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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第五章
课标要求 1.理解矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系.2.探索并证明矩形、菱形的性质定理:矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直.3.探索并证明矩形、菱形的判定定理:三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.4.正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系。
内容分析 本章是浙教版八年级下册第五章《特殊平行四边形》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“图形的性质”.本章的主要内容有矩形、菱形、正方形.特殊平行四边形是初中数学中的重要内容，它是在学生学行四边形的基础上，进一步研究特殊平行四边形.其中矩形、菱形是特殊的平行四边形,正方形可以看做特殊的矩形,也可以看做特殊的菱形. 本章所学的这些图形在我们的周围随处可见，在日常生活和生产实践中有广泛的应用.且本章的学习内容既是平行四边形知识的延伸，也是对三角形有关定理内容的巩固练习，同时为后续学习其他平面图形面积计算等知识点奠定基础，在整个“图形与几何”领域中有着重要的地位.
学情分析 《特殊平行四边形》这一章是在学生学行四边形的性质定理、平行四边形的判定定理、平行线、三角形的初步知识、特殊三角形等内容，有了一定的逻辑推理能力的基础上进行构建的.本章知识是在此基础上，全面研究多矩形、菱形、正方形.本章往往会涉及一些推理过程较长,综合运用知识较多的题,教师在教学中展示教学过程应当细致、周密,精心设计分析启发过程.对推理过程的表述,教师仍需多作板演示范.虽然学生对特殊平行四边形的概念、性质和判定方法有一定的了解，但对其中的细节和深层次的理解可能存在不足，教师应该注重引导学生理解特殊平行四边形的概念和性质，以及它们之间的联系和区别.
单元目标 （一）教学目标1.理解矩形、菱形的概念，探索并证明矩形、菱形的性质定理，以及它们的判定定理.2.理解正方形的概念,探索并掌握正方形的对称性及其他有关性质，以及一个四边形是正方形的条件.3.会初步综合应用特殊平行四边形的知识，解决一些简单的实际问题.（二）教学重点、难点教学重点：熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定教学难点：特殊平行四边形的性质和判定的应用
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数5.1矩形25.2菱形25.3正方形2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务5.1.1矩形1.经历矩形的概念性质的发现过程.2.掌握矩形的概念.3.掌握矩形的性质定理“矩形的四个角都是直角”4.掌握矩形的性质定理“矩形的对角线相等”5.探索矩形的对称性.会用矩形的概念和性质解决简单的几何问题.活动一：复习导入，回顾平行四边形的相关性质。活动二：探究新知，经历矩形性质的发现过程.活动三：例题精讲，用矩形的概念和性质解决简单的几何问题.活动四：针对训练，请学生回答问题.5.1.2矩形1.经历矩形的判定定理的发现过程.2.掌握矩形的判定定理“有三个角是直角的四边形是矩形”.3.掌握矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”.会用矩形的判定定理解决简单几何问题.活动一：复习导入，回顾矩形的性质定理.活动二：探究新知，探索矩形的判定定理.活动三：例题精讲，用矩形的判定定理解决简单几何问题.活动四：巩固练习，针对训练，请学生回答题5.2.1菱形1.经历菱形的概念、性质的发现过程.2.掌握菱形的概念.3.掌握菱形的性质定理“菱形的四条边都相等”4.掌握菱形的性质定理“菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角5.探索菱形的对称性.会用菱形的概念和性质定理解决简单几何问题.活动一：复习导入，回顾矩形的性质定理和判定定理.活动二：探究新知，探究菱形的性质定理.活动三：例题精讲，利用菱形的性质定理解决简单几何问题.活动四：巩固练习，并请学生答题5.2.2菱形1.经历菱形的判定定理的发现过程.2.掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”.3.掌握菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”会用菱形的判定定理解决简单几何问题.活动一：复习导入，回顾上节课所学的菱形的性质.活动二：探究新知，探究菱形的判定定理.活动三：例题精讲，利用菱形的判定定理解决简单几何问题.活动四：巩固练习，并请学生答题5.3.1正方形1.掌握正方形的概念.2.了解正方形与矩形、菱形的关系.3.掌握正方形的判定定理.会应用正方形的判定定理解决简单几何问题.活动一：复习导入，回顾菱形的性质定理和判定定理.活动二：探究新知，探究正方形的判定定理.活动三：例题精讲，利用正方形的判定定理解决简单几何问题.活动四：巩固练习，并请学生答题5.3.2正方形1.掌握正方形的性质定理.2.会运用正方形的性质定理解决一些有关正方形的论证和计算等问题.会运用正方形的性质定理解决一些有关正方形的论证和计算等问题.活动一：复习导入，回顾正方形的判定定理.活动二：探究新知，探究正方形的性质定理.活动三：例题精讲，新知应用.活动四：巩固练习，并请学生答题
《特殊平行四边形》单元教学设计
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5.3.2正方形
浙教版 八年级下册
内容总览
教学目标
01
复习导入
02
探究新知
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教材分析
《5.3.2正方形》是“浙教版八年级数学（下）”第五章第三节第二课时的内容.本节课的主要内容是正方形的性质.要求学生掌握正方形的性质定理，能够运用正方形的性质定理解决一些有关正方形的论证和计算等问题.正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，正方形同时具有矩形和菱形的所有性质，这些性质不仅是正方形本身的重要属性，也是后续学习其他几何知识的基础,是初中数学中需要重点掌握的内容之一.
教学目标
1.掌握正方形的性质定理.
2.会运用正方形的性质定理解决一些有关正方形的论证和计算等问题.
3.感受数学证明的严谨性，提高学习数学的兴趣和信心.
4.培养逻辑推理能力和发展思维能力.
复习导入
正方形的判定定理是什么，证明一个四边形是正方形的一般思路是什么？
证明一个四边形是正方形的一般思路：
1.先判断它是矩形，再判断这个矩形也是菱形，可说明是正方形
2.先判断它是菱形，再判断这个菱形也是矩形，可说明是正方形
正方形的判定定理:
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形.
（2）有一个角是直角的菱形是正方形.
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形.
（4）对角线相等的菱形是正方形.
探究新知
因为正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形,
所以正方形同时具有矩形和菱形的所有性质。
矩形的性质有什么？
1.矩形的四个角都是直角.
2.矩形的对角线相等.
3.矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形,它至少有两条对称轴.
探究新知
1.菱形的四条边都相等.
2.菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.
3.菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
菱形的性质有什么？
正方形的性质定理:
正方形的四个角都是直角，四条边相等.
正方形的对角线相等,并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
探究新知
思考：正方形有几条对称轴？你能画出它的对称轴吗？
正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，有四条对称轴，这些对称轴是两条对角线和两条连接相对边中点的线。对称中心是两条对角线的交点。
例题精讲
例2 已知:如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点， GE⊥CD,
GF⊥BC,E,F分别为垂足，连结AG,EF.求证:AG= EF.
分析:由已知可得， BD平分∠ADC,
AD=CD.如果连结CG,那么很容易发现△AGD≌△CGD,得AG=CG.由此我们只需证明四边形FCEG是矩形,就能完成证明.
证明：如图,连结CG.
在△AGD和△CGD中，
∠ADG=∠CDG(正方形的对角线平分一组对角),
DG= DG,AD=CD(正方形的四条边相等),
∴△AGD≌△CGD,
∴AG=CG.
例题精讲
例2 已知:如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点， GE⊥CD,
GF⊥BC,E,F分别为垂足，连结AG,EF.求证:AG= EF.
续：∵GE⊥CD,GF⊥BC,
∴∠GFC=∠GEC=Rt∠.
又∵∠BCD=Rt∠ (正方形的四个角都是 直角),
∴四边形FCEG是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)，
∴EF=CG(矩形的两条对角线相等),
∴AG=EF.
例题精讲
例2 已知:如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点， GE⊥CD,
GF⊥BC,E,F分别为垂足，连结AG,EF.求证:AG= EF.
1.矩形、正方形都具有的性质是( )
A.对角线相等
B.邻边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线平分对角
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
A
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
2.如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（-1，1），AB平行于x轴，则点C的坐标为( )
A. （3，1）
B. （-1，1）
C. （3，5）
D. （-1，5）
C
课堂练习
3.已知A(3,-1),B(3,-1+),则正方形ABCD的面积是( )
A.3
B.7
C.9
D.2
【知识技能类作业】
必做题
B
课堂练习
1.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )
A． 14
B． 15
C． 16
D． 17
【知识技能类作业】
选做题
C
2.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为______.
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题
课堂练习
【综合实践类作业】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠CBE=90°，
∵BF⊥CE，
∴∠BCE+∠CBG=90°，
∵∠ABF+∠CBG=90°，
∴∠BCE=∠ABF，
又∵BC=AB, ∠CBE=∠A
∴△BCE≌△ABF（ASA），
∴BE=AF．
如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF=BE．
课堂总结
1.如图,正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F在BC边上,点B关于EF的对称点为B',连结B'D,B'E,B'F.若正方形ABCD的边长为2,则当四边形BEB'F是正方形时,B'D=( )
A.
B.
C.2
D.3
作业布置
【知识技能类作业】
A
作业布置
【知识技能类作业】
2.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为( )
A. 8
B. 8
C. 2
D. 10
D
3.如图,四边形ABCD是正方形,点P在边BC上,作△PAB关于直线PA对称的△PAB',延长PB'与边CD交于点M,连结AM,则∠PAM的度数为( )
A.60°
B.55°
C.45°
D.40°
作业布置
【知识技能类作业】
C
作业布置
【综合实践类作业】
(1)证明： ∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=BC, ∠ADB=∠DBC=45°,
∵CG∥AP,∴∠BGC=∠BFP,
∵∠BFP=∠AFD,
∴∠AFD=∠BGC.
如图,在正方形ABCD中,点P在边BC的延长线上,连结AP交BD于F,过点C作CG∥AP交BD于点G,连结AG,CF.
(1)求证:△ADF≌△CBG;
(2)四边形AGCF是什么特殊四边形 请说明理由.
作业布置
【综合实践类作业】
(1)续：在△ADF和△CBG中,
∴△ADF≌△CBG(AAS).
如图,在正方形ABCD中,点P在边BC的延长线上,连结AP交BD于F,过点C作CG∥AP交BD于点G,连结AG,CF.
(1)求证:△ADF≌△CBG;
(2)四边形AGCF是什么特殊四边形 请说明理由.
作业布置
【综合实践类作业】
(2)解：四边形AGCF是菱形.理由如下:
连结AC,设AC与BD交于点O,如图,
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.
由(1)知△ADF≌△CBG,
如图,在正方形ABCD中,点P在边BC的延长线上,连结AP交BD于F,过点C作CG∥AP交BD于点G,连结AG,CF.
(2)四边形AGCF是什么特殊四边形 请说明理由.
O
作业布置
【综合实践类作业】
(2)续：∴DF=BG,
∴OB-BG=OD-FD,即OG=OF.
又∵OA=OC,
∴四边形AGCF是平行四边形,
∵AC⊥FG,
∴四边形AGCF是菱形.
如图,在正方形ABCD中,点P在边BC的延长线上,连结AP交BD于F,过点C作CG∥AP交BD于点G,连结AG,CF.
(2)四边形AGCF是什么特殊四边形 请说明理由.
O
板书设计
正方形的性质定理：
正方形的对称性：
5.3.2正方形
习题讲解书写部分
谢谢
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《正方形》教学设计
《5.3.2正方形》教学设计
课型 新授课
教学内容分析 《5.3.2正方形》是“浙教版八年级数学（下）”第五章第三节第二课时的内容.本节课的主要内容是正方形的性质.要求学生掌握正方形的性质定理，能够运用正方形的性质定理解决一些有关正方形的论证和计算等问题.正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，正方形同时具有矩形和菱形的所有性质，这些性质不仅是正方形本身的重要属性，也是后续学习其他几何知识的基础,是初中数学中需要重点掌握的内容之一.
学习者分析 学生在上节课已经学习了正方形的概念和判定定理，知道了正方形与矩形、菱形的关系，而在前面的课程中学生已经掌握了平行四边形、菱形和矩形的性质，且学生具备一定的独立思考、合作探究、推理证明、归纳概括的能力，这些都有利于学生探究正方形的性质.正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，教师可以通过引导学生回顾前面已经学过的特殊四边形的性质，通过正方形与矩形、菱形的关系带领学生理解并掌握正方形的性质.教师在教学过程中要注意面向全体学生，发挥学生的主体作用，让学生积极参与进来.
教学目标 1.掌握正方形的性质定理. 2.会运用正方形的性质定理解决一些有关正方形的论证和计算等问题. 3.感受数学证明的严谨性，提高学习数学的兴趣和信心. 4.培养逻辑推理能力和发展思维能力.
教学重点 正方形的性质定理
教学难点 正方形性质定理的应用
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习导入，回顾旧知教师活动1： 教师提问：正方形的判定定理是什么，证明一个四边形是正方形的一般思路是什么？ 教师带领回顾： 正方形的判定定理: （1）有一组邻边相等的矩形是正方形. （2）有一个角是直角的菱形是正方形. （3）对角线互相垂直的矩形是正方形. （4）对角线相等的菱形是正方形. 证明一个四边形是正方形的一般思路： 1.先判断它是矩形，再判断这个矩形也是菱形，可说明是正方形 2.先判断它是菱形，再判断这个菱形也是矩形，可说明是正方形学生活动1： 学生认真思考，回顾旧知，举手回答问题 学生认真听讲，巩固旧知 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机.环节二：探究新知，合作探究教师活动2： 教师讲授：因为正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形, 所以正方形同时具有矩形和菱形的所有性质。 教师提问： 矩形的性质有什么？ 教师讲授： 1.矩形的四个角都是直角. 2.矩形的对角线相等. 3.矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形,它至少有两条对称轴. 教师提问：菱形的性质有什么？ 教师讲授：1.菱形的四条边都相等. 2.菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角. 3.菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴. 教师讲授： 正方形的性质定理: 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的对角线相等,并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 思考: 正方形有几条对称轴？你能画出它的对称轴吗？ 教师讲授： 正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，有四条对称轴，这些对称轴是两条对角线和两条连接相对边中点的线。对称中心是两条对角线的交点。 学生认真听讲 学生认真回顾，举手回答问题，巩固矩形的性质 学生认真回顾，举手回答问题，巩固菱形的性质 学生认真听讲，理解正方形的性质 学生认真思考，合作交流，举手回答问题 学生认真听讲了解正方形的对称性活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，能促进学生的全面发展。环节三：例题精讲，再探新知教师活动3： 例2 已知:如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点， GE⊥CD, GF⊥BC,E,F分别为垂足，连结AG,EF.求证:AG= EF. 分析：由已知可得， BD平分∠ADC,AD=CD.如果连结CG,那么很容易发现△AGD≌△CGD,得AG=CG.由此我们只需证明四边形FCEG是矩形,就能完成证明. 证明：如图,连结CG. 在△AGD和△CGD中， ∠ADG=∠CDG(正方形的对角线平分一组对角), DG= DG,AD=CD(正方形的四条边相等), ∴△AGD≌△CGD, ∴AG=CG. ∵GE⊥CD,GF⊥BC, ∴∠GFC=∠GEC=Rt∠. 又∵∠BCD=Rt∠ (正方形的四个角都是 直角), ∴四边形FCEG是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)， ∴EF=CG(矩形的两条对角线相等), ∴AG=EF.学生活动3： 学生读题，认真思考 学生认真听讲 学生认真思考，完成答题过程，举手展示答案 学生认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂小结
教师活动4： 教师总结： 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.矩形、正方形都具有的性质是( ) A.对角线相等 B.邻边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线平分对角 2.如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（-1，1），AB平行于x轴，则点C的坐标为( ) A. （3，1） B. （-1，1） C. （3，5） D. （-1，5） 3.已知A(3,-1),B(3,-1+),则正方形ABCD的面积是( ) A.3 B.7 C.9 D.2 选做题： 1.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A． 14 B． 15 C． 16 D． 17 2.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为______. 【综合拓展类作业】 如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF=BE．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图,正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F在BC边上,点B关于EF的对称点为B',连结B'D,B'E,B'F.若正方形ABCD的边长为2,则当四边形BEB'F是正方形时,B'D=( ) A. B. C.2 D.3 2.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为( ) A. 8 B. 8 C. 2 D. 10 3.如图,四边形ABCD是正方形,点P在边BC上,作△PAB关于直线PA对称的△PAB',延长PB'与边CD交于点M,连结AM,则∠PAM的度数为( ) A.60° B.55° C.45° D.40° 【综合拓展类作业】 如图,在正方形ABCD中,点P在边BC的延长线上,连结AP交BD于F,过点C作CG∥AP交BD于点G,连结AG,CF. (1)求证:△ADF≌△CBG; (2)四边形AGCF是什么特殊四边形 请说明理由.
教学反思 本设计基于教材，又对教材进行再创造，通过复习导入激发学生学习的兴趣。安排学生探索新知，观察思考，从而获得数学活动经验，直观感知知识。本设计例题习题安排恰当，缺点是题目梯度设置不够明显，教师需要积累题目素材，做到题目难度能面向全体学生。另外教师在课堂上要根据学生的实时反应调整教学方式，不能拘泥于教学设计，教师需要灵活变通，这就需要教师努力提升自身专业知识。
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