浙教版九年级数学下册第1章解直角三角形单元练习题（含解析）

浙教版九年级数学下册第1章解直角三角形单元练习题
一、单选题
1． 的值等于（　　）
A．1 B． C． D．
2．在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，已知⊙O的圆心在原点，半径OA=1，设∠AOP=a（a<90°），其始边OA与x轴重合，终边与⊙О相交于点P，设点P的坐标为（x，y），⊙O的切线AT交OP于点T，且AT=m，则下列结论中，错误的是（　　）
A． B．
C． D．与成反比例
4．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cosA等于（　　）
A． B． C． D．
5．在正方形网格纸中的位置如图（一）所示，则的值是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC= ，BC=2，则sin∠ACD的值为（　　）
A． B． C． D．
7．已知直角三角形 中，斜边 的长为 ， ，则直角边 的长是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
9．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（　　）
A．20海里 B．10 海里 C．20 海里 D．30海里
10．按键 ，使科学记算器显示 回后，求sin90°的值，以下按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA=　 　．
12．Rt△ 中， ， ，那么 　 　.
13．如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行 到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是　 　 .（结果保留一位小数， ）
14．光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图①所示：折射率 （ 代表入射角， 代表折射角）.小明为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验；通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块，图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，测得 ，则光线从空射入水中的折射率n等于　 　.
三、解答题
15．楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1： ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝30米，与亭子距离CE＝18米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高.
16．如图所示是自动卸货汽车卸货的状态图和其示意图，汽车的车厢采用液压机构，车厢的支撑顶杆AB的底部支撑点B在水平线OP的下方，OB与水平线OP夹角是15°，卸货时车厢与水平线OP成40°，此时OB与支持顶杆AB的夹角为45°，若OA＝3米，求AB的长度．（精确到十分位，sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6712）
17．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度。一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示。于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米。已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB。（小平面镜的大小忽略不计）
18．如图，在河对岸有一棵大树A，在河岸B点测得A在北偏东60°方向上，向东前进120m到达C点，测得A在北偏东30°方向上，求河的宽度（精确到0.1m）.参考数据： ≈1.414， ≈1.732.
19．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，则的值为　 　．
20．如图， 中， ，点 是边 的中点，以 为底边在其右侧作等腰三角形 ，使 ，连结 ，则：
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： .
21．如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座AB与桌面垂直，底座高AB＝5cm，连杆BC＝CD＝20cm，BC，CD与AB始终在同一平面内．
（参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）
（1）如图②，转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝143°，求连杆端点D离桌面l的高度DE．
（2）将图②中的连杆CD再绕点C逆时针旋转16°，如图③，此时连杆端点D离桌面l的高度减小了　 　cm．
22．如图1，某游乐场建造了一个大型摩天轮，工程师介绍：若你站在摩大轮下某处（A点）以的仰角恰好可以看到摩天轮圆轮的底部（C点），可测得的长度为，以的仰角可以看到摩天轮圆轮的最上方（D点），如图2，设摩天轮圆轮的直径垂地面于点B，点A，B在同一水平面上．（人的身高忽略不计，参考数据：，结果精确到个位）
（1）求AB的长；
（2）求摩天轮的圆轮直径（即的长）．
23．△ 中， ．取 边的中点 ，作 ⊥ 于点 ，取 的中点 ，连接 ， 交于点 ．
（1）如图1，如果 ，求证： ⊥ 并求 的值；
（2）如图2，如果 ，求证： ⊥ 并用含 的式子表示 .
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】 ，
故答案为：D．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：在△ABC中，
∠C=90°，
∵AC=4，BC=3，
∴AB= =5．
∴sinA= ，
故答案为：B．
【分析】先根据勾股定理算出AB，再根据正切定义得出结论。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、sina=，则 ，A正确；
B、cosa=，则 ，B正确；
C、tana=，则 ，C正确；
D、tana==m，则y=mx，y与x成正比例，D错误.
故答案为：D.
【分析】根据锐角三角函数的定义列出代数式，一 一判断即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5.
∴cosA＝ .
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，由cosA＝计算即得 .
5．【答案】D
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，如图所示：
由勾股定理得，BA=，
∴，
故答案为：D
【分析】根据勾股定理解直角三角形可得AB的长，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可求解。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB .
∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴sin∠ACD＝sin∠B .
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用余角的性质得∠B＝∠ACD，根据等角的同名三角函数值相等可得到sin∠ACD＝sin∠B，然后利用锐角三角函数的定义求出sin∠ACD的值.
7．【答案】C
【解析】【解答】∵cos40°= ，
∴BC=AB cos40°=mcos40°．
故答案为：C．
【分析】根据题意运用锐减三角函数的定义即可求解。
8．【答案】C
【解析】【解答】如图，作OD⊥BC交BC于点D，
设∠A=x°，则∠BOC=（2x）°，
由题意得：∠A+∠BOC=180°，
∴x+2x=180，
解得：x=60，
∴∠BOC=120°，
∵OD⊥BC，OB=OC，
∴∠BOD=∠COD=60°，BD=CD，
∵sin60°= = = ，
∴BD= ，
∴BC=2 .
故答案为：C.
【分析】如图，作OD⊥BC交BC于点D，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，设∠A=x°，则∠BOC=（2x）°，又 ∠BAC与∠BOC互补 ，从而列出方程，求解得出x的值，根据等腰三角形的三线合一得出∠BOD=∠COD=60°，BD=CD，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由∵sin60°= 即可列出方程，求解得出BD的长，进而根据垂径定理得出BC的长。
9．【答案】C
【解析】【解答】如图，
∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，
∴∠DAB=15°，
∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．
又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，
∴∠CBA=45°．
∴在直角△ABC中，sin∠ABC= = = ，
∴BC=20 海里．
故答案为：C．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度即可得到答案．
10．【答案】A
【解析】【解答】第一步按sin，第二步90，最后按=，
故选A.
【分析】首先知道用计算器求一个角度的函数值的操作过程，然后作出选择．
11．【答案】
【解析】【解答】如图，
，
由勾股定理得AC=2 ，AD=4，
cosA= ，
故答案为： ．
【分析】网格中利用勾股定理可得AC=2 ，AD=4，根据cosA= 计算即可.
12．【答案】
【解析】【解答】解：∵△ABC为直角三角形，且∠C=90°，
∴AB2=AC2+BC2，∵AB=2AC，
∴ = = .
【分析】在直角△ABC中，AB2=AC2+BC2，且AB=2AC，利用勾股定理即可解答.
13．【答案】20.8
【解析】【解答】解：过P作PD⊥AB于D，
∵AB=24，
∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，
∴∠BPD=30°，
∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，
∴AB=BP=24，
在直角△PBD中，PD=BP sin∠PBD=24× = ≈20.8.
故答案为：20.8.
【分析】过P作PD⊥AB于D，根据方位角求出∠PBD、∠PAB和BP的长，然后在在直角△PBD中，利用三角函数的定义求PD即可.
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图，过D作GH⊥AB于点H，
在Rt△BDF中，BF=12cm，DF=16cm
∴BD= cm
∵四边形BFDH为矩形，
∴BH=DF=16cm，DH=BF=12cm
又∵BC=7cm
∴CH=BH-BC=9cm
∴CD= cm
∵入射角为∠PDG，sin∠PDG=sin∠BDH=
折射角为∠CDH，sin∠CDH=
∴折射率
故答案为： .
【分析】过D作GH⊥AB于点H，利用勾股定理求出BD和CD，再分别求出入射角∠PDG和折射角∠CDH的正弦值，根据公式可得到折射率.
15．【答案】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，
∵i＝ ＝ ＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°，
∴EF＝ CE＝9米，CF＝9 米，
∴BH＝EF＝9米，HE＝BF＝BC+CF＝（30+9 ）米，
在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，
∴AH＝HE＝（30+9 ）米，
∴AB＝AH+HB＝（39+9 ）米.
答：楼房AB的高为（39+9 ）米.
【解析】【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，利用坡度的定义可求出∠ECF的度数；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出EF的长，同时可求出CF的长及HE的长；然后在Rt△AHE中，根据AH=HE，可求出AH的长，根据AB=AH+BH，可求出AB的长.
16．【答案】解：由题意得，∠ABO＝45°，∠AOP＝40°，∠BOP＝15°，OA＝3米，
过点O作OM⊥AB于M，
在△AOB中，由内角和定理可得，
∠A＝180°-∠ABO-∠AOB
＝180°-45°-40°-15°
＝80°，
在Rt△AOM中，∠A＝80°，OA＝3米，
∴OM＝OA sin80°≈3×0.9848≈2.95（米），
∴AM＝OA cos80°≈3×0.1736≈0.52（米），
在Rt△BOM中，∠ABO＝845°，
∴BM＝OM＝2.95米，
∴AB＝AM+BM＝2.95+0.52≈3.5（米），
答：AB的长度约为3.5米．
【解析】【分析】过点O作OM⊥AB于M，先求出∠A=80°，再利用解直角三角形的方法求出OM和AM的长，最后利用线段的和差求出AB的长即可。
17．【答案】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝0.5，
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝BD，
∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°，
由题意，易知∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴ ，即 ，
解得：BD＝17.5，
∴AB=17.5＋0.5＝18(m)，
∴这棵古树的高AB为18m.
【解析】【分析】 如图，过点C作CH⊥AB于点H， 根据矩形的性质得出 CH＝BD，BH＝CD＝0.5， 根据等腰直角三角形的性质得出 AH＝CH＝BD， 故 AB＝AH＋BH＝BD＋0.5， 进而判断出 △EFG∽△ABG， 根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式算出BD的长，从而得出答案。
18．【答案】解：过点A作AD⊥直线BC，垂足为点D，如图所示.
在Rt△ABD中，tan∠BAD= ，
∴BD=AD tan60°= AD；
在Rt△ACD中，tan∠CAD= ，
∴CD=AD tan30°= AD.
∴BC=BD-CD= AD=120，
∴AD=103.9.
∴河的宽度为103.9米
【解析】【分析】 过点A作AD⊥直线BC，垂足为点D，如图所示， 根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，在Rt△ABD中 ，由 BD=AD tan60° 表示出BD， 在Rt△ACD中 ，由CD=AD tan30°表示出CD，再根据BC=BD-CD列出方程，求解即可。
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形；
（2）
【解析】【解答】（2）∵四边形是菱形，，
∴，，
在中，，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合AD=AB，即可得到是菱形；
（2）先利用勾股定理求出OA的长，再结合，可得。
20．【答案】（1）证明： ，点 是 中点
（2）证明：过点E作 于点H，
∵
∴
， ，
【解析】【分析】（1） 根据直角三角形斜边上中线的性质可得AD=CD=BD，由等腰三角形的性质可得∠B=∠BAD，结合已知条件∠ADE=∠B可得∠BAD=∠ADE，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）过点E作EH⊥AD于点H，根据∠B=∠ADE结合cosB的值可得cos∠ADE的值，结合三角函数的概念可得DE=4DH，由等腰三角形的性质可得AE=DE，则AE=2AD，证明△ADE≌△CDE，据此可得结论.
21．【答案】（1）解：作BF⊥DE于点F，则∠BFE＝∠BFD＝90°，
∵DE⊥l，AB⊥l，
∴∠BEA＝∠BAE＝90°＝∠BFE．
∴四边形ABFE为矩形．
∴EF＝AB＝5cm，EF∥AB，
∵EF∥AB，
∴∠D+∠ABD＝180°，
∵∠ABD＝143°，
∴∠D＝37°，
在Rt△BDF中，∵∠BFD＝90°，
∴ ＝cosD＝cos37°＝0.8，
∵DB＝DC+BC＝20+20＝40，
∴DF＝40×0.8＝32，
∴DE＝DF+EF＝32+5＝37cm，
答：连杆端点D离桌面l的高度DE为37cm；
（2）4
【解析】【解答】解：（2）如图3，作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，
∵∠CBH＝53°，∠CHB＝90°，
∴∠BCH＝37°，
∵∠BCD＝180°﹣16°＝164°，∠DCP＝37°，
∴CH＝BCsin53°＝20×0.8＝16（cm），DP＝CDsin37°＝20×0.6＝12（cm），
∴DF＝DP+PG+GF＝DP+CH+AB＝12+16+5＝33（cm），
∴下降高度：DE﹣DF＝37﹣33＝4（cm）．
故答案为：4．
【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF﹣DE即可解决问题．
22．【答案】（1）解：根据题意知，
∵．
答：AB的长约为．
（2）解：根据题意知，
∴．
由（1）知，
∴
∴
∴．
答：摩天轮的圆轮直径约为．
【解析】【分析】（1） 根据题意知， 代入求解即可；
（2） 根据题意知， 得出BC的值， 由（1）知， 得出DB的值，从而得出CD的值。
23．【答案】（1）解：如图1，连接AD，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴∠ABC=∠C，∠BAD=∠DAC= ∠BAC，AD⊥BC，
∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CDE=90°，∠C+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠C．
又∵∠ADB=∠DEC=90°，
∴△ADB∽△DEC，∴ ，即AD CE=BD DE．
∵点D是BC的中点，点F是DE的中点，
∴BD= BC，DE=2DF，
∴AD CE═ BC 2DF=BC DF，
∴ ，
又∵∠ADE=∠C，
∴△AFD∽△BEC，
∴ ，在Rt△ADB中，
∵∠ABD=90°-∠BAD=90°- ∠BAC，BD= BC，
∴tan∠ABD=tan（90°- ∠BAC）= ，
∴ = tan（90°- ∠BAC）．
∵△AFD∽△BEC，
∴∠DAF=∠CBE．
∵∠CBE+∠BOD=90°，∠AOH=∠BOD，
∴∠DAF+∠AOH=∠CBE+∠BOD=90°，
∴∠AHO=180°-90°=90°，即∠AHB=90°
根据以上结论可得：∠AHB=90°， = tan（90°- ×90°）= ；∴AF⊥BE， =
（2）解：如图2，
根据以上结论可得：∠AHB=90°， = tan（90°- α）；∴AF⊥BE， = tan（90°- α）
【解析】【分析】（1）由AB=AC，点D是BC的中点，根据三线合一，得到AD⊥BC，由DE⊥AC，根据同角的余角相等，得到∠ADE=∠C；得到△ADB∽△DEC，得到比例，即AD CE=BD DE；由已知得到AD CE=BC DF，又∠ADE=∠C，得到△AFD∽△BEC，得到比例，在Rt△ADB中，根据三角函数定义，得到∠DAF=∠CBE，由三角形内角和定理求出∠AHO=90°，即∠AHB=90°，根据以上结论可得
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