浙教版九年级下册数学 第3章 投影与三视图 单元测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 浙教版九年级下册数学 第3章 投影与三视图 单元测试（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-10 19:13:34 | ||
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文档简介
第3章 投影与三视图 单元测试（浙教版）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （2021·绵阳市·九年级期中）下列投影不是中心投影的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·山东北区·九年级期末）下列结论中正确的是（ ）
①在阳光照射下，同一时刻的物体，影子的方向是相同的．
②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的．
③固定的物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关．
④固定的物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关．
A．①③ B．①③④ C．①④ D．②④
3．（2021·内蒙古东胜·二模）如图是某种几何体的实物图，则与该几何体相对应的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·山东黄岛·九年级期末）小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最短的时刻为（ ）
A．上午12时 B．上午10时 C．上午9时30分 D．上午8时
5．（2021·河北丛台·育华中学初三一模）某几何体在投影面前的摆放方式确定以后，改变它与投影面之间的距离，其正投影的形状（ ）
A．不发生变化 B．变大 C．变小 D．无法确定
6．（2021·辽宁和平·八年级期末）如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（ ）
A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．主视图和左视图
7．（2021·河南南召·初三一模）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是( )
A．3个或 4个或 5个 B．4个或 5个 C．5个或 6个 D．6个或 7个
8．（2021·浙江浙江·三模）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体所有棱长之和为（ ）
A．48 B．40 C． D．28
9．（2021·江西乐平·九年级期末）在小明住的小区有一条笔直的路，路中间有一盏路灯，一天晚上他行走在这条路上如图，当他从点走到点的过程，他在灯光照射下的影长与所走路程的变化关系图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·山东张店·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为，．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．8
11．（2021·山东师范大学第二附属中学九年级月考）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度（ ）
A．12米 B．14米 C．16米 D．18米
12．（2020·黑龙江齐齐哈尔·初三零模）由n个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则n的最大值是( )．
A．18 B．19 C．20 D．21
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2021·辽宁抚顺·三模）一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是_________号窗口．
14．（2020·河南舞钢·初三期末）如图，有一张直径为1.2米的圆桌，其高度为0.8米，同时有一盏灯距地面2米，圆桌在水平地面上的影子是，∥，和是光线，建立如图所示的平面直角坐标系，其中点的坐标是．那么点的坐标是_________．
15．（2021·重庆·九年级月考）如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为_________平方米（不计墙的厚度）.
16．（2021·广东高州·七年级月考）由8个相同的小正方体组成的几何体如图1所示，拿掉______个小正方体后的几何体的主视图和左视图都是图2所示图形．
17．（2021·四川省成都市新都四中九年级期中）如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成角时，第二次是阳光与地面成角时，两次测量的影长相差8米，则树高______米．（结果保留根号）
18．（2020·郑州市中原区第一中学初二月考）如图 1，一长方体容器，长、宽均为2，高为6，里面盛有水，水的高度为4，若沿底面一横进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，倾斜容器使水恰好流出，则CD的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·山东桓台·一模）如图所示的图形是一个水平放置的直三棱柱被斜着截去一部分后形成的，请画出它的主视图、左视图和俯视图．
20．（2021·福建集美·三模）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．
（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
22．（2020·山西太原·）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答:
（1）如图1，白天在阳光下，小彬将木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段.
①若木杆的长为，则其影子的长为 ；
②在同一时刻同一地点，将另一根木杆直立于地面，请画出表示此时木杆在地面上影子的线段；
（2）如图2，夜晚在路灯下，小彬将木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段.
①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点；
②若木杆的长为，经测量木杆距离地面，其影子的长为，则路灯距离地面的高度为.
22．（2021·全国·九年级课时练习）已知一纸板的形状为正方形，如图所示．其边长为10厘米，，与投影面平行，，与投影面不平行，正方形在投影面上的正投影为．若，求投影面的面积．
23．（2021·河北宽城·九年级期末）如图，在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学在测量树的高度时，发现树的影子有一部分（0.2 米）落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是 4.62米．”小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比 4.62米要长．”
（1）你认为谁的说法对 并说明理由；（2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度．
24．（2021·陕西秦都·七年级期末）如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体从上面看得到的形状图，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数．（1）请在方格中画出从正面看、从左面看得到的几何体的形状图；（2）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从上面看得到的图形不变，那么最多可以再添加___________个小正方体．
25．（2021·江苏工业园区·二模）测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥，点O是正方形的中心垂直于地面，是正四棱锥的高，泰勒斯借助太阳光．测量金字塔影子的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量．甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥表示．
（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形的边长为，金字塔甲的影子是，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为______m．
（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形边长为，金字塔乙的影子是，，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度．
26．（2021·山东青岛·九年级期末）小明是魔方受好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n）．
问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 个小立方体组成．
探究二：如图6，该几何体有4个小立方休组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 个长方体．
探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 个长方体．
探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 个长方体．
探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种枧图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 ．
第3章 投影与三视图 单元测试（浙教版）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （2021·绵阳市·九年级期中）下列投影不是中心投影的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】A、B、C选项中的光线相交于点，D选项中的光线平行，则可根据中心投影的定义进行判断．
【详解】解：如图，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．
2．（2021·山东北区·九年级期末）下列结论中正确的是（ ）
①在阳光照射下，同一时刻的物体，影子的方向是相同的．
②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的．
③固定的物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关．
④固定的物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关．
A．①③ B．①③④ C．①④ D．②④
【答案】A
【分析】利用平行投影和中心投影的特点和规律分别分析可判断正误．
【详解】①由于太阳光线是平行光线，所以物体在阳光照射下，影子的方向是相同的，故正确；
②物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故错误；
③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关，故正确；
④物体在点光源的照射下，影子的长短与物体的长短和光源的位置有关，故错误．
所以正确的只有①③．故选：A．
【点睛】本题考查了平行投影和中心投影的特点和规律．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
3．（2021·内蒙古东胜·二模）如图是某种几何体的实物图，则与该几何体相对应的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三视图的主视图的定义，找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】从正面看可得到上面是一个矩形一分为二，下面是一个较大的矩形，故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，属于基础题，注意主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（2021·山东黄岛·九年级期末）小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最短的时刻为（ ）
A．上午12时 B．上午10时 C．上午9时30分 D．上午8时
【答案】A
【分析】利用光线与地面的夹角的变换进行判断．
【详解】解：上午8时、9时30分、10时、12时，太阳光线与地面的夹角不同，其中12时太阳光线与地面的夹角最大，所以此时向日葵的影子最短．故选：A．
【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长，中午最短．
5．（2021·河北丛台·育华中学初三一模）某几何体在投影面前的摆放方式确定以后，改变它与投影面之间的距离，其正投影的形状（ ）
A．不发生变化 B．变大 C．变小 D．无法确定
【答案】A
【分析】几何体的正投影只与几何体相对于投影面的倾斜程度有关，与两者间距离无关可知答案．
【解析】解：某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后，改变它与投影面P的距离，其正投影的形状不发生变化，故选：A．
【点睛】本题主要考查平行投影的性质，熟练掌握线段、平面图形、几何体的平行投影性质是根本．
6．（2021·辽宁和平·八年级期末）如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（ ）
A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．主视图和左视图
【答案】C
【分析】主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断．
【详解】解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．故选：C．
【点睛】此题主要考查了平移的性质和应用，以及简单组合体的三视图，要熟练掌握，解答此题的关键是掌握主视图、俯视图以及左视图的观察方法．
7．（2021·河南南召·初三一模）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是( )
A．3个或 4个或 5个 B．4个或 5个 C．5个或 6个 D．6个或 7个
【答案】A
【解析】根据主视图，左视图，画出俯视图可能情况.
所以选A.
【点睛】本题考查几何三视图，难度一般，需要同学们具有一定的空间想象能力，即可顺利解题．
8．（2021·浙江浙江·三模）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体所有棱长之和为（ ）
A．48 B．40 C． D．28
【答案】B
【分析】根据三视图图形得出AC=BC=3，EC=4，即可求出这个长方体的所有棱长之和．
【详解】解：如图所示，AB=，∵AC2+BC2=AB2，而AC=BC，∴AC=BC=3，
∴正方形ACBD的周长为：3×4=12，故这个长方体的所有棱长之和为：12×2+4×4=40．故选：B．
【点睛】此题主要考查了利用三视图求长方体的棱长以及勾股定理的运用，得出长方体各部分的棱长是解决问题的关键．
9．（2021·江西乐平·九年级期末）在小明住的小区有一条笔直的路，路中间有一盏路灯，一天晚上他行走在这条路上如图，当他从点走到点的过程，他在灯光照射下的影长与所走路程的变化关系图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中心投影的特点，当他从A点走到路灯下时，影长l逐渐变小，当从路灯下走到B点时，影长l逐渐变长，从而可对四个选项进行判断．
【详解】解：当他从A点走到路灯下时，影长l逐渐变小，当从路灯下走到B点时，影长l逐渐变长, 即随S的逐渐增大，l先由大变小，再由小变大，故选：A．
【点睛】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出l随s的变化规律是解决问题的关键．
10．（2021·山东张店·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为，．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长．
【详解】延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图
∵P（3，2），A（0，1），B（4，1）．∴PD＝1，PE＝2，AB＝4，
∵AB∥A′B′，∴△PAB∽△PA′B′，∴，即∴A′B′＝8，故选择：D．
【点睛】本题考查了中心投影和三角形相似，引出辅助线利用三角形相似的性质求解是本题的关键．
11．（2021·山东师范大学第二附属中学九年级月考）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度（ ）
A．12米 B．14米 C．16米 D．18米
【答案】C
【分析】同一时刻下，不同物体的高度比与影长比相等，画出示意图，找见相似，代入计算即可．
【详解】解：如下图：
过点C作CE⊥AB于点E，某一时刻竹竿和影长构成的三角形为△FGH，此时FG=1米，GH=1.5米，BD=EC=21米，CD=EB=2米．据题意，同一时刻，
∴ ∴∴AE=14∴AB=AE+BE=14+2=16米故选：C
【点睛】本题考查平行投影，牢记知识点是解题关键．
12．（2020·黑龙江齐齐哈尔·初三零模）由n个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则n的最大值是( )．
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】D
【分析】结合主视图，俯视图，逐行确认小正方体个数，最后计算即可.
【解析】解：由俯视图可知最少有8个小正方体，
∵有主视图可知最左边最多有3个小正方体，中间最多有个小正方体，最右边最多有个小正方体，∴n的最大值为6+6+9=21.故选：D
【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，侧重对空间想象考查.一般依据“长对正，高平齐，宽相等”来确定其立体图形.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2021·辽宁抚顺·三模）一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是_________号窗口．
【答案】3
【分析】根据给出的两个物高与影长即可确定光源的位置；
【详解】如图所示：可知亮灯的窗口是3号窗口，
故答案是3．
【点睛】本题主要考查了中心投影，准确分析判断是解题的关键．
14．（2020·河南舞钢·初三期末）如图，有一张直径为1.2米的圆桌，其高度为0.8米，同时有一盏灯距地面2米，圆桌在水平地面上的影子是，∥，和是光线，建立如图所示的平面直角坐标系，其中点的坐标是．那么点的坐标是_________．
【答案】
【分析】先证明△ABC∽△ADE，再根据相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比求解即可．
【解析】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴，
∵BC=1.2，∴DE=2，∴E（4，0）．故答案为：（4，0）．
【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．
15．（2021·重庆·九年级月考）如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为_________平方米（不计墙的厚度）.
【答案】17
【分析】如图题目所求的实际是△OFE和梯形BCDH的面积，Rt△ABH中，AB=BH=2，∠BAH=45°，利用三角函数即可求出．
【详解】在Rt△ACD中，CD=AC=6，S梯形BCDH=（2+6）×4÷2=16，
在Rt△ABO中，tan∠AOB=tan∠FOE=1：2，因此，FE=OF÷2=1 S△OFE=2×1÷2=1，
因此，老鼠可以躲过猫的视线的范围应是16+1=17平方米．
故答案为：17.
【点睛】利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
16．（2021·广东高州·七年级月考）由8个相同的小正方体组成的几何体如图1所示，拿掉______个小正方体后的几何体的主视图和左视图都是图2所示图形．
【答案】3、4、5
【分析】拿掉若干个小立方块后保证从正面和左面看到的图形如图2所示，所以最底下一层最少必须有2个小立方块，上面一层必须保留1个立方块，即可知可以拿掉小立方块的个数．
【详解】根据题意，拿掉若干个小立方块后保证从正面和左面看到的图形如图2所示，
所以最底下一层最少必须有2个小立方块，上面一层必须保留1个立方块，如图，
故答案为：3，4、5．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，几何体的三种视图，掌握定义是关键．解决此类图的关键是由立体图形得到三视图，学生由于空间想象能力不够，易造成错误．
17．（2021·四川省成都市新都四中九年级期中）如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成角时，第二次是阳光与地面成角时，两次测量的影长相差8米，则树高______米．（结果保留根号）
【答案】
【分析】设出树高，利用所给角的正切值分别表示出两次影子的长，然后作差建立方程即可．
【详解】如图 在中，设AB为x
，∴，同理：，
∵两次测量的影长相差8米，∴，∴，
则树高为米．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行投影的应用，太阳光线下物体影子的长短不仅与物体有关，而且与时间有关，不同时间随着光线方向的变化，影子的方向也在变化，解此类题，一定要看清方向．解题关键是根据三角函数的几何意义得出各线段的比例关系，从而得出答案．
18．（2020·郑州市中原区第一中学初二月考）如图 1，一长方体容器，长、宽均为2，高为6，里面盛有水，水的高度为4，若沿底面一横进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，倾斜容器使水恰好流出，则CD的值为 ．
【答案】
【分析】设DE=x，则AD=6-x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD即可．
【解析】解：如图所示：设DE＝x，则AD＝6﹣x，
根据题意得 ( 6﹣x+6)×2×2＝2×2×4，解得：x＝4，∴DE＝4，
∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝＝2．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·山东桓台·一模）如图所示的图形是一个水平放置的直三棱柱被斜着截去一部分后形成的，请画出它的主视图、左视图和俯视图．
【答案】作图见解析
【分析】图中的几何体是正三棱柱被斜着截去一部分，但左视图不受影响，所以左视图是正三角形，主视图是直角三角形，俯视图是长方形中含有一个等腰三角形．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握几何体三视图的画法是解题的关键．
20．（2021·福建集美·三模）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．
（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见详解
【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解；（2）把摄像头安装在AB的中点处，计算出监控盲区的面积，后把摄像头安装在AB的其他位置，表达出监控盲区的面积，即可得到结论．
【详解】解：（1）设小正方形的边长为1，
∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-×2×1=3，∴站在监控盲区的概率=3÷20=；
（2）如图所示：摄像头安装在AB的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2××1×2=2，
若摄像头不安装在AB的中点处，则监控盲区面积=×(CM+2)×2＞2．
【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键．
22．（2020·山西太原·）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答:
（1）如图1，白天在阳光下，小彬将木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段.
①若木杆的长为，则其影子的长为 ；
②在同一时刻同一地点，将另一根木杆直立于地面，请画出表示此时木杆在地面上影子的线段；
（2）如图2，夜晚在路灯下，小彬将木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段.
①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点；
②若木杆的长为，经测量木杆距离地面，其影子的长为，则路灯距离地面的高度为.
【答案】（1）①；②见解析；（2）①见解析；②
【分析】（1）①根据题意证得四边形为平行四边形，从而求得结论；
②根据平行投影的特点作图：过木杆的顶点作太阳光线的平行线；
（2）①分别过影子的端点及其线段的相应的端点作射线，两条射线的交点即为光源的位置；
②根据∥，可证得，利用相似三角形对应高的比等于相似比即可求得结论.
【解析】（1）①根据题意：∥，∥，
∴四边形为平行四边形，∴；
②如图所示，线段即为所求；
（2）①如图所示，点即为所求；
②过点作分别交、于点、
∵∥∴
，，解得：，
路灯距离地面的高度为米.
【点睛】本题考查平行投影问题以及相似三角形的判定和性质，平行光线得到的影子是平行光线经过物体的顶端得到的影子，利用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键．
22．（2021·全国·九年级课时练习）已知一纸板的形状为正方形，如图所示．其边长为10厘米，，与投影面平行，，与投影面不平行，正方形在投影面上的正投影为．若，求投影面的面积．
【答案】（平方厘米）
【分析】如图（见解析），过点作，交于点，先根据正投影的性质求出投影面是矩形，再利用等腰三角形的判定、余弦三角函数值求出AH的长，从而可知的长，然后根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】由正投影的性质可得：投影面是矩形，且（厘米）
如图，过点作，交于点∵∴是等腰直角三角形
∴（厘米）∴（厘米）
∴矩形的面积为（平方厘米）．
【点睛】本题考查了正投影的性质、余弦三角函数值等知识点，根据正投影的性质得出投影面为矩形是解题关键．
23．（2021·河北宽城·九年级期末）如图，在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学在测量树的高度时，发现树的影子有一部分（0.2 米）落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是 4.62米．”小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比 4.62米要长．”
（1）你认为谁的说法对 并说明理由；（2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度．
【答案】（1）小强的说法对，理由见解析；（2）8米．
【分析】（1）画出解题示意图，利用同一时刻，物高与影长成正比，计算判断即可；
（2）利用同一时刻，物高与影长成正比，计算判断即可；
【详解】解：（1）小强的说法对；根据题意画出图形，如图所示，
根据题意，得，∵DE=0．3米，∴（米）．
∵GD∥FH，FG∥DH，∴四边形DGFH是平行四边形，∴米．
∵AE=4．42米，∴AF=AE+EH+FH=4．42+0．18+0．2=4．8（米），
即要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是4．8米，∴小强的说法对；
（2）由（1）可知：AF=4．8米．∵，∴米．答：树的高度为8米．
【点睛】本题考查了太阳光下的平行投影问题，准确理解影长的意义，灵活运用同一时刻，物高与影长成正比是解题的关键．
24．（2021·陕西秦都·七年级期末）如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体从上面看得到的形状图，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数．
（1）请在方格中画出从正面看、从左面看得到的几何体的形状图；
（2）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从上面看得到的图形不变，那么最多可以再添加___________个小正方体．
【答案】（1）画图见解析；（2）3．
【分析】（1）从正面看，有列，从左往右的正方体的个数分别为 从而可画出主视图，从左边看，有列，从左往右的正方体的个数分别为从而可画出左视图；
（2）由不改变俯视图，所以添加的位置只能在已有正方体的上面添加，由不改变主视图，所以添加的位置不能添加在正方体个数最多的上面，从而可得答案．
【详解】解：（1）从正面看、从左面看得到的几何体的形状图如图所示：
（2）由不改变俯视图，所以添加的位置只能在已有正方体的上面添加，
由不改变主视图，所以添加的位置不能添加在正方体个数最多的上面，
所以添加的正方体应按如下图的方式添加，
所以最多可以再添加个小正方体．故答案为：3．
【点睛】本题考查的是简单组合体的三视图，掌握作简单组合体的三视图是解题的关键．
25．（2021·江苏工业园区·二模）测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥，点O是正方形的中心垂直于地面，是正四棱锥的高，泰勒斯借助太阳光．测量金字塔影子的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量．甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥表示．
（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形的边长为，金字塔甲的影子是，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为______m．
（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形边长为，金字塔乙的影子是，，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度．
【答案】（1）100；（2）．
【分析】（1）如图2中，连接交于，勾股定理求得，再根据物体的长度与影子的长度成比例，即可求得；（2）如图1中，连接，,过点作交的延长线于,勾股定理求得，再根据物体的长度与影子的长度成比例，即可求得．
【详解】（1）如图2中，连接交于，
四边形是正方形，， ，
， 垂直平分，，
，，
设金子塔的高度为，物体的长度与影子的长度成比例，
，，故答案为：100．
（2）如图，根据图1作出俯视图，连接，,过点作交的延长线于,
，，
，四边形是正方形，，
，，
，，
，．乙金字塔的高度为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，俯视图，物长与影长成正比等知识，正确的添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
26．（2021·山东青岛·九年级期末）小明是魔方受好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n）．
问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 个小立方体组成．
探究二：如图6，该几何体有4个小立方休组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 个长方体．
探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 个长方体．
探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 个长方体．
探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种枧图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 ．
【答案】探究一：6，20；探究二：18；探究三：；
探究四：；探究五：72，164
【分析】探究一：先输出图4的长方体个数，然后得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体，由此求解即可；探究二：由探究一可知图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体，
探究三：该几何体共有个a×b×c小立方体组成，该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段，由此求解即可；探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体；探究五：拿走前后的三视图需要一样，只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可如图所示求解即可；如图所示表格外面的数字表示的是此处露在外面的小正形有多少个面，由于处在里面的每个小正方体（个数为1）比处在边缘的小正方体多相邻一个小正方体，因此处在中间的会比处在边缘的少一个1个面，同理处在里面的（有5个小正方体的）比处在边缘的少2个，由此求解即可．
【详解】解：探究一：由题意得图4一共有：1+2+3=6个长方体，
∵有1个小正方体组成的几何体有个长方体，有2个小正方体组成的几何体有个长方体，有3个小正方体组成的几何体有个长方体．．．．．．
∴可以得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体，
∴，即，解得或（舍去），故答案为：6，20；
探究二：图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，
∴那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，
图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，
∴图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体，故答案为：18；
探究三：∵该几何体共有个a×b×c小立方体组成，
∴该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段，
∴图1中一共包含个长方体，
故答案为：；
探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体；探究五：∵拿走前后的三视图需要一样，
∴只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可， 如图小方格内的数字表示此处一共有多少个小正方体，此时一共有48个小正方体，即为所求，∴一共最多可以拿走6×5×4-48=72个小正方体，
5 1 1 1 1 1
1 5 1 1 1 1
1 1 5 5 5 1
1 1 1 1 1 5
如图所示，表格外面的数字表示的是此处露在外面的小正形有多少个面，
由于处在里面的每个小正方体（个数为1）比处在边缘的小正方体多相邻一个小正方体，因此处在中间的会比处在边缘的少一个1个面，同理处在里面的（有5个小正方体的）比处在边缘的少2个，
∴几何体的表面积=20+20+（20-2）×4+3×12+4×2+（3-1）×4=164．
【点睛】本题主要考查了图形类的规律，几何体的表面积等等，解题的关键在于能够准确读懂题意．
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （2021·绵阳市·九年级期中）下列投影不是中心投影的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·山东北区·九年级期末）下列结论中正确的是（ ）
①在阳光照射下，同一时刻的物体，影子的方向是相同的．
②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的．
③固定的物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关．
④固定的物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关．
A．①③ B．①③④ C．①④ D．②④
3．（2021·内蒙古东胜·二模）如图是某种几何体的实物图，则与该几何体相对应的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·山东黄岛·九年级期末）小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最短的时刻为（ ）
A．上午12时 B．上午10时 C．上午9时30分 D．上午8时
5．（2021·河北丛台·育华中学初三一模）某几何体在投影面前的摆放方式确定以后，改变它与投影面之间的距离，其正投影的形状（ ）
A．不发生变化 B．变大 C．变小 D．无法确定
6．（2021·辽宁和平·八年级期末）如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（ ）
A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．主视图和左视图
7．（2021·河南南召·初三一模）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是( )
A．3个或 4个或 5个 B．4个或 5个 C．5个或 6个 D．6个或 7个
8．（2021·浙江浙江·三模）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体所有棱长之和为（ ）
A．48 B．40 C． D．28
9．（2021·江西乐平·九年级期末）在小明住的小区有一条笔直的路，路中间有一盏路灯，一天晚上他行走在这条路上如图，当他从点走到点的过程，他在灯光照射下的影长与所走路程的变化关系图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·山东张店·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为，．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．8
11．（2021·山东师范大学第二附属中学九年级月考）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度（ ）
A．12米 B．14米 C．16米 D．18米
12．（2020·黑龙江齐齐哈尔·初三零模）由n个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则n的最大值是( )．
A．18 B．19 C．20 D．21
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2021·辽宁抚顺·三模）一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是_________号窗口．
14．（2020·河南舞钢·初三期末）如图，有一张直径为1.2米的圆桌，其高度为0.8米，同时有一盏灯距地面2米，圆桌在水平地面上的影子是，∥，和是光线，建立如图所示的平面直角坐标系，其中点的坐标是．那么点的坐标是_________．
15．（2021·重庆·九年级月考）如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为_________平方米（不计墙的厚度）.
16．（2021·广东高州·七年级月考）由8个相同的小正方体组成的几何体如图1所示，拿掉______个小正方体后的几何体的主视图和左视图都是图2所示图形．
17．（2021·四川省成都市新都四中九年级期中）如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成角时，第二次是阳光与地面成角时，两次测量的影长相差8米，则树高______米．（结果保留根号）
18．（2020·郑州市中原区第一中学初二月考）如图 1，一长方体容器，长、宽均为2，高为6，里面盛有水，水的高度为4，若沿底面一横进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，倾斜容器使水恰好流出，则CD的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·山东桓台·一模）如图所示的图形是一个水平放置的直三棱柱被斜着截去一部分后形成的，请画出它的主视图、左视图和俯视图．
20．（2021·福建集美·三模）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．
（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
22．（2020·山西太原·）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答:
（1）如图1，白天在阳光下，小彬将木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段.
①若木杆的长为，则其影子的长为 ；
②在同一时刻同一地点，将另一根木杆直立于地面，请画出表示此时木杆在地面上影子的线段；
（2）如图2，夜晚在路灯下，小彬将木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段.
①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点；
②若木杆的长为，经测量木杆距离地面，其影子的长为，则路灯距离地面的高度为.
22．（2021·全国·九年级课时练习）已知一纸板的形状为正方形，如图所示．其边长为10厘米，，与投影面平行，，与投影面不平行，正方形在投影面上的正投影为．若，求投影面的面积．
23．（2021·河北宽城·九年级期末）如图，在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学在测量树的高度时，发现树的影子有一部分（0.2 米）落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是 4.62米．”小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比 4.62米要长．”
（1）你认为谁的说法对 并说明理由；（2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度．
24．（2021·陕西秦都·七年级期末）如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体从上面看得到的形状图，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数．（1）请在方格中画出从正面看、从左面看得到的几何体的形状图；（2）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从上面看得到的图形不变，那么最多可以再添加___________个小正方体．
25．（2021·江苏工业园区·二模）测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥，点O是正方形的中心垂直于地面，是正四棱锥的高，泰勒斯借助太阳光．测量金字塔影子的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量．甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥表示．
（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形的边长为，金字塔甲的影子是，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为______m．
（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形边长为，金字塔乙的影子是，，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度．
26．（2021·山东青岛·九年级期末）小明是魔方受好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n）．
问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 个小立方体组成．
探究二：如图6，该几何体有4个小立方休组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 个长方体．
探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 个长方体．
探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 个长方体．
探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种枧图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 ．
第3章 投影与三视图 单元测试（浙教版）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （2021·绵阳市·九年级期中）下列投影不是中心投影的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】A、B、C选项中的光线相交于点，D选项中的光线平行，则可根据中心投影的定义进行判断．
【详解】解：如图，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．
2．（2021·山东北区·九年级期末）下列结论中正确的是（ ）
①在阳光照射下，同一时刻的物体，影子的方向是相同的．
②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的．
③固定的物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关．
④固定的物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关．
A．①③ B．①③④ C．①④ D．②④
【答案】A
【分析】利用平行投影和中心投影的特点和规律分别分析可判断正误．
【详解】①由于太阳光线是平行光线，所以物体在阳光照射下，影子的方向是相同的，故正确；
②物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故错误；
③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关，故正确；
④物体在点光源的照射下，影子的长短与物体的长短和光源的位置有关，故错误．
所以正确的只有①③．故选：A．
【点睛】本题考查了平行投影和中心投影的特点和规律．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
3．（2021·内蒙古东胜·二模）如图是某种几何体的实物图，则与该几何体相对应的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三视图的主视图的定义，找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】从正面看可得到上面是一个矩形一分为二，下面是一个较大的矩形，故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，属于基础题，注意主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（2021·山东黄岛·九年级期末）小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最短的时刻为（ ）
A．上午12时 B．上午10时 C．上午9时30分 D．上午8时
【答案】A
【分析】利用光线与地面的夹角的变换进行判断．
【详解】解：上午8时、9时30分、10时、12时，太阳光线与地面的夹角不同，其中12时太阳光线与地面的夹角最大，所以此时向日葵的影子最短．故选：A．
【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长，中午最短．
5．（2021·河北丛台·育华中学初三一模）某几何体在投影面前的摆放方式确定以后，改变它与投影面之间的距离，其正投影的形状（ ）
A．不发生变化 B．变大 C．变小 D．无法确定
【答案】A
【分析】几何体的正投影只与几何体相对于投影面的倾斜程度有关，与两者间距离无关可知答案．
【解析】解：某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后，改变它与投影面P的距离，其正投影的形状不发生变化，故选：A．
【点睛】本题主要考查平行投影的性质，熟练掌握线段、平面图形、几何体的平行投影性质是根本．
6．（2021·辽宁和平·八年级期末）如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（ ）
A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．主视图和左视图
【答案】C
【分析】主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断．
【详解】解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．故选：C．
【点睛】此题主要考查了平移的性质和应用，以及简单组合体的三视图，要熟练掌握，解答此题的关键是掌握主视图、俯视图以及左视图的观察方法．
7．（2021·河南南召·初三一模）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是( )
A．3个或 4个或 5个 B．4个或 5个 C．5个或 6个 D．6个或 7个
【答案】A
【解析】根据主视图，左视图，画出俯视图可能情况.
所以选A.
【点睛】本题考查几何三视图，难度一般，需要同学们具有一定的空间想象能力，即可顺利解题．
8．（2021·浙江浙江·三模）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体所有棱长之和为（ ）
A．48 B．40 C． D．28
【答案】B
【分析】根据三视图图形得出AC=BC=3，EC=4，即可求出这个长方体的所有棱长之和．
【详解】解：如图所示，AB=，∵AC2+BC2=AB2，而AC=BC，∴AC=BC=3，
∴正方形ACBD的周长为：3×4=12，故这个长方体的所有棱长之和为：12×2+4×4=40．故选：B．
【点睛】此题主要考查了利用三视图求长方体的棱长以及勾股定理的运用，得出长方体各部分的棱长是解决问题的关键．
9．（2021·江西乐平·九年级期末）在小明住的小区有一条笔直的路，路中间有一盏路灯，一天晚上他行走在这条路上如图，当他从点走到点的过程，他在灯光照射下的影长与所走路程的变化关系图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中心投影的特点，当他从A点走到路灯下时，影长l逐渐变小，当从路灯下走到B点时，影长l逐渐变长，从而可对四个选项进行判断．
【详解】解：当他从A点走到路灯下时，影长l逐渐变小，当从路灯下走到B点时，影长l逐渐变长, 即随S的逐渐增大，l先由大变小，再由小变大，故选：A．
【点睛】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出l随s的变化规律是解决问题的关键．
10．（2021·山东张店·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为，．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长．
【详解】延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图
∵P（3，2），A（0，1），B（4，1）．∴PD＝1，PE＝2，AB＝4，
∵AB∥A′B′，∴△PAB∽△PA′B′，∴，即∴A′B′＝8，故选择：D．
【点睛】本题考查了中心投影和三角形相似，引出辅助线利用三角形相似的性质求解是本题的关键．
11．（2021·山东师范大学第二附属中学九年级月考）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度（ ）
A．12米 B．14米 C．16米 D．18米
【答案】C
【分析】同一时刻下，不同物体的高度比与影长比相等，画出示意图，找见相似，代入计算即可．
【详解】解：如下图：
过点C作CE⊥AB于点E，某一时刻竹竿和影长构成的三角形为△FGH，此时FG=1米，GH=1.5米，BD=EC=21米，CD=EB=2米．据题意，同一时刻，
∴ ∴∴AE=14∴AB=AE+BE=14+2=16米故选：C
【点睛】本题考查平行投影，牢记知识点是解题关键．
12．（2020·黑龙江齐齐哈尔·初三零模）由n个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则n的最大值是( )．
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】D
【分析】结合主视图，俯视图，逐行确认小正方体个数，最后计算即可.
【解析】解：由俯视图可知最少有8个小正方体，
∵有主视图可知最左边最多有3个小正方体，中间最多有个小正方体，最右边最多有个小正方体，∴n的最大值为6+6+9=21.故选：D
【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，侧重对空间想象考查.一般依据“长对正，高平齐，宽相等”来确定其立体图形.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2021·辽宁抚顺·三模）一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是_________号窗口．
【答案】3
【分析】根据给出的两个物高与影长即可确定光源的位置；
【详解】如图所示：可知亮灯的窗口是3号窗口，
故答案是3．
【点睛】本题主要考查了中心投影，准确分析判断是解题的关键．
14．（2020·河南舞钢·初三期末）如图，有一张直径为1.2米的圆桌，其高度为0.8米，同时有一盏灯距地面2米，圆桌在水平地面上的影子是，∥，和是光线，建立如图所示的平面直角坐标系，其中点的坐标是．那么点的坐标是_________．
【答案】
【分析】先证明△ABC∽△ADE，再根据相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比求解即可．
【解析】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴，
∵BC=1.2，∴DE=2，∴E（4，0）．故答案为：（4，0）．
【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．
15．（2021·重庆·九年级月考）如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为_________平方米（不计墙的厚度）.
【答案】17
【分析】如图题目所求的实际是△OFE和梯形BCDH的面积，Rt△ABH中，AB=BH=2，∠BAH=45°，利用三角函数即可求出．
【详解】在Rt△ACD中，CD=AC=6，S梯形BCDH=（2+6）×4÷2=16，
在Rt△ABO中，tan∠AOB=tan∠FOE=1：2，因此，FE=OF÷2=1 S△OFE=2×1÷2=1，
因此，老鼠可以躲过猫的视线的范围应是16+1=17平方米．
故答案为：17.
【点睛】利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
16．（2021·广东高州·七年级月考）由8个相同的小正方体组成的几何体如图1所示，拿掉______个小正方体后的几何体的主视图和左视图都是图2所示图形．
【答案】3、4、5
【分析】拿掉若干个小立方块后保证从正面和左面看到的图形如图2所示，所以最底下一层最少必须有2个小立方块，上面一层必须保留1个立方块，即可知可以拿掉小立方块的个数．
【详解】根据题意，拿掉若干个小立方块后保证从正面和左面看到的图形如图2所示，
所以最底下一层最少必须有2个小立方块，上面一层必须保留1个立方块，如图，
故答案为：3，4、5．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，几何体的三种视图，掌握定义是关键．解决此类图的关键是由立体图形得到三视图，学生由于空间想象能力不够，易造成错误．
17．（2021·四川省成都市新都四中九年级期中）如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成角时，第二次是阳光与地面成角时，两次测量的影长相差8米，则树高______米．（结果保留根号）
【答案】
【分析】设出树高，利用所给角的正切值分别表示出两次影子的长，然后作差建立方程即可．
【详解】如图 在中，设AB为x
，∴，同理：，
∵两次测量的影长相差8米，∴，∴，
则树高为米．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行投影的应用，太阳光线下物体影子的长短不仅与物体有关，而且与时间有关，不同时间随着光线方向的变化，影子的方向也在变化，解此类题，一定要看清方向．解题关键是根据三角函数的几何意义得出各线段的比例关系，从而得出答案．
18．（2020·郑州市中原区第一中学初二月考）如图 1，一长方体容器，长、宽均为2，高为6，里面盛有水，水的高度为4，若沿底面一横进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，倾斜容器使水恰好流出，则CD的值为 ．
【答案】
【分析】设DE=x，则AD=6-x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD即可．
【解析】解：如图所示：设DE＝x，则AD＝6﹣x，
根据题意得 ( 6﹣x+6)×2×2＝2×2×4，解得：x＝4，∴DE＝4，
∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝＝2．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021·山东桓台·一模）如图所示的图形是一个水平放置的直三棱柱被斜着截去一部分后形成的，请画出它的主视图、左视图和俯视图．
【答案】作图见解析
【分析】图中的几何体是正三棱柱被斜着截去一部分，但左视图不受影响，所以左视图是正三角形，主视图是直角三角形，俯视图是长方形中含有一个等腰三角形．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握几何体三视图的画法是解题的关键．
20．（2021·福建集美·三模）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．
（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？
（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见详解
【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解；（2）把摄像头安装在AB的中点处，计算出监控盲区的面积，后把摄像头安装在AB的其他位置，表达出监控盲区的面积，即可得到结论．
【详解】解：（1）设小正方形的边长为1，
∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-×2×1=3，∴站在监控盲区的概率=3÷20=；
（2）如图所示：摄像头安装在AB的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2××1×2=2，
若摄像头不安装在AB的中点处，则监控盲区面积=×(CM+2)×2＞2．
【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键．
22．（2020·山西太原·）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答:
（1）如图1，白天在阳光下，小彬将木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段.
①若木杆的长为，则其影子的长为 ；
②在同一时刻同一地点，将另一根木杆直立于地面，请画出表示此时木杆在地面上影子的线段；
（2）如图2，夜晚在路灯下，小彬将木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段.
①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点；
②若木杆的长为，经测量木杆距离地面，其影子的长为，则路灯距离地面的高度为.
【答案】（1）①；②见解析；（2）①见解析；②
【分析】（1）①根据题意证得四边形为平行四边形，从而求得结论；
②根据平行投影的特点作图：过木杆的顶点作太阳光线的平行线；
（2）①分别过影子的端点及其线段的相应的端点作射线，两条射线的交点即为光源的位置；
②根据∥，可证得，利用相似三角形对应高的比等于相似比即可求得结论.
【解析】（1）①根据题意：∥，∥，
∴四边形为平行四边形，∴；
②如图所示，线段即为所求；
（2）①如图所示，点即为所求；
②过点作分别交、于点、
∵∥∴
，，解得：，
路灯距离地面的高度为米.
【点睛】本题考查平行投影问题以及相似三角形的判定和性质，平行光线得到的影子是平行光线经过物体的顶端得到的影子，利用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键．
22．（2021·全国·九年级课时练习）已知一纸板的形状为正方形，如图所示．其边长为10厘米，，与投影面平行，，与投影面不平行，正方形在投影面上的正投影为．若，求投影面的面积．
【答案】（平方厘米）
【分析】如图（见解析），过点作，交于点，先根据正投影的性质求出投影面是矩形，再利用等腰三角形的判定、余弦三角函数值求出AH的长，从而可知的长，然后根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】由正投影的性质可得：投影面是矩形，且（厘米）
如图，过点作，交于点∵∴是等腰直角三角形
∴（厘米）∴（厘米）
∴矩形的面积为（平方厘米）．
【点睛】本题考查了正投影的性质、余弦三角函数值等知识点，根据正投影的性质得出投影面为矩形是解题关键．
23．（2021·河北宽城·九年级期末）如图，在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学在测量树的高度时，发现树的影子有一部分（0.2 米）落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是 4.62米．”小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比 4.62米要长．”
（1）你认为谁的说法对 并说明理由；（2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度．
【答案】（1）小强的说法对，理由见解析；（2）8米．
【分析】（1）画出解题示意图，利用同一时刻，物高与影长成正比，计算判断即可；
（2）利用同一时刻，物高与影长成正比，计算判断即可；
【详解】解：（1）小强的说法对；根据题意画出图形，如图所示，
根据题意，得，∵DE=0．3米，∴（米）．
∵GD∥FH，FG∥DH，∴四边形DGFH是平行四边形，∴米．
∵AE=4．42米，∴AF=AE+EH+FH=4．42+0．18+0．2=4．8（米），
即要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是4．8米，∴小强的说法对；
（2）由（1）可知：AF=4．8米．∵，∴米．答：树的高度为8米．
【点睛】本题考查了太阳光下的平行投影问题，准确理解影长的意义，灵活运用同一时刻，物高与影长成正比是解题的关键．
24．（2021·陕西秦都·七年级期末）如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体从上面看得到的形状图，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数．
（1）请在方格中画出从正面看、从左面看得到的几何体的形状图；
（2）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从上面看得到的图形不变，那么最多可以再添加___________个小正方体．
【答案】（1）画图见解析；（2）3．
【分析】（1）从正面看，有列，从左往右的正方体的个数分别为 从而可画出主视图，从左边看，有列，从左往右的正方体的个数分别为从而可画出左视图；
（2）由不改变俯视图，所以添加的位置只能在已有正方体的上面添加，由不改变主视图，所以添加的位置不能添加在正方体个数最多的上面，从而可得答案．
【详解】解：（1）从正面看、从左面看得到的几何体的形状图如图所示：
（2）由不改变俯视图，所以添加的位置只能在已有正方体的上面添加，
由不改变主视图，所以添加的位置不能添加在正方体个数最多的上面，
所以添加的正方体应按如下图的方式添加，
所以最多可以再添加个小正方体．故答案为：3．
【点睛】本题考查的是简单组合体的三视图，掌握作简单组合体的三视图是解题的关键．
25．（2021·江苏工业园区·二模）测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥，点O是正方形的中心垂直于地面，是正四棱锥的高，泰勒斯借助太阳光．测量金字塔影子的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量．甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥表示．
（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形的边长为，金字塔甲的影子是，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为______m．
（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形边长为，金字塔乙的影子是，，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度．
【答案】（1）100；（2）．
【分析】（1）如图2中，连接交于，勾股定理求得，再根据物体的长度与影子的长度成比例，即可求得；（2）如图1中，连接，,过点作交的延长线于,勾股定理求得，再根据物体的长度与影子的长度成比例，即可求得．
【详解】（1）如图2中，连接交于，
四边形是正方形，， ，
， 垂直平分，，
，，
设金子塔的高度为，物体的长度与影子的长度成比例，
，，故答案为：100．
（2）如图，根据图1作出俯视图，连接，,过点作交的延长线于,
，，
，四边形是正方形，，
，，
，，
，．乙金字塔的高度为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，俯视图，物长与影长成正比等知识，正确的添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
26．（2021·山东青岛·九年级期末）小明是魔方受好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n）．
问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 个小立方体组成．
探究二：如图6，该几何体有4个小立方休组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 个长方体．
探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 个长方体．
探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 个长方体．
探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种枧图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 ．
【答案】探究一：6，20；探究二：18；探究三：；
探究四：；探究五：72，164
【分析】探究一：先输出图4的长方体个数，然后得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体，由此求解即可；探究二：由探究一可知图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体，
探究三：该几何体共有个a×b×c小立方体组成，该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段，由此求解即可；探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体；探究五：拿走前后的三视图需要一样，只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可如图所示求解即可；如图所示表格外面的数字表示的是此处露在外面的小正形有多少个面，由于处在里面的每个小正方体（个数为1）比处在边缘的小正方体多相邻一个小正方体，因此处在中间的会比处在边缘的少一个1个面，同理处在里面的（有5个小正方体的）比处在边缘的少2个，由此求解即可．
【详解】解：探究一：由题意得图4一共有：1+2+3=6个长方体，
∵有1个小正方体组成的几何体有个长方体，有2个小正方体组成的几何体有个长方体，有3个小正方体组成的几何体有个长方体．．．．．．
∴可以得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体，
∴，即，解得或（舍去），故答案为：6，20；
探究二：图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，
∴那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，
图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，
∴图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体，故答案为：18；
探究三：∵该几何体共有个a×b×c小立方体组成，
∴该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段，
∴图1中一共包含个长方体，
故答案为：；
探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体；探究五：∵拿走前后的三视图需要一样，
∴只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可， 如图小方格内的数字表示此处一共有多少个小正方体，此时一共有48个小正方体，即为所求，∴一共最多可以拿走6×5×4-48=72个小正方体，
5 1 1 1 1 1
1 5 1 1 1 1
1 1 5 5 5 1
1 1 1 1 1 5
如图所示，表格外面的数字表示的是此处露在外面的小正形有多少个面，
由于处在里面的每个小正方体（个数为1）比处在边缘的小正方体多相邻一个小正方体，因此处在中间的会比处在边缘的少一个1个面，同理处在里面的（有5个小正方体的）比处在边缘的少2个，
∴几何体的表面积=20+20+（20-2）×4+3×12+4×2+（3-1）×4=164．
【点睛】本题主要考查了图形类的规律，几何体的表面积等等，解题的关键在于能够准确读懂题意．