°；再将雨伞收拢到如图3，此时B′D′＝1（dm），且点C′到OP的距离恰好等于图2中BD的长．则伞骨AB的长为 （dm），设图2中能罩住的水平面面积是S1，图3中能罩住的水平面面积是S2，则＝ ．
三、解答题
13．（2023八下·石景山期末）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，点D，E分别是，边的中点．求证：，且．
（1）方法一：证明：如图，延长到点，使，连接，，．
（2）方法二：证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
14．（2023八下·无为期末）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EFBC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
15．（2023八下·遂川期末）
（1）课本再现
已知：如图，是的中位线．求证：，且．
定理证明
证明：如图1，延长至点，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
（2）知识应用
如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
∴
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴四边形BDEF的周长：
故答案为：B.
【分析】根据三角形中位线定理得到：即可证明四边形BDEF为平行四边形，进而可计算出四边形BDEF的周长.
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点P，Q，D分别是AF ，BE，AB的中点，
∴
∵即
∴
∴
同理：
∴为直角三角形，
∴
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线定理得到：然后根据垂直的定义证明为直角三角形，最后利用勾股定理即可求解.
3．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，分别是，的中点，，
∴
∵，是的中点，
∴
∴DF=4-2.5=1.5
故答案为：B.
【分析】根据中位线的性质求得DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得EF，进而求得DF的长.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵E、F分别是、的中点，
∴EF//AC，EF=
∵，
∴
∴EF=6
故答案为：A.
【分析】连接AC，根据已知条件得出EF//AC，进而根据勾股定理求得AC，根据三角形的中位线定理，即可求解．
5．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】据题意，AF是直角三角形ABC的中线，
∴AF＝1/2BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∵D、E是三角形边上中点，∴ DE=1/2BC(三角形的中位线平行与第三边且等于第三边的一半)
∴DE=AF= ，
故选C。
【分析】掌握直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理。
6．【答案】B
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=8 ，
∴BC==4，
在平行四边形ADBE中 ，OD=OE=DE，OA=OB，
∴当OD最小时，ED线段最短，此时OD⊥BC，
∵ ∠C=90° ，
∴OC∥BC，即得OD是△ABC的中位线，
∴OD=BC=2，
∴DE=2OD=4.
故答案为：B.
【分析】由勾股定理求出BC的长，由平行四边形的性质可得OD=OE=DE，OA=OB，利用垂线段最短可得当OD最小时，ED线段最短，此时OD⊥BC，从而得出OC∥BC，即得OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得OD=BC，继而求出ED的长.
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
连接MN，则MN是△ABC的中位线，
∴MN=BC=5cm，
过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，
∴BF=BC=5cm，
∴AF=，
∵图中阴影部分的三个三角形的底边长都是5cm，且高的和为12cm，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接MN，根据中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），可得出MN=DE=5cm，过点A作AF⊥BC于点F，利用勾股定理求出△ABC的高为12cm，图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底边长都是5cm，且高的和为12cm，据此可求出图中阴影部分的面积.
8．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取 的中点 ，连接 ，
为 的中点，
，
为 的中点，
记 的交点为 ，连接 交 于 ，
为 的重心，
故答案为：B.
【分析】取 的中点 ，连接 ，记 的交点为 ，连接 交 于 ，得到 的长，由勾股定理得到答案.
9．【答案】6
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别为BC，AC的中点，
∴AE=AC=4，BD=CB=3，
∵M，N，P是AD，BE，AB的中点，
∴，，，，
∴∠APM=∠ABC， ∠BPN=∠ BAC，
∵ ∠ABC+ BAC=90°，
∴∠ APM+ ∠BPN=90°，
∴ ∠MPN=90°，
∴，
∴的周长=PM+MN+PN=6
故答案为：6.
【分析】利用中位线的性质可求得PM和PN的长度，同时得到是直角三角形，用勾股定理求MN的长度。
10．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接EF，过点A作AH⊥DF于点F，交CD于点G，连接FG，如图，
∵翻折
∴AB=AF，BE=EF，AE垂直平分BF，∠AFE=∠ABE=90°
∵∠BFC=90°，
∴CF∥EM，
∴EM是△BCF的中位线，
∴CE=BE=EF=2.5，
∵AD=AF，AH⊥DF，
∴AG垂直平分DF，
∴DG=FG，∠AFG=∠ADG=90°，DH=，
∴∠AFE+∠AFG=180°，即点E、F、G在同一直线上，
在Rt△CGE中，CE=EF=2.5，设GF=DG=x，CG=5-x，
∴（2.5+x）2=（5-x）2+2.52，
解得：x=，即DG=，
在Rt△ADG中，AD=5，DG=，
∴AG=，
∴S△ADG=AD×DG×=AG×DH×，
∴，即DH=，
∴DF=2DH=.
故答案为：.
【分析】根据翻折得到AF=AB，EF=BE=CE，作AH⊥DF可得△AFG和△ADG关于AG对称，在Rt△CEG中利用勾股定理可得DG长，在Rt△ADG中利用勾股定理可得AG长，利用△ADG的面积可得DH长，从而求得DF长.
11．【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；三角形全等的判定（SSS）；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，
∴EF、DE为△ABC的中位线，
∴EF∥BD，DE∥AB，
∴四边形BDEF为平行四边形，故①正确；
∵AH⊥BC，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，
∴HE=AC，HF=AB.
∵EF、DE为△ABC的中位线，
∴DF=AC，DE=AB，
∴HE=DF，HF=DE，
∴△DEF≌△HFE（SSS），故②正确；
∵EF∥BC，
∴S△DFH=S△DEH，
∴S△DFH+S△HEC=S△DEH+S△HEC=S△DEC.
∵点D为BC的中点，EF∥BC，
∴S△BDF=S△DEC，
∴S△DFH+S△HEC=S△BDF，故③正确.
故答案为：①②③.
【分析】由题意可得EF、DE为△ABC的中位线，则EF∥BD，DE∥AB，然后根据平行四边形的判定定理可判断①；根据中位线的性质可得DF=AC，DE=AB，由直角三角形斜边上中线的性质可得HE=AC，HF=AB，则HE=DF，HF=DE，然后根据全等三角形的判定定理可判断②；易得S△BDF=S△DEC，S△DFH=S△DEH，则S△DFH+S△HEC=S△DEH+S△HEC=S△DEC.，据此判断③.
12．【答案】；6
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵如图2，BD=B'D'=1 dm，BC=dm，∠ABD=90°，
∴BC=dm，
∵C是AB的中点，
∴AB=2BC=dm，
如图，在OP上取BN=OB，则B是ON的中点，
∵A是OM的中点，
∴MN=2AB= dm，
如图，作A'E'⊥OP于E'，M'N'⊥OP'于N'，C'F'⊥OP'于F'，
则C'F'=1，
∵A'是OM'的中点，A'E'⊥OP'，M'N'⊥OP'，
∴A'E'是△OM'N'的中位线，
同理，C'F'是△A'E'B'的中位线，
∴A'E'=2，M'N'=4，
∴.
故答案为：，6.
【分析】利用勾股定理求出BC=，再计算得到AB=，依据中位线定理求得MN=；根据题意得出C'F'=1，再利用中位线定理求得M'N'=4，最后利用圆的面积公式计算出.
13．【答案】（1）解：方法一
证明：如图，延长到点，使，连接，，．
∵点D，E分别是，边的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，，
∴，
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴，．
又∵，
∴，且．
（2）解：方法二
证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
∵点D，E分别是，边的中点，
∴，．
又∵，
∴．
∴，，
∴．
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，．
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，且．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）延长到点，使，连接，，，先根据中点得到，，进而根据平行四边形的判定与性质得到，，四边形DBCF是平行四边形，再结合题意即可求解；
（2）取中点，连接并延长到点，使，连接，先根据中点得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，，从而结合平行四边形的判定与性质即可求解。
14．【答案】（1）证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE＝EC．
∵BD＝CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）解：BF＝（AB-AC）．
理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB-AG）＝（AB-AC）．
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 (1) 掌握平行四边形的判定定理，由中位线定理找到需要的条件；
(2) 由(1)的结论出发，根据平行四边形性质、中位线定理、全等带来的等量关系转化，找到和差倍半的关系式。
15．【答案】（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接，
，
点是的边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
又点是的边的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
即，．
（2）解：如图2，点，，分别是，，的中点，
，，，，
，，，，
，，
，
，
在中，．
的长为5．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据线段的中点求出 ， 再利用全等三角形的判定求出 ， 最后利用平行四边形的判定与性质计算求解即可；
（2）利用三角形的中位线求出 ，，，， 再利用勾股定理计算求解即可。
1 / 12024年浙教版数学八年级下册4.5三角形的中位线课后培优练
一、选择题
1．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的周长是（ ）
A．28 B．14 C．10 D．7
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
∴
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴四边形BDEF的周长：
故答案为：B.
【分析】根据三角形中位线定理得到：即可证明四边形BDEF为平行四边形，进而可计算出四边形BDEF的周长.
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，E是CA延长线上-点，F是CB上一点，AE=12，BF=8，点P，Q，D分别是AF ，BE，AB的中点，则PQ的长为（ ）
A． B．4 C．6 D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点P，Q，D分别是AF ，BE，AB的中点，
∴
∵即
∴
∴
同理：
∴为直角三角形，
∴
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线定理得到：然后根据垂直的定义证明为直角三角形，最后利用勾股定理即可求解.
3．（2023八下·岳池期末）如图，在中，，分别是，的中点，是上一点，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，分别是，的中点，，
∴
∵，是的中点，
∴
∴DF=4-2.5=1.5
故答案为：B.
【分析】根据中位线的性质求得DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得EF，进而求得DF的长.
4．（2023八下·雅安期末）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，，若，，则的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵E、F分别是、的中点，
∴EF//AC，EF=
∵，
∴
∴EF=6
故答案为：A.
【分析】连接AC，根据已知条件得出EF//AC，进而根据勾股定理求得AC，根据三角形的中位线定理，即可求解．
5．（2023八下·黄山期末）如图，在中，，、、分别是三边的中点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】据题意，AF是直角三角形ABC的中线，
∴AF＝1/2BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∵D、E是三角形边上中点，∴ DE=1/2BC(三角形的中位线平行与第三边且等于第三边的一半)
∴DE=AF= ，
故选C。
【分析】掌握直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理。
6．（2023八下·海曙期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=8，点D是AC上一个动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，线段DE的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．6
【答案】B
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=8 ，
∴BC==4，
在平行四边形ADBE中 ，OD=OE=DE，OA=OB，
∴当OD最小时，ED线段最短，此时OD⊥BC，
∵ ∠C=90° ，
∴OC∥BC，即得OD是△ABC的中位线，
∴OD=BC=2，
∴DE=2OD=4.
故答案为：B.
【分析】由勾股定理求出BC的长，由平行四边形的性质可得OD=OE=DE，OA=OB，利用垂线段最短可得当OD最小时，ED线段最短，此时OD⊥BC，从而得出OC∥BC，即得OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得OD=BC，继而求出ED的长.
7．（2022八下·临渭期末）如图，在 中， ， ， 分别是 ， 的中点， ， 为 上的点，连接 ， ．若 cm， cm， cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A．25cm2 B．35cm2 C．30cm2 D．42cm2
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
连接MN，则MN是△ABC的中位线，
∴MN=BC=5cm，
过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，
∴BF=BC=5cm，
∴AF=，
∵图中阴影部分的三个三角形的底边长都是5cm，且高的和为12cm，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接MN，根据中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），可得出MN=DE=5cm，过点A作AF⊥BC于点F，利用勾股定理求出△ABC的高为12cm，图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底边长都是5cm，且高的和为12cm，据此可求出图中阴影部分的面积.
8．（2020八下·江岸期中）如图， 中， ，点 在边 上，且满足 ， 为线段 的中点，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取 的中点 ，连接 ，
为 的中点，
，
为 的中点，
记 的交点为 ，连接 交 于 ，
为 的重心，
故答案为：B.
【分析】取 的中点 ，连接 ，记 的交点为 ，连接 交 于 ，得到 的长，由勾股定理得到答案.
二、填空题
9．（2023八下·双流期末）如图，在中，，，，，分别为，上的中点，连接，，分别取，，的中点，，，顺次连接，，，则的周长为 ．
【答案】6
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别为BC，AC的中点，
∴AE=AC=4，BD=CB=3，
∵M，N，P是AD，BE，AB的中点，
∴，，，，
∴∠APM=∠ABC， ∠BPN=∠ BAC，
∵ ∠ABC+ BAC=90°，
∴∠ APM+ ∠BPN=90°，
∴ ∠MPN=90°，
∴，
∴的周长=PM+MN+PN=6
故答案为：6.
【分析】利用中位线的性质可求得PM和PN的长度，同时得到是直角三角形，用勾股定理求MN的长度。
10．（2023八下·乌鲁木齐期末）在正方形中，，点在边上，沿直线翻折后点落到正方形的内部点，连接、、，如图，如果，那么 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接EF，过点A作AH⊥DF于点F，交CD于点G，连接FG，如图，
∵翻折
∴AB=AF，BE=EF，AE垂直平分BF，∠AFE=∠ABE=90°
∵∠BFC=90°，
∴CF∥EM，
∴EM是△BCF的中位线，
∴CE=BE=EF=2.5，
∵AD=AF，AH⊥DF，
∴AG垂直平分DF，
∴DG=FG，∠AFG=∠ADG=90°，DH=，
∴∠AFE+∠AFG=180°，即点E、F、G在同一直线上，
在Rt△CGE中，CE=EF=2.5，设GF=DG=x，CG=5-x，
∴（2.5+x）2=（5-x）2+2.52，
解得：x=，即DG=，
在Rt△ADG中，AD=5，DG=，
∴AG=，
∴S△ADG=AD×DG×=AG×DH×，
∴，即DH=，
∴DF=2DH=.
故答案为：.
【分析】根据翻折得到AF=AB，EF=BE=CE，作AH⊥DF可得△AFG和△ADG关于AG对称，在Rt△CEG中利用勾股定理可得DG长，在Rt△ADG中利用勾股定理可得AG长，利用△ADG的面积可得DH长，从而求得DF长.
11．（2023八下·嵊州期末）如图，在中，于点，其中分别是，，的中点，下列三个结论：①四边形是平行四边形；②；③．其中正确的结论是 ．（填上相应的序号即可）
【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；三角形全等的判定（SSS）；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，
∴EF、DE为△ABC的中位线，
∴EF∥BD，DE∥AB，
∴四边形BDEF为平行四边形，故①正确；
∵AH⊥BC，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，
∴HE=AC，HF=AB.
∵EF、DE为△ABC的中位线，
∴DF=AC，DE=AB，
∴HE=DF，HF=DE，
∴△DEF≌△HFE（SSS），故②正确；
∵EF∥BC，
∴S△DFH=S△DEH，
∴S△DFH+S△HEC=S△DEH+S△HEC=S△DEC.
∵点D为BC的中点，EF∥BC，
∴S△BDF=S△DEC，
∴S△DFH+S△HEC=S△BDF，故③正确.
故答案为：①②③.
【分析】由题意可得EF、DE为△ABC的中位线，则EF∥BD，DE∥AB，然后根据平行四边形的判定定理可判断①；根据中位线的性质可得DF=AC，DE=AB，由直角三角形斜边上中线的性质可得HE=AC，HF=AB，则HE=DF，HF=DE，然后根据全等三角形的判定定理可判断②；易得S△BDF=S△DEC，S△DFH=S△DEH，则S△DFH+S△HEC=S△DEH+S△HEC=S△DEC.，据此判断③.
12．（2023八下·温州期中）如图1是雨伞的结构示意图．OP是伞柄，OM，AB，CD是伞骨．已知点A，C分别是OM，AB的中点．CD＝（dm），点B，D在OP上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当OP与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，∠ABD＝90°；再将雨伞收拢到如图3，此时B′D′＝1（dm），且点C′到OP的距离恰好等于图2中BD的长．则伞骨AB的长为 （dm），设图2中能罩住的水平面面积是S1，图3中能罩住的水平面面积是S2，则＝ ．
【答案】；6
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵如图2，BD=B'D'=1 dm，BC=dm，∠ABD=90°，
∴BC=dm，
∵C是AB的中点，
∴AB=2BC=dm，
如图，在OP上取BN=OB，则B是ON的中点，
∵A是OM的中点，
∴MN=2AB= dm，
如图，作A'E'⊥OP于E'，M'N'⊥OP'于N'，C'F'⊥OP'于F'，
则C'F'=1，
∵A'是OM'的中点，A'E'⊥OP'，M'N'⊥OP'，
∴A'E'是△OM'N'的中位线，
同理，C'F'是△A'E'B'的中位线，
∴A'E'=2，M'N'=4，
∴.
故答案为：，6.
【分析】利用勾股定理求出BC=，再计算得到AB=，依据中位线定理求得MN=；根据题意得出C'F'=1，再利用中位线定理求得M'N'=4，最后利用圆的面积公式计算出.
三、解答题
13．（2023八下·石景山期末）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，点D，E分别是，边的中点．求证：，且．
（1）方法一：证明：如图，延长到点，使，连接，，．
（2）方法二：证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
【答案】（1）解：方法一
证明：如图，延长到点，使，连接，，．
∵点D，E分别是，边的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，，
∴，
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴，．
又∵，
∴，且．
（2）解：方法二
证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
∵点D，E分别是，边的中点，
∴，．
又∵，
∴．
∴，，
∴．
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，．
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，且．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）延长到点，使，连接，，，先根据中点得到，，进而根据平行四边形的判定与性质得到，，四边形DBCF是平行四边形，再结合题意即可求解；
（2）取中点，连接并延长到点，使，连接，先根据中点得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，，从而结合平行四边形的判定与性质即可求解。
14．（2023八下·无为期末）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EFBC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
【答案】（1）证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE＝EC．
∵BD＝CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）解：BF＝（AB-AC）．
理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB-AG）＝（AB-AC）．
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 (1) 掌握平行四边形的判定定理，由中位线定理找到需要的条件；
(2) 由(1)的结论出发，根据平行四边形性质、中位线定理、全等带来的等量关系转化，找到和差倍半的关系式。
15．（2023八下·遂川期末）
（1）课本再现
已知：如图，是的中位线．求证：，且．
定理证明
证明：如图1，延长至点，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
（2）知识应用
如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长．
【答案】（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接，
，
点是的边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
又点是的边的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
即，．
（2）解：如图2，点，，分别是，，的中点，
，，，，
，，，，
，，
，
，
在中，．
的长为5．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据线段的中点求出 ， 再利用全等三角形的判定求出 ， 最后利用平行四边形的判定与性质计算求解即可；
（2）利用三角形的中位线求出 ，，，， 再利用勾股定理计算求解即可。
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