浙教版 七年级数学上册试题6.8余角和补角（含解析）

6.8余角和补角
一、单选题
1．若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（　　）
A．57° B．67° C．77° D．157°
2．下列图形中和互为余角的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图∠BCA=90，CD⊥AB，则图中互余的角有（ ）对.
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，与互余，与互补，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．设两个互余的锐角分别为和，（　　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．如图，点C、O、B在同一条直线上，∠AOB=90°，∠AOE=∠DOB，则下列结论：①∠EOD=90°；②∠COE=∠AOD；③∠COE=∠DOB；④∠COE+∠BOD=90°．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中与一定互余的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，垂足为D，，下列结论正确的有（ ）
（1）；（2）；（3）与互余；；（4）与互补．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．下列说法正确的是（ ）
（1）如果互余的两个角的度数之比为，那么这两个角分别为和
（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角不一定相等
（3）如果两个角的度数分别是和，那么这两个角互余
（4）一个锐角的余角比这个锐角的补角小
A．个 B．个 C．个 D．个
10．如图，C、D在线段BE上，下列说法：①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；②图中有4对互补的角；③若∠BAE=110°，∠DAC=40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；④若BC=4，CD=DE=5，点F是线段BE上任意一点（包含端点），则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为27，最小值为15，其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．若一个角的余角为35°，则它的补角度数为 ______．
12．已知与互为补角，且，则______．
13．如图所示，，点B，O，D在同一直线上，若，则的度数为______．
14．将一副三角板按如图方式摆放在一起，且比大，则的度数等于__________．
15．已知如图：直线AB和CD相交于点O，若AOD=5AOC，则BOC=___________．
16．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若，则_________．
17．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上一点，沿线段BE对折后，若比大18°，则的度数是___________________度．
18．如图，将三个边长相同的正方形的一个顶点重合放置，已知，，则______度．
三、解答题
19．已知一个角的余角比这个角的补角的小，求这个角的余角和补角的度数．
20．完成推理过程：
已知：OA⊥OC，OE⊥OD，求证∠1＝∠2．
证明：
∵OA⊥OC，OE⊥OD（已知）
∴∠AOC＝______ ，∠DOE＝______ （垂直定义）
∴∠1＋∠3＝90
∠2＋∠3＝90
∴∠1＝∠2（ ）
21．如图所示，将两块三角尺的直角顶点重合．
（1）写出以C为顶点的相等的角；
（2）若，求的度数；
（3）写出与之间所具有的数量关系；
（4）当三角尺不动，将三角尺的EC边与AC边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当（）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出角度的所有可能值，不用说明理由．
22．如图1，已知锐角∠AOB，把一个三角尺的直角顶点与点O重合，一条直角边和OA重合，沿另一条直角边画射线OD，再用量角器画出∠BOD的平分线OC，此时，∠AOC与∠BOC互余．
请你用所学知识说明∠AOC与∠BOC互余；
请你仿照上面互为余角的画法，在图2中画出一个∠AOH，使∠AOH与∠BOH互补，并简要说明画图方法．
23．已知为直线上的一点，是直角，平分．
（1）如图1，若，则　 　；
（2）当射线绕点逆时针旋转到如图2的位置时，与之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在图3中，若，在的内部是否存在一条射线，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．
24．如图1，A、O、B三点在同一直线上，∠BOD与∠BOC互补．
（1）请判断∠AOC与∠BOD大小关系，并验证你的结论；
（2）如图2，若OM平分∠AOC，ON平分∠AOD，∠BOD＝30°，请求出∠MON的度数．
答案
一、单选题
1．B
【分析】根据∠A的余角是90°﹣∠A，代入求出即可．
解：∵∠A＝23°，
∴∠A的余角是90°﹣23°＝67°．
故选：B．
2．D
【分析】根据余角、补角的定义计算．
解：根据余角的定义，两角之和为90°，这两个角互余．
D中∠1和∠2之和为90°，互为余角．
故选D．
3．D
【分析】根据互余的定义，结合图形进行判断．
解：∵∠BCA=90，CD⊥AB，
∴互余的角有：∠A与∠B，∠A与∠ACD，∠ACD与∠BCD，∠BCD与∠B，共4对．
故选D．
4．B
【分析】根据已知条件得到∠BOD=∠AOD-∠AOB=90°，根据角平分线的定义得到∠BOC=45°，根据角的和差即可得到结论．
解：∵∠AOB与∠AOC互余，∠AOD与∠AOC互补，
∴∠AOB=90°-∠AOC，∠AOD=180°-∠AOC，
∴∠BOD=∠AOD-∠AOB=90°，
∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC=45°，
∴∠AOC=45°+∠AOB，
∴∠AOB=90°-∠AOC=90°-（45°+∠AOB），
∴∠AOB=22.5°，
故选B．
5．D
【分析】根据余角的性质及各选项的已知条件求出，即可得出答案．
解：A．若，∵，∴，则，故此选项错误，不符合题意；
B．若，∵，∴，则，故此选项错误，不符合题意；
C．若，∵，∴，则，故此选项错误，不符合题意；
D．若，∵，∴，则，故此选项正确，符合题意；
故选：D．
6．C
解：点C、O、B在同一条直线上，
∴∠BOC =180°
∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠BOD=90°，∠AOC=90°，
∵∠AOE=∠DOB
∴∠AOE+∠AOD=90°，即∠EOD=90°
∴∠COE=∠AOD，∠COE+∠BOD=90°
∴①②④正确．
故选C．
7．C
【分析】根据余角：若两角和为90°则两角互余；计算判断即可；
解：A．两角不一定互余，选项错误，不符合题意；
B．=45°，=30°，两角不互余，选项错误，不符合题意；
C．+=180°-90°=90°，两角互余，选项正确，符合题意；
D．+=180°，两角互补，选项错误，不符合题意；
故选：C．
8．C
【分析】根据余角和补角的性质即可得到结论；
解：∵，，
∴，
∴，
∴，故（1）正确；
同理可得，故（2）正确；
∵，
∴与互余，故（3）正确；
∵＜，
∴＜，
∴与不互补，故（4）错误；
故答案选C．
9．B
【分析】（1）根据互余的两个角和为90°解题；
（2）根据等角的补角相等解题；
（3）将两个角相加，判断和是否等于90°即可解题；
（4）设这个角为x，分别解得这个角的余角和补角，再求差即可．
解：（1）如果互余的两个角的度数之比为，则这两个角分别为，故（1）错误；
（2）根据等角的补角相等，故（2）错误；
（3），
与互余，
故（3）正确；
（4）设一个角为x，则它的余角为，它的补角为，
故（4）正确，
故正确的有（3）（4），共2个，
故选：B．
10．B
【分析】①按照一定的顺序输出线段的条数即可判断；②根据补角的定义即可判断；③根据角的和差计算机可判断；④分两种情况讨论：当点F在线段CD上最小，当点F和E重合最大计算即可判断．
解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故本选项正确；
②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即∠BCA和∠ACD互补，∠ADE和∠ADC互补，故本选项错误；
③由∠BAE=100°，∠CAD=40°，根据图形可以求出∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE=110°+110°+110°+40°=370°，故选项正确；
④当F在的线段CD上最小，则点F到点B、C、D、E的距离之和为FB+FE+FD+FC=4+5+5+5=19，当F和E重合最大则点F到点B、C、D、E的距离之和FB+FE+FD+FC=14+0+5+10=25，故本选项错误．
故选B．
二、填空题
11．125°
【分析】若两个角的和为 则这两个角互余，若两个角的和为 则这两个角互补，根据定义直接可得答案.
解： 一个角的余角为35°，
这个角为：
则它的补角度数为：
故答案为：
12．
【分析】根据题意可得，即可求解．
解：∵与互为补角，
∴ ，
∵，
∴．
故答案为：
13．116°
【分析】由图示可得，∠1与∠BOC互余，结合已知可求∠BOC，又因为∠2与∠COB互补，即可求出∠2的度数．
解：∵，∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝64°，
∵∠2＋∠BOC＝180°，
∴∠2＝116°．
故答案为：116°．
14．
【分析】设出未知数：∠2＝x，则∠1＝x＋20°，根据∠1和∠2的互余关系列出方程，解方程即可．
解：设∠2为x，则∠1＝x＋20°；
根据题意得：
x＋x＋20°＝90°，解得：x＝35°，
则∠1＝35°＋20°＝55°；
故答案为：55°．
15．150
解：由图可以看出，∠AOD与∠BOC为对顶角，所以∠AOD=∠BOC，又因为
∠AOD与∠AOC互补，且∠AOD=5∠AOC，所以∠AOC=30°，∠AOD=150°，
则∠BOC=150°.
16．
【分析】由∠AOB=∠COD=90°，∠AOC=∠BOD，进而∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，由此能求出∠BOC．
解： ∠AOB=∠COD=90°，
∠AOC=∠BOD， 又∠AOD=108°，
∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，
∠BOC=90°-18°=72°．
故答案为：．
17．24
【分析】根据折叠角相等和正方形各内角为直角的性质即可求得∠EBF的度数．
解：∵∠FBE是∠CBE折叠形成，
∴∠FBE=∠CBE，
∵∠ABF-∠EBF=18°，∠ABF+∠EBF+∠CBE=90°，
∴∠EBF+18°+∠EBF+∠EBF+=90°，
∴∠EBF=∠EBC= 24°，
故答案为：24．
18．20
【分析】根据∠3=∠BOD+∠EOC-∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度数从而求解．
解：∵∠BOD=90°-∠2=58°，
∠EOC=90°-∠1=90°-38°=52°，
又∵∠3=∠BOD+∠EOC-∠BOE，
∴∠3=58°+52°-90°=20°．
故答案为：20．
三、解答题
19．
解：设这个角为，则这个角余角为，这个角的补角为．
根据题意得；．
解得．
，
．
答：这个角的余角为，补角为.
故答案为这个角的余角为 ，补角为 .
20．
解：证明：∵OA⊥OC，OE⊥OD（已知）
∴∠AOC＝90 ，∠DOE＝90 （垂直定义）
∴∠1＋∠3＝90
∠2＋∠3＝90
∴∠1＝∠2（同角的余角相等）；
故答案为：90，90，同角的余角相等；
21．
解：（1），，根据同角的余角相等得：∠，
由直角可得，；
（2），；
（3），则与互补；
（4）当CE⊥AD时，∠ACE=180°-90°-∠A=180°-90°-60°=30°；
当EB⊥CD时，∠E=∠ECD=45°，
∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=45°，
当BE⊥AD时，∠CFB=∠DFE=180°-90°-30°=60°，
∴∠BCD=180°-∠B-∠CFB=75°，
∴∠ACE=∠BCD=75°；
当CB⊥AD时，∠ACB=180°-90°-∠A=30°，
∴∠ACE=90°-∠ACB=60°；
即∠ACE角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°．
22．
（1）解：∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC=∠DOC，
∵∠AOD=90°，
∴∠COD+∠AOC=90°，
∴∠BOC+∠AOC=90°，
即∠AOC与∠BOC互为余角；
（2）解：如图2中，延长AO至C，作∠BOC的角平分线OH，射线OH即为所求．
∵OH平分∠BOC，
∴∠BOH=∠COH，
∵∠AOC=180°，
∴∠AOH+∠COH=1800°，
∴∠AOH+∠BOH=180°，
即∠AOH与∠BOH互为互补．
23．
解：（1）∵∠COF＝28°，∠COE＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣28°＝62°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝124°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝56°；
（2）结论：∠BOE＝2∠COF；
理由如下：
∵∠COE＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣∠COF，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2∠COF，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣（180°﹣2∠COF）＝2∠COF；
（3）存在；
∵∠COF＝65°，∠COE＝90°，
∠EOF＝25°，
∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝25°，
∴∠BOE＝130°，
∵2∠BOD+∠AOF＝（∠BOE﹣∠BOD），
即2∠BOD+25°＝（130°﹣∠BOD），解得∠BOD＝16°．
24．
解：（1）∠AOC＝∠BOD，理由如下：
∵A，O，B三点共线，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC与∠BOC互补，
∵∠BOD与∠BOC互补，
∴∠AOC＝∠BOD；
（2）∵∠BOD＝30°，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°，
∵OM平分∠AOC，
∴，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠AOD＝180°﹣30°＝150°，
∵ON平分∠AOD，
∴，
∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝60°．