2024年浙教版数学八年级下册4.6反证法课后培优练
一、选择题
1．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角" ，应首先假设这个四边形中（ ）
A．没有一个角是锐角 B．每一个角都是钝角或直角
C．至少有一个角是钝角或直角 D．所有角都是锐角
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中所有角都是锐角．
故答案为：D．
【分析】根据反证法证明的步骤，第一步是假设结论不成立，反面成立，因此四边形中没有一个角是钝角或直角即所有角都是锐角．
2．用反证法证明命题“如图，如果 AB∥CD，AB ∥EF，那么CD∥EF”时，第一步是（ ）
A．假设 AB不平行于CD B．假设 AB不平行于 EF
C．假设 CD∥EF D．假设 CD不平行于 EF
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法的步骤：
①首先假设原命题不成立，②推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，③得出原假设不成立，即原命题成立.
∵用反证法证明命题“如图，如果 AB∥CD，AB ∥EF，那么CD∥EF”，
∴证明的第一步应为：假设结论不成立，即：假设CD不平行于EF.
故答案为：D.
【分析】根据反证法的意义“反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证”并结合题意可求解.
3．用反证法证明命题“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”的过程如下：
已知：△ABC．
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°．
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60° ，即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°，则∠A+∠B+∠C>60+60°+60°= 180°，
这与“____”这个定理相矛盾，
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°．
在证明过程中，横线上应填入的句子是（ ）
A．三角形内角和等于180°
B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
C．等边三角形的各角都相等，并且每个角都等于60°
D．等式的性质
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60° ，即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°，则∠A+∠B+∠C>60+60°+60°= 180°，
这与“三角形的三内角和为180°”这个定理相矛盾，
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°．
故答案为：A．
【分析】根据反证法证明步骤，先假设结论不成立，然后算出三角形的内角和比180°大，与三角形的内角和定理相矛盾，从而证得原结论成立．
4．（2023八下·宁波期末）用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ）
A． B． C．a与b相交 D．a与c相交
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵用反证法证明时，应先假设a与c相交.
故答案为：D.
【分析】用反证法证明时，首先应假设结论不成立，据此解答.
5．（2023八下·上城期中）若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（ ）
A． 至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角
C．每一个角都是钝角或直角 D．每一个角是锐角
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：利用反证法证明"四边形中至少有一个角是钝角或直角 "时应该假设结论不成立：四边形里没有一个角是钝角或直角.
故答案为：D.
【分析】在反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，即至少有一个角是钝角或直角，否定为没有一个角是钝角或直角.
6．（2022八下·临渭期末）下列命题正确的是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等
B．两条对角线相等的四边形是平行四边形
C．分式 的值不能为零
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60”，先假设这个三角形中有一个内角大于60°
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件；角平分线的性质；平行四边形的判定；反证法；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，故本选项命题错误，不符合题意；
B、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项命题错误，不符合题意；
C、分式值为0的条件是分子等于0，且分母不为0，而该题中分子是常数2，故分式的值不可能为0，故本选项命题正确，符合题意；
D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中每一个内角都大于60°，故本选项命题错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定定理、分式的值为0的条件、反证法，逐项进行判断，即可得出答案.
7．（2020八下·奉化期末）反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每个内角都大于60°
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．
假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°，
则a+b+c＜60°+60°+60°，
即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c=180°矛盾．
所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°．
故选B．
【分析】此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立．然后推出不成立．得出选项．
8．用反证法证明命题：“若a，b是整数，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（ ）
A．a，b都能被3整除 B．a不能被3整除
C．a，b不都能被3整除 D．a，b都不能被3整除
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：
“a，b都不能被3整除”，
故应假设 a，b都不能被3整除．
故选 D．
【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的对立面是：“a，b都不能被3整除”，得到假设．
二、填空题
9．用反证法证明命题“已知：如图，L1与L2不平行，求证：∠1≠∠2”．证明时应假设 ．
【答案】 ∠1=∠2
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：根据反证法的步骤，则可假设∠1=∠2，
故答案为：∠1=∠2．
【分析】在反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，可据此进行填空．
10．若用反证法证明：若a＞b＞0，则，需假设 ．
【答案】
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：大于的反面是小于等于．
故答案为．
【分析】熟记反证法的步骤，第一步即假设结论不成立．
11．请列举一个可以用来证明命题“对角线相等的四边形是矩形”是假命题的反例：
【答案】等腰梯形（答案不唯一）
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵等腰梯形的对角线相等，
∴对角线相等的四边形不一定是矩形，
故答案为：等腰梯形（答案不唯一）．
【分析】根据题意只要举出是对角线相等的四边形，但不是矩形的例子即可．
12．（2017八下·江东期中）在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于60°”成立时，我们利用反证法，先假设 ，则可推出三个内角之和大于180°，这与三角形内角和定理相矛盾．
【答案】三角形的三个内角都大于60°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于60°．
故答案为：三角形的三个内角都大于60°．
【分析】根据反证法的步骤，先假设结论不成立，即否定命题即可．
三、解答题
13．如图，在△ABC 中，AB=c，BC=a，AC=b，c >a>b，且b +a ≠c .求证：△ABC 不是直角三角形(请用反证法证明).
【答案】证明：假设△ABC是直角三角形，
∵c＞a＞b，
∴∠C＞∠A＞∠B，
∴∠C=90°，
∴c2=a2+b2于题干b2+a2≠c2不相符，
∴假设不成立，即△ABC 不是直角三角形 .
【知识点】反证法
【解析】【分析】根据反证法的意义“反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证”并结合题意可求解.
14．阅读下列文字，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC=BC，因为∠A≠45°，∠C=90°，所以∠A≠∠B．
所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．
【答案】有错误．改正：
假设AC=BC，则∠A=∠B，又∠C=90°，
∴∠B=∠A=45° ，这与∠A≠45°矛盾，
∴AC= BC不成立，∴AC≠BC．
【知识点】反证法
【解析】【分析】 反证法的一般步骤是（1）假设结论不成立（2）从假设出发推出矛盾（3）假设不成立，则结论成立．运用反证法证题时，正确的应从假设出发，把假设AC=BC当做已知条件，经过推理论证，得出∠B=∠A=45°与已知相矛盾，从而判定假设不成立，肯定结论.
15．用反证法证明下列问题。
如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O。
求证：BD和CE不可能互相平分。
【答案】证明：连结DE假设BD和CE互相平分，则四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD.
∵在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，
∴AC不可能平行于AB，与BE∥CD矛盾，故假设不成立，原命题正确，
即BD和CE不可能互相平分。
【知识点】平行四边形的判定与性质；反证法
【解析】【分析】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，然后经过推理得出的结论与假设矛盾，从而证明问题的一种方法，先连结DE，则先假设BD和CE互相平分，利用平行四边形的判定定理，结合平行线的定义，即可证明.
1 / 12024年浙教版数学八年级下册4.6反证法课后培优练
一、选择题
1．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角" ，应首先假设这个四边形中（ ）
A．没有一个角是锐角 B．每一个角都是钝角或直角
C．至少有一个角是钝角或直角 D．所有角都是锐角
2．用反证法证明命题“如图，如果 AB∥CD，AB ∥EF，那么CD∥EF”时，第一步是（ ）
A．假设 AB不平行于CD B．假设 AB不平行于 EF
C．假设 CD∥EF D．假设 CD不平行于 EF
3．用反证法证明命题“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”的过程如下：
已知：△ABC．
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°．
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60° ，即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°，则∠A+∠B+∠C>60+60°+60°= 180°，
这与“____”这个定理相矛盾，
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°．
在证明过程中，横线上应填入的句子是（ ）
A．三角形内角和等于180°
B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
C．等边三角形的各角都相等，并且每个角都等于60°
D．等式的性质
4．（2023八下·宁波期末）用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ）
A． B． C．a与b相交 D．a与c相交
5．（2023八下·上城期中）若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（ ）
A． 至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角
C．每一个角都是钝角或直角 D．每一个角是锐角
6．（2022八下·临渭期末）下列命题正确的是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等
B．两条对角线相等的四边形是平行四边形
C．分式 的值不能为零
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60”，先假设这个三角形中有一个内角大于60°
7．（2020八下·奉化期末）反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每个内角都大于60°
8．用反证法证明命题：“若a，b是整数，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（ ）
A．a，b都能被3整除 B．a不能被3整除
C．a，b不都能被3整除 D．a，b都不能被3整除
二、填空题
9．用反证法证明命题“已知：如图，L1与L2不平行，求证：∠1≠∠2”．证明时应假设 ．
10．若用反证法证明：若a＞b＞0，则，需假设 ．
11．请列举一个可以用来证明命题“对角线相等的四边形是矩形”是假命题的反例：
12．（2017八下·江东期中）在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于60°”成立时，我们利用反证法，先假设 ，则可推出三个内角之和大于180°，这与三角形内角和定理相矛盾．
三、解答题
13．如图，在△ABC 中，AB=c，BC=a，AC=b，c >a>b，且b +a ≠c .求证：△ABC 不是直角三角形(请用反证法证明).
14．阅读下列文字，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC=BC，因为∠A≠45°，∠C=90°，所以∠A≠∠B．
所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．
15．用反证法证明下列问题。
如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O。
求证：BD和CE不可能互相平分。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中所有角都是锐角．
故答案为：D．
【分析】根据反证法证明的步骤，第一步是假设结论不成立，反面成立，因此四边形中没有一个角是钝角或直角即所有角都是锐角．
2．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法的步骤：
①首先假设原命题不成立，②推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，③得出原假设不成立，即原命题成立.
∵用反证法证明命题“如图，如果 AB∥CD，AB ∥EF，那么CD∥EF”，
∴证明的第一步应为：假设结论不成立，即：假设CD不平行于EF.
故答案为：D.
【分析】根据反证法的意义“反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证”并结合题意可求解.
3．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60° ，即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°，则∠A+∠B+∠C>60+60°+60°= 180°，
这与“三角形的三内角和为180°”这个定理相矛盾，
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°．
故答案为：A．
【分析】根据反证法证明步骤，先假设结论不成立，然后算出三角形的内角和比180°大，与三角形的内角和定理相矛盾，从而证得原结论成立．
4．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵用反证法证明时，应先假设a与c相交.
故答案为：D.
【分析】用反证法证明时，首先应假设结论不成立，据此解答.
5．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：利用反证法证明"四边形中至少有一个角是钝角或直角 "时应该假设结论不成立：四边形里没有一个角是钝角或直角.
故答案为：D.
【分析】在反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，即至少有一个角是钝角或直角，否定为没有一个角是钝角或直角.
6．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件；角平分线的性质；平行四边形的判定；反证法；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，故本选项命题错误，不符合题意；
B、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项命题错误，不符合题意；
C、分式值为0的条件是分子等于0，且分母不为0，而该题中分子是常数2，故分式的值不可能为0，故本选项命题正确，符合题意；
D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中每一个内角都大于60°，故本选项命题错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定定理、分式的值为0的条件、反证法，逐项进行判断，即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．
假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°，
则a+b+c＜60°+60°+60°，
即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c=180°矛盾．
所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°．
故选B．
【分析】此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立．然后推出不成立．得出选项．
8．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：
“a，b都不能被3整除”，
故应假设 a，b都不能被3整除．
故选 D．
【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的对立面是：“a，b都不能被3整除”，得到假设．
9．【答案】 ∠1=∠2
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：根据反证法的步骤，则可假设∠1=∠2，
故答案为：∠1=∠2．
【分析】在反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，可据此进行填空．
10．【答案】
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：大于的反面是小于等于．
故答案为．
【分析】熟记反证法的步骤，第一步即假设结论不成立．
11．【答案】等腰梯形（答案不唯一）
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵等腰梯形的对角线相等，
∴对角线相等的四边形不一定是矩形，
故答案为：等腰梯形（答案不唯一）．
【分析】根据题意只要举出是对角线相等的四边形，但不是矩形的例子即可．
12．【答案】三角形的三个内角都大于60°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于60°．
故答案为：三角形的三个内角都大于60°．
【分析】根据反证法的步骤，先假设结论不成立，即否定命题即可．
13．【答案】证明：假设△ABC是直角三角形，
∵c＞a＞b，
∴∠C＞∠A＞∠B，
∴∠C=90°，
∴c2=a2+b2于题干b2+a2≠c2不相符，
∴假设不成立，即△ABC 不是直角三角形 .
【知识点】反证法
【解析】【分析】根据反证法的意义“反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证”并结合题意可求解.
14．【答案】有错误．改正：
假设AC=BC，则∠A=∠B，又∠C=90°，
∴∠B=∠A=45° ，这与∠A≠45°矛盾，
∴AC= BC不成立，∴AC≠BC．
【知识点】反证法
【解析】【分析】 反证法的一般步骤是（1）假设结论不成立（2）从假设出发推出矛盾（3）假设不成立，则结论成立．运用反证法证题时，正确的应从假设出发，把假设AC=BC当做已知条件，经过推理论证，得出∠B=∠A=45°与已知相矛盾，从而判定假设不成立，肯定结论.
15．【答案】证明：连结DE假设BD和CE互相平分，则四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD.
∵在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，
∴AC不可能平行于AB，与BE∥CD矛盾，故假设不成立，原命题正确，
即BD和CE不可能互相平分。
【知识点】平行四边形的判定与性质；反证法
【解析】【分析】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，然后经过推理得出的结论与假设矛盾，从而证明问题的一种方法，先连结DE，则先假设BD和CE互相平分，利用平行四边形的判定定理，结合平行线的定义，即可证明.
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