2024年浙教版数学八年级下册5.1矩形课后基础练
一、选择题
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角相等
C．对边相等 D．对角线互相平分
2．已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10 cm，则矩形的面积为（ ）
A．12 cm2 B．24 cm2 C．48 cm2 D．60 cm2
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB
4．（2023八下·青山期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点．下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·武汉期末）矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角相等
6．（2023八下·凉山期末）如图，在矩形中，点E在上，且平分，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·洪洞期末）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．（2023八下·灵丘期中）如图，已知ABCD中对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为一个矩形．你添加的条件是__．
9．（2022八下·仙居期末）木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为，宽为，对角线为130cm，则做出的这个桌面 .（填“合格”或“不合格”）
10．（2023八下·南宁期末）如图，在矩形中，对角线和交于点O，若，则 ．
11．（2023八下·吉首期末）矩形的一条边长是，一条对角线的长是4，则这个矩形的面积是 ．
三、解答题
12．（2023八下·望花期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，且若，求的度数．
13．（2021八下·硚口期末）如图，在 中， 于E，点F在边 上， ，求证：四边形 是矩形.
14．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作 ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】矩形是一个特殊的平行四边形，因此平行四边形的性质矩形都具有，而矩形的性质：①对角线相等，②四个角是直角平行四边形不具有，据此即可得到结果。
【解答】矩形是一个特殊的平行四边形，而矩形的性质：①对角线相等，②四个角是直角平行四边形不具有。
故选A.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等。
2．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：另一边==8 cm，
∴ 矩形的面积=6×8=48 cm2.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质得四个角为直角，再根据勾股定理即可求得另一个，再根据矩形的面积即可求得.
3．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AC=BD，OA=OB，不能推出AC⊥BD，
∴选项A、B、D不符合题意，选项C不符合题意；
故答案为：C．
【分析】矩形具有平行四边形的一切性质，而且平行四边形的对角线相等但不垂直，而菱形的对角线互相垂直.
4．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，故成立；
B、∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD互相平分，
∴AO=OC，故成立；
C、∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，故成立；
D、矩形的对角线不一定互相垂直，故不成立.
故答案为：D.
【分析】(1)根据矩形的对边平行作判断；
（2）根据矩形的对角线互相平分作判断；
（3）根据矩形对角线相等作判断；
（4）根据矩形的对角线相等且互相平分作，一般矩形的对角线不互相垂直作判断.
5．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线互相平分，本项正确，不符合题意；
B、矩形的对角线不一定互相垂直，本项错误，符合题意；
C、矩形的对角线相等，本项正确，不符合题意；
D、矩形的对角相等，本项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质：矩形对边相等且平行，矩形四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分，逐项判断即可.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形中，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵EC平分∠DEB，
∴∠DEC=∠BEC，
∴∠BEC=∠ECB，
∴BE=BC，
∵∠A=90°，
∵∠ABE=45°，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=2.
在Rt△ABE中，
则AD=BC=BE=
∴DE=AD-AE=
故答案为：A.
【分析】先证明∠ABE=AEB=45°，得出AB=AE=2，根据勾股定理求出BE，即可得出答案．
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
AC为矩形ABCD的对角线，则，故A正确；
AF为矩形AEFN的对角线，则，故B正确；
根据题意可知：，故C正确；
，，当时，，故D错误。
故答案为：D
【分析】根据矩形性质及三角形面积即可求出答案。
8．【答案】AC＝BD（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：添加的条件是AC =BD(答案不唯一)，
理由如下：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC = BD(答案不唯一).
【分析】利用矩形的判定方法证明即可。
9．【答案】不合格
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答】解：不合格，
理由：，
即：，
，
四边形ABCD不是矩形，
这个桌面不合格.
故答案为：不合格.
【分析】由题意可得AD2+CD2≠AC2，则四边形ABCD不是矩形，据此判断.
10．【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】 ∵四边形ABCD是矩形，AC=4，
∴BD=AC=4．
故答案为：4.
【分析】依据矩形的对角线相等直接求解.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：由勾股定理得矩形的另一条边的长度为，
∴这个矩形的面积是，
故答案为：
【分析】先根据勾股定理求出矩形的另一条边的边长，再运用矩形的面积公式即可求解。
12．【答案】解：四边形ABCD是矩形，
，
，
.
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质求出∠DAB=90°，代入∠OAB=∠DAB-∠OAD求出即可∠OAB的度数.
13．【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AD DF＝BC BE，
即AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形AECF是矩形
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，结合已知得AF＝CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，由垂线定义得∠AEC＝90°，再根据一个角是直角的平行四边形是菱形可得四边形AECF是菱形.
14．【答案】证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质、利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形.
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一、选择题
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角相等
C．对边相等 D．对角线互相平分
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】矩形是一个特殊的平行四边形，因此平行四边形的性质矩形都具有，而矩形的性质：①对角线相等，②四个角是直角平行四边形不具有，据此即可得到结果。
【解答】矩形是一个特殊的平行四边形，而矩形的性质：①对角线相等，②四个角是直角平行四边形不具有。
故选A.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等。
2．已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10 cm，则矩形的面积为（ ）
A．12 cm2 B．24 cm2 C．48 cm2 D．60 cm2
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：另一边==8 cm，
∴ 矩形的面积=6×8=48 cm2.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质得四个角为直角，再根据勾股定理即可求得另一个，再根据矩形的面积即可求得.
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AC=BD，OA=OB，不能推出AC⊥BD，
∴选项A、B、D不符合题意，选项C不符合题意；
故答案为：C．
【分析】矩形具有平行四边形的一切性质，而且平行四边形的对角线相等但不垂直，而菱形的对角线互相垂直.
4．（2023八下·青山期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点．下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，故成立；
B、∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD互相平分，
∴AO=OC，故成立；
C、∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，故成立；
D、矩形的对角线不一定互相垂直，故不成立.
故答案为：D.
【分析】(1)根据矩形的对边平行作判断；
（2）根据矩形的对角线互相平分作判断；
（3）根据矩形对角线相等作判断；
（4）根据矩形的对角线相等且互相平分作，一般矩形的对角线不互相垂直作判断.
5．（2023八下·武汉期末）矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角相等
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线互相平分，本项正确，不符合题意；
B、矩形的对角线不一定互相垂直，本项错误，符合题意；
C、矩形的对角线相等，本项正确，不符合题意；
D、矩形的对角相等，本项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质：矩形对边相等且平行，矩形四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分，逐项判断即可.
6．（2023八下·凉山期末）如图，在矩形中，点E在上，且平分，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形中，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵EC平分∠DEB，
∴∠DEC=∠BEC，
∴∠BEC=∠ECB，
∴BE=BC，
∵∠A=90°，
∵∠ABE=45°，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=2.
在Rt△ABE中，
则AD=BC=BE=
∴DE=AD-AE=
故答案为：A.
【分析】先证明∠ABE=AEB=45°，得出AB=AE=2，根据勾股定理求出BE，即可得出答案．
7．（2023八下·洪洞期末）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
AC为矩形ABCD的对角线，则，故A正确；
AF为矩形AEFN的对角线，则，故B正确；
根据题意可知：，故C正确；
，，当时，，故D错误。
故答案为：D
【分析】根据矩形性质及三角形面积即可求出答案。
二、填空题
8．（2023八下·灵丘期中）如图，已知ABCD中对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为一个矩形．你添加的条件是__．
【答案】AC＝BD（答案不唯一）
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：添加的条件是AC =BD(答案不唯一)，
理由如下：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC = BD(答案不唯一).
【分析】利用矩形的判定方法证明即可。
9．（2022八下·仙居期末）木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为，宽为，对角线为130cm，则做出的这个桌面 .（填“合格”或“不合格”）
【答案】不合格
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答】解：不合格，
理由：，
即：，
，
四边形ABCD不是矩形，
这个桌面不合格.
故答案为：不合格.
【分析】由题意可得AD2+CD2≠AC2，则四边形ABCD不是矩形，据此判断.
10．（2023八下·南宁期末）如图，在矩形中，对角线和交于点O，若，则 ．
【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】 ∵四边形ABCD是矩形，AC=4，
∴BD=AC=4．
故答案为：4.
【分析】依据矩形的对角线相等直接求解.
11．（2023八下·吉首期末）矩形的一条边长是，一条对角线的长是4，则这个矩形的面积是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：由勾股定理得矩形的另一条边的长度为，
∴这个矩形的面积是，
故答案为：
【分析】先根据勾股定理求出矩形的另一条边的边长，再运用矩形的面积公式即可求解。
三、解答题
12．（2023八下·望花期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，且若，求的度数．
【答案】解：四边形ABCD是矩形，
，
，
.
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质求出∠DAB=90°，代入∠OAB=∠DAB-∠OAD求出即可∠OAB的度数.
13．（2021八下·硚口期末）如图，在 中， 于E，点F在边 上， ，求证：四边形 是矩形.
【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AD DF＝BC BE，
即AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形AECF是矩形
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，结合已知得AF＝CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，由垂线定义得∠AEC＝90°，再根据一个角是直角的平行四边形是菱形可得四边形AECF是菱形.
14．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作 ABDE，连接AD，EC．求证：四边形ADCE是矩形．
【答案】证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形
【知识点】矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的性质、利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形.
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