浙教版九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系单元复习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 浙教版九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系单元复习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 519.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-11 10:29:32 | ||
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文档简介
浙教版九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系单元复习题
一、单选题
1．如图，⊙O的直径BC=12cm，AC是⊙O的切线，切点为C，AC=BC，AB与⊙O交于点D，则 的长是（ ）
A．πcm B．3πcm C．4πcm D．5πcm
2．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（ ）
A．1.5 B．2 C． D．
3．如图，在中，半径为1，弦，以为边在内作等边，将绕点A逆时针旋转，当边第一次与相切时，旋转角为（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
5．如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B，C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是（ ）
A．25°或155° B．50°或155° C．25°或130° D．50°或130°
7．如图，点I为 的内心， ， ， ，将 平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．6.5
8．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB，AC于点E，D，DF是半圆O的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2，则FG的长为（ ）
A．4 B．3 C．6 D．2
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．若AD＝10，BC＝5，则OB的长为（ ）
A．4 B． C． D．
10．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
二、填空题
11．如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则 ．
12．如图，AB为半圆O的直径，直线CE与半圆O相切于点C，点D是 的中点，CB=6，四边形ABCD的面积为 AC，则圆心O到直线CE的距离是 ．
13．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O切线EF分别交PA，PB于E，F，切点C在弧AB上，若PA的长为5，则△PEF的周长是 .
14．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线有公共点，则r的取值范围为 .
三、解答题
15．AB为⊙O直径，BC为⊙O切线，切点为B，CO平行于弦AD，作直线DC．
①求证：DC为⊙O切线；
②若AD OC=8，求⊙O半径r．
16．如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD.
(1)求证：BD平分∠ABH；
(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．
17． 如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连接.
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的半径.
18．如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD．
求证：CD为⊙O的切线．
19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线
（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧的长（结果保留π）
21．如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O外一点，AB＝AD，BD交⊙O于点C，AD交⊙O于点E，点P是AC的延长线上一点，连接PB、PD，且PD⊥AD
（1）判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）连接CE，若CE＝3，AE＝7，求⊙O的半径.
22．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC.
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝6，BC＝6 ，求优弧 的长.
23．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长和扇形DOE的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：连接OD，
∵AC是切线，
∴BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠COD=2∠B=90°，
∴ 弧CD的长= =3π（cm），
故答案为：B．
【分析】连接OD，由弧长公式可知，要求弧CD的长，需要知道圆心角∠COD的度数，由切线的性质可得∠ACB=90°，而AC=BC，则∠A=∠B=45°，则可得∠COD的度数。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示
∵PC切⊙O于D
∴∠ODP＝90°
∵⊙O的半径为1，PA＝AO，AB是⊙O的直径
∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1
∴由勾股定理得：PD＝
∵BC⊥AB，AB过O
∴BC切⊙O于B
∵PC切⊙O于D
∴CD＝BC
设CD＝CB＝x
在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2
即
解得：x＝
即BC＝
故答案为：D
【分析】连接OD，根据切线的性质求出∠ODP＝90°，根据勾股定理求出PD，证明BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，再根据勾股定理求出BC即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：当AC与⊙O相切时，连接CO并延长与AB交于点M，连接AO，
∵△ABC是正三角形，
∴CM⊥AB，
∵，
∴AM＝，
∵OA，
∴OM＝，
∴∠OAM＝45°，
∵∠OAC'＝90°，
∴∠BAC'＝135°，
∵∠C'AB'＝60°，
∴∠BAB'＝75°，
∴当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为75°；
故答案为：D．
【分析】连接CO并延长与AB交于点M，连接AO，根据切线的性质可得∠OAC'＝90°，再结合∠C'AB'＝60°，求出∠BAB'＝75°，即可得到当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为75°。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：连接，
，点O为AB中点．
CO为⊙C的半径，
是的切线，
⊙C 与AB的位置关系是相切
故答案为：B
【分析】连接CO，根据直线与圆的位置关系即可得出答案。
5．【答案】D
【解析】【解答】由勾股定理，得
OB= =13，
CB=OB﹣OC=13﹣5=8，
故答案为：D．
【分析】由切线的性质定理知，利用勾股定理求出BO，再减去半径OC即可.
6．【答案】A
【解析】【分析】当点D在优弧BC上时，如图，
连接OB，
∵直线AB与⊙O相切于B点，∴OB⊥BA，
∴∠OBA=90°，
∵∠A=40°，∴∠AOB=50°，
∴∠BDC=∠AOB=25°，
当点D在劣弧BC上时，即在D′点处，如图，
∵∠BDC+∠BD′C=180°，∴∠BD′C=180°﹣25°=155°，
∴∠BDC的度数为25°或155°，
故选A.
7．【答案】A
【解析】【解答】连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=6，
即图中阴影部分的周长为6，
故选择：A．
【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．
8．【答案】B
【解析】【解答】解 ：连接OD，
∵DF为圆O的切线，
∴OD⊥DF，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60 ，
∵OD=OC，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠CDO=∠A=60 ，∠ABC=∠DOC=60 ，
∴OD∥AB，
∴DF⊥AB，
在Rt△AFD中，∠ADF=30 ，AF=2，
∴AD=4，
连接BD，∵BC是圆的直径
∴BD⊥AC，
又∵△ABC为等边三角形，
∴AC=2AD=8，
∴FB=AB AF=8 2=6，
在Rt△BFG中，∠BFG=30 ，
∴BG=3，
则根据勾股定理得：FG=
故选：B
【分析】连接OD，由DF为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于DF，根据三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三条边相等，三内角相等，都为60°，由OD=OC，得到三角形OCD为等边三角形，进而得到OD平行AB，在直角三角形ADF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，利用圆周角定理及等边三角形的三线合一得出AC=2AD=8，即为AB的长，由AB-AF求出FB的长，在直角三角形FBG中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长，再利用勾股定理即可求出FG的长．
9．【答案】C
【解析】【解答】解：连接OE、OF
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴∠OEC=∠OFC=∠C=90°，CE=CF，BE=BD，AF=AD=10
∴四边形OFCE是正方形，
设OE=CE=CF=r
∴BE=BD=BC－CE=5－r
∴AB=AD＋BD=15－r，AC=AF＋CF=10＋r
根据勾股定理可得：AB2=AC2＋CB2
∴（15－r）2=（10＋r）2＋52
解得：r=2
∴OE=2，BE=5－2=3
根据勾股定理可得：
故答案为：C.
【分析】连接OE、OF，根据切线的性质和切线长定理可得：∠OEC=∠OFC=∠C=90°，CE=CF，BE=BD，AF=AD=10，从而证出：四边形OFCE是正方形，可设OE=CE=CF=r，用r表示出AB和AC的长，然后根据勾股定理列出方程即可求出r，再根据勾股定理即可求出OB.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
即∠OCE＝90°，
∵∠COB＝2∠CDB＝50°，
∴∠E＝90°﹣∠COB＝40°．
故答案为：A．
【分析】连接OC，利用切线的性质，可得∠OCE＝90°，根据圆周角定理，可得∠COB＝2∠CDB＝50°，由直角三角形两锐角互余，可求出∠E的度数.
11．【答案】34
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC，
∴∠AOC=2∠B=56°，
∵PA是圆O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠P=90°-∠AOP=34°.
故答案为：34.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOC=2∠B=56°，由切线的性质得∠PAO=90°，进而根据直角三角形的两锐角互余可算出∠P的度数.
12．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OD交AC于H，连接OC．
∵ ，∴OD⊥AC，∴AH=HC．
∵OA=OB，∴OH= BC=3．
∵S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC，∴AC DH+ AC BC=3 AC，∴DH+6=6 ，
∴DH=6 ﹣6，∴OD=DH+OH=6 ﹣3．
∵EC是切线，∴OC⊥EC，∴圆心O到直线CE的距离为6 ﹣3．
故答案为：6 ﹣3．
【分析】接OD交AC于H，连接OC由垂径定理可得AH=HC，根据三角形中位线定理可得OH= BC，由S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC求出DH长，易知OD长，由切线的性质可得圆心O到直线CE的距离为OC长.
13．【答案】10
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，
∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝5，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝10.
故答案为：10.
【分析】根据切线长定理得出AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB，则可把△PEF的周长转化为PA+PB，即可解答.
14．【答案】r≥
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵在Rt△ABC中，AC=6，BC=8
∴
∵
∴6×8=10CD
解之：
∴当r=时，AB与圆C相切，当r＞时，AB与圆C相交，
∴ 以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线有公共点，则r的取值范围为r≥.
故答案为：r≥.
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，利用勾股定理可求出AB的长，再利用直角三角形的菱格面积公式求出CD的长，然后根据直线与圆的位置关系可得答案。
15．【答案】①证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵AD∥OC，
∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD，
∴∠BOC=∠COD．
∵在△OBC与△ODC中，
，
∴△OBC≌△ODC（SAS），
∴∠OBC=∠ODC，
又∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴DC是⊙O的切线；
②解：连接BD．
∵在△ADB与△ODC中， ，
∴△ADB∽△ODC，
∴AD：OD=AB：OC，
∴AD OC=OD AB=r 2r=2r2，即2r2=8，
故r=2．
【解析】【分析】①连接OD，要证明DC是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可．根据题意，可证△OCD≌△OCB，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可证DC是⊙O的切线；②连接BD，OD．先根据两角对应相等的两三角形相似证明△ADB∽△ODC，再根据相似三角形对应边成比例即可得到r的值．
16．【答案】(1)证明：连接OD，
∵EF是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
又∵BH⊥EF，
∴OD∥BH，
∴∠ODB＝∠DBH
∵OD＝OB
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠DBH，
∴BD平分∠ABH.
(2)解：过点O作OG⊥BC于点G，则BG＝CG＝4，
在Rt△OBG中，OG＝＝＝2.
【解析】【分析】考查切线的性质。
17．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
是的切线，
，
为的中点，
，
，
，，
，
，
与相切；
（2）解：，，
，
由（1）可知，，
，
设，
，
，
，
解得，
故的半径为．
【解析】【分析】（1）连接，进而根据切线的性质得到，再根据题意得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而根据切线的判定即可求解；
（2）先根据题意求出EF，进而根据勾股定理求出AF，设，根据三角形的面积结合题意即可求出x.
18．【答案】解：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC=∠DBC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠DBC，∴OC∥BD，∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线
【解析】【分析】利用角平分线的定义及等边对等角，证出∠OCB=∠DBC，可得出OC∥BD，再由BD⊥CD，可得出OC⊥CD，然后根据切线的判定，可证得结论。
19．【答案】（1）解：如图，连接BD．∵∠BAD=90°，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．
∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．
∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．
∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵DE∥AC．∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF= AC．
∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD．
∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE， ，∴CD=4．在Rt△BCD中，BD=
同理：△CFD∽△BCD，∴ ，∴CF= ，∴AC=2AF= ．
【解析】【分析】（1）如图，连接BD．由∠BAD=90°，根据圆的内角四边形的对角互补得出∠BCD=90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠DEC+∠CDE=90°．又∠DEC=∠BAC，故∠BAC+∠CDE=90°．根据同弧所对的圆周角相等得∠BAC=∠BDC，∠BDC+∠CDE=90°，∠BDE=90°，即：BD⊥DE．故DE是⊙O的切线；
（2）根据二直线平行，同位角相等得出∠BFC=90°，根据垂径定理得出CB=AB=8，AF=CF=AC．根据同角的余角相等得出∠CDE=∠CBD．然后判断出△BCD∽△DCE，根据相似三角形对应边成比例得出，由比例式得出CD的长，在Rt△BCD中，由勾股定理算出BD的长，同理：△CFD∽△BCD根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式算出CF，从而得出答案。
20．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵∠EAC=∠B，
∴∠CAE+∠BAC=90°，
即 BA⊥AE．
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：连接CO，
∵AB=6，∴AO=3，∵∠D=60°，∴∠AOC=120°，
∴==2π．
【解析】【解答】（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，进而可得∠CBA+∠CAB=90°，由∠EAC=∠B可得∠CAE+∠BAC=90°，从而可得直线AE是⊙O的切线；
（2）连接CO，计算出AO长，再利用圆周角定理可得∠AOC的度数，然后利用弧长公式可得答案．
【分析】此题考查了圆的综合应用，涉及知识点有圆周角定理，切线的判定以及弧长公式.
21．【答案】（1）解：PB与⊙O相切，理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BD，
又AB＝AD，
∴AP是线段BD的垂直平分线，
∴PB＝PD，
在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP(SSS)，
∴∠ABP＝∠ADP＝90°，
∴PB与⊙O相切；
（2）解：如图，
∵△ABP≌△ADP，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴ ，
∴BC＝CE＝3，
∵AB＝AD，AC⊥BD，
∴BC＝CD＝3，
∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠DBA+∠CEA=180°，
∵∠DEC+∠CEA=180°，
∴∠DBA=∠DEC，
又∵∠CDE=∠ADB，
∴△DCE∽△DAB，
∴DC：DA=DE：DB，
∴DC DB＝DE DA，即3×6＝DE×(DE+7)，
解得，DE＝2，
∴DA＝2+7＝9，
∴AB＝AD＝9，
∴⊙O的半径为4.5.
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得PB=PD，通过证明△ABP与△ADP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABP=∠ADP=90°，再根据切线的判定定理即可得证；（2）根据全等三角形的性质得∠BAC=∠DAC，得到BC=CE=3，然后证明△DCE与△DAB相似，然后根据相似三角形的对应边成比可推导得出DC DB＝DE DA，代入相关数据即可求得答案.
22．【答案】（1）证明：连接OD交BC于H，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，
∴ ＝ ，
∴OD⊥BC，BH＝CH，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线
（2）解：连接BD、OB，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠BAD，
∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，
∴DB＝DE＝6，
∵BH＝ BC＝3 ，
在Rt△BDH中，sin∠BDH＝ ＝ ＝ ，
∴∠BDH＝60°，
而OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，
∴∠BOC＝120°，
∴优弧 的长＝ ＝8π.
【解析】【分析】（1）连接OD交BC于H，利用三角形的内心可证得∠BAD＝∠CAD，根据在同圆和等圆中相等的圆周角所对的弧相等，可证得弧BD=弧CD，利用垂径定理可知OD⊥BC，BH＝CH，再由DG⊥OD，可证得结论。
（2）连接BD，OB，利用三角形的内心，可证得∠ABE＝∠CBE，从而可以推出∠DEB＝∠DBE，利用等角对等边，可证得DB＝DE，由此可求出BH的长，再利用解直角三角形求出∠BDH的度数，据此可证得△OBD是等边三角形，利用等边三角形的性质，可以推出∠BOC＝120°，然后利用弧长公式可求解。
23．【答案】（1）证明：∵∠CBF=∠CFB，
∴CB=CF，
又∵AC=CF，
∴CB= AF，
∴△ABF是直角三角形，
∴∠ABF=90°
∴直线BF是⊙O的切线
（2）解：连接DO，EO，
∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，
∴∠AOD=60°，
又∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
又∵∠ABF=90°，AD=5，
∴AB=10，
∴BF=10 ；
扇形DOE的面积= = π．
【解析】【分析】（1）证明直线BF是⊙O的切线，只需证明∠ABF=90°；（2）连接DO，EO，根据题意证明△AOD是等边三角形，得到△ABC是等边三角形，根据勾股定理求出BF的长，根据扇形面积公式： 求出扇形DOE的面积．
1 / 1
一、单选题
1．如图，⊙O的直径BC=12cm，AC是⊙O的切线，切点为C，AC=BC，AB与⊙O交于点D，则 的长是（ ）
A．πcm B．3πcm C．4πcm D．5πcm
2．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（ ）
A．1.5 B．2 C． D．
3．如图，在中，半径为1，弦，以为边在内作等边，将绕点A逆时针旋转，当边第一次与相切时，旋转角为（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
5．如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B，C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是（ ）
A．25°或155° B．50°或155° C．25°或130° D．50°或130°
7．如图，点I为 的内心， ， ， ，将 平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．6.5
8．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB，AC于点E，D，DF是半圆O的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2，则FG的长为（ ）
A．4 B．3 C．6 D．2
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．若AD＝10，BC＝5，则OB的长为（ ）
A．4 B． C． D．
10．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E的度数为（ ）
A．40° B．50° C．55° D．60°
二、填空题
11．如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则 ．
12．如图，AB为半圆O的直径，直线CE与半圆O相切于点C，点D是 的中点，CB=6，四边形ABCD的面积为 AC，则圆心O到直线CE的距离是 ．
13．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O切线EF分别交PA，PB于E，F，切点C在弧AB上，若PA的长为5，则△PEF的周长是 .
14．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线有公共点，则r的取值范围为 .
三、解答题
15．AB为⊙O直径，BC为⊙O切线，切点为B，CO平行于弦AD，作直线DC．
①求证：DC为⊙O切线；
②若AD OC=8，求⊙O半径r．
16．如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD.
(1)求证：BD平分∠ABH；
(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．
17． 如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连接.
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的半径.
18．如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD．
求证：CD为⊙O的切线．
19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线
（2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧的长（结果保留π）
21．如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O外一点，AB＝AD，BD交⊙O于点C，AD交⊙O于点E，点P是AC的延长线上一点，连接PB、PD，且PD⊥AD
（1）判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）连接CE，若CE＝3，AE＝7，求⊙O的半径.
22．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC.
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝6，BC＝6 ，求优弧 的长.
23．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长和扇形DOE的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：连接OD，
∵AC是切线，
∴BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠COD=2∠B=90°，
∴ 弧CD的长= =3π（cm），
故答案为：B．
【分析】连接OD，由弧长公式可知，要求弧CD的长，需要知道圆心角∠COD的度数，由切线的性质可得∠ACB=90°，而AC=BC，则∠A=∠B=45°，则可得∠COD的度数。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示
∵PC切⊙O于D
∴∠ODP＝90°
∵⊙O的半径为1，PA＝AO，AB是⊙O的直径
∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1
∴由勾股定理得：PD＝
∵BC⊥AB，AB过O
∴BC切⊙O于B
∵PC切⊙O于D
∴CD＝BC
设CD＝CB＝x
在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2
即
解得：x＝
即BC＝
故答案为：D
【分析】连接OD，根据切线的性质求出∠ODP＝90°，根据勾股定理求出PD，证明BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，再根据勾股定理求出BC即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：当AC与⊙O相切时，连接CO并延长与AB交于点M，连接AO，
∵△ABC是正三角形，
∴CM⊥AB，
∵，
∴AM＝，
∵OA，
∴OM＝，
∴∠OAM＝45°，
∵∠OAC'＝90°，
∴∠BAC'＝135°，
∵∠C'AB'＝60°，
∴∠BAB'＝75°，
∴当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为75°；
故答案为：D．
【分析】连接CO并延长与AB交于点M，连接AO，根据切线的性质可得∠OAC'＝90°，再结合∠C'AB'＝60°，求出∠BAB'＝75°，即可得到当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为75°。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：连接，
，点O为AB中点．
CO为⊙C的半径，
是的切线，
⊙C 与AB的位置关系是相切
故答案为：B
【分析】连接CO，根据直线与圆的位置关系即可得出答案。
5．【答案】D
【解析】【解答】由勾股定理，得
OB= =13，
CB=OB﹣OC=13﹣5=8，
故答案为：D．
【分析】由切线的性质定理知，利用勾股定理求出BO，再减去半径OC即可.
6．【答案】A
【解析】【分析】当点D在优弧BC上时，如图，
连接OB，
∵直线AB与⊙O相切于B点，∴OB⊥BA，
∴∠OBA=90°，
∵∠A=40°，∴∠AOB=50°，
∴∠BDC=∠AOB=25°，
当点D在劣弧BC上时，即在D′点处，如图，
∵∠BDC+∠BD′C=180°，∴∠BD′C=180°﹣25°=155°，
∴∠BDC的度数为25°或155°，
故选A.
7．【答案】A
【解析】【解答】连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=6，
即图中阴影部分的周长为6，
故选择：A．
【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．
8．【答案】B
【解析】【解答】解 ：连接OD，
∵DF为圆O的切线，
∴OD⊥DF，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60 ，
∵OD=OC，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠CDO=∠A=60 ，∠ABC=∠DOC=60 ，
∴OD∥AB，
∴DF⊥AB，
在Rt△AFD中，∠ADF=30 ，AF=2，
∴AD=4，
连接BD，∵BC是圆的直径
∴BD⊥AC，
又∵△ABC为等边三角形，
∴AC=2AD=8，
∴FB=AB AF=8 2=6，
在Rt△BFG中，∠BFG=30 ，
∴BG=3，
则根据勾股定理得：FG=
故选：B
【分析】连接OD，由DF为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于DF，根据三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三条边相等，三内角相等，都为60°，由OD=OC，得到三角形OCD为等边三角形，进而得到OD平行AB，在直角三角形ADF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，利用圆周角定理及等边三角形的三线合一得出AC=2AD=8，即为AB的长，由AB-AF求出FB的长，在直角三角形FBG中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长，再利用勾股定理即可求出FG的长．
9．【答案】C
【解析】【解答】解：连接OE、OF
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴∠OEC=∠OFC=∠C=90°，CE=CF，BE=BD，AF=AD=10
∴四边形OFCE是正方形，
设OE=CE=CF=r
∴BE=BD=BC－CE=5－r
∴AB=AD＋BD=15－r，AC=AF＋CF=10＋r
根据勾股定理可得：AB2=AC2＋CB2
∴（15－r）2=（10＋r）2＋52
解得：r=2
∴OE=2，BE=5－2=3
根据勾股定理可得：
故答案为：C.
【分析】连接OE、OF，根据切线的性质和切线长定理可得：∠OEC=∠OFC=∠C=90°，CE=CF，BE=BD，AF=AD=10，从而证出：四边形OFCE是正方形，可设OE=CE=CF=r，用r表示出AB和AC的长，然后根据勾股定理列出方程即可求出r，再根据勾股定理即可求出OB.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
即∠OCE＝90°，
∵∠COB＝2∠CDB＝50°，
∴∠E＝90°﹣∠COB＝40°．
故答案为：A．
【分析】连接OC，利用切线的性质，可得∠OCE＝90°，根据圆周角定理，可得∠COB＝2∠CDB＝50°，由直角三角形两锐角互余，可求出∠E的度数.
11．【答案】34
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC，
∴∠AOC=2∠B=56°，
∵PA是圆O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠P=90°-∠AOP=34°.
故答案为：34.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOC=2∠B=56°，由切线的性质得∠PAO=90°，进而根据直角三角形的两锐角互余可算出∠P的度数.
12．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OD交AC于H，连接OC．
∵ ，∴OD⊥AC，∴AH=HC．
∵OA=OB，∴OH= BC=3．
∵S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC，∴AC DH+ AC BC=3 AC，∴DH+6=6 ，
∴DH=6 ﹣6，∴OD=DH+OH=6 ﹣3．
∵EC是切线，∴OC⊥EC，∴圆心O到直线CE的距离为6 ﹣3．
故答案为：6 ﹣3．
【分析】接OD交AC于H，连接OC由垂径定理可得AH=HC，根据三角形中位线定理可得OH= BC，由S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC求出DH长，易知OD长，由切线的性质可得圆心O到直线CE的距离为OC长.
13．【答案】10
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，
∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝5，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝10.
故答案为：10.
【分析】根据切线长定理得出AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB，则可把△PEF的周长转化为PA+PB，即可解答.
14．【答案】r≥
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵在Rt△ABC中，AC=6，BC=8
∴
∵
∴6×8=10CD
解之：
∴当r=时，AB与圆C相切，当r＞时，AB与圆C相交，
∴ 以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线有公共点，则r的取值范围为r≥.
故答案为：r≥.
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，利用勾股定理可求出AB的长，再利用直角三角形的菱格面积公式求出CD的长，然后根据直线与圆的位置关系可得答案。
15．【答案】①证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵AD∥OC，
∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD，
∴∠BOC=∠COD．
∵在△OBC与△ODC中，
，
∴△OBC≌△ODC（SAS），
∴∠OBC=∠ODC，
又∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
∴DC是⊙O的切线；
②解：连接BD．
∵在△ADB与△ODC中， ，
∴△ADB∽△ODC，
∴AD：OD=AB：OC，
∴AD OC=OD AB=r 2r=2r2，即2r2=8，
故r=2．
【解析】【分析】①连接OD，要证明DC是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可．根据题意，可证△OCD≌△OCB，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可证DC是⊙O的切线；②连接BD，OD．先根据两角对应相等的两三角形相似证明△ADB∽△ODC，再根据相似三角形对应边成比例即可得到r的值．
16．【答案】(1)证明：连接OD，
∵EF是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
又∵BH⊥EF，
∴OD∥BH，
∴∠ODB＝∠DBH
∵OD＝OB
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠DBH，
∴BD平分∠ABH.
(2)解：过点O作OG⊥BC于点G，则BG＝CG＝4，
在Rt△OBG中，OG＝＝＝2.
【解析】【分析】考查切线的性质。
17．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
是的切线，
，
为的中点，
，
，
，，
，
，
与相切；
（2）解：，，
，
由（1）可知，，
，
设，
，
，
，
解得，
故的半径为．
【解析】【分析】（1）连接，进而根据切线的性质得到，再根据题意得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而根据切线的判定即可求解；
（2）先根据题意求出EF，进而根据勾股定理求出AF，设，根据三角形的面积结合题意即可求出x.
18．【答案】解：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC=∠DBC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠DBC，∴OC∥BD，∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线
【解析】【分析】利用角平分线的定义及等边对等角，证出∠OCB=∠DBC，可得出OC∥BD，再由BD⊥CD，可得出OC⊥CD，然后根据切线的判定，可证得结论。
19．【答案】（1）解：如图，连接BD．∵∠BAD=90°，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．
∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．
∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．
∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵DE∥AC．∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF= AC．
∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD．
∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE， ，∴CD=4．在Rt△BCD中，BD=
同理：△CFD∽△BCD，∴ ，∴CF= ，∴AC=2AF= ．
【解析】【分析】（1）如图，连接BD．由∠BAD=90°，根据圆的内角四边形的对角互补得出∠BCD=90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠DEC+∠CDE=90°．又∠DEC=∠BAC，故∠BAC+∠CDE=90°．根据同弧所对的圆周角相等得∠BAC=∠BDC，∠BDC+∠CDE=90°，∠BDE=90°，即：BD⊥DE．故DE是⊙O的切线；
（2）根据二直线平行，同位角相等得出∠BFC=90°，根据垂径定理得出CB=AB=8，AF=CF=AC．根据同角的余角相等得出∠CDE=∠CBD．然后判断出△BCD∽△DCE，根据相似三角形对应边成比例得出，由比例式得出CD的长，在Rt△BCD中，由勾股定理算出BD的长，同理：△CFD∽△BCD根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式算出CF，从而得出答案。
20．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵∠EAC=∠B，
∴∠CAE+∠BAC=90°，
即 BA⊥AE．
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：连接CO，
∵AB=6，∴AO=3，∵∠D=60°，∴∠AOC=120°，
∴==2π．
【解析】【解答】（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，进而可得∠CBA+∠CAB=90°，由∠EAC=∠B可得∠CAE+∠BAC=90°，从而可得直线AE是⊙O的切线；
（2）连接CO，计算出AO长，再利用圆周角定理可得∠AOC的度数，然后利用弧长公式可得答案．
【分析】此题考查了圆的综合应用，涉及知识点有圆周角定理，切线的判定以及弧长公式.
21．【答案】（1）解：PB与⊙O相切，理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BD，
又AB＝AD，
∴AP是线段BD的垂直平分线，
∴PB＝PD，
在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP(SSS)，
∴∠ABP＝∠ADP＝90°，
∴PB与⊙O相切；
（2）解：如图，
∵△ABP≌△ADP，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴ ，
∴BC＝CE＝3，
∵AB＝AD，AC⊥BD，
∴BC＝CD＝3，
∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠DBA+∠CEA=180°，
∵∠DEC+∠CEA=180°，
∴∠DBA=∠DEC，
又∵∠CDE=∠ADB，
∴△DCE∽△DAB，
∴DC：DA=DE：DB，
∴DC DB＝DE DA，即3×6＝DE×(DE+7)，
解得，DE＝2，
∴DA＝2+7＝9，
∴AB＝AD＝9，
∴⊙O的半径为4.5.
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得PB=PD，通过证明△ABP与△ADP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABP=∠ADP=90°，再根据切线的判定定理即可得证；（2）根据全等三角形的性质得∠BAC=∠DAC，得到BC=CE=3，然后证明△DCE与△DAB相似，然后根据相似三角形的对应边成比可推导得出DC DB＝DE DA，代入相关数据即可求得答案.
22．【答案】（1）证明：连接OD交BC于H，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，
∴ ＝ ，
∴OD⊥BC，BH＝CH，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线
（2）解：连接BD、OB，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠BAD，
∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，
∴DB＝DE＝6，
∵BH＝ BC＝3 ，
在Rt△BDH中，sin∠BDH＝ ＝ ＝ ，
∴∠BDH＝60°，
而OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，
∴∠BOC＝120°，
∴优弧 的长＝ ＝8π.
【解析】【分析】（1）连接OD交BC于H，利用三角形的内心可证得∠BAD＝∠CAD，根据在同圆和等圆中相等的圆周角所对的弧相等，可证得弧BD=弧CD，利用垂径定理可知OD⊥BC，BH＝CH，再由DG⊥OD，可证得结论。
（2）连接BD，OB，利用三角形的内心，可证得∠ABE＝∠CBE，从而可以推出∠DEB＝∠DBE，利用等角对等边，可证得DB＝DE，由此可求出BH的长，再利用解直角三角形求出∠BDH的度数，据此可证得△OBD是等边三角形，利用等边三角形的性质，可以推出∠BOC＝120°，然后利用弧长公式可求解。
23．【答案】（1）证明：∵∠CBF=∠CFB，
∴CB=CF，
又∵AC=CF，
∴CB= AF，
∴△ABF是直角三角形，
∴∠ABF=90°
∴直线BF是⊙O的切线
（2）解：连接DO，EO，
∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，
∴∠AOD=60°，
又∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
又∵∠ABF=90°，AD=5，
∴AB=10，
∴BF=10 ；
扇形DOE的面积= = π．
【解析】【分析】（1）证明直线BF是⊙O的切线，只需证明∠ABF=90°；（2）连接DO，EO，根据题意证明△AOD是等边三角形，得到△ABC是等边三角形，根据勾股定理求出BF的长，根据扇形面积公式： 求出扇形DOE的面积．
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