2023-2024学年浙教版八年级数学下册-四边形中的将军饮马模型
“将军饮马”问题是一个经典的数学问题，它涉及到了几何学中的最短路径问题。这个问题的背景是：古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从A地出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传。
“将军饮马”模型问题是我们解决最值问题最基本的模型。这个问题可以通过轴对称来处理最短距离问题，在此轴对称是工具，最短距离是题中的题眼，通过轴对称“化折为直”，再利用“两点之间线段最短”来达到问题的解决。
“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中出现，而且大多以压轴题的形式出现。
模型一：将军饮马模型
将军饮马模型概念：“将军饮马”问题是指动点在直线上运动，线段和差的一类最值问题。
解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折对称。
解题策略：对称、翻折→化同为异；化异为同；化折为直。
解题思路：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
口诀：同侧两点做对称，异侧两点直接连，
若求线段差最大，处理方法刚好反，
若用一句来总结，何必两侧差同边。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】两点一线之点A、B在直线异侧：
（1）如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？
【模型解析】解：连接AB，AB与的交点即为点P，如图所示：
法一：由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小，即为AB的长度.
法二：假设点P不在AB与l的交点上，此时由三角形三边关系可得，
而当A、P、B三点共线时，PA＋PB＝AB，
∴当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小.
【模型解读】两点一线之点A、B再直线同侧:
（2）如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？
【模型解析】解：【分析】和上题相比，这个问题就难在PA＋PB不是一条线段，而是一段折线段，由“两点之间线段最短”和“点到直线间，垂线段最短”可以将这个问题中的折线段转化为直线段.
构图：作点A关于的对称点A’，连接A’B，A’B与直线的交点即为点P，如图所示：
∵点A与A’始终关于直线l对称，
∴PA＋PB的长度可转化为PA’＋PB的长度，
由1中的结论可得当A’、P、B三点共线时，PA’＋PB的值最小，即为A’B的长度.
【最值原理】两点之间线段最短。
模型2. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】一定两动之两个点都在直线上：
（3）如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小？
【模型解析】构图：分别作点P关于OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’，交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小，P’P’’即为△PCD的周长最小值，如图所示：
【模型解读】一定两动之一个点在直线上，一个点在直线外：
（4）如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PD＋CD的值最小？
【模型解析】构图：作点P关于OB的对称点P’，过点P’作P’C⊥OA交OB于点D，交OA于点C，此时PD＋CD的值最小，P’C即为PD＋CD的值最小.
【模型解读】两定两动之两个点都在直线内侧：
（5）如图，点P在∠AOB的内部，怎样在OA、OB上分别取点C、D，使得△PCD的周长最小？
【模型解析】构图：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P’、Q’，连接P’Q’分别交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小值为PQ＋P’Q’，如图所示：
【模型解读】两定两动之台球两次碰壁模型
（6）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
【模型解析】构图：分别作点A、B关于n、m的对称点A’、B’，连接A’B’分别交n、m于点D、E，此时四边形ADBE的周长最小值为AB＋A’B’，如图所示：
【最值原理】两点之间线段最短。
模型3.求两条线段差最大值
【模型解读】两点一线之点A、B在直线m同侧：
（7）如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？
【模型解析】解：连接AB并延长，交直线l的交点即为点P；
证明如下：如图，P'为l上异于P的一点，连接P'A、P'B，
在△ABP'中，由三角形的三边关系得：|P'A﹣P'B|＜AB，
∵PA﹣PB＝AB，
∴|P'A﹣P'B|＜|PA＝PB|，
∴当A、B、P三点共线时，|PA﹣PB|的值最大．
【模型解读】两点一线之点A、B在直线m异侧：
（8）如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？
【模型解析】构图：作点B关于直线的对称点B’，连接AB’并延长与的交点即为点P，如图所示：
【最值原理】在三角形中两边之差小于第三边.
【模型解读】两点一线之点A、B在直线m同侧：
（9）如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得的值最小？
【模型解析】构图：连接AB，作线段AB的垂直平分线与直线 的交点即为点P，如图所示：
【最值原理】线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等.
【经典例题】
问题提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE＝1；BF＝2．（1）如图①，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为 ；
（2）如图②，P、M是AB边上两动点，且PM＝2，现要求计算出EP、PM、MF和的最小值．九年级一班某兴趣小组通过讨论得出一个解决方法：在DA的延长线上取一点E'，使AE'＝AE，再过点E'作AB的平行线E'C，在E'C上E”的下方取点M，使E'M'＝2，连接M'F，则与AB边的交点即为M，再在边AB上点M的上方取P点，且PM＝2，此时EP+PM+MF的值最小．但他们不确定此方法是否可行，便去请教数学田老师，田老师高兴地说：“你们的做法是有道理的”．现在请你根据叙述作出草图并计算出EP+PM+MF的最小值；
问题解决：（3）聪聪的爸爸是供电公司的线路设计师，公司准备架设一条经过农田区的输电线路，为M、N两个村同时输电．如图所示，农田区两侧AB与CD平行，且农田区宽为0.5千米，M村到AB的距离为2千米，N村到CD的距离为1千米，M、N所在的直线与AB所夹锐角恰好为45°，根据架线要求，在农田区内的线路要与AB垂直．请你帮助聪聪的爸爸设计出最短的线路图，并计算出最短线路的长度．（要求：写出计算过程，结果保留根号）
【答案】（1）；（2）EP+PM+MF的最小值是7；（3）km
【分析】（1）利用轴对称方法求最短路线，作点关于直线的对称点或作点关于直线的对称点，连接交于，则即为最小值；
（2）由于PM是定值，可以通过平移点的方式将问题转化为问题一，再通过对称求最短路线；
（3）由于农田的宽度一定，故可将M点延AB的垂直方向移动农田的宽度到，将问题转化为两点之间线段最短问题即可，作，并在上截取（农田的宽度），连接交于，
作于，连接，，则即为最短路线．
【详解】解：（1）如图①，延长至，使，连接，过作于，
矩形，，，
当，，三点共线时，最小，即最小；
由勾股定理得：，故答案为；
（2）如图②，延长至，使，在下方作，在上截取，连接交于，在上截取，连接，，
矩形，即，
，四边形是平行四边形，
，，三点共线，为最小值，即为最小值．
（3）如图③，过作于，过作于，作交于，交于，
在上截取，连接交于，作交于，连接，
，，
四边形是平行四边形，
由题意知，，，，，，
在△中，，
最短线路长度为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形和矩形的性质，轴对称性质，利用轴对称求最短路线等，解题关键是通过平移和轴对称的方法求最短路线，要学会将实际问题转化为数学问题．
模型二.将军遛马
图形特征：两定两动。
基本策略：同侧化异侧、折线化直线。
基本方法：N个动点N条河，N次对称跑不脱。
基本原理：两点之间线段最短
解题关键：根据结论抓点、线。
模型三.造桥选址
图形特征：两定两动。
基本策略：同侧化异侧、折线化直线。
基本方法：将一定点沿定长方向平移定长距离，再用将军饮马模型解决问题。
基本原理：两点之间线段最短
解题关键：根据结论抓点、线。
模型二：将军遛马模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】两定两动点A、B在直线m异侧：
（1）已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
【模型解析】 如图，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即
为P点，此时P、Q即为所求的点。如图所示：
【模型解读】两定两动点A、B在直线m同侧：
（2）已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
【模型解析】如图，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。如图所示：
【最值原理】两点之间线段最短。
模型三：将军过桥（造桥）模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】两定两动一座桥
已知，如图，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
【模型解析】考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图1）．问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图2）．如图所示：
图1 图2
【模型解读】两定两动两座桥
（4）已知，如图，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
【模型解析】考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'（如图5）．当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置（如图6）．如图所示：
图5 图6
【最值原理】两点之间线段最短。
【经典例题】
（1）如图①，在边长是1的网格中，点A、B、C、D都在格点上，在线段上找一点P，使得最短．（2）如图②，在正方形中，，E是中点，P是对角线AC上一动点，求的最小值．（3）如图③，在正方形中， ，E、F是对角线上的两个动点，且，则的最小值是 ．
【答案】（1）见解析；（2）的最小值为；（3）
【分析】（1）根据对称性质，作点C关于对称点，连接交于P，根据两点之间线段最短知点P，使得最短；
（2）如图②，连接交于P，连接，，根据正方形的性质、对称性质以及两点之间线段最短知的长为的最小值，根据勾股定理求得的长即可；
（3）在图3中，过D作，，连接，，，则的长是的最小
值，利用勾股定理求解、即可．
【详解】解：（1）如图，点P即为所求；
（2）如图②，连接交于P，连接，，
∵四边形是正方形，，∴点B和点D关于对称，，∴，
∴根据两点之间线段最短知的长为的最小值，∵E是中点，∴，
在中，，故的最小值为；
（3）在图3中，过D作，，则四边形是平行四边形，∴
连接，，，∵点B和点D关于对称，∴，
∴，当B、E、H共线时，取等号，则的长是的最小值，
∵，，∴，在中，，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称-最短距离问题、正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，解答的关键是学会利用轴对称性质解决最短距离问题，属于中考常考题型．
例1、如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．130°
【答案】C.
【分析】作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，此时△AMN的周长有最小值，由对称性求出∠BAM+∠FAN＝50°，则有∠MAN＝80°，即可求∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°．
【详解】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴AN＝NF，AM＝EM，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，
∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，
∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，
∵∠BAD＝130°，
∴∠E+∠F＝50°，
∴∠BAM+∠FAN＝50°，
∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，
∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，
故选：C．
【点睛】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键。
例2、已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为( )
A．2 B．1+3 C．3+ D．
【答案】A
【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN；根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此时AM+BN＝AB′．
【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN．
根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．
∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中，，
在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝千米；故选A．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
例3、如图，在平面直角坐标系中，线段所在直线的解析式为，是的中点，是上一动点，则的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作点B关于AC的对称点，连接，与AC的交点，即符和条件的P点，再求出，E的坐标，根据勾股定理求出的值，即为的最小值．
【详解】作点B关于AC的对称点，连接交于，
此时，的值最小，最小值为的长，
∵线段所在直线的解析式为，
∴，，
∴，，
是的中点，
∴，
∵是点关于的对称点，
∴，，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴的最小值是．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数求点的坐标和性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，掌握轴对称最短路径的确定方法是解题的关键．
例4、如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为 ．
【答案】10
【分析】要求的最小值，，不能直接求，可考虑通过作辅助线转化，的值，确定最小值为的长度，再由勾股定理计算即可．
【详解】解：如图所示，
∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线为对称轴的对称点，
∴连接，，则直线即为的垂直平分线，
∴ ，
∴，
连接交于点P，
∵点N为上的动点，
∴由三角形两边之和大于第三边，
知当点N运动到点P时，
，的最小值为的长度．
∵四边形为正方形，
∴，，
，，
即的最小值为10.
故答案为：10
【点睛】本考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
例5、如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为___160°______．
【答案】160°
【分析】要使周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作点A关于BC和CD的对称点，即可得到，进而求得，即可得到答案．
【详解】
作点A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，
则即为周长最小值
，
故答案为：160°．
【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，涉及平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
例6、如图，矩形ABCD中，AD＝4，∠CAB＝30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题解题的关键在于，作点A关于直线CD的对称点E，作EP⊥AC于点P，根据轴对称性质及点到直线的距离性质判断出EP的长度即为所求。
【详解】解：以CD为轴，将△ACD往上翻转180°，如图，
过点A作AE⊥A′C于E点，AE交CD于F点，
当Q与F点重合，P′与E点重合时，AQ+QP＝AF+EF＝AE最短（直线外一点到这条直线中，垂线段最短），
∵矩形ABCD中，AD＝4，∠CAB＝30°，
∴∠A′CD＝∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠A′CA＝60°，
又∵AC＝A′C，
∴△A′CA为等边三角形，且A′A＝2AD＝8，
AE＝8×＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质及锐角三角函数的综合应用。
例7、菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
菱形的边长为2，，
中，
PQ+QC的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是
解题的关键．
例8、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形，AD⊥AB，AD＝DC＝4．
（1）求证：BD垂直平分AC；
（2）求BE的长；
（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小值；PC+PF的最小值为 6 （直接写出结果）．
【答案】（1）证明过程见详解；（2）BE＝6；（3）PC+PF的最小值为6.
【分析】（1）先证明△ABD≌△CBD（SSS），再证明△ADE≌△CDE（SAS），即可求证；
（2）求出∠DAE＝∠ABE＝30°，利用直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半即可求解；
（3）连接AF交BD于点P，连接PC，PC+PF的最小值为AF，求出AF即可．
【详解】解：（1）∵AB＝BC，AD＝CD，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵AD＝EC，∠ADB＝∠CDB，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝ED，∠AED＝∠DEC＝90°，
∴BD垂直平分AC；
（2）∵DB⊥AC，
∴BE平分∠ABC，
∵∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DAE＝30°，
∵AD＝4，
∴BD＝8，DE＝2，
∴BE＝6；
（3）连接AF交BD于点P，连接PC，
∵BD是AC的垂直平分线，
∴A、C关于BD对称，
∴AP＝PC，
∴PC+PF＝AP+PF≥AF，
∴PC+PF的最小值为AF，
∵F是BC的中点，
∴AF⊥BC，
∵BE＝6，
∴AF＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，垂平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键。
例9、在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2
(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
【答案】（1）证明见详解；（2）4；（3）4.
【分析】（1）由“SAS”可证△ABP≌△QCE，可得AP=QE；
（2）要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度；
（3）要使四边形PQNM的周长最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，由面积和差关系可求解．
【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，BC=AD=8，
∵点E是CD的中点，点Q是BC的中点，
∴BQ=CQ=4，CE=2，
∴AB=CQ，
∵PQ=2，
∴BP=2，
∴BP=CE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP≌△QCE（SAS），
∴AP=QE；
（2）如图②，在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q
点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴∠CEQ=45°，
设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，
在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6-x=2，
解得x=4，
∴BP=4；
（3）如图③，作点P关于AD的对称点F，作点Q关于CD的对称点H，连接FH，交AD于M，交CD于N，连接PM，QN，此时四边形PQNM的周长最小，连接FP交AD于T，
∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，
∴PF=8，PH=8，
∴PF=PH，
又∵∠FPH=90°，
∴∠F=∠H=45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，
∴FT=TM=4，CN=CH=3，
∴四边形PQNM的面积=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称求最短距离，直角三角形的性质；通过构造平行四边形和轴对称找到点P和点Q位置是解题的关键．
例10、如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且ED＝OF，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是 。
【答案】
【分析】如图作AH∥BD，使得AH=EF=9，连接CH交BD于点E，则AE+AF的值最小，进而得出△AEF的周长的最小值即可。
【详解】解：∵菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，
∴AC＝6，AC⊥BD，BO＝DO，
∴AO＝AC＝3，
∴BD＝＝18，
∵ED＝OF，
∴EF＝OD＝9，
如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝9，连接CH交BD于E，当CHE三点贡共线时，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小．
∵AH＝EF，AH∥EF，
∴四边形FEHA是平行四边形，
∴FA＝EH，
∵EA＝EC，
∴AF+AE＝EH+CE＝CH，
∵菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AH∥DB，
∴AC⊥AH，
∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，CH＝＝3，
∴AE+AF的最小值3，∴△AEF的周长的最小值＝3+9
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型。
例11、李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、一次函数、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题．
“将军饮马”问题的探究与拓展
八年级三班李明
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐李颀《古从军行》，这句诗让我想到了有趣的“将军饮
马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？
【数学模型】如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小．
【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且．
【模型应用】
问题1．如图2，经测量得，两点到河边的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长．
问题2．如图3，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是 ．
问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．
（1）请在轴上确定一点，使的值最小，并求出点的坐标；
（2）请直接写出的最小值．
【模型迁移】
问题4．如图5，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值．
【答案】
问题1.“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米；
问题2.的最小值是
问题3.（1）点的坐标；（2）的最小值是
模型迁移.的最小值是．
【分析】问题1．根据轴对称的性质确定“将军饮马”的位置点，作交的延长线于点，根据矩形的性质分别求出、，根据勾股定理求出，得到，即可求解；
问题2．由于点与关于对称，所以连接，与的交点即为点．此时最小，而是直角的斜边，利用勾股定理即可得出结果；
问题3．（1）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求．此时，的值最小，可得出，利用待定系数法求出的解析式，即可得点的坐标；
（2）根据勾股定理即可求得的最小值；
【模型迁移】
问题4．过作，交于，连接，利用菱形的性质和勾股定理的知识解答即可．
【详解】解：问题1．延长至，连接交于点，
则点即为所求的“将军饮马”的位置，
作交的延长线于点，
则四边形为矩形，
米，米，
米，
由勾股定理得，（米，
则米，
“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米；
问题2．如图3，连接，设与交于点，
四边形是正方形，
点与关于对称，
，
最小．
即在与的交点上时，最小，为的长度．
四边形是正方形，，，
，，
在直角中，，，，
．
故答案为：；
问题3．（1）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求．此时，的值最小，
点．
，
设直线的解析式为，
点，点．
，解得：，
直线的解析式为，
当时，，解得：，
点的坐标；
（2）点，点，点，点的坐标．
的最小值；
【模型迁移】
问题4．如图5，过作，交于，连接，
此时线段最小，且，
四边形是菱形，
，，，
，
设，则，，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，即，
．
的最小值是．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查的是轴对称最短路径问题、正方形的性质、菱形的性质，掌握轴对称最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键．
例12、如图，在平行四边形ABCD中，，，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由得∠ADB＝90°，由勾股定理求出BD＝2，得到∠BAD＝∠ABD＝45°，延长BD至点
，使得 D＝BD＝2，连接E，则点P在E与AD的交点时，PE＋PB的值最小，给出证明，再过点E作EF⊥B于点F，由勾股定理求出EF的长，再求得F＝BD＋D－BE＝3，最后利用勾股定理得出答案．
【详解】解：∵
∴∠ADB＝90°
∵，
∴AB＝2
由勾股定理得
BD＝
∴AD＝BD＝2
∴∠BAD＝∠ABD＝45°
∵E是AB的中点，
∴BE＝AE＝AB＝
延长BD至点，使得 D＝BD＝2，连接E，
则点P在E与AD的交点时，PE＋PB的值最小，如下图，
理由如下：
∵ ’ ，D＝BD＝2，
∴ AD垂直平分B
∴AD上任意一点P,总有PB＝P，
由“两点之间，线段最短”可知，点P在E与AD的交点处时，
PE＋PB的值最小，最小值为E的长，此时过点E作EF⊥B于点F，如上图，
则∠EFB＝∠EF＝90°，
∵∠ABD＝45°
∴EF＝BF
∴EF2＋BF2＝BE2＝2EF2
∴EF＝BF＝＝1
∴F＝BD＋D－BE＝3
在Rt△EF中，由勾股定理得
E＝＝＝
即的最小值为
故选：C
【点睛】本题考查了最短路径问题、勾股定理、等腰直角三角形等知识点，掌握最短路径的确定方法、灵活应用勾股定理是解题的关键．
例13、如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为________
【答案】
【分析】作DMAC，使得DM=EF=1，连接BM交AC于F，由四边形DEFM是平行四边形，推出DE=FM，推出DE+BF=FM+FB=BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，由四边形ABCD是菱形，在Rt△BDM中，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，作DMAC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，
∵DM＝EF，DMEF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴DE＝FM，
∴DE+BF＝FM+FB＝BM，
根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°
∴AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝3，
∵BD⊥AC，DM∥AC，
∴BD⊥DM，
在Rt△BDM中，BM＝＝
∴DE+BF的最小值为．
故答案为．
【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考填空题中的压轴题．
练1、如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】连接AM、AC，AM交BD于P，此时PM+PC最小，连接CP，由菱形的性质可知C和A关于BD对称，AP=CP，由条件易证△ABC是等边三角形，根据三线合一可知AM⊥BC，再根据勾股定理可求AM的值，即可求解．
【详解】解：连接AM、AC，AM交BD于P，
此时PM+PC最小，连接CP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，AC⊥BD，
∴C和A关于BD对称，
∴AP=PC，
∵∠A=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，
∵M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
∴∠BAM=30°，
∴BM=1，
∴AM=，
∴PM+PC=AM=．
故选B．
【点睛】本题考查了将军饮马类型的求最小值问题，涉及菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确找到P的位置．
练2、如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10 B．10 C．5 D．5
【答案】A
【分析】由矩形的性质与线段的等量关系证明，，则，，如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，则四边形是矩形，，，则，，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求最小的周长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，，∴，，
在和中∵，∴，
∴，同理，∴，
如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，
∴四边形是矩形，∴，，
∵，，∴，，
在中，由勾股定理得，
∴四边形的周长，故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称等知识．解题的关键在于找出四边形周长最小时点E、F、G的位置关系．
练3、如图，五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小，则△AMN的周长的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．5
【答案】B.
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A点关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出最短路线，再利用勾股定理，求出即可。
【详解】解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交ED于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．
过点A′作EA延长线的垂线，垂足为H，
∵AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，
∴AA′＝2BA＝2，AA″＝2AE＝4，
则Rt△A′HA中，∵∠EAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，
∵A′H⊥HA，
∴∠AA′H＝30°，
∴AH＝AA′＝1，
∴A′H＝，
A″H＝1+4＝5，
∴A′A″＝＝2，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及勾股定理的应用，根据已知得出M，N的位置是解题关键。
练4、如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、MN、NA，则四边形AEMN周长的最小值为 。
【答案】6
【分析】延长AD至A′，使AD＝DA′，延长AB至E′，使BE＝BE′，连接A′E′，交BC于M，交DC于N，此时AN＝A′N，EM＝E′M，四边形AEMN周长＝AN+MN+ME+AE＝A′E′+AE，根据两点之间线段最短，A′E′+AE就是四边形AEMN周长的最小值；然后根据勾股定理即可求解。
【解答】解：延长AD至A′，使AD＝DA′，延长AB至E′，使BE＝BE′，连接A′E′，
交BC于M，交DC于N，此时AN＝A′N，EM＝E′M，四边形AEMN周长＝AN+MN+ME+AE＝A′E′+AE，根据两点之间线段最短，A′E′+AE就是四边形AEMN周长的最小值；
∵AD＝2，AE＝BE＝1，
∴A′D＝AD＝2，BE＝BE′＝1，
∴AE′＝3，AA′＝4，
∴A′E′＝＝5，
∴四边形AEMN周长的最小值为5+1＝6．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，同时也考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用等，作出M、N的点是解题的关键。
练5、如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】由可知为定长，在、间滑动，故由造桥选址模型进行平移，转化为两点间距离加上定长，再利用特殊角构造直角三角形，使用勾股定理求出两点间距离．
【详解】解：作交于点E，在取，连接，延长至点，使，连接，作于点，如下图：
，
，
为等边三角形，
，
，
，
四边形为平行四边形，
同理得四边形与四边形为平行四边形，
，，，
，
中，，，
中，，
，
即的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查平移类最短路径，为造桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题的关键是需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．
练6、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．动点P满足,则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值为 。
【答案】
【分析】首先由,得出动点P在与BC平行且与BC的距离是2的直线l上，作B点关于直线l的对称点E，连接CE，则CE的长就是所求的最短距离，然后在直角三角形BCE中，由勾股定理求得CE的值，即PB+PC的最小值。
【详解】解：设△PBC中BC边上的高是h．
∵S△PBC＝S矩形ABCD．
∴BC h＝AB BC，
∴h＝AB＝2，
∴动点P在与BC平行且与BC的距离是2的直线l上，如图，作B关于直线l的对称点E，连接CE，则CE的长就是所求的最短距离．
在Rt△BCE中，∵BC＝5，BE＝2+2＝4，
∴CE＝＝＝，
即PB+PC的最小值为
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质，得出动点P所在的位置是解题的关键。
练7、如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为 ．
【答案】2.
【分析】作的对称点，连接并延长交于点，根据三角形三边关系可得到，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答．
【详解】解：作的对称点，连接并延长交于点，
∴，
∴，
当在同一条直线上时，有最大值，
∵在菱形中，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴为的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为；
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，菱形的性质，中点的定义，三角形的三边关系，掌握等边三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．
练8、如图，正方形中，点是边上一定点，点、、分别是边、、上的动点，若，则四边形的周长最小时 ．
【答案】
【分析】如图，作点G关于的对称点，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，交于点，连接、，四边形的周长最小，求出此时即可．
【详解】解：如图，作点G关于的对称点，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，交于点，连接、，四边形的周长最小，
由对称的性质知，，
∴，当、、三点共线时值最小；
同理可得：，当、、、四点点共线时值最小；
∵，正方形是正方形；
∴，，
由对称的性质知，，，，，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用作轴对称图形解决最值问题是解题关键．
练9、在中，，点E在边上，连接．
(1)如图1，交于点G，，若平分，且，请求出四边形的面积；
(2)如图2，点F在对角线上，且，连接，过点F作于点H，连接，求证：；
(3)如图3，线段在线段上运动，点R在上，连接．若平分，，．求线段的和的最小值．
【答案】（1）；（2）证明见详解；（3）.
【分析】（1）由得到，根据角平分线求出，且，得到，利用30度角的性质得到．再求出，即可根据求出答案；
（2）过点A作于点A，交的延长线于点J．得，推出点A，B，F，H四点共圆，证得是等腰直角三角形，得到，进而证得，推出，由此得到结论即可．
（3）取的中点M，的中点N，连接，则，．证得四边形是平行四边形，得．在中，，得推出．证明，得到，由此得到的最小值为．过点C作于点S．利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：在中，，
∴．
∵平分，
∴，且，
∴
∵，
∴．
∵，
∴，，．
∴；
（2）证明：如图1，过点A作于点A，交的延长线于点J．
∵，
∴，
∴点A，B，F，H四点共圆，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵．
∴；
（3）解：如图2，取的中点M，的中点N，连接，则，．
由题意，得，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
在中，，
∴．
在中，．
∵点M为的中点，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴的最小值为．
如图2，过点C作于点S．
由（1），得，
∴，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，综合掌握各图形的判定和性质是解题的关键．
练10、如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．
(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；②连接，求周长的最小值；③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；；②12,；③，见解析
【分析】（1）根据矩形的性质得到，再结合P是的中点证明；
（2）①设，在中，表示出三角形的其他两边，再由勾股定理列方程计算即可；
②当点恰好位于对角线上时，最小，利用勾股定理计算即可；
③过点作，交于点M，证明，再由即可得到．
【详解】(1)解：如图9-1，在矩形中，，
即，∴．
∵点P是的中点，∴．∴．
(2)①证明：如图9-2，在矩形中，，
∴．由折叠可知，∴．∴．
在矩形中，，∵点P是的中点，∴．
由折叠可知，．
设，则．∴．在中，由勾股定理得，
∴，∴，即．
②解：如图9-3，由折叠可知，．
∴．
由两点之间线段最短可知，当点恰好位于对角线上时，最小．
连接，在中，，∴，
∴，∴．
③解：与的数量关系是．
理由是：如图9-4，由折叠可知．
过点作，交于点M，∵，∴，
∴．∴，∴点H是中点．
∵，即，∴．
∵，∴．∴．∴．
∵点G为中点，点H是中点，∴．
∴．∴．∴．
【点睛】此题考查了矩形的性质、折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，根据等腰三角形的性质证明．
练11、如图，在矩形中，，，点、、分别在边、、上运动，且线段始终经过矩形的对称中心，则周长的最小值为 ．
【答案】.
【分析】、、三个点均为动点，直接用将军饮马模型行不通，考虑到对称中心是的中点，又是定点，所以取的中点，先求周长的一半的最值．连接的目的是使
，这样又出现一个定点，后面分别用将军饮马和垂线段最短来解决．
【详解】解：取的中点，连接，，，作，垂足为，则，
线段始终经过矩形的对称中心，
是的中点，
，，
，
周长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形周长最小值问题，难度大，、、三个点均为动点，无从下手，关键是出现定点，所以找到，两个定点，分别利用将军饮马和垂线段最短解决．
练12、如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．
【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，
∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，
∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴，即的最小值为．故答案为：
【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．
练13、【问题提出】
（1）如图①，某牧马人要从A地前往B地，途中要到旁边一条笔直的河边l喂马喝一次水，经测量A点到河边的距离AC为300米，B点到河边的距离BD为900米，且点C、D间距离为900米，请计算该牧马人的最短路径长；
【问题探究】
（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC的中垂线分别交AB，AC的边于E，F，△ABC的面积为24，若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，请求出△CDM周长的最小值；
【问题解决】
（3）如图③所示，某工厂生产车间的平面示意图为四边形ABCD，∠C＝∠D＝90°，AD＝70m，CD＝60m，BC＝110m，在AB的中点处有一个出货口M，在BC上有一个质检口N，点D为货物包装口．为了使得该生产车间出货——质检——包装过程达到最高效率，现要求从出货口M到质检口N的距离MN与质检口到包装口D的距离ND之和最短（即MN+ND最短）．请根据要求计算出MN+ND的最小值为多少？
【答案】（1）牧马人的最短路径长为1500米；（2）△CDM的周长的最小值为11；（3）MN+ND的最小值为m．
【分析】（1）如图①中，作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于点P，连接PA，此时PA+PB的值最小，最小值为线段BA′的长；（2）如图②中，连接AD，AM，利用三角形的面积公式求出AD，再根据MD+MC＝AM+MD≥AD，可得结论；（3）如图③中，延长DC到R，使得CR＝DC，连接MR，过点M作MQ⊥CD于点Q，利用勾股定理求出MR，再根据MN+ND＝MN+NR≥MR，可得结论。
【详解】解：（1）如图①中，作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于点P，连接PA，此时PA+PB的值最小，最小值为线段BA′的长．
过点B作BT⊥AA′交A′A的延长线于点T．
在Rt△A′BT中，BT＝CD＝900米．AT＝1200米，
∴BA′＝＝＝1500（米），
∴该牧马人的最短路径长为1500米；
（2）如图②中，连接AD，AM．
∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝3，
∵S△ABC＝×BC×AD＝24，BC＝6，
∴AD＝8，
∵EF垂直平分线段AC，
∴MA＝MC，
∴MD+MC＝AM+MD≥AD＝8，
∴MD+MC的最小值为8，
∴△CDM的周长的最小值为11；
（3）如图③中，延长DC到R，使得CR＝DC，连接MR，过点M作MQ⊥CD于点Q．
∵BC⊥DR，CD＝CR，
∴ND＝NR，
∴MN+ND＝MN+NR≥MR，
∵AM＝BM，AD∥MQ∥BC，
∴DQ＝CQ＝30m，
∴MQ＝（AD+BC）＝90（m），
∴MR＝＝＝（m），
∴MN+DN≥，
∴MN+ND的最小值为m．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了轴对称最短问题，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型。
练14、如图①，在菱形ABCD中，BD为对角线，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点F，其中2BE＝BC，DF＝．
（1）求EF的长；
（2）如图②，点G为CD上一点，过点G作GH⊥AD于点H，交BD于点M，在AE上取点N，使AN＝2HM，连接BN，CM，求证：BN＝CM；
（3）如图③，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，连接A'C，A'D，B'C，求A'C+A'D的最小值．
【答案】（1）EF的长是；（2）证明见详解；（3）A′C+A′D的最小值为．
【分析】（1）连接AC，由四边形ABCD是菱形得AB＝CB＝AD＝CD，AC⊥BD，因为AE⊥BC，BE＝CE＝BC，所以AB＝AC，可证明△ABC和△ADC都是等边三角形，则有∠EBF=∠ADF=30°，即可求出菱形的边长为1，从而求解EF的长度；（2）由∠DHM=90°，∠HDM=30°得到DM=2HM，即可证明AN=DM，再证明△ABN≌△DCM（SAS），则BN＝CM；（3）连接AC交BD于点O，作直线AA′，由平移得AA′∥BD；作点D关于AA′的对称点G，连接CG交AA′于点H、交AD于点L，连接DG交AA′于点R，连接DH，因为A′G＝A′D，所以A′C+A′D＝A′C+A′G，因为A′C+A′G≥CG，所以当点A′与点H重合时，A′C+A′G＝CG时，此时A′C+A′G的值最小，求出CG的长即可。
【详解】（1）解：如图①，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BEF＝90°，
∵AE⊥BC，2BE＝BC，DF＝，
∴BE＝CE＝BC，
∴AB＝AC＝CB＝AD＝CD，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAC＝60°，
∴∠EBF＝∠ABC＝30°，∠ADF＝∠ADC＝30°，
∴BC＝AD＝DF cos30°＝×＝1，
∴BE＝×1＝，
∴EF＝BE tan30°＝×＝，
∴EF的长是．
（2）证明：如图②，∵GH⊥AD，∠HDM＝30°，
∴∠DHM＝90°，
∴DM＝2HM，
∵AN＝2HM，
∴AN＝DM，
∵∠BAN＝∠BAC＝30°，∠CDM＝∠ADC＝30°，
∴∠BAN＝∠CDM，
∴△ABN≌△DCM（SAS），
∴BN＝CM．
（3）如图③，连接AC交BD于点O，作直线AA′，由平移得AA′∥BD；
作点D关于AA′的对称点G，连接CG交AA′于点H、交AD于点L，连接DG交AA′于点R，连接DH，
∵AA′垂直平分DG，
∴∠ARD＝90°，
∴∠OAR＝∠AOB＝∠AOD＝90°，
∴四边形AODR是矩形，
∴DR＝OA，
∵DG＝2DR，DC＝AC＝2OA，
∴DG＝DC＝1，
∵∠LDG＝∠LDC＝∠DAC＝60°，
∴DL⊥CG，
∴CL＝GL，∠DLC＝90°，
∴CL＝CD sin60°＝1×＝，
∴CG＝2CL＝2×＝，
∵A′G＝A′D，
∴A′C+A′D＝A′C+A′G，
∵A′C+A′G≥CG，
∴当点A′与点H重合时，A′C+A′G＝CG＝，此时A′C+A′G的值最小，
∴A′C+A′D的最小值为．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、平移的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，两点之间线段最短等知识，此题的综合性较强，难度较大，属于考试压轴题。
练14、如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________．
【答案】6
【分析】作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；然后求出和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；
∵AC是矩形的对角线，∴AB=CD=4，∠ABC=90°，
在直角△ABC中，，，
∴，
∴，
由对称的性质，得，，∴，∴
∵，，∴△BEF是等边三角形，
∴，∴是直角三角形，
∴，∴的最小值为6；故答案为：6．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三边关系，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得有最小值．
练15、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且EF＝4，点M是
EF的中点，点Q是AB的中点，连接PQ、PM，则PQ+PM的最小值为（ ）
A．10 B． C．8 D．
【答案】C
【分析】延长QA得到点N，使QA=NA，连接MN，可得，进而求得，当M、P、N再同一直线上时，最小，即最小，根据题意，点M的轨迹是以点B为圆心，以为半径的圆弧上，圆外一点N到圆上一点M距离的最小值，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和勾股定理进行求解即可．
【详解】延长QA得到点N，使QA=NA，连接MN，
，，
当M、P、N再同一直线上时，最小，即最小，
根据题意，点M的轨迹是以点C为圆心，以为半径的圆弧上，圆外一点N到圆上一点M距离的最小值，点M是EF的中点，EF＝4，，
在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点Q是AB的中点，
，，，
，即PQ+PM的最小值为8，故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
练16、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，线段PQ在斜边AC上运动，且PQ=2．连接BP，BQ．则△BPQ周长的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】B
【分析】如图，过点D作DE∥AC，且点E在AD上方，DE=2，连接BE交AC于点P，取PQ=2，连接BE，DQ，BD．B，P，E三点共线，此时△BPQ的周长=BP+BQ+PQ=BE+2最小
【详解】解：如图，过点A作AD∥BC，过点C作CD∥AB，两直线相交于点点D；
过点D作DE∥AC，且点E在AD上方，DE=2，连接BE交AC于点P，取PQ=2，连接DQ，BD，
∴四边形ABCD为正方形，点Q是对角线AC上的一点，AB=6，
∴BQ=QD，BD⊥AC，BD=AC=6，∵DE∥PQ，DE=PQ，
∵四边形PQDE为平行四边形，∴PE=DQ=BQ，
∵B，P，E三点共线，∴此时△BPQ的周长=BP+BQ+PQ=BE+2最小．
∵BD⊥AC，∴BD⊥DE，即∠BDE=90°，
∴BE==2，∴△BPQ周长的最小值为2+2，故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练运用轴对称的性质和平行四边形、正方形的性质是解题的关键．2023-2024学年浙教版八年级数学下册-四边形中的将军饮马模型
“将军饮马”问题是一个经典的数学问题，它涉及到了几何学中的最短路径问题。这个问题的背景是：古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从A地出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传。
“将军饮马”模型问题是我们解决最值问题最基本的模型。这个问题可以通过轴对称来处理最短距离问题，在此轴对称是工具，最短距离是题中的题眼，通过轴对称“化折为直”，再利用“两点之间线段最短”来达到问题的解决。
“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中出现，而且大多以压轴题的形式出现。
模型一：将军饮马模型
将军饮马模型概念：“将军饮马”问题是指动点在直线上运动，线段和差的一类最值问题。
解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折对称。
解题策略：对称、翻折→化同为异；化异为同；化折为直。
解题思路：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
口诀：同侧两点做对称，异侧两点直接连，
若求线段差最大，处理方法刚好反，
若用一句来总结，何必两侧差同边。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】两点一线之点A、B在直线异侧：
（1）如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？
【模型解析】解：连接AB，AB与的交点即为点P，如图所示：
法一：由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小，即为AB的长度.
法二：假设点P不在AB与l的交点上，此时由三角形三边关系可得，
而当A、P、B三点共线时，PA＋PB＝AB，
∴当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小.
【模型解读】两点一线之点A、B再直线同侧:
（2）如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？
【模型解析】解：【分析】和上题相比，这个问题就难在PA＋PB不是一条线段，而是一段折线段，由“两点之间线段最短”和“点到直线间，垂线段最短”可以将这个问题中的折线段转化为直线段.
构图：作点A关于的对称点A’，连接A’B，A’B与直线的交点即为点P，如图所示：
∵点A与A’始终关于直线l对称，
∴PA＋PB的长度可转化为PA’＋PB的长度，
由1中的结论可得当A’、P、B三点共线时，PA’＋PB的值最小，即为A’B的长度.
【最值原理】两点之间线段最短。
模型2. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】一定两动之两个点都在直线上：
（3）如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小？
【模型解析】构图：分别作点P关于OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’，交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小，P’P’’即为△PCD的周长最小值，如图所示：
【模型解读】一定两动之一个点在直线上，一个点在直线外：
（4）如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PD＋CD的值最小？
【模型解析】构图：作点P关于OB的对称点P’，过点P’作P’C⊥OA交OB于点D，交OA于点C，此时PD＋CD的值最小，P’C即为PD＋CD的值最小.
【模型解读】两定两动之两个点都在直线内侧：
（5）如图，点P在∠AOB的内部，怎样在OA、OB上分别取点C、D，使得△PCD的周长最小？
【模型解析】构图：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P’、Q’，连接P’Q’分别交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小值为PQ＋P’Q’，如图所示：
【模型解读】两定两动之台球两次碰壁模型
（6）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
【模型解析】构图：分别作点A、B关于n、m的对称点A’、B’，连接A’B’分别交n、m于点D、E，此时四边形ADBE的周长最小值为AB＋A’B’，如图所示：
【最值原理】两点之间线段最短。
模型3.求两条线段差最大值
【模型解读】两点一线之点A、B在直线m同侧：
（7）如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？
【模型解析】解：连接AB并延长，交直线l的交点即为点P；
证明如下：如图，P'为l上异于P的一点，连接P'A、P'B，
在△ABP'中，由三角形的三边关系得：|P'A﹣P'B|＜AB，
∵PA﹣PB＝AB，
∴|P'A﹣P'B|＜|PA＝PB|，
∴当A、B、P三点共线时，|PA﹣PB|的值最大．
【模型解读】两点一线之点A、B在直线m异侧：
（8）如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？
【模型解析】构图：作点B关于直线的对称点B’，连接AB’并延长与的交点即为点P，如图所示：
【最值原理】在三角形中两边之差小于第三边.
【模型解读】两点一线之点A、B在直线m同侧：
（9）如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得的值最小？
【模型解析】构图：连接AB，作线段AB的垂直平分线与直线 的交点即为点P，如图所示：
【最值原理】线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等.
【经典例题】
问题提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE＝1；BF＝2．（1）如图①，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为 ；
（2）如图②，P、M是AB边上两动点，且PM＝2，现要求计算出EP、PM、MF和的最小值．九年级一班某兴趣小组通过讨论得出一个解决方法：在DA的延长线上取一点E'，使AE'＝AE，再过点E'作AB的平行线E'C，在E'C上E”的下方取点M，使E'M'＝2，连接M'F，则与AB边的交点即为M，再在边AB上点M的上方取P点，且PM＝2，此时EP+PM+MF的值最小．但他们不确定此方法是否可行，便去请教数学田老师，田老师高兴地说：“你们的做法是有道理的”．现在请你根据叙述作出草图并计算出EP+PM+MF的最小值；
问题解决：（3）聪聪的爸爸是供电公司的线路设计师，公司准备架设一条经过农田区的输电线路，为M、N两个村同时输电．如图所示，农田区两侧AB与CD平行，且农田区宽为0.5千米，M村到AB的距离为2千米，N村到CD的距离为1千米，M、N所在的直线与AB所夹锐角恰好为45°，根据架线要求，在农田区内的线路要与AB垂直．请你帮助聪聪的爸爸设计出最短的线路图，并计算出最短线路的长度．（要求：写出计算过程，结果保留根号）
模型二.将军遛马
图形特征：两定两动。
基本策略：同侧化异侧、折线化直线。
基本方法：N个动点N条河，N次对称跑不脱。
基本原理：两点之间线段最短
解题关键：根据结论抓点、线。
模型三.造桥选址
图形特征：两定两动。
基本策略：同侧化异侧、折线化直线。
基本方法：将一定点沿定长方向平移定长距离，再用将军饮马模型解决问题。
基本原理：两点之间线段最短
解题关键：根据结论抓点、线。
模型二：将军遛马模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】两定两动点A、B在直线m异侧：
（1）已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
【模型解析】 如图，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即
为P点，此时P、Q即为所求的点。如图所示：
【模型解读】两定两动点A、B在直线m同侧：
（2）已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
【模型解析】如图，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。如图所示：
【最值原理】两点之间线段最短。
模型三：将军过桥（造桥）模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】两定两动一座桥
已知，如图，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
【模型解析】考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图1）．问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图2）．如图所示：
图1 图2
【模型解读】两定两动两座桥
（4）已知，如图，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
【模型解析】考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'（如图5）．当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置（如图6）．如图所示：
图5 图6
【最值原理】两点之间线段最短。
【经典例题】
（1）如图①，在边长是1的网格中，点A、B、C、D都在格点上，在线段上找一点P，使得最短．（2）如图②，在正方形中，，E是中点，P是对角线AC上一动点，求的最小值．（3）如图③，在正方形中， ，E、F是对角线上的两个动点，且，则的最小值是 ．
例1、如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．130°
例2、已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为( )
A．2 B．1+3 C．3+ D．
例3、如图，在平面直角坐标系中，线段所在直线的解析式为，是的中点，是上一动点，则的最小值是( )
A． B． C． D．
例4、如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上的一动点，则的最小值为 ．
例5、如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为_________．
例6、如图，矩形ABCD中，AD＝4，∠CAB＝30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是 ．
例7、菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为 ．
例8、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形，AD⊥AB，AD＝DC＝4．
（1）求证：BD垂直平分AC；
（2）求BE的长；
（3）若点F为BC的中点，请在BD上找出一点P，使PC+PF取得最小值；PC+PF的最小值为 （直接写出结果）．
例9、在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P、Q为BC边上的两个动点（点P位于点Q的左侧，P、Q均不与顶点重合），PQ＝2
(1)如图①，若点E为CD边上的中点，当Q移动到BC边上的中点时，求证：AP＝QE；
(2)如图②，若点E为CD边上的中点，在PQ的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求BP的长；
(3)如图③，若M、N分别为AD边和CD边上的两个动点（M、N均不与顶点重合），当BP＝3，且四边形PQNM的周长最小时，求此时四边形PQNM的面积．
例10、如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且ED＝OF，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是 。
例11、李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、一次函数、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题．
“将军饮马”问题的探究与拓展
八年级三班李明
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐李颀《古从军行》，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？
【数学模型】如图1，，是直线同旁的两个定点．在直线上确定一点，使的值最小．
【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且．
【模型应用】
问题1．如图2，经测量得，两点到河边的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长．
问题2．如图3，在正方形中，，点在边上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是 ．
问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．
（1）请在轴上确定一点，使的值最小，并求出点的坐标；
（2）请直接写出的最小值．
【模型迁移】
问题4．如图5，菱形中，对角线，相交于点，，．点和点分别为，上的动点，求的最小值．
例12、如图，在平行四边形ABCD中，，，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例13、如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为________
练1、如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
练2、如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10 B．10 C．5 D．5
练3、如图，五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小，则△AMN的周长的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．5
练4、如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、MN、NA，则四边形AEMN周长的最小值为 。
练5、如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是 ．
练6、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．动点P满足,则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值为 。
练7、如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为 ．
练8、如图，正方形中，点是边上一定点，点、、分别是边、、上的动点，若，则四边形的周长最小时 ．
练9、在中，，点E在边上，连接．
(1)如图1，交于点G，，若平分，且，请求出四边形的面积；
(2)如图2，点F在对角线上，且，连接，过点F作于点H，连接，求证：；
(3)如图3，线段在线段上运动，点R在上，连接．若平分，，．求线段的和的最小值．
练10、如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．
(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；②连接，求周长的最小值；③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由．
练11、如图，在矩形中，，，点、、分别在边、、上运动，且线段始终经过矩形的对称中心，则周长的最小值为 ．
练12、如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．
练13、【问题提出】
（1）如图①，某牧马人要从A地前往B地，途中要到旁边一条笔直的河边l喂马喝一次水，经测量A点到河边的距离AC为300米，B点到河边的距离BD为900米，且点C、D间距离为900米，请计算该牧马人的最短路径长；
【问题探究】
（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC的中垂线分别交AB，AC的边于E，F，△ABC的面积为24，若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，请求出△CDM周长的最小值；
【问题解决】
（3）如图③所示，某工厂生产车间的平面示意图为四边形ABCD，∠C＝∠D＝90°，AD＝70m，CD＝60m，BC＝110m，在AB的中点处有一个出货口M，在BC上有一个质检口N，点D为货物包装口．为了使得该生产车间出货——质检——包装过程达到最高效率，现要求从出货口M到质检口N的距离MN与质检口到包装口D的距离ND之和最短（即MN+ND最短）．请根据要求计算出MN+ND的最小值为多少？
练14、如图①，在菱形ABCD中，BD为对角线，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点F，其中2BE＝BC，DF＝．
（1）求EF的长；
（2）如图②，点G为CD上一点，过点G作GH⊥AD于点H，交BD于点M，在AE上取点N，使AN＝2HM，连接BN，CM，求证：BN＝CM；
（3）如图③，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，连接A'C，A'D，B'C，求A'C+A'D的最小值．
练14、如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________．
练15、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且EF＝4，点M是EF的中点，点Q是AB的中点，连接PQ、PM，则PQ+PM的最小值为（ ）
A．10 B． C．8 D．
练16、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，线段PQ在斜边AC上运动，且PQ=2．连接BP，BQ．则△BPQ周长的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．
