课件39张PPT。1.5三角形全等条件（3）ASA AAS有三边对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)回顾与思考三角形全等的条件1： 有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）在△ABC和△A′B′C′中
AB=A′B′
∠ABC=∠A′B′C′
BC=B′C′
∴ △ABC≌△A′B′C(SAS)三角形全等的条件2：回顾与思考议一议 小明不小心将一块三角形模具打碎了，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？猜想：全等三角形还有什么判别方法？ 有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形一定全等吗？请用量角器和刻度尺画ΔABC，使BC=3， ∠B=400、 ∠C=600 将你画的三角形与其他同学画的三角形比较，你发现了什么？CBA6004003cm与同伴进行比较，它们能否互相重合？合作学习：有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角边角”或“ASA”）∴ΔABC≌ΔA′B′C′（ASA） 有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角边角”或“ASA”）数学语言表示：试一试 小明不小心将一块三角形模具打碎了，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适？小明应该带哪块碎片去配置三角形模具的理由吗？P24做一做：如图，在ΔABC和ΔA/B/C/中，已知AB=A/B/，∠B=∠B/、∠C=∠C/ ，那么
ΔABC与ΔA/B/C/会全等吗？请说明理由。 结论：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角角边”或“AAS”） 能不能把“AAS”、“ASA”简述为“两角
和一边对应相等的两个三角形全等”？ 在△ADE和△ABC中但△ABC和△ADE不全等
结论：说明两个三角形全等时,特别注意边和角“位置上对应相等” 。在△ABC和△DEF中
∠A=∠D
____=____
∠B=∠E
∴ △ABC≌△DEF(ASA)
AB DE填一填：1在△ABC和△DEF中
____=____
AC=DF
____=____
∴ △ABC≌△DEF(ASA)
∠A ∠D∠C ∠F填一填：2在△ABC和△DEF中
____=____
BC=EF
∠B=∠E
∴ △ABC≌△DEF(ASA)
∠C ∠F填一填：3（AAS）∠A=∠D在△ABC和△DEF中
∠A=∠D
∠C=∠F
____=____
∴ △ABC≌△DEF(AAS)
填一填：4BC=EF或AC=DF例5、如图，点P是∠BAC的平分线上的一点，PB⊥AB，PC⊥AC。说明PB=PC的理由。角平分线上的点到角两边的距离相等。解:在△APB和△ APC中∠PAB=∠PAC∠ABP=∠ACPAP=AP(角平分线的意义)(垂线的意义)(公共边)∴ △APB≌△APC（AAS）∴PB=PC (根据什么?)数学语言表示：
∵AP是∠BAC的角平分线，
且PB⊥AB，PC⊥AC(已知)
∴PB=PC(角平分线上的点到角两边的距离相等)。判定条件全等三角形的定义
SSS
SAS
ASA（AAS）边和角分别对应相等,而不是分别相等。两个三角形全等特别注意：关键：找符合要求的条件 小结谈谈你的感受．．．SSSSASASAAAS解题时通常可以根据以下定义、性质说明两角相等：
（1）角平分线的定义；
（2）垂线的意义；
（3）对顶角相等；
（4）三角形内角和性质及外角性质；
（5）全等三角形的性质（全等三角形的对应角相等）
（6）同角（或等角）的余角（或补交）相等；
（7）利用和、差关系说明角相等；
等等。小试牛刀：1、如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，根据ASA或AAS，那么应补充一个直接条件 --------------------------，（写出一个即可），才能使△ABC≌△DEF2、如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？ABCDEF∠B=∠E或∠A=∠D3、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，说明：AC=ADABDABCABD ABC∠1=∠2 已知AB=AB∠ABD=∠ABC 已知ABD ABC ASAAC=AD 1、如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2。
求证：AB=AD巩固练习：例1、已知，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C，试说明AD=AE。解 ：在△ADC和△AEB中∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）O∴△ACD≌△ABE（ASA）再见！ 2、如图：要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？巩固练习：1、已知：AC⊥CD,BD⊥CD,M是AB的中点,连CM并延长交BD于F,请说明:M是CF的中点.ACMDFBK拓展练习：2、如图， △ABC的两条高AD,BE相交于H,且AD=BD,试说明 △BDH ≌△ADC拓展练习：在△ABC和△A′B′C′中
∠B=∠B′ (已知)
BC= B′C′ (已知)
∠C=∠C′ (已知)几何语言：∴ΔABC≌ΔA′B′C′（ASA）如图，在Δ ABC和Δ A/ B/ C/ 中，已知AB= A/ B/ ，
∠B= ∠B /、 ∠C= ∠C / ，请说出Δ ABC≌ Δ A/ B/ C/ 的理由。两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角角边”或“AAS”）共同探索：1.如图，△ABC≌△ ，AD、 分别是△ABC和
的高．试说明：解 ∵△ABC≌ ∵AD、 分别是△ABC、 的高．
∴∠ADB= =90°(垂直的意义)
在△ABD与 中∴△ABD≌2. 如图，已知AB=AC，D、E两点分别在AB、AC上，且AD=AE，试说明：△BDF≌△CEF．解:在△ABE与△ACD中(已知）
（公共角）
（已知） ∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等），∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE在△BDF与△CEF中（已证）
（对顶角）
（已证） ∴△BDF≌△CEF（AAS） 3.如图，BD、CE交于O，OA平分∠BOC，△ABD的面积和△ACE的面积相等，试说明BD=CE． 解:过A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G．∵OA平分∠BOC
∴AF=AG（角平分线上的点到这个角的两边距离相等） ∵S△ABD=S△ACE
∴BD=CE．分析: 有了角平分线性质定理，使证明线段相等又多了一种方法．同时利用图形的面积关系转化成线段之间的长度关系，也是几何证明题中常用的方法．理解提升： 1．下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（ ）
A．AAS B．SSA C．SAS D．SSS
2．在△ABC和△DEF中，下列条件中，能根据它判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF
C．AB=DE，BC=EF，△ABC的周长=△DEF的周长 D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
3．如图，AD平分∠BAC，AB=AC，
连接BD、CD，并延长交AC、AB于F、E，
则图形中全等三角形有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对BCC 4．在△ABC中，∠A的平分线交BC于D，则（ ）
A．D是BC的中点 B．D在AB的中垂线上
C．D在AC的中垂线上 D．D到AB和AC的距离相等
5．如图，BC⊥AC，BD⊥AD，垂足分别是C和D，若要根据AAS定理，使△ABC≌△ABD（AAS），应补上条件______________或___________．
6．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，
说明AD=BC的理由．
解：∵_________，__________（已知）
∴∠1+∠3=_________．
即_______=_______．
在_________和________中 ________( )
_________( ), ________________( )
∴△_______≌△_______（ ）
∴AD=BC（ ）D∠CAB=∠BAD ∠CBA=∠DBA ∠1=∠2 ∠3=∠4∠2+∠4 ∠DAB ∠CBA △BCA △ADB ∠1=∠2 已知AB=BC 公共边 ∠CBA=∠DAB 已证 BCA ADB ASA 全等三角形对应边相等 7．如果点P是三角形三条角平分线的交点，则点P到三角形_______的距离相等．
8．如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′的高线，且AB=A′B′，AD=A′D′，∠B=∠B′，若使△ABC≌△A′B′C′，
请你补充条件___________________________________（只需要填写一个你认为适当的条件）．三边 CD=C′D′或∠DAC=∠D′A′C′或∠BAC=∠B′A′C′或∠C=∠C′ 9．如图，已知M是AB的中点，∠1=∠2，∠C=∠D．说出下列判断正确的理由：
（1）△AMC≌△BMD；（2）AC=BD．解（1）M为AB的中点（已知） ∴AM=BM （中点的性质）
又∵∠1=∠2（已知） ∠C=∠D（已知）
∴△ACM≌△BDM（AAS）
（2） ∵△ACM≌△BDM（已证） ∴AC=BD （全等三角形对应边相等） 10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作AE的垂线CF，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．（1）试说明：AE=CD； （2）AC=12cm，求BD的长．解：（1）∵ ∠ACB=90°（已知）AF⊥DC（已知），∴∠AFC=900（垂直的意义）
又∵∠DCB+∠DCA=∠EAC+∠ACF=90°
∴∠EAC=∠DCB（同角的余角相等），
∵DB⊥BC（已知）∴∠DBC=∠ACB=900∴△DCB≌△EAC（ASA） ∴AE=CD（全等三角形对应边相等）在△ACB和△CBD中∠DBC=∠ACB（已证）∠EAC=∠DCB（已证）AC=BC（已知）（2）由△DCB≌△EAC得 ∴CE=DB ∵E为BC的中点 11．如图，在△ABD和△ACE中，有下列4个诊断：①AB=AC，②∠B=∠C，③∠BAC=∠EAD，④AD=AE．请以其中三个诊断作条件，余下一个诊断作为结论（用序号××× ×的形式）写出一个由三个条件能推出结论成立的式子，并说明原因．解：①②③④ ∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAD=∠CAE
又∵∠B=∠C AB=AC
∴△BAD≌△CAE （ASA）
∴AD=AE （全等三角形对应边相等） 12．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠CBA，DE⊥AB于E，试说明：AD+DE=BE．只要证△BCD≌△BED，得BC=BE，DC=DE
∴AD+DE=AD+DC=AC=BC=BE 13．如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E，∠C=∠D，AM⊥CD于M，BC=DE，试说明M为CD的中点．解：延长AB、AE交CD的延长线于H、F ∠ABC=∠AED ∠BCD=∠EDC
∴∠HBC=∠FED ∠BCH=∠EDF
又BC=DF ∴△BCH≌△EDF（AAS）
∴CH=DF 在△AMH与△AMF中，∠H=∠F ∠AMH=∠AMF AM=AM
∴△AMH≌△AMF（AAS）
∴HM=FH
∴CM=DM 14．如图，△ABC两条角平分线BD、CE相交于点O，∠A=60°，求证：CD+BE=BC．解：在BC上取一点F，使BF=BE，
连结OF，则△EBO≌△FBO
∴∠EOB=∠FOB
又∵∠2+∠4=60°
∴∠COB=120°
∴∠EOB=∠DOC=60°
∴△OFC≌△ODC
∴CD=CF
∴BC=BF+CF=BE+CD这种方法是我们解决这一类问题的统常方法。课件21张PPT。1.5 三角形全等的条件(一)1、已知△ADF≌△CBE，则结论：
①AF=CE ②∠1=∠2 ③BE=CF ④AE=CF，
正确的________
2、面积相等的两个三角形一定全等吗？3、周长相等的两个三角形一定全等吗？用刻度尺和圆规画△ABC使其三边的长为AB=4cm，AC=3cm，BC=2cm。画法：1.画线段AB=4cm分别以A，B为圆心，3cm,2cm长
为半径画圆,弧交于点C3.连接AC，BC.∴△ABC就是所求的三角形把你画的三角形与其他同学所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？画一画:比一比:AB=EFBC=FGAC=EG（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等
(简写成“边边边”或“SSS”)在△ABC和△EFG中用数学语言表述：用这样的结论可以判定两个三角形全等． 判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．三角形全等的条件1:由上面的结论可知，只要三角形三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的稳定性：三角形的稳定性举例例1:在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB,
则∠A= ∠C，请说明理由。解：在△ABD和△CDB中，（已知）（已知）AB=CDAD=CBBD=DB（公共边）∴ △ABD ≌ △CDB（SSS）∴ ∠A= ∠C（根据什么？）1.在四边形ABCD中，AB=AD，CD=CB,你能通过添加辅助线,把它分成两个全等三角形吗?把请说明理由。有时为了解题需要，在原图形上添一些线，这些线叫辅助线。辅助线通常画成虚线。2.在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB,你能通过添加辅助线,把它分成两个全等三角形吗?有几种添法。 3.在△ABC中,，AB=AC，AD是BC边上的中线, △ABD和△ADC是否全等? 请说明理由。4.在△ABC和△DCB 中,AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。 ∠ABD与∠DCA相等吗?则AD⊥BC吗?解：∵BE＝CF（已知）即 BC＝EF在△ABC和△DEF中AB＝DE（已知）AC＝BF（已知）BC＝EF（已证）∴△ABC≌△DEF（SSS）∴∠A＝∠D(全等三角形对应角相等）小结：说明角相等，先转化为说明三角形全等。∴ BE+EC=CF+EC例2:如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，
AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF。试说明∠A＝∠D的理由。例3:已知∠BAC，用直尺和圆规作∠BAC的角平分线AD.直尺是指使用的尺只能用于画直线,不能用来量长度已知∠α，用直尺和圆规作∠α的平分线（只要求作出图形，并保留作图痕迹）α 如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，请说明 △AEB≌△ADC的理由。解：∵BD=CE
∴ BD-ED=CE-ED，
即BE=CD。在△AEB和△ADC中，
AB=AC
AE=AD
BE=CD
∴ △AEB ≌ △ ADC（SSS）（已知）（已知）（已证）共有多少对全等三角形?5.AB⊥AC,垂足为A,AB=AC,AD=AE,BD=CE.问AD与AE怎样的位置关系?试说明理由.1.已知AB=AC,BD=CD,∠BDC=150°，求∠BDA的度数.2.AC与BD互相平分,AB=CD,∠B与∠D的角平分线分别交AC于点E,F,探索∠BEO与∠DFO的大小关系,说明理由.3.如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？HDCBA解：有三组。 在△ABH和△ACH中 ∵AB=AC，BH=CH，AH=AH ∴△ABH≌△ACH（SSS）；在△ABH和△ACH中 ∵AB=AC，BD=CD，AD=AD ∴△ABD≌△ACD（SSS）；在△ABH和△ACH中 ∵BD=CD，BH=CH，DH=DH∴△DBH≌△DCH（SSS） 1.边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等 简写成“边边边”（SSS）2.证明线段（或角相等）证明线段（或角）所在的两个三角形全等.3.四边形问题转化为三角形问题来解决。课堂小结课件14张PPT。1.5 三角形全等的条件 （第2课时）
小红为了测出池塘两端A，B的距离，她在地面上选择了点O，D，C，使OA=OC，OB=OD，且点A，O，C和点B，O，D都各在一条直线上，小红量出DC=18米，她就知道AB的距离了， 你想知道为什么吗？一、想一想1.看一看：
把两根木条的一端用螺栓固定在一起.
（1）连结另两端所成的三角形能唯一确定吗？二、探索新知（3）从这个实验中，你得到什么结论？
?（2）如果将两木条之间的夹角（即∠BAC） 大小固定，那么△ABC能唯一确定吗？2．画一画： （1）用量角器和刻度尺画△ABC，使AB=4cm，BC=6cm， ∠ABC= 60°. 有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）.如图，若 AB=A′B′，∠ABC=∠A′B′C′，BC=B′C′,则△ABC≌△A′B′C′ .A’B’C’几何语言：(2)画△ABC，使∠ACB=60°，AB=4cm，BC=6cm.如果两个三角形有两边和一个角对应相等，这两个三角形不一定全等.注意：公理“边角边”中的角必须是对应相等的两边的夹 角.反例 ： 如图：若AB=AB，AC=AC’ ， ∠B =∠B，但△ABC 与△ABC’不全等.3．解一解：
现在同学们可以解决想一想中提出的问题了吗？ 4．说一说：
判断两个三角形全等到目前为止有哪些方法？
（ “ SSS ”, “ SAS ” ）例3 如图，AC与BD相交于点O，已知 OA = OC， OB = OD，说明△AOB≌△COD 的理由.三、体验转化 例4 如图，直线l⊥线段AB于点O，且OA=OB，点C是直线l上任意一点，说明CA=CB的理由.总结：①分析题意时，应注意由条件所可能产生的结论，如：已知垂直，可得90°的角.
②结合图形，善于找出图中“天然”的条件，如：对顶角、公共边等.线段垂直平分线的概念：
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.思考： 线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等吗？ ∵ 点C在线段AB的垂直平分线上 ,
∴ CA=CB.说明两线段相等的一种重要方法.
几何语言：1．如图，AB，CD相交于点O，OA=OB，OC=OD，请问∠ A和∠B相等吗？AC与BD相等吗？为什么？四、拓展练习2．如图，已知AB⊥BD，ED⊥CD，且AB=CD， BC=DE，请问△ABC是否全等于△CDE？AC是否垂直于CE？为什么？ 本节课你学习了什么？
发现了什么？
有什么收获？
本节课还存在什么没有解决的问题？
五、归纳小结
