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专题4-2 平行四边形及其性质
模块1：学习目标
1. 理解平行四边形的概念。
2. 探索并证明平行四边形的性质定理，并能运用它们进行证明和计算。
3. 了解两条平行线之间距离的意义 ，能度量两条平行线之间的距离。
4. 通过经历平行四边形的性质定理的探索过程，丰富学生的教学活动经验和体验，进一步 培养和发展学生的合情推理能力。
5. 通过平行四边形性质定理的相关问题证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力。
模块2：知识梳理
1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。平行四边形用“ ”表示，平行四边形ABCD表示为“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形
2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。
3）平行四边形的性质：考虑边、角、对角线，有时还会涉及对称性。如下图，四边形ABCD是平行四边形：
（1）性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC
（2）性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
（3）性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD
（4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。
4）平行线之间的距离与平行四边形的综合
定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。
性质：平行线之间距离处处相等。
模块3：核心考点与典例
考点1、平行四边形的性质
例1．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．对边相等 B．邻角互补 C．对角线互相平分 D．对角互补
【答案】D
【分析】利用平行四边形性质：对角相等、对角线互相平分、对边平行且相等，进而分析得出即可．
【详解】解：平行四边形对边相等，故A正确，不合题意；
平行四边形的邻角互补，故B正确，不合题意；
平行四边形对角线互相平分，故C正确，不合题意；
平行四边形对角不一定互补，故D错误，符合题意；故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
变式1. （2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是（ ）
A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度减小
C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变
【答案】C
【分析】根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可．
【详解】解：A、因为矩形框架向左扭动，，，但不再为直角，所以四边形变成平行四边形，故A正确，不符合题意；
B、向左扭动框架，的长度减小，故B正确，不符合题意；
C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C错误，符合题意；
D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，不符合题意，故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、四边形的不稳定性，弄清图形变化前后的变量和不变量是解答此题的关键．
变式2．（2021·四川宜宾·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案．
【详解】解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误，
B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误，
C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误，
D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．故选D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．
考点2、利用平行四边形的性质求角度
例1．．（2023春·北京东城·八年级北京一七一中校考期中）如图，平行四边形中，，则的度数为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由在平行四边形中，，根据平行四边形的邻角互补，即可求得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，
∵，∴．故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
变式1. （2023·新疆喀什·统考二模）如图，在中，过点C作的垂线，交的延长线于点E，若，则的度数是_______．
【答案】/37度
【分析】根据平行四边形的性质和三角形内角即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，∴，
∵，∴；故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形性质和三角形内角和定理，熟记所学知识是解题关键．
变式2. （2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）如图，在中，，，作于E，则______；______．
【答案】 /30度
【分析】利用平行四边形的性质求得，根据三角形内角定理即可求得；利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求得的长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，∴，
∵，∴，∴；
∵四边形是平行四边形，，∴，∴，
，故答案为：，．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
考点3、利用平行四边形的性质求长度
例1．（2023春·河北廊坊·八年级校联考期中）如图，在中，用尺规作图得到点和点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据尺规作图可知是的角平分线，且，可得，四边形是菱形，在中，求出的长度，根据，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可知，是的角平分线，，，
∴是的垂直平分线，如图所示，设与交于点，连接，
∵四边形是平行四边形，∴根据对角线相互垂直且平分的四边形是菱形可得，四边形是菱形，∵，，∴，
在中，，∴，故选：．
【点睛】本题主要考查平行四边形，菱形，勾股定理的综合，掌握平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的运算是解题的关键．
变式1. （2023春·北京大兴·八年级统考期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的性质得出，根据平行四边形的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：∵是的垂直平分线∴，
∵四边形是平行四边形，∴，
∴的周长是，故选：B．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
变式2. （2023春·北京海淀·八年级校考期中）如图，的对角线与相交于点，，若，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得出，利用勾股定理得出，进而利用平行四边形的性质得出即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，∴，
∵，，∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解答本题的关键．
考点4、利用平行四边形的性质求坐标
例1．（2023春·山西大同·八年级统考期中）如图，位于第一象限中，已知顶点、的坐标分别为，，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得出，结合坐标系即可求解．
【详解】解：∵位于第一象限中，顶点、的坐标分别为，，
∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
变式1. （2023春·辽宁铁岭·七年级校考阶段练习）如图，平行四边形在坐标系中的坐标分别为，，，则D点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行四边形的性质解题，由B点到A点的平移过程，可将线段先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到线段，由C点坐标确定D点的坐标．
【详解】解：四边形 是平行四边形，且，
将线段先向左平移3个单位长度、再向下平移1个单位长度得到线段，
C点坐标先向左平移3个单位长度、再向下平移1个单位长度可得D点的坐标，即；故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是利用平移确定点的坐标，易错点是平移的方向和平移的长度．
变式2. （2023春·西藏·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点，，，点D为平面直角坐标系中的点，以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标______．
【答案】或或
【分析】分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．
【详解】解：分三种情况：①为对角线时，平行且等于，可知点D的坐标为；
②为对角线时，平行且等于，可知点D的坐标为；
③为对角线时，平行且等于，可知点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标可能是或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
考点5、利用平行四边形的性质求面积
例1．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，点P是内的任意一点，连接，得到，设它们的面积分别是，给出如下结论：
①；②如果，则；③若，则；
④如果P点在对角线上，则；⑤若，则P点一定在对角线上
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得，，设点到，，，的距离分别是，，，，再根据三角形的面积公式整理判断①；然后根据三角形面积公式可判断②③；再根据两个等高的三角形面积的比等于底的比，得出，判断④；最后根据已证关系式，得出，，判断⑤，综合即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，．
设点到，，，的距离分别是，，，，点C到的距离分别为，
则，，，．
∵，，
∵，∴，故①正确；
根据只能判断，不能判断，即不能判断，故②错误；
根据，能得出，不能得出，即不能判断，故③错误；
∵点在对角线上，∴，，∴，故④正确；
由和，得，，
∴，∴，
∴点一定在对角线在上，故⑤正确，综上所述，正确的结论是①④⑤．故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积等，用平行四边形的面积表示出相应的两个三角形的面积的和是解本题的关键．
变式1. （2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校联考期中）如图，，对角线、交于点，过点的直线与、交于点、，若的面积是3，的面积是5，则四边形的面积是（ ）
A．13 B．16 C．24 D．32
【答案】B
【分析】先根据证明，得，则，再由，得，进而可求四边形的面积．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，
∵，∴，同理可求，∴．故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
变式2.（2023·广西北海·统考三模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的逆定理，利用三角形全等，把阴影面积转化为的面积计算即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，，
在和中，∵，∴，∴，
在和中，∵，∴，∴，
∵，，，∴是直角三角形，且，
∴，故选：C．
考点6、平行四边形的对角线相关问题
例1．（2023春·江苏南通·八年级校联考期中）平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长度可以是（ ）
A．8和12 B．4和16 C．20和30 D．8和6
【答案】C
【分析】根据平行四边形对角线互相平分和三角形两边之和大于第三边逐项判断即可．
【详解】解：如图，设，对角线相交于点E，
A.它的两条对角线的长为8和12时，，不符合题意；
B.它的两条对角线的长为4和16时，，不符合题意；
C.它的两条对角线的长为20和30时，设AE=15，BE=10，，符合题意；
D.它的两条对角线的长为6和8时，，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系，解题关键是明确两条较短边的和大于最长边可构成三角形．
变式1. （2023·湖南长沙·九年级期末）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，的面积为48，OA＝3，则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．13
【答案】B
【分析】由平行四边形对角线互相平分得到AC的值，由AC⊥BC，可得，代入即可求出BC边长.
【详解】解：∵在中，对角线AC，BD相交于点O，∴OA=OC，
∵OA=3，∴AC=2OA=6，∵AC⊥BC，∴，∴BC=8.故选：B
【点睛】此题考查平行四边形的性质和平行四边形的面积，掌握平行四边形对角线互相平分的性质是解答此题的关键.
变式2. （2023·安徽·模拟预测）如图，在中，，相交于点，将绕点顺时针旋转度得到，使点落在上，直线相交于点，则的长为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，灵活运用这些知识是解题的关键．
先根据平行四边形的性质和勾股定理求出线段的长度，再利用旋转的性质，根据证明，求出线段的长度，最后利用勾股定理求的长．
【详解】解：，
，．
由旋转可知，，，，，
又，，，
，．故选：B．
考点7、平行线之间的距离相关问题
例1．（2023春·福建厦门·八年级校考期中）如图，若直线，A，D在直线m上，B，E在直线n上，，，，的面积为6，则直线m与n之间的距离为______．
【答案】4
【分析】先根据平行四边形的判定与性质可得，从而可得，再根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：直线，，四边形是平行四边形，，
，，设直线与之间的距离为，
的面积为6，，解得，故答案为：4．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
变式1．（2023·广东广州市·九年级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，AC＝24，BE＝5，AD＝8，则两平行线AD与BC间的距离是_____．
【答案】15
【分析】利用等面积法,得2S△ABC=S四边形ABCD,表示出面积即可.
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形,∴2S△ABC=S四边形ABCD,
设平行线AD与BC间的距离为h,即AC·BE=AD·h∵AC＝24， BE＝5，AD＝8，∴h=15.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质,等面积法,中等难度,利用等面积法是解题关键.
变式2．（2024·贵州铜仁市·八年级期末）如图，点在直线上移动，是直线上的两个定点，且直线.对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点的移动而变化的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】根据平行线间的距离不变即可判断①；根据三角形的周长和点P的运动变化可判断②④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断③；进而可得答案．
【详解】解：∵直线，∴①点到直线的距离不会随点的移动而变化；
∵PA、PB的长随点P的移动而变化，
∴②△PAB的周长会随点的移动而变化，④∠APB的大小会随点的移动而变化；
∵点到直线的距离不变，AB的长度不变，∴③△PAB的面积不会随点的移动而变化；
综上，不会随点的移动而变化的是①③．故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于基础题型，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键．
考点8、平行四边形性质综合
例1．（2023·黑龙江大庆·统考模拟预测）如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】C
【分析】根据，点E是的中点，，可知是等边三角形，得出，，进而得出，根据平行四边形得性质可判断①，再根据平行四边形的性质得，即可说明是否平分，然后说明是的中位线，可判断和的关系，再根据点O是的中点，得，由点E是的中点，得，进而得，然后根据平行四边形的性质得，即可判断④，得出答案．
【详解】∵，点E是的中点，∴.
∵，，∴，∴是等边三角形，
∴，，∴，∴．
∵四边形是平行四边形，∴，，
∴，，∴是平分．则①②正确；
∵点E是的中点，点O是的中点，∴是的中位线，
∴，∴．则③正确；∵点O是的中点，∴．
∵点E是的中点，∴，∴．
由平行四边形的性质得，∴，即．则④不正确．
所以正确的有①②③.故选：C.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线的性质，求三角形的面积等，弄清各三角形的面积之间的关系是解题的关键．
变式1. （2023·山东泰安市·九年级期末）如图，的对角线交于点平分交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】求得∠ADB=90°，即AD⊥BD，即可得到S ABCD=AD BD；依据∠CDE=60°，∠BDE=30°，可得∠CDB=∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE；依据O是BD中点，E为AB中点，可得BE=DE，利用三角形全等即可得OE⊥BD且OB=OD．
【详解】解：在中，∵∠BAD=∠BCD=60°，∠ADC=120°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠DAE=60°=∠AED，∴△ADE是等边三角形，，
∴E是AB的中点，∴DE=BE，，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∴S ABCD=AD BD，故①正确；
∵∠CDE=60°，∠BDE=30°，∴∠CDB=∠CDE-∠BDE=60°-30°=30°，
∴∠CDB=∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；
∵Rt△AOD中，AO＞AD，∵AD=DE，∴AO＞DE，故③错误；
∵O是BD的中点，∴DO=BO,∵E是AB的中点，∴BE=AE=DE
∵OE =OE ∴△DOE≌△BOE(SSS)∴∠EOD=∠EOB
∵∠EOD+∠EOB=180°∴∠BOE=90°∴OE垂直平分BD，故④正确；正确的有3个，故选择：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式的综合运用，三角形全等判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质定理和等边三角形判定定理，三角形全等判定方法和性质是解题的关键．
判定定理进行推理论证是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·广东清远市·八年级期末）在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A．对边相等 B．对边平行 C．对角相等 D．对角线相等
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得到，平行四边形对边平行且相等，对角相等，而对角线可以相等也可以不相等．
【详解】根据平行四边形性质可知：A、B、C均是平行四边形的性质，只有D选项不是．故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
2．（2023·湖南株洲市·七年级期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD＝10cm2，S△ACD为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【分析】根据题意可知△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高相等，从而可以得到S△ACD的值．
【详解】解∵四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，S△ABD=10cm2，
∴△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高相等，∴S△ACD=10cm2，故选A．
【点睛】本题考查平行线间的距离，解题的关键是找到两个三角形之间的关系，同底等高．
3．（2022·黑龙江·大庆市八年级期末）在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是（ ）
A．24【答案】C
【分析】作出平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，然后在中，利用三角形三边的关系即可确定m的取值范围．
【详解】解：如图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，
在中，，∴，即，故选：C．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及三角形三边的关系，熟练掌握平行四边形的性质及三角形三边关系是解题关键．
4．（2023春·湖南邵阳·八年级校联考期中）如图，在平行四边形中，，，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形对角线互相平分即可得出答案．
【详解】解：∵平行四边形中，，，∴，，
∴的周长，故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解本题的关键．
5．（2023·山东青岛市·八年级期末）如图，在平行四边形中，为上一点，，且，，则下列选项正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠BEC，利用平行四边形的性质解答即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABE＝∠BEC＝28°，
∵CE＝BC，∴∠EBC＝∠BEC＝28°，∴∠ABC＝56°，∴∠BAD＝∠C＝124°，∠DAE＝56°，
∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠AED，∵AE＝ED，∴∠D＝∠DAE＝56°，∴∠BAE＝124° 56°＝68°，
∴∠AED＝180° 56° 56°＝68°，∴∠AEB＝180° 68° 28°＝84°，故选：B．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠BEC解答．
6．（2023·山东潍坊·统考二模）已知中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】D
【分析】由得，根据题意得是得垂直平分线，则，得，即求得的度数．
【详解】∵解：四边形是平行四边形，
∴，，则，
∵以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，
∴是得垂直平分线，则，所以，
那么，故选：D．
【点睛】本题主要考查的是平行四边形性质以及垂直平分线等知识内容，熟练掌握垂直平分线性质是解题的关键．
7.（2023·海南·统考中考真题）如图，在中，，，平分，交边于点，连接，若，则的长为（ ）
A．6 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质可得，，，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，从而得到，推出，，过点作于点，由直角三角形的性质和勾股定理可得，，，即可得到答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，，
平分，，，，
，，如图，过点作于点，
，
则，，
，，，
，故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（2023·广东广州·统考二模）如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据平行和角平分线，推出均为等腰三角形，得到，进而得到，即可得解．
【详解】解：∵，∴，
∴，∵平分，平分，
∴，∴，
∴，∴；故选B．
9．（2022·浙江杭州市·八年级期末）如图，在平行四边形中，，．作于点E，于点F，记的度数为，，．则以下选项错误的是（ ）
A． B．的度数为
C．若，则四边形的面积为平行四边形面积的一半
D．若，则平行四边形的周长为
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质得出，，，，得出，求出，得出；由平行四边形的面积得出；若，则，求出，由直角三角形的性质得出，，得出，，求出平行四边形的周长；求出的面积，的面积，平行四边形的面积，得出四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；即得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，，，
于点，于点，
，；
平行四边形的面积，，，
，；若，则，
，，，
，，平行四边形的周长；
的面积，的面积，平行四边形的面积，
四边形的面积平行四边形的面积的面积的面积平行四边形面积的一半；
综上所述，选项、、不符合题意，选项符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
10．（2023·黑龙江·鸡西市九年级期中）在平行四边形中，，于，于，， BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】先判断△DBE是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出BD=BE，可判断①不正确；根据∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，可得∠BHE=∠C，再由∠A=∠C，可判断②正确；证明△BEH≌△DEC，从而可得BH=CD，再由AB=CD，可判断③正确；利用对应边不等可判断④不正确，据此即可得到选项．
【详解】解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E，
∴∠DEB=90°，∠BDE=180°-∠DBE-∠DEB=180°-45°-90°=45°，
∴BE=DE，∴在Rt△DBE中，BE2+DE2=BD2，∴BD=BE，故①正确；
∵DE⊥BC，BF⊥DC，∴∠HBE+∠BHE=90°，∠C+∠FBC=90°，
∴∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，∴∠BHE=∠C，
又∵在 ABCD中，∠A=∠C，∴∠A=∠BHE，故②正确；
在△BEH和△DEC中，，∴△BEH≌△DEC（AAS），∴BH=CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∴AB=BH，故③正确；
∵BE＞BH＞BE=DE，BC＞BF＞BH=DC，∠FBC=∠EDC，
∴不能得到△BCF≌△DCE，故④错误．故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）如图，点O是平行四边形对角线的中点，过点O分别与相交于点E、F，若平行四边形的周长为24，，那么四边形的周长为 _______．
【答案】16
【分析】先证，得，，则，再求出，然后由四边形的周长，即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，∴，
∵平行四边形的周长为24，∴，
∴四边形的周长，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
12．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且，即可得到结果．
【详解】解：在中，，，，
，点的纵坐标与点的纵坐标相等，，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的性质，此题充分利用了“平行四边形的对边相等且平行”的性质．
13．（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，的对角线相交于O，，则的周长为___．
【答案】
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得出，再由平行四边形的对边相等可得，继而代入可求出的周长．
【详解】解：是平行四边形，，，
，的周长．故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边相等及对角线互相平分的性质，难度一般．
14．（2023春·浙江杭州·八年级期中）如图，在，点F是上的一点，连接，平分，交于中点E，连接．若，，，则______．
【答案】4
【分析】延长，交于点，先根据平行四边形的性质、角平分线的定义可得，根据等腰三角形的判定可得，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的三线合一可得，最后根据含30度角的直角三角形的性质即可得．
【详解】解：如图，延长，交于点，
平分，且，，
四边形是平行四边形，，，
，，为的中点，，
在和中，，，
，（等腰三角形的三线合一），
，，则在中，，故答案为：4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．
15.（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在平行四边形中，按如下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则为 ．
【答案】
【分析】先利用基本作图得，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，从而得到．
【详解】解：由作法得平分，，
四边形为平行四边形，，，
，．故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作角平分线，平行四边形的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．
16．（2023·山东淄博市·八年级期末）如图，是的对角线，点在上，，，则的度数是______．
【答案】
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠D=102°，再AD=AE=BE，得出∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠BCA，继而得到∠ACB=2∠BAC，再根据∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC， ∠ABC=∠D=102°，
∵AD=AE=BE，∴BC=AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠BCA，
∵∠BEC=∠EAB＋∠EBA=2∠EAB，∴∠ACB=2∠BAC，
∴∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC=180°-102°=78°，
∴3∠BAC=78°，即∠BAC=26°，故答案为：26°．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用相关知识．
17．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．
【答案】
【分析】可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，，，
由折叠得：，，，
，，，
，，四边形是平行四边形，
． 故答案：．
【点睛】本题考查了平行四边形判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
18．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．
【答案】/
【分析】过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质以及已知条件得出，进而求得，根据折叠的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，
∵在中，，，，
∴，
∴，
在中，
∵将沿折叠得到，当点恰好落在上时，∴
又∴∴∴
设，∴在中，
∴解得：（负整数）故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．(1)求证：；(2)若，求的长和的面积．
【答案】(1)见解析(2)；的面积为
【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到；
（2）根据线段的和差得到；过D作交的延长线于H，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积．
【详解】（1）证明：在中，，∴，
∵平分，∴，∴，∴．
（2）解：∵，∴；
过D作交的延长线于H，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴的面积．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形面积的计算、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
20．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证：
(1)；(2)．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可；（2）用证明即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，
又．四边形是平行四边形．
平行四边形对角相等
（2）四边形是平行四边形，，，
四边形是平行四边形，，，，
在和中，，．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角形全等的判定，熟练掌握平行四边形性质是解本题的关键．
21．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．(1)求证：；(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见详解．(2)13
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质知识，
（1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得，．即可得到，．即可求证结论．（2）过点A作，垂足为H，利用，可计算出的长度，结合（1）即可求出长度．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形．
∴，，．∴，．
∵是的平分线，是的平分线．
∴，．∴，．
∴，．∴．∴．∴．
（2）过点A作，垂足为H，如图：
由（1）知，且，，∴， ．
∵，∴，∴，．
∴．∵．∴．
∴．∴．
22．（2022·陕西西安·二模）如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接．(1)若，试说明；
(2)在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)详见解析(2)，详见解析
【分析】（1）根据，得到，，由证明全等即可．（2）由全等的性质得到，由证明，即可得到答案．
【详解】（1）证明：，，，，
在和中，，；
（2） 证明：连接、，
由（1）可知，
在和中．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
23．（2023·重庆·统考中考真题）学行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O．
求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．∴ ① ．
∵垂直平分，∴ ② ．
又___________③ ．
∴．∴．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线 ④ ．
【答案】作图：见解析；；；；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分
【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．
【详解】解：如图，即为所求；
证明：∵四边形是平行四边形，∴．∴ ．
∵垂直平分，∴．
又．∴．∴．
故答案为：；；；
由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，
故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．
24．（2023·广东潮州·二模）如图，在中，为对角线．(1)求证：．(2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；(3)若的周长为10，求的周长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)20
【分析】（1）根据平行线的性质得到，利用即可证明；
（2）以分别为圆心，大于长为半径作弧交于两点，过两交点作直线，即为所作垂直平分线；（3）利用垂直平分线的性质可以得到，结合，得到，根据平行四边形的性质即可求得结论；
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，∴，∴，
在和中，，∴；
（2）如图，即为所作；
（3）∵垂直平分，∴，∵的周长为10，∴，
∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，
∴的周长．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定，作垂直平分线，垂直平分线的性质，准确作图是解题的关键．
25．（2023·广东阳江·三模）如图，平行四边形中，连接．
(1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N（不要求写作法，保留作图痕迹）；(2)连接，，求证：；(3)若，，求的长．
【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)
【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；（2）根据证明即可；
（3）根据，得出，根据勾股定理求出，即可求出结果．
【详解】（1）解：如图，即为所作；
（2）证明：∵垂直平分，∴，
∵四边形为平行四边形，∴，∴，，
在和中，∴；
（3）解：∵，∴，∵，∴，
∵垂直平分，∴，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作垂直平分线，勾股定理三角形全等的判断和性质，平行线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法．
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专题4-2 平行四边形及其性质
模块1：学习目标
1. 理解平行四边形的概念。
2. 探索并证明平行四边形的性质定理，并能运用它们进行证明和计算。
3. 了解两条平行线之间距离的意义 ，能度量两条平行线之间的距离。
4. 通过经历平行四边形的性质定理的探索过程，丰富学生的教学活动经验和体验，进一步 培养和发展学生的合情推理能力。
5. 通过平行四边形性质定理的相关问题证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力。
模块2：知识梳理
1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。平行四边形用“ ”表示，平行四边形ABCD表示为“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形
2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。
3）平行四边形的性质：考虑边、角、对角线，有时还会涉及对称性。如下图，四边形ABCD是平行四边形：
（1）性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC
（2）性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
（3）性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD
（4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。
4）平行线之间的距离与平行四边形的综合
定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。
性质：平行线之间距离处处相等。
模块3：核心考点与典例
考点1、平行四边形的性质
例1．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．对边相等 B．邻角互补 C．对角线互相平分 D．对角互补
变式1. （2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是（ ）
A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度减小
C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变
变式2．（2021·四川宜宾·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分
考点2、利用平行四边形的性质求角度
例1．．（2023春·北京东城·八年级北京一七一中校考期中）如图，平行四边形中，，则的度数为（ ）.
A． B． C． D．
变式1. （2023·新疆喀什·统考二模）如图，在中，过点C作的垂线，交的延长线于点E，若，则的度数是_______．
变式2. （2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）如图，在中，，，作于E，则______；______．
考点3、利用平行四边形的性质求长度
例1．（2023春·河北廊坊·八年级校联考期中）如图，在中，用尺规作图得到点和点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2023春·北京大兴·八年级统考期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
变式2. （2023春·北京海淀·八年级校考期中）如图，的对角线与相交于点，，若，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
考点4、利用平行四边形的性质求坐标
例1．（2023春·山西大同·八年级统考期中）如图，位于第一象限中，已知顶点、的坐标分别为，，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2023春·辽宁铁岭·七年级校考阶段练习）如图，平行四边形在坐标系中的坐标分别为，，，则D点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式2. （2023春·西藏·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点，，，点D为平面直角坐标系中的点，以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标______．
考点5、利用平行四边形的性质求面积
例1．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，点P是内的任意一点，连接，得到，设它们的面积分别是，给出如下结论：
①；②如果，则；③若，则；
④如果P点在对角线上，则；⑤若，则P点一定在对角线上
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式1. （2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校联考期中）如图，，对角线、交于点，过点的直线与、交于点、，若的面积是3，的面积是5，则四边形的面积是（ ）
A．13 B．16 C．24 D．32
变式2.（2023·广西北海·统考三模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．1.5 B．3 C．6 D．4
考点6、平行四边形的对角线相关问题
例1．（2023春·江苏南通·八年级校联考期中）平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长度可以是（ ）
A．8和12 B．4和16 C．20和30 D．8和6
变式1. （2023·湖南长沙·九年级期末）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，的面积为48，OA＝3，则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．13
变式2. （2023·安徽·模拟预测）如图，在中，，相交于点，将绕点顺时针旋转度得到，使点落在上，直线相交于点，则的长为（ ）
A．8 B． C． D．
考点7、平行线之间的距离相关问题
例1．（2023春·福建厦门·八年级校考期中）如图，若直线，A，D在直线m上，B，E在直线n上，，，，的面积为6，则直线m与n之间的距离为______．
变式1．（2023·广东广州市·九年级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AC，AC＝24，BE＝5，AD＝8，则两平行线AD与BC间的距离是_____．
变式2．（2024·贵州铜仁市·八年级期末）如图，点在直线上移动，是直线上的两个定点，且直线.对于下列各值：①点到直线的距离；②的周长；③的面积；④的大小．其中不会随点的移动而变化的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
考点8、平行四边形性质综合
例1．（2023·黑龙江大庆·统考模拟预测）如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④
变式1. （2023·山东泰安市·九年级期末）如图，的对角线交于点平分交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·广东清远市·八年级期末）在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A．对边相等 B．对边平行 C．对角相等 D．对角线相等
2．（2023·湖南株洲市·七年级期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD＝10cm2，S△ACD为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
3．（2022·黑龙江·大庆市八年级期末）在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是（ ）
A．244．（2023春·湖南邵阳·八年级校联考期中）如图，在平行四边形中，，，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·山东青岛市·八年级期末）如图，在平行四边形中，为上一点，，且，，则下列选项正确的为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山东潍坊·统考二模）已知中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
7.（2023·海南·统考中考真题）如图，在中，，，平分，交边于点，连接，若，则的长为（ ）
A．6 B．4 C． D．
8．（2023·广东广州·统考二模）如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022·浙江杭州市·八年级期末）如图，在平行四边形中，，．作于点E，于点F，记的度数为，，．则以下选项错误的是（ ）
A． B．的度数为
C．若，则四边形的面积为平行四边形面积的一半
D．若，则平行四边形的周长为
10．（2023·黑龙江·鸡西市九年级期中）在平行四边形中，，于，于，， BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）如图，点O是平行四边形对角线的中点，过点O分别与相交于点E、F，若平行四边形的周长为24，，那么四边形的周长为 _______．
12．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是 ．
13．（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，的对角线相交于O，，则的周长为___．
14．（2023春·浙江杭州·八年级期中）如图，在，点F是上的一点，连接，平分，交于中点E，连接．若，，，则______．
15.（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在平行四边形中，按如下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则为 ．
16．（2023·山东淄博市·八年级期末）如图，是的对角线，点在上，，，则的度数是______．
17．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．
18．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．(1)求证：；(2)若，求的长和的面积．
20．（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证：(1)；(2)．
21．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．(1)求证：；(2)若，，，求的长．
22．（2022·陕西西安·二模）如图，在四边形中，，在上取两点E，F，使，连接．(1)若，试说明；
(2)在（1）的条件下，连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由．
23．（2023·重庆·统考中考真题）学行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O．
求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．∴ ① ．
∵垂直平分，∴ ② ．
又___________③ ．
∴．∴．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线 ④ ．
24．（2023·广东潮州·二模）如图，在中，为对角线．(1)求证：．(2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；(3)若的周长为10，求的周长．
25．（2023·广东阳江·三模）如图，平行四边形中，连接．
(1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N（不要求写作法，保留作图痕迹）；(2)连接，，求证：；(3)若，，求的长．
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