2024年浙教版数学八年级下册5.1矩形课后培优练
一、选择题
1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=6，∠ACB=30°，则OD的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是（ ）
A．AB=AC B．AC⊥BD C．AB=AD D．AC=BD
3．如图，在矩形ABCD 中(AD>AB)，E是边 BC 上一点，且 DE=DA.若 AF⊥DE，垂足为 F，则下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．AB=AF B．
C．△AFD≌△DCE D．BE=AD-DF
4．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，若∠ADB=40°，则∠E的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
5．如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S-S1-S2，的值，只需知道（ ）
A．△ABE的面积 B．△ACD的面积
C．△ABC的面积 D．矩形BCDE的面积
6．（2023八下·蜀山期末）如图，点E、F分别为矩形边、上的两点，连接、相交于点G，且，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．平分
7．（2023八下·丰台期末）如图，扇形的半径，圆心角，是上不同于，的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且．设的长为，的面积为，下面表示与的函数关系式的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022八下·内江期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
二、填空题
9．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，M，N 分别为BC，OC 的中点，若MN=4，则AO 的长为
10．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6．在边AD上取一点E，使BE=BC，过点C作CF⊥BE ，垂足为F，则BF的长为 .
11．（2023八下·道里期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点和，连接和，若，，，则的最小值是 ．
12．（2023八下·岳池期末）古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等”（如图1），问题解决：如图2，点P是矩形的对角线上一点，过点P作分别交，于点E，F，连接，．若，，则图中阴影部分的面积和为 ．
三、解答题
13．（2023八下·台江期末）在平行四边形中，于点．
（1）尺规作图：在边上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）；
（2）求证：四边形是矩形．
14．如图，在 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，BE⊥AC 于点E，CF⊥BD于点F，BE=CF.
（1）求证： ABCD 是矩形.
（2）若OD=13，CF=12，求 BF的长.
15．（2023八下·中山期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，于点F，于点G．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，求矩形的周长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OB=OA，OB=OD，
∵∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，
∴三角形AOB是等边三角形，
∴OB=AB=6，
∴OD=OB=6.
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质和等边三角形的判定“有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形”可得三角形AOB是等边三角形，然后根据矩形的性质并结合已知可求解.
2．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵ ABCD中，AB=BC，
∴ ABCD是菱形，
故选项A不符合题意；
∵ ABCD中，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，
故选项B不符合题意；
ABCD中，AB=AC，
∴ ABCD是菱形，
故选项C不符合题意；
∵ ABCD中，AC=BD，
∴ ABCD是矩形，
故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可解答．
3．【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD∥BC，∠C=90°，AB=CD，AD=BC，
∴ ∠ADF=∠CED，
∵ AF⊥DE，
∴ ∠AFD=∠C=90°，
∵ DE=DA，
∴ △AFD≌△DCE（AAS），故C项正确，
∴ AF=CD
∴ AB=AF，故A项正确，
∴ BE=BC-EC=AD-DF，故D项正确，
若 ，则∠ADF=30°，又∵∠ADF不一定为30°，故 不一定正确，故B项不一定正确.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质得 AD∥BC，根据平行线的性质得∠ADF=∠CED，依据AAS判定△AFD≌△DCE，故C项正确，C项不符合题意；根据全等三角形的性质和矩形的性质即可求得AB=AF，故A项正确，A项不符合题意；根据矩形的性质和全等三角形的性质即可求得BE=AD-DF，故D项正确，D项不符合题意；而∠ADF不一定为30°，所以 不一定正确，故B项符合题意.
4．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
四边形ABCD时矩形，
∴，AC=BD，
∴
已知CE=BD ，∴AC=CE，得，
由，得，
∴
故答案为：A.
【分析】连接AC，根据矩形得性质可得，AC=BD，进而推出是等腰三角形，即得，即可得解.
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：作交ED于点G ，交BC于F，
四边形BCDE是矩形，
∴
由题意得，
，
故答案为：C.，
【分析】作交ED于点G ，交BC于F，根据矩形的性质，结合三角形的面积公式得，，即可得，即可得解.
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图所示，连接DE，DF，过点D作DM⊥AF于点M，作DN⊥CE于点N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，CD∥AB，CD⊥AD，AD⊥AB，∴∴，又∵∴AF×DM=CE×DN，∵AF=CE，∴DM=DN，又DM⊥GA，DN⊥GC，∴GD平分∠AGC。
故答案为：D。
【分析】首先根据矩形的性质，得出，再根据等底的两个面积相等的三角形，相等底边上的高也相等，根据AF=CE，得出DM=DN，然后根据角平线的判定，得出GD平分∠AGC，从而得出答案。
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：连接OC，作HF⊥EC与点F
由题意可得：四边形ODCE为矩形
结合解析式得出只有A选项图像符合题意。
故答案为：A
【分析】根据题意可得出四边形ODCE为矩形，根据矩形性质得出CE=x，，表示出FH的长，进而求出△CEH的面积，根据解析式即可求出答案。
8．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CM，如图所示：
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4， ，
∴∠CPM＝∠CQM＝∠BCD=90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
∴当CM最小时，PQ最小，
∵点M在BD上运动，
∴当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴此时 ，
∴PQ的最小值为 ，．
故答案为：A．
【分析】连接CM，可证四边形PCQM是矩形，得出PQ＝CM，所以可知当CM最小时，PQ最小，由于点M在BD上运动，可得当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，由勾股定理求出BD的长，再利用求出CM值即可.
9．【答案】8
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ M、N分别为BC、OC的中点，
∴ MN是△BOC的中位线，
.'.BO= 2MN = 8.
四边形ABCD是矩形，
∴ OB=OD=AO =OC=8.
故答案为8.
【分析】首先由M，N分别为BC，OB的中点得到MN为△OBC的中位线，然后由中位线的性质得到OB的长度，最后由矩形的性质得到AO的长度.
10．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6，
由题意得，
∴，
在中，根据勾股定理得.
故答案为：.
【分析】由矩形得性质可得AD=BC=6，根据三角形面积公式得，在中，根据勾股定理得，计算求解即可.
11．【答案】17
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接DE、DF、BD，设BD与EF交于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE=BF，
∴BE+BF=BE+DE≥BD，
∴BE+BF的最小值为BD的长，
∵AC-AB=9，AC-BC=2，
∴AB=AC-9，BC=AC-2，
在Rt△ABC中，
∵AB2+BC2=AC2，
∴(AC-9)2+(AC-2)2=AC2，
解得：AC=5，或AC=17，
∵当AC=5时，AB=5-9<0，
∴AC=5舍去，AC=17，
∴BD=17，即BE+BF的最小值是17.
故答案为：17.
【分析】如图所示，连接DE、DF、BD，设BD与EF交于点O，根据矩形的性质可得出OA=OC=OB=OD，利用平行四边形的判定与性质可证明四边形BEDF是平行四边形，从而确定BE+BF的最小值为BD，再结合已知条件以及勾股定理可算出BE+BF的最小值是17.
12．【答案】12
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N
依题意，S矩形AEPM=S矩形CFPN ∵，，
∴
∴
∴图中阴影部分的面积和为6+6=12
故答案为：12.
【分析】作PM⊥AD于M，交BC于N，依题意，S矩形AEPM=S矩形CFPN，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
13．【答案】（1）解：如图：点F即为所求；
（2）解：由作图得：，
，
，
，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠C=∠A，CD=AB，
∴，
∴AF=CE，DF=BE，
，
四边形DEBF是平行四边形，
又∵∠BED=90°，
四边形DEBF是矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用尺规作图法，过点D作AB的垂线，垂足为点F，点F就是所求的点；
（2）根据平行四边形的性质可得AD=BC，∠C=∠A，CD=AB，利用垂直定义可得∠BEC=∠DFA=90°，从而用AAS判断出△ADF≌△CBE，得AF=CE，DF=BE，推出BF=DE，然胡根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形DEBF是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论.
14．【答案】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO＝∠CFO＝90°，
∵∠BOE＝∠COF，BE＝CF，
∴△BOE≌△COF（AAS），
∴OB＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴AO＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
（2）解：∵OD＝13，
∴OB＝OC＝OD＝13，
∵CF＝12，
在Rt△OFC中
∴OF5，
∴BF＝OB+OF＝18．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据BE⊥AC，CF⊥BD 可得到∠BEO＝∠CFO，然后根据“AAS”可得△BOE≌△COF从而得到OB＝OC，再根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，可求得AC＝BD，即可解答；
（2）先由OD的长可求得OC的长，然后在Rt△OFC中根据勾股定理可求OF的长，从而可求出BF的产即可解答．
15．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵D是的中点，E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形
（2）解：∵D是AB的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的中位线，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴矩形的周长
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据垂直的性质得到，再根据三角形中位线定理得到：进而求出最后根据四边形中由三个角为直角则这个四边形为矩形，即可求解；
（2）根据勾股定理求出DF的长，再根据三角形中位线定理得到：进而求出DE的长，再根据矩形的性质对边相等得到，，最后即可计算出矩形的周长.
1 / 12024年浙教版数学八年级下册5.1矩形课后培优练
一、选择题
1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=6，∠ACB=30°，则OD的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OB=OA，OB=OD，
∵∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，
∴三角形AOB是等边三角形，
∴OB=AB=6，
∴OD=OB=6.
故答案为：A.
【分析】由矩形的性质和等边三角形的判定“有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形”可得三角形AOB是等边三角形，然后根据矩形的性质并结合已知可求解.
2．在下列条件中，能够判定 ABCD为矩形的是（ ）
A．AB=AC B．AC⊥BD C．AB=AD D．AC=BD
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵ ABCD中，AB=BC，
∴ ABCD是菱形，
故选项A不符合题意；
∵ ABCD中，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，
故选项B不符合题意；
ABCD中，AB=AC，
∴ ABCD是菱形，
故选项C不符合题意；
∵ ABCD中，AC=BD，
∴ ABCD是矩形，
故选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可解答．
3．如图，在矩形ABCD 中(AD>AB)，E是边 BC 上一点，且 DE=DA.若 AF⊥DE，垂足为 F，则下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．AB=AF B．
C．△AFD≌△DCE D．BE=AD-DF
【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD∥BC，∠C=90°，AB=CD，AD=BC，
∴ ∠ADF=∠CED，
∵ AF⊥DE，
∴ ∠AFD=∠C=90°，
∵ DE=DA，
∴ △AFD≌△DCE（AAS），故C项正确，
∴ AF=CD
∴ AB=AF，故A项正确，
∴ BE=BC-EC=AD-DF，故D项正确，
若 ，则∠ADF=30°，又∵∠ADF不一定为30°，故 不一定正确，故B项不一定正确.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质得 AD∥BC，根据平行线的性质得∠ADF=∠CED，依据AAS判定△AFD≌△DCE，故C项正确，C项不符合题意；根据全等三角形的性质和矩形的性质即可求得AB=AF，故A项正确，A项不符合题意；根据矩形的性质和全等三角形的性质即可求得BE=AD-DF，故D项正确，D项不符合题意；而∠ADF不一定为30°，所以 不一定正确，故B项符合题意.
4．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，若∠ADB=40°，则∠E的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
四边形ABCD时矩形，
∴，AC=BD，
∴
已知CE=BD ，∴AC=CE，得，
由，得，
∴
故答案为：A.
【分析】连接AC，根据矩形得性质可得，AC=BD，进而推出是等腰三角形，即得，即可得解.
5．如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S-S1-S2，的值，只需知道（ ）
A．△ABE的面积 B．△ACD的面积
C．△ABC的面积 D．矩形BCDE的面积
【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：作交ED于点G ，交BC于F，
四边形BCDE是矩形，
∴
由题意得，
，
故答案为：C.，
【分析】作交ED于点G ，交BC于F，根据矩形的性质，结合三角形的面积公式得，，即可得，即可得解.
6．（2023八下·蜀山期末）如图，点E、F分别为矩形边、上的两点，连接、相交于点G，且，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．平分
【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：如图所示，连接DE，DF，过点D作DM⊥AF于点M，作DN⊥CE于点N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，CD∥AB，CD⊥AD，AD⊥AB，∴∴，又∵∴AF×DM=CE×DN，∵AF=CE，∴DM=DN，又DM⊥GA，DN⊥GC，∴GD平分∠AGC。
故答案为：D。
【分析】首先根据矩形的性质，得出，再根据等底的两个面积相等的三角形，相等底边上的高也相等，根据AF=CE，得出DM=DN，然后根据角平线的判定，得出GD平分∠AGC，从而得出答案。
7．（2023八下·丰台期末）如图，扇形的半径，圆心角，是上不同于，的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且．设的长为，的面积为，下面表示与的函数关系式的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：连接OC，作HF⊥EC与点F
由题意可得：四边形ODCE为矩形
结合解析式得出只有A选项图像符合题意。
故答案为：A
【分析】根据题意可得出四边形ODCE为矩形，根据矩形性质得出CE=x，，表示出FH的长，进而求出△CEH的面积，根据解析式即可求出答案。
8．（2022八下·内江期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CM，如图所示：
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4， ，
∴∠CPM＝∠CQM＝∠BCD=90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
∴当CM最小时，PQ最小，
∵点M在BD上运动，
∴当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴此时 ，
∴PQ的最小值为 ，．
故答案为：A．
【分析】连接CM，可证四边形PCQM是矩形，得出PQ＝CM，所以可知当CM最小时，PQ最小，由于点M在BD上运动，可得当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，由勾股定理求出BD的长，再利用求出CM值即可.
二、填空题
9．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，M，N 分别为BC，OC 的中点，若MN=4，则AO 的长为
【答案】8
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ M、N分别为BC、OC的中点，
∴ MN是△BOC的中位线，
.'.BO= 2MN = 8.
四边形ABCD是矩形，
∴ OB=OD=AO =OC=8.
故答案为8.
【分析】首先由M，N分别为BC，OB的中点得到MN为△OBC的中位线，然后由中位线的性质得到OB的长度，最后由矩形的性质得到AO的长度.
10．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6．在边AD上取一点E，使BE=BC，过点C作CF⊥BE ，垂足为F，则BF的长为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6，
由题意得，
∴，
在中，根据勾股定理得.
故答案为：.
【分析】由矩形得性质可得AD=BC=6，根据三角形面积公式得，在中，根据勾股定理得，计算求解即可.
11．（2023八下·道里期末）如图，在矩形中，对角线上有两动点和，连接和，若，，，则的最小值是 ．
【答案】17
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接DE、DF、BD，设BD与EF交于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE=BF，
∴BE+BF=BE+DE≥BD，
∴BE+BF的最小值为BD的长，
∵AC-AB=9，AC-BC=2，
∴AB=AC-9，BC=AC-2，
在Rt△ABC中，
∵AB2+BC2=AC2，
∴(AC-9)2+(AC-2)2=AC2，
解得：AC=5，或AC=17，
∵当AC=5时，AB=5-9<0，
∴AC=5舍去，AC=17，
∴BD=17，即BE+BF的最小值是17.
故答案为：17.
【分析】如图所示，连接DE、DF、BD，设BD与EF交于点O，根据矩形的性质可得出OA=OC=OB=OD，利用平行四边形的判定与性质可证明四边形BEDF是平行四边形，从而确定BE+BF的最小值为BD，再结合已知条件以及勾股定理可算出BE+BF的最小值是17.
12．（2023八下·岳池期末）古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等”（如图1），问题解决：如图2，点P是矩形的对角线上一点，过点P作分别交，于点E，F，连接，．若，，则图中阴影部分的面积和为 ．
【答案】12
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N
依题意，S矩形AEPM=S矩形CFPN ∵，，
∴
∴
∴图中阴影部分的面积和为6+6=12
故答案为：12.
【分析】作PM⊥AD于M，交BC于N，依题意，S矩形AEPM=S矩形CFPN，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
三、解答题
13．（2023八下·台江期末）在平行四边形中，于点．
（1）尺规作图：在边上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）；
（2）求证：四边形是矩形．
【答案】（1）解：如图：点F即为所求；
（2）解：由作图得：，
，
，
，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠C=∠A，CD=AB，
∴，
∴AF=CE，DF=BE，
，
四边形DEBF是平行四边形，
又∵∠BED=90°，
四边形DEBF是矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用尺规作图法，过点D作AB的垂线，垂足为点F，点F就是所求的点；
（2）根据平行四边形的性质可得AD=BC，∠C=∠A，CD=AB，利用垂直定义可得∠BEC=∠DFA=90°，从而用AAS判断出△ADF≌△CBE，得AF=CE，DF=BE，推出BF=DE，然胡根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形DEBF是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论.
14．如图，在 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，BE⊥AC 于点E，CF⊥BD于点F，BE=CF.
（1）求证： ABCD 是矩形.
（2）若OD=13，CF=12，求 BF的长.
【答案】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO＝∠CFO＝90°，
∵∠BOE＝∠COF，BE＝CF，
∴△BOE≌△COF（AAS），
∴OB＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴AO＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴ ABCD是矩形；
（2）解：∵OD＝13，
∴OB＝OC＝OD＝13，
∵CF＝12，
在Rt△OFC中
∴OF5，
∴BF＝OB+OF＝18．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据BE⊥AC，CF⊥BD 可得到∠BEO＝∠CFO，然后根据“AAS”可得△BOE≌△COF从而得到OB＝OC，再根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，可求得AC＝BD，即可解答；
（2）先由OD的长可求得OC的长，然后在Rt△OFC中根据勾股定理可求OF的长，从而可求出BF的产即可解答．
15．（2023八下·中山期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，于点F，于点G．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，求矩形的周长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵D是的中点，E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形
（2）解：∵D是AB的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的中位线，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴矩形的周长
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据垂直的性质得到，再根据三角形中位线定理得到：进而求出最后根据四边形中由三个角为直角则这个四边形为矩形，即可求解；
（2）根据勾股定理求出DF的长，再根据三角形中位线定理得到：进而求出DE的长，再根据矩形的性质对边相等得到，，最后即可计算出矩形的周长.
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