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专题4-4 平行四边形的判定定理
模块1：学习目标
1. 探索并证明平行四边形的判定定理，并能运用它们进行证明和计算。
2. 通过平行四边形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展 学生的演绎推理能力。
模块2：知识梳理
平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：
1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC。
2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC。
3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC。
4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC。
5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO。
注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形。若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的。
模块3：核心考点与典例
考点1、平行四边形的判定
例1．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接，则四边形是平行四边形．其依据是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【分析】由作图可得，，，进而可得判定平行四边形的依据．
【详解】解：由作图可得，，，∴四边形是平行四边形，
∴依据为两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定．解题的关键在于理解作图过程．
变式1.（2023春·浙江·八年级专题练习）根据图中所给的边长及角度，下列四边形中，一定可以判定为平行四边形的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形判断A；根据题意可知平行线间距离是5，可知两组对边平行，可判断B；对于C，D可知一组对边平行，不能判断另一组对边的关系，可得答案．
【详解】由，可知一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，所以A不符合题意；由，可知一组对边平行，平行线间距离是5，可知另一组对边平行，该四边形是平行四边形，所以B符合题意；由，可知一组对边平行，另一组对边无法确定，不一定是平行四边形，所以C不符合题意；由，可知一组对边平行，另一组对边无法确定，不一定是平行四边形，所以D不符合题意．故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键．
变式2.（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．在转动其中一张纸条的过程中，线段和的长度始终相等，这里蕴含的数学原理是____________．
【答案】两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【分析】根据题意可证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质即可得到．
【详解】解：蕴含的数学原理是两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∵，，∴四边形是平行四边形，∴．
故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”．
变式3．（2024·四川巴中·八年级校考期末）下列说法，属于平行四边形判定方法的有（ ）．
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②平行四边形的对角线互相平分；
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④平行四边形的每组对边平行且相等；
⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定方法分析即可；
【详解】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故①正确；
平行四边形的对角线互相平分，是平行四边形的性质，故②错误；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故③正确；
平行四边形的每组对边平行且相等，是平行四边形的性质，故④错误；
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故⑤正确；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故⑥正确；故正确的是①③⑤⑥；故答案选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，准确分析判断是解题的关键．
考点2、添加条件判定平行四边形
例1．（2023春·河南新乡·八年级河南师大附中校考期中）如图，点E、F是平行四边形对角线上两点，在条件：①；②；③；④中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】D
【分析】通过证明三角形全等，得出四边形的一组对边平行且相等，即可得出是平行四边形．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，∴，
①时，不能证明，不能证明四边形是平行四边形；
②时，在和中，，∴，
∴，，∴∴，∴四边形是平行四边形；
③时，，在和中，，∴，
∴，，∴∴，∴四边形是平行四边形；
④当时，则，在和中，，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形；故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
变式1.（2023春·浙江温州·八年级瑞安市飞云中学校考期中）如图，四边形的两条对角线相交于点，下列选项中的条件能判定四边形是平行四边形的是( )
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】利用平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】解：A. ，, 不能判定四边形 是平行四边形，不符合题意；
B. ，, 不能判定四边形 是平行四边形，不符合题意；
C. ，, 不能判定四边形 是平行四边形，不符合题意；
D. ，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，符合题意，故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
变式2.（2023春·江苏镇江·八年级统考期中）四边形中，，添加一个条件_________，可得四边形成为平行四边形．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由平行四边形的判定即可得出结论．
【详解】添加条件为：，理由如下：
∵，，∴四边形为平行四边形，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．
考点3、平行四边形的个数判别
例1．（2023·浙江八年级期中）如图，在平行四边形中，，，与交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．11个
【答案】C
【分析】根据平行四边形的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵，，∴，，
根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
则图中的四边形、、、、、、、和都是平行四边形，共9个．故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
变式1.（23-24九年级上·浙江·周测）平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进一步分析即可得到结论．
【详解】解：从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形，从3条平行线中任选2条直线的方法有3种，从5条平行线中任选2条直线的方法有10种，故平行四边形的个数为，故选：C
【点睛】此题考查了平行四边形，熟练掌握平行四边形的定义是解决问题的关键．
变式2.（22-23八年级下·湖南永州·期末）如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有 个平行四边形．
【答案】3
【分析】根据平移的性质，三角形的三条边与平移后的三条边分别相等，平行，进而根据平行四边形的判定定理即可求解．
【详解】解：依题意，，则四边形是平行四边形，
，四边形是平行四边形，
，四边形是平行四边形，∴有个平行四边形故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
考点4、平行四边形的坐标问题
例1．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在直角坐标系中，以点，，为四边形的三个顶点构造平行四边形，则下列各点中可以作为第四个顶点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】本题考查平行四边形的判定，线段的平移．
作出图形，结合图形分析即可解答．
【详解】在平面直角坐标系中，如图，将线段向上平移1个单位长度，向右平移2个单位长度，得到，此时，点C的坐标为；
如图，将线段向下平移2个单位长度，得到，此时，点D的坐标为；
如图，将线段向上平移2个单位长度，得到，此时，点E的坐标为．
综上所述，可以作为第四个顶点的是或，．故选：ABD．
变式1．（22-23八年级下·广东湛江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ．
【答案】或或
【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可.
【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系．
当，时，；当，时，；
当，时，．故答案为：或或．
变式2．（22-23八年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，如果以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，那么点的坐标是 ．
【答案】
【分析】先由，，证明轴，，再由以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，证明，轴，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：，，∴轴，，
以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，
，，∴轴，
，点的坐标是，故答案为：．
【点睛】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的判定等知识，由，证明轴，是解题的关键．
考点5、平行四边形的动态问题
例1.（2023春·江苏无锡·八年级校联考阶段练习）在中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动．点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当时，运动时间________时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】或8
【分析】由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，分两种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，
若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则，设运动时间为t秒，
当时，，，，，∴，解得：；
当时，，，，∴，解得：．
综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，分两种情况列出关于t的一元一次方程是解题的关键．
变式1．（2023春·江西宜春·八年级统考期中）如图，在 中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．在这段时间内，当运动时间为______时，线段．
【答案】或或
【分析】由平行四边形的判定和性质可知当时，．再求出点P运动的时间为12秒，即可求出点Q可在间往返3次，即在这段时间内与有3次平行．设运动时间为t，分类讨论4次平行，分别用含t的代数式表示出和，再列出方程，解出t的值即可．
【详解】解：当时，．
∵，∴四边形为平行四边形，∴．
∵点P运动的时间秒，∴点Q运动的路程，
∴点Q可在间往返3次，∴在这段时间内与有3次平行．
设运动时间为t，则，分类讨论：①第一次平行：，，∴，解得：秒；
②第二次平行：，，∴，解得：秒；
③第三次平行：，，∴，解得：秒；故答案为：或或．
【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质，一元一次方程的实际应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
变式2．（2023春·西藏·八年级校考期中）如图，在四边形中，，，点P从点A出发，以3个单位/秒的速度沿运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿运动，当四边形为平行四边形时，运动的时间为______．
【答案】3秒
【分析】根据平行四边形的性质可得，设运动时间为x秒，用x表示出和的长，然后可得关于x的方程，求出x的值即可．
【详解】解：如图，
当P在边上，，四边形为平行四边形，
∵，∴，
设运动时间为x秒，则，故，解得：，故答案为：3秒．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边互相平行且相等是解题的关键．
考点6、平行四边形的判定（证明）
例1．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若的面积等于2，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)1
【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形；（2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，
，，，
又，四边形是平行四边形．
（2）解：，，，
四边形是平行四边形，．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
变式1.（2023·青海·统考中考真题）如图，是的一个外角，，.
(1)尺规作图：作的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：四边形是平行四边形.
【答案】(1)见详解(2)见详解
【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可；（2）先利用得到，再根据角平分线的定义得到，则利用三角形外角性质可判断，所以，然后利用可判断四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）证明：，，平分，，
，即，，，
，四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了作图基本作图、等腰三角形的性质和平行四边形的判定，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
变式2.（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，点在同一直线上，．
(1)求证：；(2)连接，直接判断四边形的形状．
【答案】(1)证明见解析(2)四边形是平行四边形，证明见解析．
【分析】（1）证，再由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由（1）可知，，则，再由平行四边形的判定即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，∴，即，
在和中，，∴，∴；
（2）解：如图，四边形是平行四边形，理由如下：
由（1）可知，，∴，
又∵，∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握相关性质和判定方法．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24八年级下·内蒙古通辽·期中）由两个全等三角形用各种不同的方法拼成四边形，在这些拼成的四边形中是平行四边形的个数是（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】把三角形相等的一边重合，得到平行四边形，有3种情况．
【详解】如图所示：
则有平行四边形有四边形ABCD、四边形BDCF、四边形BDEC共计3个．故选：B
【点睛】考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质等知识点的理解和掌握，解题关键是能正确画出图形．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．9个 D．11个
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定，两组对边必须平行，可以得出上下各两个平行四边形符合要求，以及特殊四边形矩形与正方形即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：一共11个面积为4的阵点平行四边形．故选：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定得出结论是解题的关键．
3．（22-23八年级下·贵州黔东南·期中）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（ ）
A．或 B．或 C．或或 D．或或
【答案】D
【分析】先根据题意画出图形，然后分为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的性质即可解答．
【详解】解：如图：当为对角线时，点的坐标为，即；
当为边时，点的坐标为，即；点的坐标为，即．
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
4．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（ ）
A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个
【答案】D
【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量．
【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；
两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键．
5.（2023·湖南·统考中考真题）如图，在四边形中，已知，添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知A项不符合题意；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知B项不符合题意；根据全等三角形的判定与性质可知D项不符合题意进而即可判断．
【详解】解：∵，，∴由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴项能判定四边形是平行四边形，故项不符合题意；
∵，，∴由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴项能判定四边形是平行四边形，故项不符合题意；
∵，但和不一定平行，
∴项不能判定四边形是平行四边形，故符合题意；
∵，∴，
∵，，∴，∴，
∴项能判定四边形是平行四边形，故项不符合题意；故选：．
【点睛】本题考查平行四边形判定，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
6．（2023·山东·八年级期末）下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项A不符合题意；
B、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项B不符合题意；
C、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，∴选项C符合题意；
D、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项D不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
7．（2023·湖北襄阳·模拟预测）能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】直接利用平行四边形的判定定理判定，即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．
【详解】解：A、，，则四边形不一定为平行四边形，可能为等腰梯形，故本选项不符合题意；
B、，，则四边形为平行四边形；故本选项正确，符合题意；
C、，，则四边形不一定为平行四边形，可能为等腰梯形，故本选项不符合题意；
D、，，不能判定四边形为平行四边形；故本选项不符合题意．故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键．
8．（2023·河北·统考中考真题）综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程．
（1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
【答案】C
【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断．
【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出，
可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形，
判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分，故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理．
9．（2023·河北石家庄市·八年级期末）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条、的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形，这种方法的依据是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
【答案】A
【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可.
【详解】由已知可得AO=CO，BO=DO，∴四边形是平行四边形，
依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选：A.
【点睛】此题考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的五种判定定理并运用解决问题是解题的关键.
10．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长和面积分别是( )
A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16
【答案】C
【分析】先论证四边形是平行四边形，再分别求出、、，继而用平行四边形的周长公式和面积公式求解即可．
【详解】由平移的性质可知：，∴四边形是平行四边形，
在中，，，，∴
在中，，，点F是中点∴
∵，点F是中点∴，，
∴点D是的中点，∴
∵D是的中点，点F是中点，∴是的中位线，∴
∴四边形的周长为：，
四边形的面积为：．故选：C．
【点睛】本题考查平移的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例，三角形中位线定理等知识，推导四边形是平行四边形和是的中位线是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（22-23八年级下·河南南阳·期末）将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个．
【答案】3
【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可．
【详解】解：如图所示，将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，
可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个．故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．
12．（22-23八年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四辺形，请写出D点坐标 ．
【答案】，，
【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形．
【详解】解：①当为边且为邻边时：如图
因为点、，所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点，
相应的点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点，，；
②当为边且为邻边时：如图
因为点、，所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点，
相应的点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点，，；
③当为对角线时：如图
因为点、，所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点，
相应的点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点，
，；故答案为：，， ．
【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决．
13．（22-23八年级下·江苏南通·阶段练面直角坐标系中，，，，为平面内一点若、、、四点恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点的坐标为 ．
【答案】或或
【分析】分三种情形画出图形即可解决问题．
【详解】解：如图，当，时，点的坐标为；
当，时，点的坐标为；当，时，点的坐标为；
综上所述，满足条件的点的坐标为或或，故答案为：或或．
【点睛】本题考查平行四边形的判定、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
14．（2024·广东·八年级期中）如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为 。
【答案】3
【分析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，先证∠DHC=90 ，再证四边形ADEF是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果．
【详解】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，∠ADC=60 ，∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60 ，
∵DH⊥BC， ∴∠DHC=90 ，∴∠ADC+∠CDH=90°，∴∠CDH=30°，
在Rt△DCH中，CH=CD=，DH=，∴，
∵四边形BCEF是平行四边形，∴AD=BC=EF，AD∥EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥DE，AF=DE=1，
∵AF⊥BE，∴DE⊥BE，∴， ∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题．
15．（2023春·浙江·八年级阶段练习）如图，在中，M是的中点，且，则的面积为 。
【答案】40
【分析】过点D作交的延长线于点F，如图，先根据平行四边形的性质证明，进而得出三角形是直角三角形，且，然后过点D作于点G，利用等积法求出，再根据的面积的面积求解即可.
【详解】解：过点D作交的延长线于点F，如图，则，
∵四边形是平行四边形，∴，，，，
∴，四边形是平行四边形，∴，∴，，
∵M是的中点，，∴，∴，∴，
∵，∴，在三角形中，∵，
∴三角形是直角三角形，且， 过点D作于点G，
∵，∴，
∵，∴的面积的面积=；
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及四边形的面积等知识，正确作出辅助线、熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键.
16．（2023春·江苏无锡·八年级校联考阶段练习）如图， 中，，为锐角．要在对角线上找点N，M，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案有 个.
【答案】3
【分析】甲方案，连接交于点，证明，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出甲方案正确；
乙方案，先证明，再证明得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出乙方案正确；
丙方案，证明得出，，则，证出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出丙方案正确；
【详解】甲方案中，连接交于点，如图所示：
∵四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，∴四边形为平行四边形，故甲方案正确；
乙方案中，∵，∴，
∵四边形是平行四边形，∴，∴，
在和中∵，∴，
∴，∴四边形为平行四边形，故乙方案正确；
丙方案中，∵四边形是平行四边形，∴，∴，
∵平分，平分，∴，
在和中∵，∴，∴，，
∴，∴，∴四边形为平行四边形，故丙方案正确；故答案3个
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
17．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，点在线段上（点C在点之间），分别以为边向同侧作等边三角形与等边三角形，边长分别为．与交于点H，延长交于点G，长为c．
（1）若四边形的周长与的周长相等，则之间的等量关系为 ．
（2）若四边形的面积与的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为 ．
【答案】
【分析】由题意可得：为等边三角形，四边形为平行四边形，，（1）分别求得四边形的周长与的周长，根据题意，求解即可；（2）分别求得四边形的面积与的面积，根据题意，求解即可．
【详解】解：等边三角形与等边三角形中，，
∴和为等边三角形，，
∴，四边形为平行四边形，又∵等边三角形与等边三角形
∴，，，∴，
（1）平行四边形的周长为：，
的周长为： 由题意可得： 即：；
（2）过点作，过点作，如下图：
在中，，，，∴
则平行四边形的面积为
在中，，，，∴
则的面积为：由题意可得：
化简可得： 故答案为：；
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握并灵活利用等边三角形的性质求得对应线段的长度．
18．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是 。
【答案】
【分析】过P作于M，再判定四边形为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积．
【详解】解：过P作于M，由作图得：平分，∴，
∴，∴，
∵，，∴四边形为平行四边形，，
∴，∴，设，
在中，，即：，解得：，
∴．故答案：．
【点睛】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·广东河源·统考二模）如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接并延长交的延长线于点G，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定，利用证得，可证得，同理可得，利用进而可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
【详解】证明：∵，E为的中点，，，，
在和中，，，
，同理：，∴四边形是平行四边形．
20.（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，．(1)求证：≌．(2)连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）由B是的中点得，结合，，根据全等三角形的判定定理“”即可证明≌；（2）由（1）中≌得，进一步得，再结合，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
【详解】（1）解：∵B是的中点，∴．
在和中，∴≌（）．
（2）如图所示，∵≌，∴，∴．
又∵，∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
21．（2023·浙江八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．
（1）求证：AEF≌DEC；（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质可得就爱∠FAE=∠CDE，利用ASA即可证明△AEF≌△DEC；
（2）根据全等三角形的性质可得AF=DC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得结论．
【详解】（1）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，
∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（ASA）．
（2）∵△AEF≌△DEC，∴AF＝DC，
∵AF∥DC，∴四边形ACDF是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的对边互相平行；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键．
22．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点．
(1)求证：四边形为平行四边形；(2)，求线段的长度．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）由三角形中位线定理得到，，得到，即可证明四边形为平行四边形；（2）由四边形为平行四边形得到，由得到，由勾股定理即可得到线段的长度．
【详解】（1）解：∵点D、E分别为的中点，∴，
∵点G、F分别为、的中点．∴，
∴，∴四边形为平行四边形；
（2）∵四边形为平行四边形，∴，∵∴，
∵，∴．
【点睛】此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键．
23．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，四边形中，，，，是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若是等腰三角形，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)或
【分析】（1）根据平行线的性质和中点的性质证明三角形全等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明；（2）由等腰三角形的性质，分三种情况：①，②，③，分别求四边形的面积．
【详解】（1）证明：，，，
在与中，，，，
又是边的中点，，四边形是平行四边形；
（2）①当时，即时，由勾股定理得，，
∴，四边形的面积；
②当时，过点作于，则四边形是矩形，
∴，∴，
由勾股定理得，，∴四边形的面积；
③当时，边上的中垂线垂直平分了
设交于点，∴，而根据图得，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形的面积是或．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形，分类讨论是解题的关键．
24．（2024·浙江·八年级期中）如图所示，在中，对角线，相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），且，连结，，，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，上述结论还成立吗？若呢？
（3）若平分，，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）结论成立，结论成立，见解析；（3）40cm
【分析】（1）由平行四边形的性质可知、，结合、可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形；
（2）由、可得出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形为平行四边形，由此可得出原结论成立，再找出结论“若，，则四边形为平行四边形”即可；
（3）根据平行四边形的性质结合平分，即可得出，进而可得出是的垂直平分线，再根据可得出是等边三角形，根据的长度即可得出、的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形的周长．
【详解】解：（1）证明：四边形是平行四边形，，．
，，，，
四边形为平行四边形．
（2），，，，四边形为平行四边形．
上述结论成立，由此可得出结论：若，，则四边形为平行四边形．
（3）在中，，．
平分，，，．
，，是的垂直平分线，．
，是等边三角形，，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的定义以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形为平行四边形；（2）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证出四边形为平行四边形；（3）根据平行四边形的性质找出是等边三角形．
25．（2023·山东淄博市·八年级期末）如图1，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点在边上，．
（1）求证：四边形是平行四边形．（2）判断线段、、的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．（3）点是的边上的一点，若的面积，请直接写出的面积（不需要写出解答过程）．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）=3．
【分析】（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论；
（2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB AG）＝（AB AC）；
(3) 根据△DCE中DC边上的高与BDEF中BD边上的高相等，得出BDEF的面积为6，设BDEF中BF边上的高为h，由即可求解．
【详解】（1）延长交于点，
，，又∵平分，∴∠GAE=∠CAE
在和中，，，，
∵点是边的中点，∴为的中位线，，
，四边形是平行四边形．
（2）四边形是平行四边形，，
，分别是，的中点，，
，，．
（3）如图：∵BD=DC，EF∥BC∴△DCE中DC边上的高与BDEF中BD边上的高相等，
∴ ∵BF∥DE设BDEF中BF边上的高为h，
则 =（DE+BP）×h÷2-BP×h÷2=DE×h÷2=6÷2=3．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，以及等底同高的平行四边形和三角形的面积之间的关系，证明GE＝EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键．
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专题4-4 平行四边形的判定定理
模块1：学习目标
1. 探索并证明平行四边形的判定定理，并能运用它们进行证明和计算。
2. 通过平行四边形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展 学生的演绎推理能力。
模块2：知识梳理
平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：
1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC。
2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC。
3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC。
4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC。
5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO。
注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形。若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的。
模块3：核心考点与典例
考点1、平行四边形的判定
例1．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接，则四边形是平行四边形．其依据是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
变式1.（2023春·浙江·八年级专题练习）根据图中所给的边长及角度，下列四边形中，一定可以判定为平行四边形的是（ ）．
A．B．C．D．
变式2.（2023春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．在转动其中一张纸条的过程中，线段和的长度始终相等，这里蕴含的数学原理是____________．
变式3．（2024·四川巴中·八年级校考期末）下列说法，属于平行四边形判定方法的有（ ）．
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②平行四边形的对角线互相平分；
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④平行四边形的每组对边平行且相等；
⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑥一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
考点2、添加条件判定平行四边形
例1．（2023春·河南新乡·八年级河南师大附中校考期中）如图，点E、F是平行四边形对角线上两点，在条件：①；②；③；④中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
变式1.（2023春·浙江温州·八年级瑞安市飞云中学校考期中）如图，四边形的两条对角线相交于点，下列选项中的条件能判定四边形是平行四边形的是( )
A．， B．， C．， D．，
变式2.（2023春·江苏镇江·八年级统考期中）四边形中，，添加一个条件_________，可得四边形成为平行四边形．
考点3、平行四边形的个数判别
例1．（2023·浙江八年级期中）如图，在平行四边形中，，，与交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．11个
变式1.（23-24九年级上·浙江·周测）平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（ ）
A． B． C． D．
变式2.（22-23八年级下·湖南永州·期末）如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有 个平行四边形．
考点4、平行四边形的坐标问题
例1．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在直角坐标系中，以点，，为四边形的三个顶点构造平行四边形，则下列各点中可以作为第四个顶点的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（22-23八年级下·广东湛江·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ．
变式2．（22-23八年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，如果以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，那么点的坐标是 ．
考点5、平行四边形的动态问题
例1.（2023春·江苏无锡·八年级校联考阶段练习）在中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动．点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当时，运动时间________时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
变式1．（2023春·江西宜春·八年级统考期中）如图，在 中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．在这段时间内，当运动时间为______时，线段．
变式2．（2023春·西藏·八年级校考期中）如图，在四边形中，，，点P从点A出发，以3个单位/秒的速度沿运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿运动，当四边形为平行四边形时，运动的时间为______．
考点6、平行四边形的判定（证明）
例1．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若的面积等于2，求的面积．
变式1.（2023·青海·统考中考真题）如图，是的一个外角，，.
(1)尺规作图：作的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：四边形是平行四边形.
变式2.（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，点在同一直线上，．
(1)求证：；(2)连接，直接判断四边形的形状．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24八年级下·内蒙古通辽·期中）由两个全等三角形用各种不同的方法拼成四边形，在这些拼成的四边形中是平行四边形的个数是（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（ ）
A．6个 B．7个 C．9个 D．11个
3．（22-23八年级下·贵州黔东南·期中）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（ ）
A．或 B．或 C．或或 D．或或
4．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（ ）
A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个
5.（2023·湖南·统考中考真题）如图，在四边形中，已知，添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山东·八年级期末）下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
7．（2023·湖北襄阳·模拟预测）能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．（2023·河北·统考中考真题）综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程．
（1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
9．（2023·河北石家庄市·八年级期末）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条、的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形，这种方法的依据是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
10．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长和面积分别是( )
A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（22-23八年级下·河南南阳·期末）将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个．
12．（22-23八年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四辺形，请写出D点坐标 ．
13．（22-23八年级下·江苏南通·阶段练面直角坐标系中，，，，为平面内一点若、、、四点恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点的坐标为 ．
14．（2024·广东·八年级期中）如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为 。
15．（2023春·浙江·八年级阶段练习）如图，在中，M是的中点，且，则的面积为 。
16．（2023春·江苏无锡·八年级校联考阶段练习）如图， 中，，为锐角．要在对角线上找点N，M，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案有 个.
17．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，点在线段上（点C在点之间），分别以为边向同侧作等边三角形与等边三角形，边长分别为．与交于点H，延长交于点G，长为c．
（1）若四边形的周长与的周长相等，则之间的等量关系为 ．
（2）若四边形的面积与的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为 ．
18．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是 。
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·广东河源·统考二模）如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接并延长交的延长线于点G，连接．求证：四边形是平行四边形．
20.（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，．(1)求证：≌．(2)连接，求证：四边形是平行四边形．
21．（2023·浙江八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．
（1）求证：AEF≌DEC；（2）求证：四边形ACDF是平行四边形．
22．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点．
(1)求证：四边形为平行四边形；(2)，求线段的长度．
23．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，四边形中，，，，是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若是等腰三角形，求四边形的面积．
24．（2024·浙江·八年级期中）如图所示，在中，对角线，相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），且，连结，，，．（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，上述结论还成立吗？若呢？
（3）若平分，，求四边形的周长．
25．（2023·山东淄博市·八年级期末）如图1，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点在边上，．
（1）求证：四边形是平行四边形．（2）判断线段、、的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．（3）点是的边上的一点，若的面积，请直接写出的面积（不需要写出解答过程）．
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