2024年浙教版数学八年级下册4.6反证法课后提高练
一、选择题
1．已知在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.若用反证法证明这个结论，可假设（ ）
A．∠A=∠B B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠A=∠C
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法的步骤：
①首先假设原命题不成立，②推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，③得出原假设不成立，即原命题成立.
∵用反证法证明命题“ 在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C ”，
∴证明的第一步应为：假设结论不成立，即：∠B=∠C.
故答案为：C.
【分析】根据反证法的意义“反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证”并结合题意可求解.
2．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°" ，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形中有一个锐角大于 45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形中有一个锐角小于45°
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于45°．
故答案为：A．
【分析】根据反证法证明的步骤，第一步假设结论不成立直接得出答案即可．
3．（2023八下·洞头）对于命题“已知：，求证："。如果用反证法，应先假设（ ）
A．不平行 B．不平行 C． D．不平行
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 已知：，求证： ，
如果用反证法，应先假设a与c不平行 ；
故答案为：D.
【分析】由的反面是“a与c不平行 ”，据此假设即可.
4．（2023八下·宝安期中）用反证法证明命题：“在中，，则”．应先假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明命题：“在中，，则”
先假设，
故答案为：D.
【分析】利用反证法的定义及书写要求求解即可。
5．（2023八下·洞头期中）用反证法证明命题：“在中，对边是，若，则”的第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B的对边是a、b，若∠A>∠B，则a>b”的第一步应假设a≤b.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明的第一步为：假设结论不成立，故只需找出a>b的反面即可.
6．（2023八下·南海期中）下列说法，错误的是（ ）
A．一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等
B．“若，则”的逆命题是假命题
C．在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中有一个内角大于60°
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；反证法；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法正确，不符合题意；
B、“若，则”的逆命题是若，则是假命题，例如，而，故本选项说法正确，不符合题意；
C、在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，不符合题意；
D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于，故本选项说法错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的性质、角平分线的判断、不等式的性质及反证法逐项判断可得答案。
7．（2022八下·西安月考）用反证法证明：a，b，c至少有一个为0，应该假设（ ）
A．a，b，c没有一个为0 B．a，b，c只有一个为0
C．a，b，c至多一个为0 D．a，b，c三个都为0
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：根据反证法证明：a，b，c至少有一个为0，应该假设a，b，c没有一个为0；
故答案为：A.
【分析】反证法的第一步为假设结论不成立，故只需找出至少有一个为0的反面即可.
8．（2021八下·嵊州期末）已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾 ②因此假设不成立.所以∠B＜90°③假设在△ABC中，∠B≥90° ④由AB=AC，得∠C=∠B≥90°，即∠B+∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①假设在△ABC中，∠B≥90°，
②由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°，
③∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
④因此假设不成立.
∴∠B＜90°，
故答案为：D.
【分析】利用反证法的步骤：假设命题反面成立；从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立；即可得到这四个步骤正确的顺序的选项.
二、填空题
9．用反证法证明：“多边形的内角中，锐角的个数最多有3个”的第一步应假设： 。
【答案】多边形的内角中，锐角的个数至少有4个
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：“多边形的内角中，锐角的个数最多有3个”的第一步应假设：多边形的内角中，锐角的个数至少有4个.
故答案为：多边形的内角中，锐角的个数至少有4个.
【分析】根据反证法的步骤假设结论的反面成立，即可得解.
10．（2023八下·青岛期中）对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设 ．
【答案】四边形ABCD是平行四边形
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意得用反证法证明这个结论时，第一步应假设四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：四边形ABCD是平行四边形
【分析】根据反证法的定义结合题意即可求解。
11．（2022八下·茂南期中）等腰三角形的底角必为锐角．用反证法证明，第一步是假设 ．
【答案】等腰三角形的底角不是锐角（或等腰三角形的底角是直角或钝角）
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：等腰三角形的底角必为锐角．
用反证法证明，第一步是假设等腰三角形的底角不是锐角（或等腰三角形的底角是直角或钝角）
故答案为：等腰三角形的底角不是锐角（或等腰三角形的底角是直角或钝角）
【分析】利用反证法的定义及书写要求求解即可。
12．（2020八下·建湖月考）“一个三角形中不可能有两个角是直角”用反证法证明时,首先应假设这形: .
【答案】有两个角是直角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明一个三角形中不可能有两个直角时，应先假设这个三角形中有两个角是直角.
故答案为：有两个角是直角.
【分析】解此题的关键是：理解和掌握反证法的意义及步骤. 反证法的步骤是：①假设结论不成立；②从假设出发推出矛盾；③假设不成立，则结论成立. 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种情况，那么直接否定即可，如果有多种情况，则需要一一否定.
三、解答题
13．用反证法证明(填空) ：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图①，直线l1，被l2所截，∠1+∠2= 180°．
求证：l1∥l2．
证明：假设l1 l2，即l1与l2相交于一点P(如图②)．
则∠1+∠2+∠P 180°（ ）
∴∠1+∠2 180°，这与 矛盾，故 不成立．
∴
【答案】证明：假设l1不平行l2，即l1与l2相交于一点P(如图②)．
则∠1+∠2+∠P=180°(三角形内角和定理)
∴∠1+∠2<180°，这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．
∴l1∥l2
【知识点】平行线的判定与性质；反证法
【解析】【分析】 根据反证法证明的步骤，先假设结论不成立，即l1不平行l2 则l1与l2相交于一点P，根据三角形内角和定理，可得∠1+∠2+∠P=180°，与已知∠1+∠2= 180°相矛盾，从而得出假设是不成立，即原结论是正确的，即可证得l1与l2平行．
14．用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
【答案】解：已知，如图，∠1是△ABC的一个外角，
求证：∠1=∠A+∠B.
证明：假设三角形的一个外角不等于与它不相邻的两个内角的和，即∠1≠∠A+∠B，
∵∠A+∠B+∠2=180°，∠1≠∠A+∠B，
∴∠1+∠2≠180°，与邻补角互补相矛盾，
∴ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
【知识点】反证法
【解析】【分析】根据反证法的意义，先假设结论不成立，则其反面成立，根据假设和已知条件得出与已有的定理、定义相矛盾的结论，故假设不成立.
15．用反证法证明：如图，已知AE、BF是平行四边形ABCD的两条高，且AE≠BF，求证：平行四边形ABCD不是菱形．
【答案】证明：设平行四边形ABCD是菱形，
∵S平行四边形ABCD=BC AE=CD BF，
又∵AE≠BF，
∴BC≠CD，
与菱形ABCD中，BC=CD相矛盾．
∴平行四边形ABCD不是菱形．
【知识点】反证法
【解析】【分析】首先假设平行四边形ABCD不是菱形，利用平行四边形的面积公式即可证得平行四边形的边不等，与菱形的定义矛盾，从而得证．
1 / 12024年浙教版数学八年级下册4.6反证法课后提高练
一、选择题
1．已知在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.若用反证法证明这个结论，可假设（ ）
A．∠A=∠B B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠A=∠C
2．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°" ，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形中有一个锐角大于 45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形中有一个锐角小于45°
3．（2023八下·洞头）对于命题“已知：，求证："。如果用反证法，应先假设（ ）
A．不平行 B．不平行 C． D．不平行
4．（2023八下·宝安期中）用反证法证明命题：“在中，，则”．应先假设（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·洞头期中）用反证法证明命题：“在中，对边是，若，则”的第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·南海期中）下列说法，错误的是（ ）
A．一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等
B．“若，则”的逆命题是假命题
C．在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中有一个内角大于60°
7．（2022八下·西安月考）用反证法证明：a，b，c至少有一个为0，应该假设（ ）
A．a，b，c没有一个为0 B．a，b，c只有一个为0
C．a，b，c至多一个为0 D．a，b，c三个都为0
8．（2021八下·嵊州期末）已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾 ②因此假设不成立.所以∠B＜90°③假设在△ABC中，∠B≥90° ④由AB=AC，得∠C=∠B≥90°，即∠B+∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
二、填空题
9．用反证法证明：“多边形的内角中，锐角的个数最多有3个”的第一步应假设： 。
10．（2023八下·青岛期中）对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设 ．
11．（2022八下·茂南期中）等腰三角形的底角必为锐角．用反证法证明，第一步是假设 ．
12．（2020八下·建湖月考）“一个三角形中不可能有两个角是直角”用反证法证明时,首先应假设这形: .
三、解答题
13．用反证法证明(填空) ：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图①，直线l1，被l2所截，∠1+∠2= 180°．
求证：l1∥l2．
证明：假设l1 l2，即l1与l2相交于一点P(如图②)．
则∠1+∠2+∠P 180°（ ）
∴∠1+∠2 180°，这与 矛盾，故 不成立．
∴
14．用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
15．用反证法证明：如图，已知AE、BF是平行四边形ABCD的两条高，且AE≠BF，求证：平行四边形ABCD不是菱形．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法的步骤：
①首先假设原命题不成立，②推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，③得出原假设不成立，即原命题成立.
∵用反证法证明命题“ 在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C ”，
∴证明的第一步应为：假设结论不成立，即：∠B=∠C.
故答案为：C.
【分析】根据反证法的意义“反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证”并结合题意可求解.
2．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于45°．
故答案为：A．
【分析】根据反证法证明的步骤，第一步假设结论不成立直接得出答案即可．
3．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 已知：，求证： ，
如果用反证法，应先假设a与c不平行 ；
故答案为：D.
【分析】由的反面是“a与c不平行 ”，据此假设即可.
4．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明命题：“在中，，则”
先假设，
故答案为：D.
【分析】利用反证法的定义及书写要求求解即可。
5．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A、∠B的对边是a、b，若∠A>∠B，则a>b”的第一步应假设a≤b.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明的第一步为：假设结论不成立，故只需找出a>b的反面即可.
6．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；反证法；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法正确，不符合题意；
B、“若，则”的逆命题是若，则是假命题，例如，而，故本选项说法正确，不符合题意；
C、在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，不符合题意；
D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于，故本选项说法错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的性质、角平分线的判断、不等式的性质及反证法逐项判断可得答案。
7．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：根据反证法证明：a，b，c至少有一个为0，应该假设a，b，c没有一个为0；
故答案为：A.
【分析】反证法的第一步为假设结论不成立，故只需找出至少有一个为0的反面即可.
8．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①假设在△ABC中，∠B≥90°，
②由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°，
③∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
④因此假设不成立.
∴∠B＜90°，
故答案为：D.
【分析】利用反证法的步骤：假设命题反面成立；从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立；即可得到这四个步骤正确的顺序的选项.
9．【答案】多边形的内角中，锐角的个数至少有4个
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：“多边形的内角中，锐角的个数最多有3个”的第一步应假设：多边形的内角中，锐角的个数至少有4个.
故答案为：多边形的内角中，锐角的个数至少有4个.
【分析】根据反证法的步骤假设结论的反面成立，即可得解.
10．【答案】四边形ABCD是平行四边形
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意得用反证法证明这个结论时，第一步应假设四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：四边形ABCD是平行四边形
【分析】根据反证法的定义结合题意即可求解。
11．【答案】等腰三角形的底角不是锐角（或等腰三角形的底角是直角或钝角）
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：等腰三角形的底角必为锐角．
用反证法证明，第一步是假设等腰三角形的底角不是锐角（或等腰三角形的底角是直角或钝角）
故答案为：等腰三角形的底角不是锐角（或等腰三角形的底角是直角或钝角）
【分析】利用反证法的定义及书写要求求解即可。
12．【答案】有两个角是直角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明一个三角形中不可能有两个直角时，应先假设这个三角形中有两个角是直角.
故答案为：有两个角是直角.
【分析】解此题的关键是：理解和掌握反证法的意义及步骤. 反证法的步骤是：①假设结论不成立；②从假设出发推出矛盾；③假设不成立，则结论成立. 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种情况，那么直接否定即可，如果有多种情况，则需要一一否定.
13．【答案】证明：假设l1不平行l2，即l1与l2相交于一点P(如图②)．
则∠1+∠2+∠P=180°(三角形内角和定理)
∴∠1+∠2<180°，这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．
∴l1∥l2
【知识点】平行线的判定与性质；反证法
【解析】【分析】 根据反证法证明的步骤，先假设结论不成立，即l1不平行l2 则l1与l2相交于一点P，根据三角形内角和定理，可得∠1+∠2+∠P=180°，与已知∠1+∠2= 180°相矛盾，从而得出假设是不成立，即原结论是正确的，即可证得l1与l2平行．
14．【答案】解：已知，如图，∠1是△ABC的一个外角，
求证：∠1=∠A+∠B.
证明：假设三角形的一个外角不等于与它不相邻的两个内角的和，即∠1≠∠A+∠B，
∵∠A+∠B+∠2=180°，∠1≠∠A+∠B，
∴∠1+∠2≠180°，与邻补角互补相矛盾，
∴ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
【知识点】反证法
【解析】【分析】根据反证法的意义，先假设结论不成立，则其反面成立，根据假设和已知条件得出与已有的定理、定义相矛盾的结论，故假设不成立.
15．【答案】证明：设平行四边形ABCD是菱形，
∵S平行四边形ABCD=BC AE=CD BF，
又∵AE≠BF，
∴BC≠CD，
与菱形ABCD中，BC=CD相矛盾．
∴平行四边形ABCD不是菱形．
【知识点】反证法
【解析】【分析】首先假设平行四边形ABCD不是菱形，利用平行四边形的面积公式即可证得平行四边形的边不等，与菱形的定义矛盾，从而得证．
1 / 1
