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专题4-7 平行四边形 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·江西·模拟预测）如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由外角和内角的关系可求得、、、的和，由五边形内角和可求得五边形的内角和，则可求得．
【详解】解：、、、的外角的角度和为220°，
，，
五边形内角和，
．故选：C．
【点睛】此题考查了多边形的内角和，解题的关键是利用内角和外角的关系求得、、、的和．
2．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．对边相等 B．邻角互补 C．对角线互相平分 D．对角互补
【答案】D
【分析】直接利用平行四边形的性质：对角相等、对角线互相平分、对边平行且相等，进而分析得出即可．
【详解】解：平行四边形对边相等，故A正确，不合题意；
平行四边形的邻角互补，故B正确，不合题意；
平行四边形对角线互相平分，故C正确，不合题意；
平行四边形对角不一定互补，故D错误，符合题意；故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
3．（2022·湖南长沙·九年级期末）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，的面积为48，OA＝3，则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．13
【答案】B
【分析】由平行四边形对角线互相平分得到AC的值，由AC⊥BC，可得，代入即可求出BC边长.
【详解】解：∵在中，对角线AC，BD相交于点O，∴OA=OC，
∵OA=3，∴AC=2OA=6，∵AC⊥BC，∴，∴BC=8.故选：B
【点睛】此题考查平行四边形的性质和平行四边形的面积，掌握平行四边形对角线互相平分的性质是解答此题的关键.
4．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接，则四边形是平行四边形．其依据是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【分析】由作图可得，，，进而可得判定平行四边形的依据．
【详解】解：由作图可得，，，∴四边形是平行四边形，
∴依据为两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定．解题的关键在于理解作图过程．
5．（2023春·山西·九年级专题练习）已知一个正多边形的每个外角的度数都是，则该多边形的对角线条数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】据正多边形的外角和定理，解求出多边形的边数，根据多边形顶点引对角线的公式由此即可求解．
【详解】解：∵正多边形的每个外角都等于，
∴，∴这个正多边形是正边形，如图所示，
∴（条），∴这个正多边形的对角线是条．故选：．
【点睛】本题主要考查正多边形的性质，对角线的条数的计算方法，掌握正多边形的外角和定理，顶点引对角线的公式是解题的关键．
6．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，四边形中，与不平行，M，N分别是的中点，，则的长可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】连接，取的中点为E，连接，，结合题中条件可得，，根据三角形三边之间的关系，即可解答．
【详解】解：如图，连接，取的中点为E，连接，，
M，N分别是，的中点，，，，
在中，，∴即，
∴的长可能是4．故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的中位线，三角形三边之间的关系，作出正确的辅助线是解题的关键．
7．（2023·浙江·八年级期中）已知：中，，求证：，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾,②因此假设不成立．∴,③假设在中，,④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．③④②① B．③④①② C．①②③④ D．④③①②
【答案】B
【分析】根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.
【详解】题目中“已知：△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：(1)假设∠B≥90°，(2)那么，由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
(3)所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，
(4)因此假设不成立．∴∠B＜90°，原题正确顺序为：③④①②，故选B．
【点睛】本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.
8．（2022·山东青岛市·八年级期末）如图，在平行四边形中，为上一点，，且，，则下列选项正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠BEC，利用平行四边形的性质解答即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABE＝∠BEC＝28°，
∵CE＝BC，∴∠EBC＝∠BEC＝28°，∴∠ABC＝56°，∴∠BAD＝∠C＝124°，∠DAE＝56°，
∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠AED，∵AE＝ED，∴∠D＝∠DAE＝56°，∴∠BAE＝124° 56°＝68°，
∴∠AED＝180° 56° 56°＝68°，∴∠AEB＝180° 68° 28°＝84°，故选：B．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠BEC解答．
9．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，点P是内的任意一点，连接，得到，设它们的面积分别是，给出如下结论：
①；②如果，则；③若，则；
④如果P点在对角线上，则；
⑤若，则P点一定在对角线上；其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得，，设点到，，，的距离分别是，，，，再根据三角形的面积公式整理判断①；然后根据三角形面积公式可判断②③；再根据两个等高的三角形面积的比等于底的比，得出，判断④；最后根据已证关系式，得出，，判断⑤，综合即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，．
设点到，，，的距离分别是，，，，点C到的距离分别为，
则，，，．
∵，，
∵，∴，故①正确；
根据只能判断，不能判断，即不能判断，故②错误；
根据，能得出，不能得出，即不能判断，故③错误；
∵点在对角线上，∴，，∴，故④正确；
由和，得，，
∴，∴，∴点一定在对角线在上，故⑤正确，
综上所述，正确的结论是①④⑤．故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积等，用平行四边形的面积表示出相应的两个三角形的面积的和是解本题的关键．
10．（2023·黑龙江·鸡西市九年级期中）在平行四边形中，，于，于，， BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】先判断△DBE是等腰直角三角形，根据勾股定理可推导得出BD=BE，可判断①不正确；根据∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，可得∠BHE=∠C，再由∠A=∠C，可判断②正确；证明△BEH≌△DEC，从而可得BH=CD，再由AB=CD，可判断③正确；利用对应边不等可判断④不正确，据此即可得到选项．
【详解】解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC于E，
∴∠DEB=90°，∠BDE=180°-∠DBE-∠DEB=180°-45°-90°=45°，
∴BE=DE，∴在Rt△DBE中，BE2+DE2=BD2，∴BD=BE，故①正确；
∵DE⊥BC，BF⊥DC，∴∠HBE+∠BHE=90°，∠C+∠FBC=90°，
∴∠BHE和∠C都是∠HBE的余角，∴∠BHE=∠C，
又∵在 ABCD中，∠A=∠C，∴∠A=∠BHE，故②正确；
在△BEH和△DEC中，，∴△BEH≌△DEC（AAS），∴BH=CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∴AB=BH，故③正确；
∵BE＞BH＞BE=DE，BC＞BF＞BH=DC，∠FBC=∠EDC，
∴不能得到△BCF≌△DCE，故④错误．故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·江苏扬州·统考一模）若在同一平面内将边长相等的正五边形徽章和正六边形模具按如图所示的位置摆放，连接并延长至点，则______．
【答案】
【分析】根据正边形内角和，则正边形一个内角的度数，即可求得正五边形与正六边形每个内角的度数，由周角是可得的度数，再根据是等腰三角形可求出，最后根据平角是即可求解．
【详解】解：五边形是正五边形，，
六边形是正六边形，，,
正五边形与正六边形的边长相等，，是等腰三角形，
，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形内角和公式，以及求正多边形每个内角的度数，理解并熟练记忆公式，灵活根据题意运用等腰三角形两底角相等、以及平角、周角相结合求角度是解题的关键．
12．（2023·江西抚州市·九年级期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CE＝CD，连接OE交BC于点F，若BC＝4，则CF＝_____．
【答案】1
【分析】作OG∥BC交DC于G点，则根据可得G为DC的中点，同理在△OGE中，运用中位线定理可得CF的长度．
【详解】如图，作OG∥BC交DC于G点，
∵O为BD的中点，∴G为DC的中点，即OG是△BDC的中位线，∴，
又∵，∴，即C为EG的中点，
∵CF∥OG，∴CF为△OGE的中位线，∴，故答案为：1．
【点睛】本题主要考查中位线定理，熟练掌握中位线的判断以及灵活运用中位线定理是解题关键．
13．（2023春·福建厦门·八年级校考期中）如图，若直线，A，D在直线m上，B，E在直线n上，，，，的面积为6，则直线m与n之间的距离为______．
【答案】4
【分析】先根据平行四边形的判定与性质可得，从而可得，再根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：直线，，四边形是平行四边形，，
，，设直线与之间的距离为，
的面积为6，，解得，故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
14．（2023·云南昆明市·九年级月考）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于 度
【答案】30
【分析】利用全等三角形的性质和正六边形的定义可判断六边形花环为正六边形，根据多边形的内角和定理可计算出∠ABD=120°，然后把∠ABD减去90°得到∠ABC的度数．
【详解】解：如图，
∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的， ∴六边形花环为正六边形，
∴∠ABD==120°，而∠CBD=∠BAC=90°，∴∠ABC=120°-90°=30°．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：（n-2） 180° （n≥3且n为整数）；多边形的外角和等于360°．
15．（2023·浙江八年级期中）如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______．
【答案】48
【分析】首先根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，可得AB＋BC＝20，再利用其面积的求法S＝BC×AE＝CD×AF，可得4AE＝6CD，列出方程组，求出平行四边形的各边长，再求其面积．
【详解】解：设BC＝x，CD＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵ ABCD的周长为40，∴x＋y＝20，
∵AE＝4，AF＝6，S＝BC×AE＝CD×AF，∴4x＝6y，
得方程组：，解得：∴S平行四边形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48．故答案为：48．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与其面积公式，解题的关键是根据性质得到邻边的和，根据面积公式得到方程，再解方程组即可．
16．（2023·黑龙江·大庆市北湖学校八年级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为_____．
【答案】10或14或10
【分析】利用BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，以及平行关系，分别求出、，通过和是否相交，分两类情况讨论，最后通过边之间的关系，求出的长即可．
【详解】解： 四边形ABCD是平行四边形，，，，
，，BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，，，
，， 由等角对等边可知：，，
情况1：当与相交时，如下图所示：
， ，，
情况2：当与不相交时，如下图所示：
，，故答案为：10或14．
【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质，熟练运用平行关系+角平分线证边相等，是解决本题的关键，还要注意根据和是否相交，本题分两类情况，如果没考虑仔细，会漏掉一种情况．
17．（2023·浙江·八年级模拟）在中，E是边上的中点，连接，并延长交的延长线于点F．已知，，：则__________，__________．
【答案】
【分析】结合题意，通过证明，得到，即可得到；过点F作于点H，延长AD交FH于点G，结合题意，根据平行四边形、对顶角、直角三角形两锐角互余的性质，计算得，从而得CH的值；再根据勾股定理计算，得FH和BC的值，结合平行四边形ABCD 性质以及，DG是中位线，从而得到DG，通过计算即可得到答案．
【详解】∵E是边上的中点∴
∵平行四边形ABCD∴ ∴
∵ ∴ ∴
∵∴ 过点F作于点H，延长AD交FH于点G
∵∴ ∴，即
∵，且∴
∴∴ ∴
∵平行四边形ABCD∴ ∴
∴∴
∴ ∴
∵，∴DG是中位线∴
∴故答案为：，．
【点睛】本题考查了平行四边形、勾股定理、直角三角形、三角形中位线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、勾股定理、直角三角形、三角形中位线、全等三角形的性质，从而完成求解．
18．（2023·山东商河·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，若点E是BD的中点，点M是AD上一动点，连接MB，MC，ME，并延长ME交BC于点N，设MD＝tAM，有以下结论：①若△ABM≌△NMC，则MN⊥BD．②当t＝1时，则BM＝CM；③当t＝2时，则S△MNC＝S△EBM；其中正确的是___．（填序号）
【答案】③
【分析】由“ASA”可证△DME≌△BNE，可得DM＝BN，ME＝NE，由线段垂直平分线的性质和三角形的面积关系依次判断可求解．
【详解】①若△ABM≌△NMC，则BM＝MC，但CN不一定等于BN，∴MN⊥BD不一定成立，故①错误，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠BDA＝∠DBC，
∵点E是BD的中点，∴DE＝BE，在△DME和△BNE中，，
∴△DME≌△BNE（ASA），∴DM＝BN，ME＝NE，
∵t＝1，∴AM＝DM＝AD，∴BN＝BC＝CN，∴只有当MN⊥BC时，CM＝BM，∴②错误，
当t＝2时，则DM＝2AM，∴BN＝2CN，∴S△BMN＝2S△MNC，
∵ME＝EN，∴S△EBM＝S△BMN，∴S△EBM＝S△MNC，故③正确，故答案为：③．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·广东梅州·七年级校考阶段练习）观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题．
(1)将下面的表格补充完整：
正多边形的边数 3 4 5 6 …
∠α的度数 …
(2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；；；18； (2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据多边形内角和公式求出多边形的内角和，再根据三角形内角和定理可得正边形中的；（2）根据表中的结果得出规律，根据正边形中的得出方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：填表如下：
正多边形的边数 3 4 5 6 18
的度数
故答案为：，，，，18；
（2）解：不存在，理由如下：假设存在正 边形使得，得，
解得：，又是正整数，所以不存在正边形使得．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握多边形的内角和．
20.（2023·山东潍坊市期末）如图，在四边形中，分别是的中点，分别是对角线的中点，依次连接连接．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当时，与有怎样的位置关系？请说明理由；
（3）若，则 ．
【答案】（1）（2）见解析；（3）25.
【解析】证明：（1）∵E、G分别是AD、BD的中点，∴EG∥AB，AB=2EG
同理可证：FH∥AB，AB=2HF∴EG∥HF，EG=HF∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）GH⊥EF，
理由：∵G、F分别是BD、BC的中点，∴FG=CD，
由（1）知GE=AB，又∵AB=CD，∴GE=GF
又四边形EGFH是平行四边形，∴四边形EGFH是菱形，∴GH⊥EF；
（3）由题意，EG∥AB，HF∥AB，GE=AB∴EG∥HF，
同理，EH∥FG，GF=CD∴四边形EGFH是平行四边形，
∵AB=CD，∴GE=GF，∴四边形EGFH是菱形，
∵∠ABD=20°，∠BDC=70°，EG∥AB，GF∥CD，
∴∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°，∴∠DGF=180°-∠BGF=110°，
∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=20°+110°=130°，∴∠GEH=180°-∠EGF=50 ，
∵FE平分∠GEH，∴∠GEF=∠GEH=25°．故答案为：25．
21．（2022·成都市八年级专题练习）在中，，分别为对角线上两点，连接，，，，并且．（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于面积的．
【答案】（1）见解析；（2），，，
【分析】（1）由题意易得，，进而可得，，然后可得，最后根据全等三角形的性质可求证；
（2）由（1）可得BE=DF，则根据题意易得，进而由△ABD和△ABE、△ADF是等高，可得△ABE、△ADF的面积是△ABD面积的，由此问题可求解．
【详解】（1）证明：如图1，∵四边形为平行四边形，∴，，
∵，∴，
∴，即，
∴，∴，∴四边形是平行四边形；
（2）由（1）可得，BE=DF，∵，∴，
根据△ABD和△ABE、△ADF是等高，可得：△ABE、△ADF的面积是△ABD面积的，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴△ABD和△BCD的面积相等，
同理可得△BEC和△DFC的面积是△BCD面积的，
∴，，，的面积都等于面积的．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
22．（2023春·北京海淀·八年级校考期中）如图所示，点为内一点，平分，且交于点，点为边的中点，点在上，且．
(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)请直接写出线段，，之间的数量关系：______．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）先证明，可得． 结合点为边的中点，可得为的中位线， 则．再结合已知条件可得结论；
（2） 由D、E分别是、的中点， 可得． 由， 可得， 结合，可得答案．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵， ∴，
∵ 平分，∴，∴． ∴．
∵点为边的中点， ∴为的中位线， ∴．
∵， ∴四边形是平行四边形；
（2）如图，由（1）得：．
∵D、E分别是、的中点， ∴．
∵， ∴，
∵，∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，证明四边形是平行四边形是解题的关键．
23．（2023春·上海·八年级专题练习）(1)如图1，设，则 ；
(2)把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为，为.
①如图2，，与的数量关系是 ；
②如图3，请你写出，与的数量关系，并说明理由.
(3)如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中 .
【答案】(1)
(2)①，②，理由见详解(3)
【分析】（1）表示出，，用三角形内角和定理即可求解；
（2）①由折叠可求得，，用三角形内角和定理即可求解；②由①可求和，即可求解；
（3）由（2）得：，可同理求出，，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
，，
．故答案：．
（2）解：①如图2，由折叠得：，，
，，
，
，
．
故答案：．
②如图3，，
理由如下：设与交于，
由①得：，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：由（2）得：，
同理可得：，，
．
故答案：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角与内角关系，四边形的内角和，掌握相关的性质及定理，正确进行整体代换是解题的关键．
24．（2022·河南卫辉·九年级期中）（教材呈现）如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
（定理证明）（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（定理应用）（2）如图②，四边形中，、、分别为、、的中点，边、延长线交于点，，则的度数是_______．
（3）如图③，矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一定的角度，得到线段，是线段的中点，直接写出旋转过程中线段长的最大值和最小值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）长的最大值为，最小值为．
【分析】（1）延长至，使，连接，根据题意证明，然后证明四边形为平行四边形，即可得出，；（2）首先根据三角形外角的性质得到，然后由三角形中位线的性质得到，，可得到，由即可求出的度数．（3）延长至，使，连接，，可得，可得当FH最小或最大时，MB最小或最大，由题意可得当点在线段上时，最小，当点在线段的延长线上时，最大，根据勾股定理求出AH的长度，然后即可求出线段长的最大值和最小值．
【详解】（1）证明：延长至，使，连接，
在和中，，，
，，，
，，四边形为平行四边形，
，，，；
（2）∵、、分别为、、的中点，
∴是△DAB的中位线，是△BCD的中位线，∴，，
∴，，
又∵，∴，
∴；
（3）解：延长至，使，连接，，
，，，由勾股定理得，，
当点在线段上时，最小，最小值为，
当点在线段的延长线上时，最大，最大值为，
长的最大值为，最小值为．
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，勾股定理的运用，线段最值问题，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．
25．（2023春·浙江温州·八年级期中）如图，在直角坐标系中，四边形的顶点分别为：．点D在边上（不与点C重合），，点P在折线上运动，过点P作交边或于点Q，E为中点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．(2)当四边形是平行四边形时，求点P的坐标．
(3)取线段的中点F，作射线．当射线经过点A时，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)点P的坐标为或；(3)的面积为3．
【分析】（1）由的纵坐标相等，推出轴，再证明，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；（2）分两种情况讨论，当点P在线段上时，此时点点P在线段的中点上；当点P在线段上时，推出四边形是平行四边形，得到轴，再求得直线的解析式，据此即可求解；（3）判断四边形是平行四边形，推出四边形是平行四边形，求得直线的解析式，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，∴轴，，
∵，∴，
∴，，∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，且，
∴是等腰三角形，∴，
∵E为中点，∴，
当点P在线段上时，∵四边形是平行四边形，
∴，，此时点P的坐标为；
当点P在线段上时，连接，
∵四边形是平行四边形，∴，且，
∵E为中点，，此时四边形是平行四边形，则轴，
∵，设直线的解析式为，，解得，
∴直线的解析式为，当时，，解得，
∴点的坐标为；综上，点P的坐标为或；
（3）解：连接，根据题意得，线段的中点F在线段上，连接，
∵，，∴四边形是平行四边形，
∵E为线段中点，点F为线段的中点，∴四边形是平行四边形，
∵，，∴同理，直线的解析式为，
当时，，解得，∴点F的坐标为；
∴，∴的面积．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
26．（2022秋·湖北·九年级统考期中）如图，点P是内一点，
(1)如图1，求证：；(2)如图2，若 且 求的面积；(3)如图3，将绕点P旋转至处，过D作，交延长线于F，若 ，直接写出的值为 ．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）由平行四边形的性质及，可得，再由已知可得结论；（2）过点作于点E，交于点，则由平行四边形的性质得，证明，可得，从而由已知面积关系可得，由勾股定理可求得的长，从而可求得平行四边形的面积；（3）连接，由旋转性质易得，则可得，设，由旋转及勾股定理可分别求得、、，进而可求得，由勾股定理求得，则最后可求得结果．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，即，
∵，∴，∴；
（2）过点作于点E，交于点，如图，∴，
∵四边形是平行四边形，∴，，
∴，即，∴，
∵，∴，
在与中，，∴，∴，
∵，即，
∴，∴，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：；
∴，
∴平行四边形的面积为；；
（3）连接，如图，
由旋转性质得：，，，，
∵，∴，即，
∵，∴，即，∴，
∵，∴，∴，
∴，设，则，，
在中，由勾股定理得，
∵，，∴，
在中，由勾股定理得：，∴，
在中，由勾股定理得，
∴；故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，综合性强，既要灵活运用这些知识，又要构造适当的辅助线，对学生而言有一定的难度．
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专题4-7 平行四边形 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·江西·模拟预测）如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．对边相等 B．邻角互补 C．对角线互相平分 D．对角互补
3．（2022·湖南长沙·九年级期末）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，的面积为48，OA＝3，则BC的长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．13
4．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接，则四边形是平行四边形．其依据是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
5．（2023春·山西·九年级专题练习）已知一个正多边形的每个外角的度数都是，则该多边形的对角线条数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，四边形中，与不平行，M，N分别是的中点，，则的长可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．（2023·浙江·八年级期中）已知：中，，求证：，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾,②因此假设不成立．∴,③假设在中，,④由，得，即．这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．③④②① B．③④①② C．①②③④ D．④③①②
8．（2022·山东青岛市·八年级期末）如图，在平行四边形中，为上一点，，且，，则下列选项正确的为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，点P是内的任意一点，连接，得到，设它们的面积分别是，给出如下结论：
①；②如果，则；③若，则；
④如果P点在对角线上，则；
⑤若，则P点一定在对角线上；其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2023·黑龙江·鸡西市九年级期中）在平行四边形中，，于，于，， BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·江苏扬州·统考一模）若在同一平面内将边长相等的正五边形徽章和正六边形模具按如图所示的位置摆放，连接并延长至点，则______．
12．（2023·江西抚州市·九年级期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，使CE＝CD，连接OE交BC于点F，若BC＝4，则CF＝_____．
13．（2023春·福建厦门·八年级校考期中）如图，若直线，A，D在直线m上，B，E在直线n上，，，，的面积为6，则直线m与n之间的距离为______．
14．（2023·云南昆明市·九年级月考）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于 度
15．（2023·浙江八年级期中）如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______．
16．（2023·黑龙江·大庆市北湖学校八年级期末）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为_____．
17．（2023·浙江·八年级模拟）在中，E是边上的中点，连接，并延长交的延长线于点F．已知，，：则__________，__________．
18．（2023·山东商河·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，若点E是BD的中点，点M是AD上一动点，连接MB，MC，ME，并延长ME交BC于点N，设MD＝tAM，有以下结论：①若△ABM≌△NMC，则MN⊥BD．②当t＝1时，则BM＝CM；③当t＝2时，则S△MNC＝S△EBM；其中正确的是___．（填序号）
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·广东梅州·七年级校考阶段练习）观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题．
(1)将下面的表格补充完整：
正多边形的边数 3 4 5 6 …
∠α的度数 …
(2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
20.（2023·山东潍坊市期末）如图，在四边形中，分别是的中点，分别是对角线的中点，依次连接连接．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当时，与有怎样的位置关系？请说明理由；
（3）若，则 ．
21．（2022·成都市八年级专题练习）在中，，分别为对角线上两点，连接，，，，并且．（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于面积的．
22．（2023春·北京海淀·八年级校考期中）如图所示，点为内一点，平分，且交于点，点为边的中点，点在上，且．
(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)请直接写出线段，，之间的数量关系：______．
23．（2023春·上海·八年级专题练习）(1)如图1，设，则 ；
(2)把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为，为.
①如图2，，与的数量关系是 ；
②如图3，请你写出，与的数量关系，并说明理由.
(3)如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中 .
24．（2022·河南卫辉·九年级期中）（教材呈现）如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
（定理证明）（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（定理应用）（2）如图②，四边形中，、、分别为、、的中点，边、延长线交于点，，则的度数是_______．
（3）如图③，矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一定的角度，得到线段，是线段的中点，直接写出旋转过程中线段长的最大值和最小值．
25．（2023春·浙江温州·八年级期中）如图，在直角坐标系中，四边形的顶点分别为：．点D在边上（不与点C重合），，点P在折线上运动，过点P作交边或于点Q，E为中点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．(2)当四边形是平行四边形时，求点P的坐标．
(3)取线段的中点F，作射线．当射线经过点A时，求的面积．
26．（2022秋·湖北·九年级统考期中）如图，点P是内一点，
(1)如图1，求证：；(2)如图2，若 且 求的面积；(3)如图3，将绕点P旋转至处，过D作，交延长线于F，若 ，直接写出的值为 ．
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