2024年浙教版数学八年级下册4.6反证法课后基础练
一、选择题
1．（2022八下·衢江期末）用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可假设四边形的四个角都是（ ）
A．钝角或直角 B．钝角 C．直角 D．锐角
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，
可先假设四边形的四个角都是锐角.
故答案为：D.
【分析】利用反证法证明的第一步为：假设结论不成立，故只需找出至少有一个角是钝角或直角的反面即可.
2．用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b”时，应首先假设 （ ）
A．a>b B．a=b C．a【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： “若|a|≠|b|，则a≠b”的结论是a≠b，
∴用反证法应先假设a=b.
故答案为：B.
【分析】反证法的步骤：①假设结论不成立，②从假设出发推出矛盾，③假设不成立，则结论成立，据此解答即可.
3．（2023八下·崂山期末）用反证法证明命题“已知在中，，则”时，首先应该假设（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】反证法首先假设原命题结论不成立，即“”不成立，所以“”故A正确，B、C、D错误。
故答案为：A.
【分析】了解“反证法”的一般步骤，首先假设原命题的结论不成立。
4．（2023八下·锦州期末）牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题“三角形中不能两个直角”，应先假设（ ）
A．三角形中有一个内角是直角 B．三角形中有两个内角是直角
C．三角形中有三个内角是直角 D．三角形中不能有内角是直角
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 用反证法证明：“三角形中不能两个直角”时，
第一步先假设三角形中有两个内角是直角.
故答案为：B.
【分析】根据反证法的证明方法，第一步是假设结论不成立，也就是结论的反面成立求解．
5．（2023八下·临汾期末）请阅读以下关于解答“在中，，求证：”的过程：
证明：假设．
这与“三角形三个内角的和等于”相矛盾．
假设不成立．
．
这种证明方法是（ ）
A．综合法 B．反证法 C．枚举法 D．归纳法
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由 假设，与原结论矛盾得出：
这种证明方法反证法。
故答案为：B
【分析】假设结论不成立，从假设除法，经过推理论证，得出与“三角形三个内角的和等于”相矛盾．由矛盾判定假设不成立，从而肯定原结论正确。
6．（2023八下·江北期末）用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（ ）
步骤如下：
①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.
A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：由题意知，第2步是反证法的结论，
∴排除B和D选项，
所以B和D选项，错误.
∵第3步既有原因又有结果，不能作为假设的结果，
∴C选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据反证法的一般步骤即可求出，一般步骤为：假设命题成立；根据假设出发，推理论证，得出矛盾；由矛盾判断假设不成立，原命题正确.
7．（2023八下·杭州期中）用反证法证明“若实数，满足，则，中至少有一个是”时，应先假设（ ）
A．，中至多有一个是0 B．，中至少有两个是0
C．，中没有一个是0 D．，都等于0
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 用反证法证明“若实数a，b满足ab=0，则a，b中至少有一个是0”时，应先假设 a、b中没有一个是0.
故答案为：C.
【分析】用反证法证明一个命题，第一步应该先假设命题的结论的反面成立，据此一一判断得出答案.
8．已知命题“在△ABC中，若AB=AC，则∠B<90°”.下面写出运用反证法证明这个命题的四个打乱顺序的步骤：
①∴∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和为 180°矛盾.
②因此假设不成立，∴∠B<90°.
③假设在△ABC中，∠B≥90°.
④由 AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：
1、 假设在△ABC中，∠B≥90°，
2、 由 AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180° ，
3、∴∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和为 180°矛盾，
4、因此假设不成立，∴∠B<90°.
故这四个步骤正确的顺序应是：③④①② .
故答案为：D.
【分析】根据反证法的意义“反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证”并结合题意可求解.
二、填空题
9．用反证法证明“树在道边而多子，此必苦李”时，应首先假设： 。
【答案】李子为甜李
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵需证明：此必苦李，而反证法假设原命题的逆命题正确，
∴应假设：李子为甜李.
故答案为：李子为甜李.
【分析】由于反证法的步骤是首先假设结论不成立，即可作答.
10．如图①，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB=∠EO'D．”如图②，假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠EO'D，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A'B’都平行于直线CD，这与基本事实“ “矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO'D．
【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行线的判定与性质；反证法
【解析】【解答】解：证明：假设∠EOB≠∠EO′D，过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠EO′D．可得A′B′∥CD．
这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，这与基本事实“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，
说明∠EOB≠∠EO′D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO′D，
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
【分析】根据平行公理解答即可．
11．（2019八下·南华期中）用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于 ”时，首先要假设 .
【答案】这五个数都小于
【知识点】反证法
【解析】【解答】假设这五个数都小于 ，
则五个正数的和一定小于1，与已知矛盾，故原命题正确，
即已知五个正数的和等于1，这五个正数中至少有一个大于或等于 .
故答案为：这五个数都小于 .
【分析】反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。由反证法的意义可知：只需假设这五个数都小于 即可。
12．（2023八下·阜宁期中）要用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角，应先假设 ．
【答案】等腰三角形的两底都是直角或钝角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：要用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角，应先假设等腰三角形的两底角都是直角或钝角.
故答案为：等腰三角形的两底角都是直角或钝角.
【分析】根据反证法的步骤，直接写出题设的反面即可.
三、解答题
13．已知x，y＞0，且x＋y＞2.
求证： ， 中至少有一个小于2.
【答案】证明：假设 ， 都不小于2.
即 ≥2， ≥2.
∵x＞0，y＞0，
∴1＋x≥2y，1＋y≥2x.
∴2＋x＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2，与已知x＋y＞2矛盾．
∴ ， 中至少有一个小于2.
【知识点】反证法
【解析】【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。
14．求证：两个三角形有两条边对应相等，如果所夹的角不相等，那么夹角所对的边也不相等．
【答案】证明：已知：如解图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B≠∠B′.求证：AC≠A′C′.证明：假设AC＝A′C′.∵AB＝A′B′，BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．∴∠B＝∠B′，这与已知矛盾，∴假设不成立，∴AC≠A′C′.
【知识点】反证法
【解析】【分析】反证法证明。否定结论，即假设AC＝A′C′.根据已知条件用边边边可证得△ABC≌△A′B′C′，所以∠B＝∠B′，这与已知∠B≠∠B′矛盾，所以假设不成立，即可得结论AC≠A′C′.
15．[推理能力]已知任何一个有理数均可表示成b/a的形式，且a，b互质.求证： 是一个无理数(请用反证法证明)
【答案】证明：假设是一个有理数，则存在a，b，使=，（其中a，b是自然数且互质），
∴5=，则b2=5a2，
∴b2可以被5整除，则b也可以被5整除，
设b=5p，(p是自然数），
∴5a2=b2=25p2，
∴a2可以被5整除，
∴5是a和b的公因数，与a，b是自然数且互质相矛盾，
故假设不成立，
∴是一个无理数.
【知识点】反证法
【解析】【分析】假设是一个有理数，根据有理数可以表示成b/a的形式，且a，b互质，结合已知得到与已知相矛盾的结论，根据反证法的意义可求解.
1 / 12024年浙教版数学八年级下册4.6反证法课后基础练
一、选择题
1．（2022八下·衢江期末）用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可假设四边形的四个角都是（ ）
A．钝角或直角 B．钝角 C．直角 D．锐角
2．用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b”时，应首先假设 （ ）
A．a>b B．a=b C．a3．（2023八下·崂山期末）用反证法证明命题“已知在中，，则”时，首先应该假设（ ）
A． B．
C． D．且
4．（2023八下·锦州期末）牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题“三角形中不能两个直角”，应先假设（ ）
A．三角形中有一个内角是直角 B．三角形中有两个内角是直角
C．三角形中有三个内角是直角 D．三角形中不能有内角是直角
5．（2023八下·临汾期末）请阅读以下关于解答“在中，，求证：”的过程：
证明：假设．
这与“三角形三个内角的和等于”相矛盾．
假设不成立．
．
这种证明方法是（ ）
A．综合法 B．反证法 C．枚举法 D．归纳法
6．（2023八下·江北期末）用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（ ）
步骤如下：
①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.
A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①
7．（2023八下·杭州期中）用反证法证明“若实数，满足，则，中至少有一个是”时，应先假设（ ）
A．，中至多有一个是0 B．，中至少有两个是0
C．，中没有一个是0 D．，都等于0
8．已知命题“在△ABC中，若AB=AC，则∠B<90°”.下面写出运用反证法证明这个命题的四个打乱顺序的步骤：
①∴∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和为 180°矛盾.
②因此假设不成立，∴∠B<90°.
③假设在△ABC中，∠B≥90°.
④由 AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
二、填空题
9．用反证法证明“树在道边而多子，此必苦李”时，应首先假设： 。
10．如图①，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB=∠EO'D．”如图②，假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠EO'D，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A'B’都平行于直线CD，这与基本事实“ “矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO'D．
11．（2019八下·南华期中）用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于 ”时，首先要假设 .
12．（2023八下·阜宁期中）要用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角，应先假设 ．
三、解答题
13．已知x，y＞0，且x＋y＞2.
求证： ， 中至少有一个小于2.
14．求证：两个三角形有两条边对应相等，如果所夹的角不相等，那么夹角所对的边也不相等．
15．[推理能力]已知任何一个有理数均可表示成b/a的形式，且a，b互质.求证： 是一个无理数(请用反证法证明)
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，
可先假设四边形的四个角都是锐角.
故答案为：D.
【分析】利用反证法证明的第一步为：假设结论不成立，故只需找出至少有一个角是钝角或直角的反面即可.
2．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： “若|a|≠|b|，则a≠b”的结论是a≠b，
∴用反证法应先假设a=b.
故答案为：B.
【分析】反证法的步骤：①假设结论不成立，②从假设出发推出矛盾，③假设不成立，则结论成立，据此解答即可.
3．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】反证法首先假设原命题结论不成立，即“”不成立，所以“”故A正确，B、C、D错误。
故答案为：A.
【分析】了解“反证法”的一般步骤，首先假设原命题的结论不成立。
4．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 用反证法证明：“三角形中不能两个直角”时，
第一步先假设三角形中有两个内角是直角.
故答案为：B.
【分析】根据反证法的证明方法，第一步是假设结论不成立，也就是结论的反面成立求解．
5．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由 假设，与原结论矛盾得出：
这种证明方法反证法。
故答案为：B
【分析】假设结论不成立，从假设除法，经过推理论证，得出与“三角形三个内角的和等于”相矛盾．由矛盾判定假设不成立，从而肯定原结论正确。
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：由题意知，第2步是反证法的结论，
∴排除B和D选项，
所以B和D选项，错误.
∵第3步既有原因又有结果，不能作为假设的结果，
∴C选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据反证法的一般步骤即可求出，一般步骤为：假设命题成立；根据假设出发，推理论证，得出矛盾；由矛盾判断假设不成立，原命题正确.
7．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 用反证法证明“若实数a，b满足ab=0，则a，b中至少有一个是0”时，应先假设 a、b中没有一个是0.
故答案为：C.
【分析】用反证法证明一个命题，第一步应该先假设命题的结论的反面成立，据此一一判断得出答案.
8．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：
1、 假设在△ABC中，∠B≥90°，
2、 由 AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180° ，
3、∴∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和为 180°矛盾，
4、因此假设不成立，∴∠B<90°.
故这四个步骤正确的顺序应是：③④①② .
故答案为：D.
【分析】根据反证法的意义“反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证”并结合题意可求解.
9．【答案】李子为甜李
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵需证明：此必苦李，而反证法假设原命题的逆命题正确，
∴应假设：李子为甜李.
故答案为：李子为甜李.
【分析】由于反证法的步骤是首先假设结论不成立，即可作答.
10．【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】平行线的判定与性质；反证法
【解析】【解答】解：证明：假设∠EOB≠∠EO′D，过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠EO′D．可得A′B′∥CD．
这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，这与基本事实“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，
说明∠EOB≠∠EO′D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO′D，
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
【分析】根据平行公理解答即可．
11．【答案】这五个数都小于
【知识点】反证法
【解析】【解答】假设这五个数都小于 ，
则五个正数的和一定小于1，与已知矛盾，故原命题正确，
即已知五个正数的和等于1，这五个正数中至少有一个大于或等于 .
故答案为：这五个数都小于 .
【分析】反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。由反证法的意义可知：只需假设这五个数都小于 即可。
12．【答案】等腰三角形的两底都是直角或钝角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：要用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角，应先假设等腰三角形的两底角都是直角或钝角.
故答案为：等腰三角形的两底角都是直角或钝角.
【分析】根据反证法的步骤，直接写出题设的反面即可.
13．【答案】证明：假设 ， 都不小于2.
即 ≥2， ≥2.
∵x＞0，y＞0，
∴1＋x≥2y，1＋y≥2x.
∴2＋x＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2，与已知x＋y＞2矛盾．
∴ ， 中至少有一个小于2.
【知识点】反证法
【解析】【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。
14．【答案】证明：已知：如解图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B≠∠B′.求证：AC≠A′C′.证明：假设AC＝A′C′.∵AB＝A′B′，BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．∴∠B＝∠B′，这与已知矛盾，∴假设不成立，∴AC≠A′C′.
【知识点】反证法
【解析】【分析】反证法证明。否定结论，即假设AC＝A′C′.根据已知条件用边边边可证得△ABC≌△A′B′C′，所以∠B＝∠B′，这与已知∠B≠∠B′矛盾，所以假设不成立，即可得结论AC≠A′C′.
15．【答案】证明：假设是一个有理数，则存在a，b，使=，（其中a，b是自然数且互质），
∴5=，则b2=5a2，
∴b2可以被5整除，则b也可以被5整除，
设b=5p，(p是自然数），
∴5a2=b2=25p2，
∴a2可以被5整除，
∴5是a和b的公因数，与a，b是自然数且互质相矛盾，
故假设不成立，
∴是一个无理数.
【知识点】反证法
【解析】【分析】假设是一个有理数，根据有理数可以表示成b/a的形式，且a，b互质，结合已知得到与已知相矛盾的结论，根据反证法的意义可求解.
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