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专题4-5 中位线+专题4-6 反证法
模块1：学习目标
1.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题。
2.理解三角形中位线的定义。
3.掌握三角形中位线定理证明及其应用。
4.理解三角形中位线定理的本质与核心，培养学生的化归思想。
模块2：知识梳理
1.三角形的中位线定理：
1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线）
2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，则DE//BC且DE=BC。
2.反证法：在证明时，不是从已知条件出发直接证明命题成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由假设出发推导出矛盾的结果，从而得到假设是错误的，可间接得到命题的结论是成立的，这种证明方法称为反证法（假设法）。
3.反证法的步骤：（1）反设——假定原命题的结论不成立，即肯定原命题的反面；（2）归缪——根据反设，进行严密的推理，直到得出矛盾，即或与已知条件相矛盾，或与已知的公理、定理、定义、性质、公式等相矛盾，或与反设相矛盾；或自相矛盾，或甚至可以与正常生活中的事实相矛盾，等等；（3）结论——肯定原命题正确。
模块3：核心考点与典例
考点1、与三角形中位线有关的求解问题
例1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）在中，，分别为边，的中点，，则的长为 cm.
【答案】
【分析】由于、分别为、边上的中点，那么是的中位线，根据三角形中位线定理可求．
【详解】如图所示，
、分别为、边上的中点，是的中位线，；
又∵，∴；故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理．三角形的中位线等于第三边的一半．
变式1. （2023·湖北荆门·统考中考真题）如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则 ．
【答案】3
【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：∵在中，为斜边上的中线，，
∴，∴，
∵为的中点，∴故答案为：3．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
变式2.（2023·河北·模拟预测）如图，在矩形中，，分别是，上的点，，分别是，的中点，当点在上从点向点移动，而点保持不动时，下列结论成立的是( )
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．线段的长先增大后减小
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质、勾股定理，连接，由三角形中位线定理可得，由矩形的性质结合勾股定理可得，由点保持不动可得长度不变，从而可得线段的长不变，熟练掌握三角形中位线定理是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
，分别是，的中点，是的中位线，，
四边形为矩形，，，
点保持不动，的长度始终不变，的长不变，故选：C．
变式3.（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，平分，点E为的中点，连接，若，则的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】如图所示，延长交于点F，证明，得到，进而求出，再证明DE为的中位线，即可得到．
【详解】解：如图所示，延长交于点F，
∵平分，∴，∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，
∵点E为的中点，∴DE为的中位线，∴，故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
考点2、三角形中位线与三角形面积（周长）问题
例1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，D，E分别是，的中点，是边上的一个动点，连接，，．若的面积为，则的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】连接，根据三角形的面积公式求出的面积，根据三角形中位线定理得到，得到的面积=的面积，同底等高的三角形面积相等，即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵点E是的中点，的面积的为，∴的面积的面积，
∵点D是的中点，∴的面积的面积，
∵D，E分别是，的中点，∴，∴的面积的面积，故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的面积计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
变式1.（2023春·浙江·八年级期中）如图，D是内一点，，，，，E、F、G、H分别是、、、的中点，则四边形的周长是（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】C
【详解】利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，，然后代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：，，，，
分别是的中点，，，
四边形的周长，
，四边形的周长．故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
变式2.（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为2，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定、三角形的面积计算，正确作出辅助线、证明是解题的关键．过点作交于，证明，根据全等三角形的性质得到，计算即可．
【详解】解：过点作交于，则，
在和中，，，，，
，是的中点，，，
的面积为2的面积为6，故选：．
考点3、三角形中位线的实际应用
例1．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为 ．
【答案】8
【分析】利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：∵点分别是的中点，∴，∴，故答案为：8．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握“三角形的中位线是第三边的一半”是解题的关键．
变式1. （2023·云南·统考中考真题）如图，两点被池塘隔开，三点不共线．设的中点分别为．若米，则（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
【答案】B
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解∶∵的中点分别为，
∴是的中位线，∴米，故选∶B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
变式2. （2023春·福建厦门·八年级校考期中）如图，，两地被池塘隔开，小明在外选一点，连接，，分别取，的中点，，为了测量，两地间的距离，则可以选择测量以下线段中哪一条的长度（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据中位线定理可得：．
【详解】解：是的中点，是的中点，
是的中位线，，，故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，属于基础题，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
考点4、三角形中位线有关的证明
例1．（2023·山东烟台市·八年级期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：．
【答案】见解析
【分析】取的中点，连接，则DM是△ABF的中位线，利用中位线定理结合全等三角形的判定即可证得．
【详解】证明：取的中点，连接，
∵是边的中线，∴是边的中点，∴，．
∴，．
∵是的中点，∴，
在△MDE和△FCE中，∴．
∴，∴．
【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
变式1.（2023春·江苏·八年级校考周测）如图，在中，平分，于点，点是的中点．(1)如图1，的延长线与边相交于点D，求证：；
(2)如图2，请直接写出线段、、的数量关系： ．
【答案】(1)见详解(2)
【分析】（1）先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题．（2）先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
平分，于点，∴，
∵，∴，∴，即是等腰三角形，
∵，，，．
（2）解：结论：，理由：如图2中，延长交的延长线于．
，，，，
，，，
，为的中点，，
点为的中点，，；故答案为．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
变式2.（2023春·北京西城·九年级校考阶段练习）我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明．
(1)如图1，点，分别是的边，的中点，求证：，且；
(2)如图2，点是边的中点，点是边的中点，若，，，直接写出的长＝______．
【答案】(1)证明见解析(2)7
【分析】（1）如图所示，延长到F，使得，证明，得到，则，再由点D是的中点，得到，即可证明四边形是平行四边形，则，再由，即可证明；
（2）如图所示，连接并延长交延长线于E，证明，得到，，即点N是的中点，由（1）的结论可知，则．
【详解】（1）证明：如图所示，延长到F，使得，
∵点E是的中点，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，
∵点D是的中点，∴，
∴四边形是平行四边形，∴，
又∵，∴，∴，且；
（2）解：如图所示，连接并延长交延长线于E，
∵，∴，
∵点N是的中点，∴，
在和中，，∴，
∴，，即点N是的中点，
又∵点M是的中点，∴由（1）的结论可知，
∴，故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
考点5、反证法证明中的假设
例1．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是 .
【答案】③④①②
【分析】此题考查了反证法的步骤，三角形的内角和定理．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
【详解】解：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．
证明：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于，
则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾，
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．
则四个步骤正确的顺序是③④①②，故答案为：③④①②．
变式1. （2024八年级下·浙江·专题练习）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（ ）
A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于
【答案】A
【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【详解】解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，
应假设直角三角形中两锐角都大于，故选：A．
变式2．（23-24八年级下·福建漳州·阶段练习）用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一步应假设（ ）
A．两直线不平行 B．同旁内角不互补 C．同旁内角相等 D．同旁内角不相等
【答案】A
【分析】本题主要考查了反证法．根据命题“同旁内角互补，两直线平行”得到应先假设结论不成立，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，应先假设两条直线不平行，故选：A．
变式3．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）用反证法证明“”时，首先应假设 ．
【答案】/
【分析】本题考查反证法，据反证法证明“”，则与相反的全部结果为，据此即可作答．
【详解】解：∵与相反的全部结果就为∴用反证法证明“”时，首先应假设
故答案为：
考点6、用反证法证明命题
例1．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整．
已知：如图，是的一个外角．
求证：
证明：假设___________．
在中，，
∴___________．
∵___________，
∴___________，
∴___________．
与假设相矛盾，
∴假设___________
∴原命题成立，即．
【答案】见解析
【分析】本题考查三角形的外角性质的证明，反证法等知识，根据三角形的内角和定理和邻补角互补即可证明，掌握三角形的内角和与反证法的解题思路是解题的关键．
【详解】证明：假设．
在中，，．
，，
，与假设相矛盾，
假设不成立，原命题成立，即．
故答案为：；；；；，不成立．
变式1.（23-24八年级下·浙江·课后作业）如图，在中，，是的中线，于点E，用反证法证明：点D与点E不重合．
【答案】见解析
【分析】本题考查等腰三角形“三线合一”的性质．假设点D与点E重合．根据是的中线，，则，与相矛盾，即可得出结论．
【详解】证明：假设点D与点E重合．
∵是的中线，，∴垂直平分，
∴，与相矛盾，∴点D与点E不重合．
变式2.（23-24八年级·陕西咸阳·阶段练习）用反证法证明在中至多有两个角大于．
【答案】证明见解析．
【分析】本题主要考查了反证法，三角形内角和定理，先假设中有三个内角大于，进而推出三个内角度数之和大于180度，这与三角形内角和定理矛盾，由此即可证明结论．
【详解】证明：假设中有三个内角大于，
则大于，大于，大于，、、三个角之和大于，
这与三角形内角和等于相矛盾，故在中至多有两个角大于．
变式3．（2023春·浙江·八年级专题练习）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，，，都被所截．
求证：．
证明：假设 ，
∵，
∴ ，
∵，
∴ ，这与 矛盾，
∴假设 不成立，即；
【答案】见解析
【分析】假设结论不成立，利用平行线性质推出矛盾即可得到答案；
【详解】证明：假设，
∵，
∴，
∵，
∴，这与平角为矛盾，
∴假设不成立，即，
故答案为：；；；平角为；．
【点睛】本题考查反正法及平行线性质，解题的关键是掌握反正法：假设结论不成立，推出矛盾．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）要测量池塘两岸的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点，得到线段，并取的中点，连结，则他只需测量哪条线段的长度．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：，分别为，的中点，是的中位线，
，要测量，两地的距离，他只需测量长，故选：B．
2．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【详解】解：∵D、E分别为，的中点，，∴，
∵，∵D为的中点，，∴，∴，故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，已知是的一条高线，点是的中点，点是的中点，连接、、，如果，，的周长为，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7.5 D．7
【答案】D
【分析】根据题意，得出是的中位线，根据中位线的性质，得出，再根据题意，得出，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出，再根据三角形的周长，得出，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得出答案．
【详解】解：∵点是的中点，点是的中点，，
∴是的中位线，∴，
∵是的一条高线，∴，
∵点是的中点，，∴，
∵的周长为，∴，∴，
在中，，点是的中点，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解本题的关键在熟练掌握相关的性质．
4．（22-23八年级上·四川眉山·期末）用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°
【答案】A
【分析】本题考查的是反证法的运用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判定．
【详解】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，
首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°．故选：A．
5．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③④） B．③④②① C．③④①② D．④③②①
【答案】C
【分析】此题考查了反证法的步骤，三角形的内角和定理，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
【详解】解：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．
证明：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于，
则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾，
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．
则四个步骤正确的顺序是③④①②，故选：C．
6．（23-24八年级上·吉林长春·期末）我们可以用以下推理来证明“当一个三角形的三边长满足时，这个三角形不是直角三角形”．假设这个三角形是直角三角形，根据勾股定理，这与已知条件矛盾，因此假设不成立，即这个三角形不是直角三角形．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．比较法 B．反证法 C．综合法 D．分析法
【答案】B
【分析】本题主要考查了反证法的应用，反证法的一般步骤“假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确”是解题的关键．
根据反证法的一般步骤判断即可．
【详解】解：推理使用的证明方法是：反证法．故选：B．
7．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，四边形中，与不平行，M，N分别是的中点，，则的长可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】连接，取的中点为E，连接，，结合题中条件可得，，根据三角形三边之间的关系，即可解答．
【详解】解：如图，连接，取的中点为E，连接，，
M，N分别是，的中点，，，，
在中，，∴即，
∴的长可能是4．故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的中位线，三角形三边之间的关系，作出正确的辅助线是解题的关键．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理计算得到答案．
【详解】解：∵，，∴，
∵，平分，∴，
∵，∴是的中位线，∴．故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
9．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，是的中线，E是的中点，F是延长线与的交点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】的中点H，连接，根据三角形中位线定理得到，，证明，根据全等三角形的性质得到，计算即可．
【详解】解：取的中点H，连接，
∵，∴，，∴，
在和中，，∴，∴，∴，
∵，∴，故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
10．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，现以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点D，E．再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F，射线交于点P，取的中点Q，连结．若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．7
【答案】A
【分析】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出的面积，再利用三角形中线的性质求解，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
【详解】解：∵，平分，∴， ，
∴，∴，
∵，∴．故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24九年级上·浙江·课时练习）求证：两直线平行，内错角相等．
如图1，若，且，被所截，求证：．
以下是打乱的用反证法证明的过程：
①如图2，过点作直线，使；
②依据“内错角相等，两直线平行”，可得；
③假设；④∴；
⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立．
证明步骤的正确顺序是 ．
【答案】③①②⑤④
【分析】反证法：先假设的结论的反面成立，再通过推论说明假设不成立，从而可得原来结论成立，根据反证法的步骤可得答案．
【详解】证明：③假设；①如图2，过点作直线，使；
②依据“内错角相等，两直线平行”，可得；
⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立．
④∴；故答案为：③①②⑤④
【点睛】本题考查的是反证法的含义，掌握反证法的步骤是解本题的关键．
12．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期末）如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B间的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵点D，E是，的中点，，∴，故答案为：．
13．（2023春·广东韶关·八年级统考期中）如图，在中，已知，，平分交边于点E，点、分别是、的中点，则等于 .
【答案】1cm
【分析】先根据平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则，再证明是的中位线，则．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，
∵平分，∴，∴，
∴，∴，
∵点F，点分别是、的中点，∴是的中位线，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形中位线定理，由角平分线和平行得出是等腰三角形再求出是解题的关键．
14．（2023春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）已知中，D、E、F分别是边的中点，若的周长为，则的周长为________．
【答案】
【分析】先根据题意画出相应的图形，再利用三角形中位线的性质进行推导即可得到答案．
【详解】解：根据题意画出图形如下：
∵点、、分别是的中点∴、、是的三条中位线
∴、、，
∵的周长是∴
∴
∴的周长是．故答案为：
【点睛】本题考查了三角形中位线的定义和性质，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半是解决问题的关键。
15．（2023·江苏盐城·统考模拟预测）如图，在平行四边形中，点E在边上，连接并延长至点F，使，连接并延长至点G，使，连接若，，则的度数为
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，，，
，，，
，，是是中位线，，
故答案为：
16．（2023·吉林·校考二模）如图，在中，，、分别是、的中点．是上一点，连接、．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，根据直角三角形的性质求出，得到的长，根据三角形中位线定理解答，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】解：在中，点是的中点，∴，∵，∴，
∵、分别是、的中点，∴，故答案为：．
17．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】首先证明出是的中位线，得到，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点E和点C重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可．
【详解】如图所示，连接，
∵M，N分别是的中点，∴是的中位线，∴，
∵四边形是正方形，∴，∴，
∴当最大时，最大，此时最大，
∵点E是上的动点，∴当点E和点C重合时，最大，即的长度，
∴此时，∴，∴的最大值为．故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
18.（2023·江苏·统考中考真题）如图，在中，，D是AC延长线上的一点，．M是边BC上的一点（点M与点B、C不重合），以CD、CM为邻边作．连接并取的中点P，连接，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，分析可知为的最大值，为的最小值，据此即可求解．
【详解】解：过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，如图所示：
由题意得：点在线段上运动（不与点重合），点在线段上运动（不与点重合），故：为的最大值，为的最小值
∵∴∵∴
∵且∴∵P为的中点∴
∵P为的中点∴为的中点∴
∵∴故
∵点M与点B、C不重合∴的取值范围是故答案为：
【点睛】本题综合考查了勾股定理、动点轨迹问题．根据题意确定动点轨迹是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·北京海淀·八年级北大附中校考期中）如图，在中，，在边上截取，连接，过点作于点．已知，，如果是边的中点，连接，求的长．
【答案】2
【分析】先利用勾股定理可得，从而可得，再根据等腰三角形的三线合一可得点是的中点，然后根据三角形中位线定理即可得．
【详解】解：在中，，，，，
，，
又，，点是的中点，
是边的中点，．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的三线合一、三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
20．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，在中，，于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知，，求BD，DE的长．
【答案】
【分析】先根据等腰三角形三线合一性质求出的长，再根据勾股定理求得的长，最后根据条件可知是的中位线，求得的长．
【详解】解，∵，于点D，∴． ∵，∴．
∵于点D，∴，∴在中，．
∵，∴，
∵E为AB的中点，∴．
【点睛】此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
21．（23-24八年级上·山西临汾·期末）反证法是数学证明的一种重要方法．请将下面运用反证法进行证明的过程补全．
已知：在中，．求证：．
证明：假设_____________________．
∵，
∴，
∴，
这与_______________________．
∴_______________________不成立．
∴
【答案】；三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾；此假设
【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．
【详解】解：证明：假设
∵，∴，∴，
这与三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾．
∴此假设不成立．∴，
故答案为：；三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾；此假设．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，等边对等角及反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
22．（2023春·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明．
(1)如图1，点D，E分别是的边，的中点，求证：，且；
(2)如图2，四边形中，点M是边的中点，点N是边的中点，若，，，直接写出的长．
【答案】(1)见解析(2)6
【分析】（1）如图所示，延长到F，使得，证明，得到，则，再由点D是的中点，得到，即可证明四边形是平行四边形，则，，再由，即可证明；
（2）如图所示，连接并延长交延长线于E，证明，得到，，即点N是的中点，由（1）的结论可知，则．
【详解】（1）证明：如图所示，延长到F，使得，
∵点E是的中点，∴，在和中，，∴，
∴，∴，
∵点D是的中点，∴，∴四边形是平行四边形，∴，，
又，∴，∴，且；
（2）解：如图所示，连接并延长交延长线于E，
∵，∴，
∵点N是的中点，∴，
在和中，，∴，
∴，，即点N是的中点，
又∵点M是的中点，∴由（1）的结论可知，∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23．（2023·北京海淀·校考模拟预测）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，中，、分别是、的中点．求证：，且．
方法一证明：如图，延长至点，使，连接． 方法二证明：如图，过点作交于．
【答案】见解析
【分析】方法一：如图，延长至点，使，连接．先证明，可得，，可证得四边形为平行四边形，即可求证；方法二：过点作交于．先证明，可得，，可证得四边形为平行四边形，即可求证．
【详解】证明方法一：如图，延长至点，使，连接．
点为的中点，，
，，，
，，，即，
点为的中点，，四边形为平行四边形，，，
，，且．
方法二：过点作交于．，，
点为的中点，，，，，
点为的中点，，
，四边形为平行四边形，，，
，，且．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解题的关键．
24．（2023春·北京海淀·八年级校考期中）如图所示，点为内一点，平分，且交于点，点为边的中点，点在上，且．
(1)证明：四边形是平行四边形；(2)请直接写出线段，，之间的数量关系：______．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）先证明，可得． 结合点为边的中点，可得为的中位线， 则．再结合已知条件可得结论； （2） 由D、E分别是、的中点， 可得． 由， 可得， 结合，可得答案．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵， ∴，
∵ 平分，∴，∴． ∴．
∵点为边的中点， ∴为的中位线， ∴．
∵， ∴四边形是平行四边形；
（2）如图，由（1）得：． ∵D、E分别是、的中点， ∴．
∵， ∴， ∵，∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，证明四边形是平行四边形是解题的关键．
25．（2023·陕西宝鸡·校考一模）问题提出:
如图，在中，．若，则的值为__________．
问题探究:如图，在四边形中，对角线、相交于点，、、、分别为、、、的中点，连接、、、．若，求四边形的面积．
问题解决:如图，某市有一块五边形空地，其中米，米，米，米，现计划在五边形空地内部修建一个四边形花园，使点、、、分别在边、、、上，要求请问，是否存在符合设计要求的面积最大的四边形花园？若存在，求四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】问题提出：；问题探究：；问题解决：存在四边形面积的最大值，四边形的最大面积为平方米．
【分析】问题提出：由，得，得出，进一步得出结果；
问题探究：根据三角形中位线性质可得出，，，，从而得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，从而，进一步得出结果；问题解决：延长，，交于，可得出四边形是矩形，设，，表示出和的面积，进而表示出四边形的面积，配方后求出结果．
【详解】解：问题提出∵，∴，∴，∴，故答案为：；
问题探究如图，设，交于点，，交于点，作于，
∵、、、分别为、、、的中点，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴，∴，
∴；
问题解决：如下图，延长，，交于，
∵∴四边形是矩形，∴，，
∵，，∴，，
∵，∴可设，，
∴，∴，
∴
∴存在四边形面积的最大值，当米时，四边形的最大面积平方米．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，二次函数的应用，平行线分线段成比例定理等知识，解决问题的关键是设变量建立函数关系式．
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专题4-5 中位线+专题4-6 反证法
模块1：学习目标
1.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题。
2.理解三角形中位线的定义。
3.掌握三角形中位线定理证明及其应用。
4.理解三角形中位线定理的本质与核心，培养学生的化归思想。
模块2：知识梳理
1.三角形的中位线定理：
1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线）
2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点D、E分别为AB、AC的中点，则DE//BC且DE=BC。
2.反证法：在证明时，不是从已知条件出发直接证明命题成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由假设出发推导出矛盾的结果，从而得到假设是错误的，可间接得到命题的结论是成立的，这种证明方法称为反证法（假设法）。
3.反证法的步骤：（1）反设——假定原命题的结论不成立，即肯定原命题的反面；（2）归缪——根据反设，进行严密的推理，直到得出矛盾，即或与已知条件相矛盾，或与已知的公理、定理、定义、性质、公式等相矛盾，或与反设相矛盾；或自相矛盾，或甚至可以与正常生活中的事实相矛盾，等等；（3）结论——肯定原命题正确。
模块3：核心考点与典例
考点1、与三角形中位线有关的求解问题
例1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）在中，，分别为边，的中点，，则的长为 cm.
变式1. （2023·湖北荆门·统考中考真题）如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则 ．
变式2.（2023·河北·模拟预测）如图，在矩形中，，分别是，上的点，，分别是，的中点，当点在上从点向点移动，而点保持不动时，下列结论成立的是( )
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．线段的长先增大后减小
变式3.（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，平分，点E为的中点，连接，若，则的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．
考点2、三角形中位线与三角形面积（周长）问题
例1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，D，E分别是，的中点，是边上的一个动点，连接，，．若的面积为，则的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
变式1.（2023春·浙江·八年级期中）如图，D是内一点，，，，，E、F、G、H分别是、、、的中点，则四边形的周长是（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
变式2.（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为2，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
考点3、三角形中位线的实际应用
例1．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为 ．
变式1. （2023·云南·统考中考真题）如图，两点被池塘隔开，三点不共线．设的中点分别为．若米，则（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
变式2. （2023春·福建厦门·八年级校考期中）如图，，两地被池塘隔开，小明在外选一点，连接，，分别取，的中点，，为了测量，两地间的距离，则可以选择测量以下线段中哪一条的长度（ ）
A． B． C． D．
考点4、三角形中位线有关的证明
例1．（2023·山东烟台市·八年级期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接并延长交于点．求证：．
变式1.（2023春·江苏·八年级校考周测）如图，在中，平分，于点，点是的中点．(1)如图1，的延长线与边相交于点D，求证：；
(2)如图2，请直接写出线段、、的数量关系： ．
变式2.（2023春·北京西城·九年级校考阶段练习）我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明．
(1)如图1，点，分别是的边，的中点，求证：，且；
(2)如图2，点是边的中点，点是边的中点，若，，，直接写出的长＝______．
考点5、反证法证明中的假设
例1．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是 .
变式1. （2024八年级下·浙江·专题练习）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（ ）
A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于
变式2．（23-24八年级下·福建漳州·阶段练习）用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一步应假设（ ）
A．两直线不平行 B．同旁内角不互补 C．同旁内角相等 D．同旁内角不相等
变式3．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）用反证法证明“”时，首先应假设 ．
考点6、用反证法证明命题
例1．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整．
已知：如图，是的一个外角．
求证：
证明：假设___________．
在中，，
∴___________．
∵___________，
∴___________，
∴___________．
与假设相矛盾，
∴假设___________
∴原命题成立，即．
变式1.（23-24八年级下·浙江·课后作业）如图，在中，，是的中线，于点E，用反证法证明：点D与点E不重合．
变式2.（23-24八年级·陕西咸阳·阶段练习）用反证法证明在中至多有两个角大于．
变式3．（2023春·浙江·八年级专题练习）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．
已知：如图，，，都被所截．
求证：．
证明：假设 ，
∵，
∴ ，
∵，
∴ ，这与 矛盾，
∴假设 不成立，即；
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）要测量池塘两岸的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点，得到线段，并取的中点，连结，则他只需测量哪条线段的长度．（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则（ ）
A．1 B． C． D．4
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，已知是的一条高线，点是的中点，点是的中点，连接、、，如果，，的周长为，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7.5 D．7
4．（22-23八年级上·四川眉山·期末）用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°
5．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③④） B．③④②① C．③④①② D．④③②①
6．（23-24八年级上·吉林长春·期末）我们可以用以下推理来证明“当一个三角形的三边长满足时，这个三角形不是直角三角形”．假设这个三角形是直角三角形，根据勾股定理，这与已知条件矛盾，因此假设不成立，即这个三角形不是直角三角形．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．比较法 B．反证法 C．综合法 D．分析法
7．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，四边形中，与不平行，M，N分别是的中点，，则的长可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，是的中线，E是的中点，F是延长线与的交点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
10．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，现以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点D，E．再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F，射线交于点P，取的中点Q，连结．若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．7
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24九年级上·浙江·课时练习）求证：两直线平行，内错角相等．
如图1，若，且，被所截，求证：．
以下是打乱的用反证法证明的过程：
①如图2，过点作直线，使；
②依据“内错角相等，两直线平行”，可得；
③假设；④∴；
⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立．
证明步骤的正确顺序是 ．
12．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期末）如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B间的距离为 ．
13．（2023春·广东韶关·八年级统考期中）如图，在中，已知，，平分交边于点E，点、分别是、的中点，则等于 .
14．（2023春·湖北武汉·八年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）已知中，D、E、F分别是边的中点，若的周长为，则的周长为________．
15．（2023·江苏盐城·统考模拟预测）如图，在平行四边形中，点E在边上，连接并延长至点F，使，连接并延长至点G，使，连接若，，则的度数为
16．（2023·吉林·校考二模）如图，在中，，、分别是、的中点．是上一点，连接、．若，，则的长为 ．
17．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 ．
18.（2023·江苏·统考中考真题）如图，在中，，D是AC延长线上的一点，．M是边BC上的一点（点M与点B、C不重合），以CD、CM为邻边作．连接并取的中点P，连接，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·北京海淀·八年级北大附中校考期中）如图，在中，，在边上截取，连接，过点作于点．已知，，如果是边的中点，连接，求的长．
20．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，在中，，于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知，，求BD，DE的长．
21．（23-24八年级上·山西临汾·期末）反证法是数学证明的一种重要方法．请将下面运用反证法进行证明的过程补全．
已知：在中，．求证：．
证明：假设_____________________．
∵，
∴，
∴，
这与_______________________．
∴_______________________不成立．
∴
22．（2023春·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明．
(1)如图1，点D，E分别是的边，的中点，求证：，且；
(2)如图2，四边形中，点M是边的中点，点N是边的中点，若，，，直接写出的长．
23．（2023·北京海淀·校考模拟预测）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，中，、分别是、的中点．求证：，且．
方法一证明：如图，延长至点，使，连接． 方法二证明：如图，过点作交于．
24．（2023春·北京海淀·八年级校考期中）如图所示，点为内一点，平分，且交于点，点为边的中点，点在上，且．
(1)证明：四边形是平行四边形；(2)请直接写出线段，，之间的数量关系：______．
25．（2023·陕西宝鸡·校考一模）问题提出:
如图，在中，．若，则的值为__________．
问题探究:如图，在四边形中，对角线、相交于点，、、、分别为、、、的中点，连接、、、．若，求四边形的面积．
问题解决:如图，某市有一块五边形空地，其中米，米，米，米，现计划在五边形空地内部修建一个四边形花园，使点、、、分别在边、、、上，要求请问，是否存在符合设计要求的面积最大的四边形花园？若存在，求四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由．
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