2024年浙教版数学八年级下册5.1矩形课后提高练
一、选择题
1．（2023八下·綦江期中） 下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．四边相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】 A：有一个角是直角的平行四边形不一定是矩形，A错误，不合题意；
B：四边相等的四边形不一定是菱形，B错误，不合题意；
C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C错误，不合题意；
D：对角线相等的平行四边形是矩形，D正确，符合题意。
故答案为D
【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握其方法很重要。有一个直角的四边形不一定是矩形。有三个直角的四边形是矩形；有一个直角的平行四边形是矩形；有一组邻边垂直的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相平分且相等的四边形是矩形。注意区别菱形和矩形的判定。
2．（2023八下·福州期末）矩形不具有的性质是（ ）
A．四个角都相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的四个角都是直角，对角线相等且互相平分.
故答案为：C.
【分析】矩形的性质：对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分.
3．（2023八下·锡山期中）顺次连接对角线长为6的矩形四边中点所得的四边形的周长为（ ）
A．12 B．18 C．9 D．无法确定
【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
∴EF=HG=AC=3，EH=FG=BD=3
∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+EH=12
故答案为：A
【分析】矩形的对角线相等；三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
4．（2023八下·双鸭山期中）如图，矩形的对角线相交于点O，，，则边的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO=2BO，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=AB，
∵AC+AB=12，
∴3AB=12，
∴AB=4.
故答案为：B.
【分析】由矩形的性质得AC=2AO=2BO，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质得AO=AB，最后结合AC+AB=12，即可求出答案.
5．（2021八下·丰南期中）如图，阴影部分的面积是（ ）
A．65cm2 B．60cm2 C．50cm2 D．48cm2
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：由题可知：阴影部分的长为：
∵宽为4cm，
∴面积为：
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理求出阴影部分的长，再求出长方形的面积即可。
6．（2021八下·绵阳期末）如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形的四个角是直角
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，
故答案为：D.
【分析】矩形的判定定理有：对角线相等的平行四边形是矩形；一个角是直角的平行四边形是矩形；结合题意分别判断即可.
7．（2021八下·西湖期末）如图，矩形 中，E，F是 上的两个点， ， ，垂足分别为G，H，若 ， ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形.
∵EG⊥AC，FH⊥AC，
∴∠CHF=∠AGQ=90°，
∵矩形ABCD中，CD∥AB，
∴∠FCH=∠QAG，
在△FCH和△QAG中，
，
∴△FCH≌△QAG（ASA），
∴AQ=CF=2，FH=QG，
∵∠D=∠DAM=∠AME=90°，
∴四边形ADEM是矩形，
∴AM=DE=1，EM=AD=2，
∴MQ=2-1=1，
∴Rt△EMQ中，EQ= ，
即EG+QG=EG+FH= ，
故答案为：B.
【分析】过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形，易证△FCH≌△QAG，得到AQ=CF=2，FH=QG，推出四边形ADEM是矩形，进而求得AM、EM、MQ的值，接下来在Rt△EMQ中，应用勾股定理可得EQ的值，据此可得EG+QG=EG+FH的值.
8．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD 于点E，F，则阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：O是矩形ABCD对角线的交点
阴影部分的面积是矩形ABCD面积的
故答案选：B.
【分析】本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论.
二、填空题
9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ACD=30°.如果△ABC的周长比△AOB 的周长大 10，那么矩形 ABCD的对角线AC 的长为 .
【答案】20
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ ∠ADC=90°，
∵ ∠ACD=30°，
∴ ∠ACB=60°，
∵ OC=OB，
∴ △BOC为等边三角形，
∴ OC=OB=BC，
∵△ABC的周长比△AOB 的周长大 10，
且△ABC的周长=AB+AO+OC+BC，△AOB 的周长=AB+AO+OB，
∴ BC=10，
即OB=10，
∴ AC=2OB=20.
【分析】根据矩形的性质得∠ADC=90°，根据等边三角形的判定和性质得OB=BC，根据题意即可求得BC，再根据矩形的性质得AC=2OB即可求得.
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上(不与点A，B重合)，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连结EF．若AC=3，BC=2，则EF的最小值为 .
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CD，
DE⊥AC ， DF⊥BC ， ∠ACB=90，
∴四边形DFCE是矩形，
∴EF=CD
可得时，线段EF的值最小，
AC=3，BC=2， 由勾股定理得，
，即，
解得.
∴EF的最小值为.
故答案为：.
【分析】连接CD，由题意得四边形DFCE是矩形，由矩形的性质得EF=CD，可得时，线段EF的值最小，根据三角形等面积法求出此时，即可得解.
11．如图，四边形ABDE是矩形，AC⊥DC于点C，交BD于点F，AE=AC，∠ADE=62° ，则∠BAF的度数为 °
【答案】34
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质
【解析】【解答】解： 四边形ABDE是矩形 ，
∴AE=AC，AD=AD
AC⊥DC于点C，∴
∴
∴
.
故答案为：34
【分析】根据矩形得性质可得证明，由全等三角形得性质可得，由，计算求解即可.
12．（2023八下·良庆期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=12cm，OA=OB=BD=6cm，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=OA=6cm.
故答案为：6.
【分析】根据矩形的性质得出OA=6cm，再根据线段垂直平分线的性质得出AB=OA，即可得出答案.
三、解答题
13．如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连结AE并延长交 DC 的延长线于点 F，连结 BF，AC.若AD=AF，求证：四边形ABFC 是矩形.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=CD.
∴AB//CF.
∴∠EAB=∠EFC，∠EBA=∠ECF，
∵E为BC中点，
∴AE=EF，
∴△EAB≌△EFC（AAS）.
∴AB=CF.
∴四边形ABFC是平行四边形.
∵AB=CD，AB=CF，
∴CD=CF.
又∵AD=AF，
∴AC⊥DF，
∴平行四边形ABFC是矩形.
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据 ABCD得到AB//CD，AB=CD，利用平行线性质以及AE=EF可证得△EAB≌△EFC，于是有AB=CF，于是可得CD=CF，以及四边形ABFC是平行四边形.根据"三线合一"性质得AC⊥DF，即可得矩形.
14．（2023八下·桓台期末）如图，矩形的对角线相交于点O，过点D作的平行线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点O作于点F，
∵四边形是矩形，
∴点O是的中点，
∴
∴
∴，
∴点是的中点，
∴是的中位线，
∴
又∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
在中，由勾股定理可得：．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，可得，再结合AC=BD，可得；
（2）过点O作于点F，先证出是的中位线， 可得利用线段的和差求出，再利用勾股定理求出即可.
15．（2023八下·台山期末）如图，以一边为直角边构造，且，，，．
（1）求证：为直角三角形．
（2）若点P为上一动点，连接，，求最小值．
【答案】（1）证明：根据题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴△ABC为直角三角形；
（2）解：如图所示，延长DC至M，使得DC=CM，连接PM，BM，过点B作BN⊥CD于点N，
则，，
∵，
∴四边形ABNC是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
当B、P、M三点共线时，取最小值为，
∴最小值为．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定和性质，可以得出AC=CD=5；再根据勾股定理的逆定理，可得∠BAC=90°，即可得出△ABC为直角三角形；
（2）①延长DC至M，使得DC=CM，连接PM，BM，过点B作BN⊥CD于点N，求BP+DP的值也就是求BP+PM的值，根据两点之间线段最短的性质可知，当B、P、M三点在一条直线上时，BP+DP的值最小；
②根据矩形的判定和性质，可得AB=CN=2，AC=BN=5，再根据勾股定理即可解得BM的值，也就是BP+DP的最小值.
1 / 12024年浙教版数学八年级下册5.1矩形课后提高练
一、选择题
1．（2023八下·綦江期中） 下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．四边相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
2．（2023八下·福州期末）矩形不具有的性质是（ ）
A．四个角都相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
3．（2023八下·锡山期中）顺次连接对角线长为6的矩形四边中点所得的四边形的周长为（ ）
A．12 B．18 C．9 D．无法确定
4．（2023八下·双鸭山期中）如图，矩形的对角线相交于点O，，，则边的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
5．（2021八下·丰南期中）如图，阴影部分的面积是（ ）
A．65cm2 B．60cm2 C．50cm2 D．48cm2
6．（2021八下·绵阳期末）如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形的四个角是直角
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
7．（2021八下·西湖期末）如图，矩形 中，E，F是 上的两个点， ， ，垂足分别为G，H，若 ， ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．
8．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD 于点E，F，则阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ACD=30°.如果△ABC的周长比△AOB 的周长大 10，那么矩形 ABCD的对角线AC 的长为 .
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上(不与点A，B重合)，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连结EF．若AC=3，BC=2，则EF的最小值为 .
11．如图，四边形ABDE是矩形，AC⊥DC于点C，交BD于点F，AE=AC，∠ADE=62° ，则∠BAF的度数为 °
12．（2023八下·良庆期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点，，则的长为 ．
三、解答题
13．如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连结AE并延长交 DC 的延长线于点 F，连结 BF，AC.若AD=AF，求证：四边形ABFC 是矩形.
14．（2023八下·桓台期末）如图，矩形的对角线相交于点O，过点D作的平行线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的长．
15．（2023八下·台山期末）如图，以一边为直角边构造，且，，，．
（1）求证：为直角三角形．
（2）若点P为上一动点，连接，，求最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】 A：有一个角是直角的平行四边形不一定是矩形，A错误，不合题意；
B：四边相等的四边形不一定是菱形，B错误，不合题意；
C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C错误，不合题意；
D：对角线相等的平行四边形是矩形，D正确，符合题意。
故答案为D
【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握其方法很重要。有一个直角的四边形不一定是矩形。有三个直角的四边形是矩形；有一个直角的平行四边形是矩形；有一组邻边垂直的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相平分且相等的四边形是矩形。注意区别菱形和矩形的判定。
2．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的四个角都是直角，对角线相等且互相平分.
故答案为：C.
【分析】矩形的性质：对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分.
3．【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
∴EF=HG=AC=3，EH=FG=BD=3
∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+EH=12
故答案为：A
【分析】矩形的对角线相等；三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO=2BO，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=AB，
∵AC+AB=12，
∴3AB=12，
∴AB=4.
故答案为：B.
【分析】由矩形的性质得AC=2AO=2BO，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质得AO=AB，最后结合AC+AB=12，即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：由题可知：阴影部分的长为：
∵宽为4cm，
∴面积为：
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理求出阴影部分的长，再求出长方形的面积即可。
6．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，
故答案为：D.
【分析】矩形的判定定理有：对角线相等的平行四边形是矩形；一个角是直角的平行四边形是矩形；结合题意分别判断即可.
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形.
∵EG⊥AC，FH⊥AC，
∴∠CHF=∠AGQ=90°，
∵矩形ABCD中，CD∥AB，
∴∠FCH=∠QAG，
在△FCH和△QAG中，
，
∴△FCH≌△QAG（ASA），
∴AQ=CF=2，FH=QG，
∵∠D=∠DAM=∠AME=90°，
∴四边形ADEM是矩形，
∴AM=DE=1，EM=AD=2，
∴MQ=2-1=1，
∴Rt△EMQ中，EQ= ，
即EG+QG=EG+FH= ，
故答案为：B.
【分析】过点E作EM⊥AB于M，延长EG交AB于Q，则△EQM是直角三角形，易证△FCH≌△QAG，得到AQ=CF=2，FH=QG，推出四边形ADEM是矩形，进而求得AM、EM、MQ的值，接下来在Rt△EMQ中，应用勾股定理可得EQ的值，据此可得EG+QG=EG+FH的值.
8．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：O是矩形ABCD对角线的交点
阴影部分的面积是矩形ABCD面积的
故答案选：B.
【分析】本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论.
9．【答案】20
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ ∠ADC=90°，
∵ ∠ACD=30°，
∴ ∠ACB=60°，
∵ OC=OB，
∴ △BOC为等边三角形，
∴ OC=OB=BC，
∵△ABC的周长比△AOB 的周长大 10，
且△ABC的周长=AB+AO+OC+BC，△AOB 的周长=AB+AO+OB，
∴ BC=10，
即OB=10，
∴ AC=2OB=20.
【分析】根据矩形的性质得∠ADC=90°，根据等边三角形的判定和性质得OB=BC，根据题意即可求得BC，再根据矩形的性质得AC=2OB即可求得.
10．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CD，
DE⊥AC ， DF⊥BC ， ∠ACB=90，
∴四边形DFCE是矩形，
∴EF=CD
可得时，线段EF的值最小，
AC=3，BC=2， 由勾股定理得，
，即，
解得.
∴EF的最小值为.
故答案为：.
【分析】连接CD，由题意得四边形DFCE是矩形，由矩形的性质得EF=CD，可得时，线段EF的值最小，根据三角形等面积法求出此时，即可得解.
11．【答案】34
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质
【解析】【解答】解： 四边形ABDE是矩形 ，
∴AE=AC，AD=AD
AC⊥DC于点C，∴
∴
∴
.
故答案为：34
【分析】根据矩形得性质可得证明，由全等三角形得性质可得，由，计算求解即可.
12．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=12cm，OA=OB=BD=6cm，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=OA=6cm.
故答案为：6.
【分析】根据矩形的性质得出OA=6cm，再根据线段垂直平分线的性质得出AB=OA，即可得出答案.
13．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=CD.
∴AB//CF.
∴∠EAB=∠EFC，∠EBA=∠ECF，
∵E为BC中点，
∴AE=EF，
∴△EAB≌△EFC（AAS）.
∴AB=CF.
∴四边形ABFC是平行四边形.
∵AB=CD，AB=CF，
∴CD=CF.
又∵AD=AF，
∴AC⊥DF，
∴平行四边形ABFC是矩形.
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据 ABCD得到AB//CD，AB=CD，利用平行线性质以及AE=EF可证得△EAB≌△EFC，于是有AB=CF，于是可得CD=CF，以及四边形ABFC是平行四边形.根据"三线合一"性质得AC⊥DF，即可得矩形.
14．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点O作于点F，
∵四边形是矩形，
∴点O是的中点，
∴
∴
∴，
∴点是的中点，
∴是的中位线，
∴
又∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
在中，由勾股定理可得：．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，可得，再结合AC=BD，可得；
（2）过点O作于点F，先证出是的中位线， 可得利用线段的和差求出，再利用勾股定理求出即可.
15．【答案】（1）证明：根据题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴△ABC为直角三角形；
（2）解：如图所示，延长DC至M，使得DC=CM，连接PM，BM，过点B作BN⊥CD于点N，
则，，
∵，
∴四边形ABNC是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
当B、P、M三点共线时，取最小值为，
∴最小值为．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定和性质，可以得出AC=CD=5；再根据勾股定理的逆定理，可得∠BAC=90°，即可得出△ABC为直角三角形；
（2）①延长DC至M，使得DC=CM，连接PM，BM，过点B作BN⊥CD于点N，求BP+DP的值也就是求BP+PM的值，根据两点之间线段最短的性质可知，当B、P、M三点在一条直线上时，BP+DP的值最小；
②根据矩形的判定和性质，可得AB=CN=2，AC=BN=5，再根据勾股定理即可解得BM的值，也就是BP+DP的最小值.
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