5.1 矩形(2)（讲练互动）
姓名 班级
【要点预习】
1.矩形的判定：
定理1：有三个角是 的四边形是矩形;
定理2：对角线 的平行四边形是矩形
【课前热身】
1. 矩形具有一般平行四边形不具有的性质是……………………………………………（ ）
A. 对边相互平行 B. 对角线相等 C. 对角线相互平分 D. 对角相等
2. 矩形是轴对称图形，它至少有 条对称轴.
3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是 .（写出一种情况即可）
4. 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(0，4)，(6，0)，点C在第一象限.若四边形AOBC是矩形，则点C的坐标是 .
【讲练互动】
【例1】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是…………………（ ）
A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD
【绿色通道】要证一个四边形是矩形共有三种方法：一是根据定义，证明平行四边形加一个直角；二是根据判定定理1，证明三个直角；三是根据判定定理2，证明平行四边形加对角线相等.
【变式训练】
1. 只用一把刻度尺检查一张四边形纸片是否是矩形，下列操作中最为恰当的是………（ ）
A.先测量两对角线是否互相平分，再测量对角线是否相等
B.先测量两对角线是否互相平分，再测量是否有一个直角
C.先测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等
D.先测量两组对边是否互相平行，再测量对角线是否相等
【例2】已知，如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形AEFD是矩形.
【变式训练】
2.已知，如图，在RtΔABC中，∠C=Rt∠，点D，E，F分别是AB，BC，CA边上的中点. 求证：四边形CEDF是矩形.
【例3】如图，在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点.
(1)求证：；
(2)当与满足什么数量关系时，四边形是矩形，并说明理由.
【变式训练】
3. 如图，在平行四边形中，对角线AC与BD交于点O，OM⊥BC于点M，且BM=CM.
求证：平行四边形是矩形.
参考答案
【要点预习】
1.矩形的判定：
定理1：有三个角是 的四边形是矩形;
定理2：对角线 的平行四边形是矩形
【课前热身】
4. 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(0，4)，(6，0)，点C在第一象限.若四边形AOBC是矩形，则点C的坐标是 .
答案：(6，4)
【讲练互动】
【例1】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是…………………（ ）
A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD
解析：由于四边形ABCD的对角线互相平分，故四边形ABCD是平行四边形，要使它变为矩形，只需添加条件对角线相等或有一个内角为直角即可.
答案：D
【绿色通道】要证一个四边形是矩形共有三种方法：一是根据定义，证明平行四边形加一个直角；二是根据判定定理1，证明三个直角；三是根据判定定理2，证明平行四边形加对角线相等.
【变式训练】
2.已知，如图，在RtΔABC中，∠C=Rt∠，点D，E，F分别是AB，BC，CA边上的中点. 求证：四边形CEDF是矩形.
证明：∵点D，E，F分别是AB，BC，CA边上的中点，
∴DF∥BC，DE∥AC，∴四边形CEDF是平行四边形.
∵∠C=Rt∠，∴四边形CEDF是矩形.
【例3】如图，在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点.
(1)求证：；
(2)当与满足什么数量关系时，四边形是矩形，并说明理由.
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠BAF=∠AFC，∠ABC=∠BCF.
又∵E为BC的中点，∴BE=EC.
∴△ABE≌△FCE(AAS)，∴AB=CF.
(2) BC=AF.
证明：∵ABCF，∴四边形ABFC是平行四边形.
∵BC=AF，∴四边形ABFC是矩形.
5.1 矩形（2）（巩固训练）
姓名 班级
基础自测
1.下列命题中错误的是……………………………………………………（ ）
Ａ.平行四边形的对边相等 Ｂ.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
Ｃ.矩形的对角线相等 Ｄ.对角线相等的四边形是矩形
2.(宁夏中考)平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是…………………………………………（ ）
A. AB=BC B.AC=BD C. AC⊥BD D.AB⊥BD
3.下列图形中，恰好能与图3拼成一个矩形的是 …………………………( )
4. 下列命题错误的是……………………………………………………………………… ( )
A.有三个角是直角的四边形是矩形
B.有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形
C.对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形
D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形
5. 对角线_____ ___的四边形是矩形.
6. 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(0，4)，(6，0)，点C在第一象限.若四边形AOBC是矩形，它的两条对角线相交于点D，则点D的坐标是 .
7.如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA、PR的中点.如果DR=3，AD=4，则EF的长为 .
8.如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接.
（1）求证：是的中点；
（2）如果，试猜测四边形的形状，并证明你的结论.
9.如图，在□ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE.
求证：(1)；
(2)四边形ABCD是矩形.
能力提升
10.下面检查一个门框是否是矩形的方法正确的是………………………………………（ ）
A.测量两条对角线是否相等 B.用曲尺测量门框的三个角，是否都是直角
C.测量对角线是否互相平分 D.用曲尺测量对角线，它们是否互相垂直
11.已知四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点.若AC=6，BD=8，则四边形EFGH的面积为…………………………………………（ ）
A.48 B.24 C.12 D.条件不足，无法计算
12. 四边形四边长分别是a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足，则顺次连结此四边形各边的中点所组成的四边形必是 .
13.已知平面上四点A(0，0)，B(10，0)，C(10，6)，D(0，6)，直线y=mx-3m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则的值为 .
14.一张三角形纸片ABC如图，三条边互不相等，把它剪开，拼成矩形，至少要剪几刀? 说明剪拼的方法，并在另两个图中分别画出剪拼的示意图.
15. 求证：平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形.
已知：如图，□ABCD的四个内角的平分线分别交于E、F、G、H.
求证：四边形EFGH为矩形.
创新应用
16.如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：EO=FO；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.
参考答案
基础自测
答案：C
答案：(3，2)
7.如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA、PR的中点.如果DR=3，AD=4，则EF的长为 .
答案：2.5
9.如图，在□ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE.
求证：(1)；
(2)四边形ABCD是矩形.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD.
∵BE=CF，∴BF=CE.
又∵AF=DE，∴△ABF≌△DCE(SSS).
(2) ∵△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C.
∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形.
能力提升
10.下面检查一个门框是否是矩形的方法正确的是………………………………………（ ）
A.测量两条对角线是否相等 B.用曲尺测量门框的三个角，是否都是直角
C.测量对角线是否互相平分 D.用曲尺测量对角线，它们是否互相垂直
解析：选项A不能保证是否是平行四边形；选项C只能保证是平行四边形，但不能保证是矩形；选项D同样不能保证是平行四边形；选项B符合矩形的判定定理1.
答案：B
11.已知四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点.若AC=6，BD=8，则四边形EFGH的面积为…………………………………………（ ）
A.48 B.24 C.12 D.条件不足，无法计算
14.一张三角形纸片ABC如图，三条边互不相等，把它剪开，拼成矩形，至少要剪几刀? 说明剪拼的方法，并在另两个图中分别画出剪拼的示意图.
答案：剪两刀.
创新应用
课件29张PPT。新浙教版数学八年级（下）5.1 矩形(2)联系生活-引入新知工作师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：(1)摆放成如图所示的四边形，则这时窗框的形状是____________形，数学原理是________________________________ 平行四边两组对边分别相等的四边形是平行四边形工作师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：(2)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图所示)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，说明窗框合格，这时窗框是_____形， 数学原理是__________________________矩 有一个角为直角的平行四边形是矩形联系生活-引入新知矩形的定义
定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形. 则四边形ABCD是矩形。工作师傅做铝合金窗框，遇到的问题：(3)工人师傅甲说只要测量三个角为直角，窗框就是矩形；而工人师傅乙说，要测量四个角为直角；那么到底是哪个工人师傅说的对？联系生活-引入新知有一个角是直角
有两个角是直角 的 四边形是矩形吗？
有三个角是直角
探究活动猜想加证明有三个角是直角的四边形是矩形吗?已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.求证:四边形ABCD是矩形.∴四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是矩形.判定定理1：
有三个角是直角的四边形是矩形.若∠A=∠B=∠C=90°则四边形ABCD是矩形工作师傅做铝合金窗框，遇到的问题：(4)这时工人师傅丙说只要测量，这个四边形两条对角线的长度，只要对角线长度相等，这个四边形就是一个矩形，那么到底工人师丙傅说的对吗？联系生活-引入新知探究活动ABCD矩形的判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形；几何语言： ∵AC=BD ∴□ ABCD是矩形矩形有几种判定方法？有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（定义）
有三个角是直角的四边形是矩形（矩形的判定定理1）
对角线相等的平行四边形是矩形（矩形的判定定理2）矩形有一个角是直角对角线相等有三个角是直角方法总结：初步尝试1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（ ）
A 对角线相等
B 对角线垂直
C 对角线互相平分且相等
D 对角线垂直且相等C做一做：判断下命题是否正确，并说明理由。 （1）对角互补的平行四边形是矩形。（2）一组邻角相等的平行四边形是矩形。（3）对角线相等的四边形是矩形。（4）内角都相等的四边形是矩形。3、已知如图四边形ABCD中
AO=BO=CO=DO，
试说明四边形ABCD是矩形。证明：∵ AO=BO=CO=DO∴AO=CO，BO=DO∴四边形EFGH是平行四边形即AC=BD∴四边形ABCD是矩形又∵AO+CO=BO+DO证明：∵ABCD是平行四边形AB＝DC∵M是AD的中点∴AM＝DM∵ MB＝MC∴△BAM≌ △CDM∴∠A＝ ∠D∴ ∠A＋ ∠D＝1800∴∠A＝ 900 5：延长Rt△ABC斜边上的中线CE到D，使DE＝CE。求证：四边形ACBD是矩形。 分析：要证四边形ACBD是矩形，已经有一个直角的条件，若能证它是平行四边形就可以了。当堂巩固1、已知如图四边ABCD，AO=BO=CO=DO，
试说明四边形ABCD是矩形。证明：∵ AO=BO=CO=DO∴AO=CO，BO=DO∴四边形EFGH是平行四边形即AC=BD∴四边形ABCD是矩形又∵AO+CO=BO+DO 2：已知:如图,四边形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，且AC⊥BD。E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点。 ①求证：四边形EFGH是矩形ABCDOHEFG②追加一问：
若AC=6，BD=8，
求矩形EFGH的面积
已知：如图，AC与BD相交于点O，AB CD
且∠1=∠2 。①求证：四边形ABCD是矩形ABDCE F ②过C作EF∥BD，与AB延长线交于E点，
则有哪些角和∠1，∠2 度数相同34 ③∠3，∠4大小如何？ ④BC，DC分别
哪个角的平分线？ 已知： 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。
求证：四边形EFGH是矩形。证明： ∵四边形ABCD是矩形∴ AO=BO=CO=DO又∵ AE=BF=CG=DH∴OE=OF=OG=OH∴四边形EFGH是平行四边形又∵EO+OG=FO+OH即EG=FH∴四边形EFGH是矩形自我挑战例 如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．如图,在△ABC中,点0是AC边上的一个动点,过点0作直线MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,(1)求证:0E=0F(2)当0运动到何处时, 四边形AECF为矩形? 说明理由EF证明：∵CF平分∠ACD
∴∠1=∠2
又∵ MN∥BC
∴∠1=∠3
∴ ∠2=∠3
∴OC=OF
同理可证：OC=OE
∴OE=OFD答：当点0为AC的中点时，
四边形AECF是矩形
理由：由（1）知0E=0F，
又AO=CO
∴四边形AECF是平行四边形
又∵EC平分∠ACB，FC平分∠ACD
∴∠2+∠4=90°即∠ECF=90°
∴四边形AECF是矩形EFMNPQACDBC如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠ EAC、 ∠ MCA、 ∠ ACN、 ∠ CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ ）
A 菱形 B 平行四边形
C 矩形 D 不能确定GH②延长AD，
与MN交于点G，
△ACG是
什么三角形？④连结BD，
BD和MN有
什么位置关系 ③比较CH和CG的大小 ⑤比较上下两个三角形的面积有什么关系 矩形有几种判定方法？有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（定义）
有三个角是直角的四边形 是矩形（矩形的判定定理1）
对角线相等 的平行四边形是矩形（矩形的判定定理2）矩形有一个角是直角对角线相等有三个角是直角谢谢大家！
