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专题4-3 中心对称
模块1：学习目标
1.掌握中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系。
2.掌握关于原点对称的点的坐标的特征，以及如何求对应点的坐标。
3.探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。
模块2：知识梳理
1.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2.中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
区别 针对两个图形 针对一个图形
两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形
对称点在两个图形上 对称点在一个图形上
对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部
联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．
3.中心对称的性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
4.作图步骤：（1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心；（2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等；（3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形。
模块3：核心考点与典例
考点1、中心对称图形的辨别
例1.（2023·浙江台州·九年级统考期末）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
变式1. （2023·辽宁鞍山·统考一模）下面图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
变式2. （2023·广东佛山·八年级校考阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选：D
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练运用定义判断是解题关键．
考点2、中心对称及性质
例1．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）下列各图中，四边形是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据成中心对称的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，中阴影部分两个三角形成中心对称，故选：A．
【点睛】本题考查了成中心对称．解题的关键在于熟练掌握：如果把一个图形绕某一点旋转后能与另一个图形重合，这两个图形成中心对称．
变式1．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点是对称点 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查中心对称，解题的关键是理解中心对称的性质，属于中考常考题型．利用中心对称的性质一一判断即可．
【详解】解：与关于点成中心对称，
点与点是对称点，，，，，正确，故选：D．
变式2. （23-24九年级上·河南周口·阶段练习）下列图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有 ．
【答案】B，D
【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的定义逐个判断即可得到答案；解题的关键是熟练掌握中心对称的定义：将一个图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形．
【详解】解：由题意可得，
A选项左边的图形与右边的图形不成中心对称，不符合题意，
B选项左边的图形与右边的图形可看成中心对称，符合题意，
C选项左边的图形与右边的图形不成中心对称，不符合题意，
D选项左边的图形与右边的图形可看成中心对称，符合题意．故答案为：B，D．
考点3、根据中心对称的性质求面积、长度、角度
例1．（23-24七年级下·浙江·课后作业）如图，已知阴影部分图形关于点O成中心对称，且，的高，则的面积为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】本题考查中心对称图形的性质，三角形的面积公式．根据中心对称图形的性质得出是解题关键．
【详解】解：∵阴影部分图形关于点O成中心对称，∴,∴．
∵的高，∴．故选D．
变式1．（23-24九年级上·广东汕头·期末）如图，与关于点C成中心对称，则的长是 。
【答案】
【分析】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．
【详解】解：与关于点成中心对称，
，，，，
，，，故答案为：．
变式2．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 若与关于E点成中心对称， 则对称中心E点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，勾股定理，根据中心对称图形对应点连线的中点即为对称中心所在的位置，得到点E即为的中点，根据两点中点坐标公式即可得到答案．
【详解】解：∵中心对称图形对应点连线的中点即为对称中心所在的位置，∴点E即为的中点，
∵，∴，故选A
考点4、画两个图形的对称中心
例1．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了求对称中心，分别求出点的坐标，从而可得的中点坐标是解题关键．
【详解】解：由图可知，，
∴的中点坐标为，即为，的中点坐标为，即为，
的中点坐标为，即为，∴的中点坐标均为，
∴与的对称中心是，故答案为：．
变式1. （23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）如图，与成中心对称则对称中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】此题主要考查了中心对称．熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
连接（或或），根据中心对称的性质逐一判断即得．
【详解】解：连接，发现经过点M，且被点M平分，故对称中心为M点．故选：A．
变式2.（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（ ）．
A．点G B．点H C．点I D．点J
【答案】C
【分析】本题主要考查中心对称的图形的对称中心，掌握两组对应点连线的交点即是对称中心是解题的关键．根据对称中心的确定方法即可解答．
【详解】解：如图，连接，它们的相交点，即为对称中心．
则线段与线段的对称中心为点I．故选：C．
考点5、画已知图形关于某点对称的图形
例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B、C的坐标分别是．(1)画出关于y轴对称的图形．(2)以点O为对称中心，画出的中心对称图形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查了轴对称变换的性质，中心对称的性质，熟练掌握轴对称变换的性质，中心对称的性质是解题的关键．（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；（2）根据中心对称的性质找出对应点即可求解．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求．
变式1.（23-24七年级上·上海黄浦·阶段练习）在图中网格上按要求画出图形，并回答问题：
(1)如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形；(2)画出三角形关于点D成中心对称的三角形；(3)三角形与三角形_____（填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O．
【答案】(1)见详解(2)见详解(3)是，画图见详解
【分析】本题主要考查作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．（1）由题意得出，需将点与点先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，据此可得；（2）分别作出三顶点分别关于点的对称点，再首尾顺次连接可得；（3）连接两组对应点即可得．
【详解】（1）如图所示，即为所求．（2）如图所示，即为所求；
（3）如图所示，与是关于点成中心对称，故答案为：是．
变式2.（23-24九年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形），和关于点成中心对称．
(1)画出对称中心，并写出点的坐标；(2)画出绕点逆时针旋转后的并标明对应字母；(3)画出与关于点成中心对称的并标明对应字母．
【答案】(1)图形见解析；点(2)图形见解析(3)图形见解析
【分析】本题主要考查了中心对称、旋转作图，解题的关键是熟练掌握中心对称和旋转的性质．
（1）连接、，交点即为点；（2）分别作出点、、绕点逆时针旋转后的对应点，然后把对应点顺次连接即可得到；（3）分别作出点、、关于点成中心对称的对应点，然后把对应点顺次连接即可得到．
【详解】（1）D点坐标
（2）如图，画出；（3）如图，画出．
考点6、中心对称图形规律问题
例1．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（ ， ）
【答案】 /
【分析】作轴于点C，先根据1是边长为2的等边三角形，可得的坐标为，B1的坐标为；分别求出点、、的坐标各是多少，最后总结出An的坐标的规律，求出的坐标是多少即可．
【详解】解：如图，作轴于点C，
∵是边长为2的等边三角形，∴，，
∴，∴的坐标为，的坐标为，
∵与关于点成中心对称，∴点与点关于点成中心对称，
∵，，∴点的坐标是，
∵与关于点成中心对称，∴点与点关于点成中心对称，
∵，，∴点的坐标是，
∵与关于点成中心对称，∴点与点关于点成中心对称，
∵，，∴点的坐标是，…，
∵，，，，…，
∴的横坐标是，的横坐标是，
∵当n为奇数时，的纵坐标是，当n为偶数时，的纵坐标是，
∴顶点的纵坐标是，∴顶点的坐标是．故答案为：，．
【点睛】此题考查了坐标与图形变化-中心对称，等边三角形的性质，含30度角的等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标各是多少．
变式1.（23-24九年级上·四川广元·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ．
【答案】
【分析】此题考查了中心对称的性质，坐标与图形性质，等边三角形的性质等知识；根据是边长为2的等边三角形，可得，同理可求得，，从而总结出点的横坐标是 ，当n为奇数时，点的纵坐标是，当n为偶数时，点的纵坐标是，即可求解．
【详解】解：∵是边长为2的等边三角形，∴，，
∵与关于点成中心对称，∴，即，
∵与关于点成中心对称，∴，即，
以此类推，点的横坐标是 ，当n为奇数时，点的纵坐标是，当n为偶数时，点的纵坐标是，∴
∴的顶点的坐标是，故答案为：．
变式2. （22-23八年级上·河北保定·期末）已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解．
【详解】解：由题意，，，，，，，， ……
可得每6次为一个循环，∵，∴点的坐标是，故选：A．
【点睛】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·河北廊坊·九年级统考期末）如图，该图形在绕点按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将该图形平分成五部分，每部分被分成的圆心角是，因为圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合，据此即可得到答案．
【详解】解：将该图形平分成五部分，每部分被分成的圆心角是，旋转的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D选项都符合题意，
旋转角为时，旋转后不能与自身重合，B选项不符合题意，故选B．
【点睛】本题考查了旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
2．（2023·安徽蚌埠·九年级校考期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3. （23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）下列各组图形中，不成中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题重点考查两个图形成中心对称的定义，欲分析两个图形是否成中心对称，主要把题目中一个图形绕一个点旋转，观察是否能和另一个图形重合即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键．
【详解】根据中心对称的概A、B、C都是中心对称，不符合题意；
D是轴对称，不成中心对称，符合题意．故选：D．
4．（2023·山东青岛·三模）两个完全相同的三角形纸片，在平面直角坐标系中的摆放位置如图所示，点P与点是一对对应点，若点P的坐标为，则点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形性质；在图形中找出一对对应点的坐标，由两点坐标找出两点间的关系，由此即可得出点的坐标．
【详解】解：观察图形可知：点与点为一对对应点，，．
点与点是一对对应点，点的坐标为，
点的坐标为，即．故选：A．
5．（23-24九年级·海南省直辖县级单位·期末）下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（ ）
A．成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心
B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段
C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分
D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分
【答案】D
【分析】本题考查中心对称的性质．根据中心对称的性质，①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，判断各选项即可得出答案．
【详解】解：A、成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段一定经过对称中心，故本选项错误；
B、成中心对称的两个图形中，对称中心一定平分连接对称点的线段，故本选项错误；
C、成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分，故本选项错误；
D、成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分，故本选项正确．
故选：D．
6．（23-24八年级上·广东深圳·期末）八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点，分别作，，关于的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（ ）
A．点与点是对称点 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称的性质，根据中心对称的性质判断即可，掌握中心对称的性质是求解本题的关键．
【详解】解：∵和关于点成中心对称，
∴点与点是对称点，，故成立；
∵与是对顶角，∴，故成立；
∵的对应角是，∴，故不成立；故选：．
7．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．点B与点E是对应点
【答案】C
【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是熟练掌握中心对称的定义以及性质．
根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断．
【详解】A．，
∵与关于点O成中心对称，∴，∴此选项正确，不符合题意；
B．，∵，∴，∴此选项正确，不符合题意；
C．，∵，∴此选项不正确，符合题意；
D．点B与点E是对应点，∵点B与点E是对应点，∴此选项正确，不符合题意．故选：C．
8．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，若与中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称，根据A、D两点到M的距离相等且三点在一条直线上，B、E两点到M都是的网格且三点在一条直线上，C、F两点到M都是的网格且三点在一条直线上，可得对称中心是点M．
【详解】解：如图，
相交于点M，∴点M是与对称中心，故选：A．
9.（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，则的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质：的锐所对的直角边等于斜边的一半，以及中心对称图形的性质．在直角中根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求得，而，据此即可求解．
【详解】解：∵在直角中，1，故选：B．
10．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在的方格中，有3个被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中选择1个涂黑，使涂黑的小正方形组成的新图形是中心对称图形，则可选择的小正方形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形，据此求解即可．
【详解】解：选择一个正方形涂黑，使得4个涂黑的正方形组成轴对称图形，如图，
共有2个，故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2024·河南安阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点与点于原点对称，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，代数式求值，关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，据此作答即可．
【详解】∵点与点于原点对称，∴，∴，故答案为：．
12．（2023春·江苏·八年级校考周测）在线段、平行四边形、长方形、圆、等边三角形这五个图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是______．
【答案】等边三角形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，
等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，
线段、长方形、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故答案为：等边三角形．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
13．（2023·河南商丘·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，经过中心对称变换得到，那么对称中心的坐标为_________．
【答案】
【分析】对应点连线的中点即时对称中心的坐标，以此来求解即可．
【详解】解：的中点坐标是，故答案是：．
【点睛】本题考查了中心对称变换，掌握根据对应点找出对称中心的方法是求解的关键．
14．（23-24九年级上·重庆巴南·阶段练习）若点与点关于原点成中心对称，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，代数式求值，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到，据此求出，据此代值计算即可．
【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴，∴，∴，故答案为：2．
15．（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若，，，则的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，解题的关键是对中心对称性质的应用．根据中心对称的性质及，由勾股定理可求得的长．
【详解】∵与关于点C成中心对称，∴，
∴，，∴
由勾股定理得：故答案为：．
16．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在如图所示的正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，这样的涂法有 种．
【答案】1
【分析】本题考查了中心对称图形即将图形绕某点旋转180°后与原图形完全重合，正确理解定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：根据中心对称图形的定义，可得如下涂法，且只有一种，故答案为：1．
17．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，点在第 个三角形上，（n是正整数）的顶点的坐标是 ．
【答案】 7
【分析】由题意可以求出点，，，的坐标，找出其中的规律，即可得到第一个空的答案；根据第一个空的规律，可求得第二个空的答案．
【详解】解：由题意可得，点的坐标为，，，，由此可得，点是的坐标，即该点在第7个三角形上；
法一：由图可得点，，所以点，则点，由图可推得点；
法二：由点，，，的坐标，可得点，，
所以点．故答案为7，
【点睛】本题考查图形类的规律探索题，根据图形找到规律是解题的关键．
18．（2023·山东烟台·八年级统考期末）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为_____________．
【答案】11
【分析】连接DK，DN，证明S四边形DMNT=S△DKN=大正方形的面积，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接DK，DN，∵∠KDN=∠MDT=90°，∴∠KDM=∠NDT，
∵DK=DN，∠DKM=∠DNT=45°，∴△DKM≌△DNT（ASA），
∴S△DKM=S△DNT，∴S四边形DMNT=S△DKN=大正方形的面积，
∴正方形ABCD的面积=4××9+2=11．故答案为：11．
【点睛】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键连接DK，DN，构造全等三角形解决问题．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·吉林·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点∶的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中画使与关于某条直线对称；
(2)在图②中画，使与关于某点成中心对称．
【答案】(1)见详解(2)见详解
【分析】本题考查作轴对称、中心对称及平行图，解题的关键是知道平移的性质与规律及轴对称的性质．（1）根据轴对称的性质两个三角形都有边可得对称轴是边的垂直平分线找到G，即可得到答案；（2）根据平行四边形是中心对称图形作平行四边形即可可得答案．
【详解】（1）解：由轴对称的性质两个三角形都有边，
所以对称轴是边的垂直平分线找到G，连接，如图所示，即为所求，
；
（2）平行四边形是中心对称图形作平行四边形如图所示，即为所求
20．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、．
(1)画出关于原点成中心对称的图形，点A，B，C的对应点分别为点，，；
(2)在（1）的条件下，画出把，向上平移4个单位长度后得到的图形，点，，的对应点分别为点，，．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题主要考查作图-旋转变换与平移变换，掌握旋转变换和平移变换的定义与性质并据此得到其变换后对应点是解题的关键．（1）根据中心对称图形的的性质得到其对应点，然后顺次连接即可；（2）将三个顶点分别向上平移4个单位得到其对应点，然后顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图：即为所求．
；
（2）解：如图：即为所求．
21．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，，.
(1)请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形；
(2)请画出关于原点O成中心对称的图形；
(3)在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)作图见解析，
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）找出点A、B、C关于原点O成中心对称的点的位置，然后顺次连接即可；
（3）作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则，根据两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式为，然后利用x轴上点的坐标特征确定P点坐标．
【详解】（1）解：如图，为所作；（2）解：如图，为所作；
（3）解：作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则，
，，∴此时的值最小，
设直线的解析式为，把分别代入得，解得，
∴直线的解析式为，当时，，解得，∴P点坐标为．
【点睛】本题考查了利用平移变换作图、作关于原点O成中心对称的图形、轴对称最短路线问题，一次函数的解析式及一次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是掌握平移和中心对称的性质．
22．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图；
(1)作出关于轴对称的；(2)作出关于原点对称的中心对称图形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查了作图中心对称、作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握中心对称和轴对称的性质．（1）根据轴对称的性质即可作出关于轴对称的；
（2）根据中心对称的性质即可作出关于原点对称的中心对称图形．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
；
（2）解：如图，即为所求．
23．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）
(1)将平移，使点A移动到点，请画出；
(2)作出关于O点成中心对称的，并直接写出，，的坐标；
(3)与是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)画图见解析，，，
(3)与成中心对称，对称中心的坐标为
【分析】本题考查作图平移变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，中心对称变换的性质．（1）利用平移变换的性质分别作出，的对应点，即可；（2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；（3）根据中心对称的性质求解即可．
【详解】（1）如图，△为所作；（2）如图，△为所作．
∴，，；
（3）连接，，，
根据与的顶点坐标的特点可得，，，交于点，
∵点和点关于点，点和点关于点，点和点关于点，
∴与成中心对称，对称中心的坐标为．
24．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，是3个相同大小的6×6的方格，图1中放置一副七巧板组成的正方形图案，其顶点均在格点上，称之为格点图形．利用七巧板中的3种图形，按下列要求作出符合条件的格点图形．(1)在图2中，拼成一个轴对称但不是中心对称的图形．(2)在图3中，拼成一个中心对称但不是轴对称的图形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查图案设计-轴对称图形和中心对称图形，熟知轴对称图形和中心对称图形的性质是关键．（1）根据轴对称图形的性质拼图即可；（2）根据中心对称图形的性质拼图即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
25．（2022九年级上·浙江·专题练习）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，、，的对称中心的坐标为，．
观察应用：
(1)如图，在平面直角坐标系中，若点、的对称中心是点，则点的坐标为 ；
(2)另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，则点、的坐标分别为 、 ．
拓展延伸：(3)求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标．
【答案】(1)点的坐标为(2)、的坐标分别为，；
(3)；或或或．
【分析】（1）直接利用题目所给公式即可求出点A的坐标；
（2）根据题目所给公式求出，，的坐标，依此类推即可求出的坐标；
（3）根据所求出的坐标可得的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环，利用这个规律即可求出点的坐标；然后分情况讨论，根据等腰三角形的性质求出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标．
【详解】（1）解：∵，，∴点的坐标为；
（2）解：∵，，∴的横坐标为，纵坐标为，即，
∵，∴的横坐标为，纵坐标为，即，
∵，∴的横坐标为，纵坐标为，即，
同理可得：，，，，
即点、的坐标分别为，，故答案为：，；
（3）解：，，，，，，，；的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环，
，的坐标与的坐标相同，即；∴，
设轴上与点、点构成等腰三角形的点为点D，
当时，点D坐标为或；
当时，∵，∴，点D坐标为；
当时，点D在的垂直平分线上，∴点D与原点重合，点D坐标为；
综上，在轴上与点、点构成等腰三角形的点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，中心对称的性质，规律型—点的坐标，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，此题是一个阅读材料的题目，读懂题目，灵活运用题目所给公式是解题的关键．
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专题4-3 中心对称
模块1：学习目标
1.掌握中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系。
2.掌握关于原点对称的点的坐标的特征，以及如何求对应点的坐标。
3.探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。
模块2：知识梳理
1.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2.中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
区别 针对两个图形 针对一个图形
两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形
对称点在两个图形上 对称点在一个图形上
对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部
联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．
3.中心对称的性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
4.作图步骤：（1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心；（2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等；（3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形。
模块3：核心考点与典例
考点1、中心对称图形的辨别
例1.（2023·浙江台州·九年级统考期末）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2023·辽宁鞍山·统考一模）下面图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式2. （2023·广东佛山·八年级校考阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点2、中心对称及性质
例1．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）下列各图中，四边形是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（ ）
A． B．C． D．
变式1．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点是对称点 B． C． D．
变式2. （23-24九年级上·河南周口·阶段练习）下列图形中，左边的图形与右边的图形可看成中心对称的有 ．
考点3、根据中心对称的性质求面积、长度、角度
例1．（23-24七年级下·浙江·课后作业）如图，已知阴影部分图形关于点O成中心对称，且，的高，则的面积为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．6
变式1．（23-24九年级上·广东汕头·期末）如图，与关于点C成中心对称，则的长是 。
变式2．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 若与关于E点成中心对称， 则对称中心E点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
考点4、画两个图形的对称中心
例1．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是 ．
变式1. （23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）如图，与成中心对称则对称中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
变式2.（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（ ）．
A．点G B．点H C．点I D．点J
考点5、画已知图形关于某点对称的图形
例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B、C的坐标分别是．(1)画出关于y轴对称的图形．(2)以点O为对称中心，画出的中心对称图形．
变式1.（23-24七年级上·上海黄浦·阶段练习）在图中网格上按要求画出图形，并回答问题：
(1)如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形；(2)画出三角形关于点D成中心对称的三角形；(3)三角形与三角形_____（填“是”或“否”）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中画出这个对称中心，并记作点O．
变式2.（23-24九年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形），和关于点成中心对称．
(1)画出对称中心，并写出点的坐标；(2)画出绕点逆时针旋转后的并标明对应字母；(3)画出与关于点成中心对称的并标明对应字母．
考点6、中心对称图形规律问题
例1．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（ ， ）
变式1.（23-24九年级上·四川广元·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ．
变式2. （22-23八年级上·河北保定·期末）已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·河北廊坊·九年级统考期末）如图，该图形在绕点按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·安徽蚌埠·九年级校考期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3. （23-24九年级上·云南曲靖·阶段练习）下列各组图形中，不成中心对称的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东青岛·三模）两个完全相同的三角形纸片，在平面直角坐标系中的摆放位置如图所示，点P与点是一对对应点，若点P的坐标为，则点的坐标为( )
A． B． C． D．
5．（23-24九年级·海南省直辖县级单位·期末）下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（ ）
A．成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段不一定经过对称中心
B．成中心对称的两个图形中，对称中心不一定平分连接对称点的线段
C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分
D．成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分
6．（23-24八年级上·广东深圳·期末）八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点，分别作，，关于的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（ ）
A．点与点是对称点 B． C． D．
7．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．点B与点E是对应点
8．（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，若与中心对称，则其对称中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
9.（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，则的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
10．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在的方格中，有3个被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中选择1个涂黑，使涂黑的小正方形组成的新图形是中心对称图形，则可选择的小正方形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2024·河南安阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点与点于原点对称，则 ．
12．（2023春·江苏·八年级校考周测）在线段、平行四边形、长方形、圆、等边三角形这五个图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是______．
13．（2023·河南商丘·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，经过中心对称变换得到，那么对称中心的坐标为_________．
14．（23-24九年级上·重庆巴南·阶段练习）若点与点关于原点成中心对称，则 ．
15．（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若，，，则的长是 ．
16．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在如图所示的正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，这样的涂法有 种．
17．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，点在第 个三角形上，（n是正整数）的顶点的坐标是 ．
18．（2023·山东烟台·八年级统考期末）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为_____________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·吉林·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点∶的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中画使与关于某条直线对称；
(2)在图②中画，使与关于某点成中心对称．
20．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、．
(1)画出关于原点成中心对称的图形，点A，B，C的对应点分别为点，，；
(2)在（1）的条件下，画出把，向上平移4个单位长度后得到的图形，点，，的对应点分别为点，，．
21．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）如图，三个顶点的坐标分别为，，.
(1)请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形；
(2)请画出关于原点O成中心对称的图形；
(3)在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标．
22．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）利用图中的网格线（最小的正方形的边长为1）画图；
(1)作出关于轴对称的；(2)作出关于原点对称的中心对称图形．
23．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）
(1)将平移，使点A移动到点，请画出；
(2)作出关于O点成中心对称的，并直接写出，，的坐标；
(3)与是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
24．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，是3个相同大小的6×6的方格，图1中放置一副七巧板组成的正方形图案，其顶点均在格点上，称之为格点图形．利用七巧板中的3种图形，按下列要求作出符合条件的格点图形．(1)在图2中，拼成一个轴对称但不是中心对称的图形．(2)在图3中，拼成一个中心对称但不是轴对称的图形．
25．（2022九年级上·浙江·专题练习）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，、，的对称中心的坐标为，．
观察应用：
(1)如图，在平面直角坐标系中，若点、的对称中心是点，则点的坐标为 ；
(2)另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，则点、的坐标分别为 、 ．
拓展延伸：(3)求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标．
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