5.3正方形（1）同步练习
A组
1．下列条件中，能判定四边形是正方形的有（ ）．
A．4个角都是直角 B．对角线互相平分且垂直
C．对角线相等且互相平分 D．对角线相等、互相垂直，且互相平分
2．下列条件中，不能判定四边形是正方形的是（ ）．
A．对角线互相垂直且相等的四边形; B．一条对角线平分一组对角的矩形
C．对角线相等的菱形; D．对角线互相垂直的矩形
3．矩形ABCD加上一个条件：_________，就可以得到正方形ABCD．
4．菱形ABCD加上一条条件：_________，就可以得到正方形ABCD．
5、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F.
⑴试说明:DE=DF
⑵只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明。
6、（2013?铁岭）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
B组
7、已知：如图，矩形ABCD的外角平分线围成四边形EFGH．
求证：四边形EFGH是正方形．
8、如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,点P,Q分别是AB, AC上的一动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点.
(1)求证:△PDQ是等腰直角三角形.
(2)当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.
参考答案
A组
1、D 2、A
3、AB=BC或AC⊥BD
4、AC=BD或∠BAC=90°
5、证明：⑴连结AD，∵AB＝AC，D为BC的中点
∴AD为∠BAC的平分线.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
⑵∠BAC＝90°， DE⊥DF.
6、（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
B组
7、解：由△EAB与△GCD、△FBC与△HAD是两对全等的等腰直角三角形，
推得EA+AH=EB+BF=GC+FC=GD+DH，即EH=EF=GF=GH．∴四边形EFGH是菱形．
又∵∠E=90°，∴四边形EFGH是正方形．
8、(1)连接AD.
∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B,
又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,
∴PD=QD,∠BDP=∠ADQ,
∵∠BDP+∠ADP=90°,
∴∠ADP+∠ADQ=∠PDQ=90°,
∴△PDQ为等腰直角三角形.
(2)当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形;理由如下:
由(1)知△ABD为等腰直角三角形,
当P为AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°,
又∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,
∴四边形APDQ为矩形,
又∵DP=AP=AB,∴四边形APDQ为正方形.
5.3正方形（1）学案
教学过程：
一、回顾并思考:
1、我们已经学习过哪些特殊的平行四边形?
2、是否存在一组邻边相等的特殊的矩形? 若存在,它是什么图形??
3、是否存在一个角是直角的菱形?若存在,它是什么图形??
新课教学
1、请在图中填上各种图形的名称和转化的条件
2、你能从上图的转化过程中给正方形下定义吗?
3、判断
(1)对角线互相垂直,一个角是直角的四边形是正方形.?(? )?
(2)如果一个菱形的对角线相等,那么它一定是正方形.?( ? )?
(3)如果一个矩形的对角线互相垂直,那么它一定是正方形.(? )?
(4)四条边相等,且有一个角是直角的四边形是正方形.?( ?)?
例与练
例1、已知:如图,△ABC中.∠ACB=90°,CD是角平分线,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别是E、F. 求证：四边形CFDE是正方形.
课堂练习：
1、已知:如图,△ABD和△BCD都是等腰直角三角形,∠A＝∠C＝Rt∠.?求证:四边形ABCD是正方形.
2、求证:依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形.
3、已知:如图,在正方形ABCD?中,E,F,G,H分别是它的四条边上的点,且AE＝BF＝CG＝DH.
求证:四边形EFGH是正方形.
4. (2013·南京)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形
课堂小结
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课件14张PPT。5.3正方形（1）? ? 2.是否存在一组邻边相等的特殊的矩形?
若存在,它是什么图形?? 回顾并思考:1.我们已经学习过哪些特殊的平行四边形?3.是否存在一个角是直角的菱形?
若存在,它是什么图形?? 矩形、菱形 存在,是正方形 存在,是正方形 请在图中填上各种图形的名称和转化的条件 你能从上图的转化过程中给正方形下定义吗?有一个角是直角的菱形叫做正方形。有一组邻边相等的矩形叫做正方形。有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系正方形? (1)对角线互相垂直,一个角是直角的四边形是正方形.?(? )?
(2)如果一个菱形的对角线相等,那么它一定是正方形.?( ? )?
(3)如果一个矩形的对角线互相垂直,那么它一定是正方形.(? )?
(4)四条边相等,且有一个角是直角的四边形是正方形.?( ?)? √×判断√√平行四边形矩形菱形正方形对角线相等对角线垂直对角线相等对角线垂直对角线垂直且相等各平行四边形关系再认识例1.已知:如图,△ABC中.∠ACB=90°,CD是角平分线,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别是E、F.求证：四边形CFDE是正方形.证明:∵ DF⊥AC,DE⊥BC,∴ ∠DEC= ∠DFC=90°,而∠ACB=90°, ∴四边形DEBF是矩形（ ）, ∵ CD平分∠ACB, DF⊥BC , DE⊥AB, ∴ DE= DF, ∴四边形DEBF是正方形（ ）. 有三个角是 直角的四边形是矩形有一组邻边相等的矩形是正方形 1.已知:如图,△ABD和△BCD都是等腰直角三角形,
∠A＝∠C＝Rt∠.?求证:四边形ABCD是正方形. 提示:由已知可得∠ABD＝∠CBD＝45°,? ∴ ∠ABC＝90°,所以以四边形ABCD是矩形,? 又∵?AB＝AD,? ∴ 四边形ABCD是正方形. 2.求证:依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形. 已知:如图,E,F,G,H分别是正方形ABCD各边的中点. 求证:四边形EFGH是正方形. 证明:在正方形ABCD中,AB＝BC＝CD＝DA(正方形的四条边相等).? ∵E,F,G,H分别是正方形ABCD各边的中点,? ∴AE＝EB＝BF＝CF＝CG＝GD＝DH＝HA.? ∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D(正方形的四个角都是直角),? ∴△AEH,△BEF,△CFG,△DGH是四个全等的等腰直角三角形,? ∴HE＝EF＝FG＝GH,? ∴四边形EFGH是菱形(四条边相等的四边形是菱形).? ∵∠FEB＝∠AEH＝45°,? ∴∠HEF＝180°-(45°+45°)＝90°,? ∴菱形EFGH是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). 3.已知:如图,在正方形ABCD?中,E,F,G,H分别是它的四条边上的点,且AE＝BF＝CG＝DH.
求证:四边形EFGH是正方形. 提示:由已知可得HA＝EB＝FC＝GD,? 由此可得△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,? ∴EF＝FG,GH＝HE,? ∴四边形EFGH?是菱形.? ∵∠FEB＝∠EHA,? ∴∠FEB+∠AEH＝90°,? ∴∠HEF＝Rt∠,? ∴四边形EFGH?是正方形. 平行四边形矩形有一个角是直角正方形有一组邻边相等对角线互相垂直对角线相等菱形一组邻边相等对角线互相垂直有一个角是直角对 角 线 相 等课堂小结
