2024年浙教版数学八年级下册5.2菱形课后提高练
一、选择题
1．（2023八下·南宁月考）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角互补
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、 菱形、矩形的对边都平行，故不符合题意；
B、 菱形、矩形的对角线都互相平分，故不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，故符合题意；
D、菱形的对角相等、矩形的对角相等且互补，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等，对角相等且互补，菱形的对边平行且四边相等，对角线互相平分且垂直，对角相等，据此逐项判断即可.
2．（2021八下·长丰期末）如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G分别是BC，OB，OC的中点，则四边形EFOG的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，
又∵E是BC的中点，
∴OE＝BE＝CE，
又∵F，G分别是BO，CO的中点，
∴EF⊥OB，EG⊥OC，
∴四边形OGEF是矩形，
∵菱形ABCD的面积为S，
∴AC×BD＝S，即AC×BD＝2S，
∴四边形EFOG的面积＝OG×OF＝OC×OB＝AC×BD＝AC×BD＝×2S＝S．
故答案为：B．
【分析】连接OE，根据菱形的性质及等腰三角形的性质，即可得出EF⊥OB，EG⊥OC，推出四边形OGEF是矩形，再根据菱形的面积即可得出矩形的面积。
3．（2023八下·天津市期末）如图，若菱形的周长，则菱形的一边的中点E到对角线交点O的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵菱形ABCD，O是菱形对角线的交点，
∴O是AC的中点，
∵E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴，
∵菱形的周长，
∴BC=16÷4=4，
∴OE=BC=2，
故答案为：B.
【分析】先利用菱形的性质可得O是AC的中点，再证出OE是△ABC的中位线，再利用菱形的周长求出边长，最后利用三角形的中位线求出OE=BC=2即可.
4．（2023八下·兴仁月考）如图，已知菱形的边与轴重合，点，，B(-3，0)若固定点，，将菱形沿箭头方向推，当点落在轴上时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AB=AD=BC=5，
∵，，B(-3，0) ，
∴点C的坐标为（-7，3），
∴当点C落在y轴上时，点C的坐标为（0，3），
∴点D的坐标为（5，3），
故答案为：B.
【分析】利用菱形的性质可得CD=AB=AD=BC=5，再求出点C的坐标，再结合当点C落在y轴上时，点C的坐标为（0，3），求出点D的坐标即可.
5．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结BD，AD，下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．∠ABC=∠ACB B．AB=AD C．∠BAC=∠DAC D．AC⊥BD
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；平移的性质
【解析】【解答】解： △ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB=AD时， 四边形ABCD是菱形 ，故选项B不符合题意；
当∠BAC=∠DAC时，
∵AD∥BC，∴，
∴，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形 ，故选项C不符合题意；
当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 ，故选项D不符合题意；
当∠ABC=∠ACB时，AB=AC，不能推出平行四边形ABCD是菱形，故选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】由平移的性质得AB∥CD，AB=CD，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定方法：①一组邻边相等得平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可逐个判断得出答案.
6．如图，四边形ABCD 是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为12和24时，阴影部分的面积为 （ ）
A．144 B．96 C．72 D．48
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵ 菱形的两条对角线的长分别为12和24，
∴菱形的面积为×12×24=144，
∵点O为菱形对角线的交点，
∴阴影部分的面积=菱形的面积的一半=×144=72.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质可知：阴影部分的面积=菱形的面积的一半，据此计算即可.
7．如图，菱形 ABCD的边长为 13，对角线AC=24，E，F分别是边 CD，BC 的中点，连结EF 并延长，与AB的延长线相交于点G，则 EG 的长为（ ）
A．13 B．10 C．12 D．5
【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图：
连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，AC=24，
∴AC⊥BD，DC//AB，AO=CO=12.
∴∠ECF=∠GBF，∠CEF=∠BGF.
∵E，F分别是边 CD，BC 的中点，
∴EF是三角形BCD的中位线，CF=BF.
∴.
∵∠ECF=∠GBF，∠CEF=∠BGF，CF=BF，
∴△ECF≌△GBF（AAS）.
∴EF=FG.
∴GE=2EF=BD.
∵Rt△DCO中，DC=13，CO=12，
∴DO=5.
∴GE=BD=2DO=10.
故答案为：B.
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，DC//AB，AO=CO=12.由F为BC中点可得FC=FB.从而有△ECF≌△GBF，于是有EG=2EF.由中位线性质可得，于是有EG=BD.再利用常见勾股数可得OD长，从而得到EG长.
8．用直尺和圆规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】A、由作图知：AC⊥BD，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意；
B、由作图知：AB=BC，AD=AB，即邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
C、由作图知，只能判定四边形是平行四边形，符合题意；
D、由作图知：AC平分∠BAD、∠DCB，由全等三角形的性质可得AB=BC=CD=AD，即四边相等的四边形是菱形，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的判定方法并结合作图依次判断即可求解.
二、填空题
9．在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，添加一个条件 ，即可判定该四边形是菱形.
【答案】AB=BC(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【解答】 添加一个条件AB=BC.理由如下：
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
故答案为：AB=BC（答案不唯一）.
【分析】根据平行四边形是判定方法可得四边形ABCD是平行四边形，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断求解（答案不唯一）.
10．（2023八下·兴仁月考）已知菱形的对角线的长分别是和，则菱形的周长等于 ．
【答案】20
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】∵菱形的对角线互相平分且垂直，菱形的对角线的长分别是和，
∴菱形的边长=cm，
∴菱形的周长=4×5=20cm，
故答案为20.
【分析】先利用菱形的性质及勾股定理求出菱形的周长，再利用菱形的周长公式求出答案即可.
11．已知菱形ABCD的面积为20cm ，对角线AC的长为8cm，则对角线BD的长为 cm.
【答案】5
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵S菱形ABCD=×AC×BD，而S菱形ABCD=20，AC=8，
∴20=×8×BD，解得：BD=5.
故答案为：5.
【分析】根据菱形的性质“菱形的面积=×AC×BD”可得关于BD的方程，解方程可求解.
12．如图，有两张矩形纸片 ABCD和EFGH，AB=EF=2cm，BC=FG=8cm.将两纸片按如图所示的方式叠放，使点D 与点G 重合，且重叠部分为 MNDK.若两张纸片交叉所成的角记为α，则当a=30°时，BM= cm；当α最小时，重叠部分的面积为 cm .
【答案】4-2 ；
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵ABCD和EFGH是矩形，
∴∠ADC=∠HDF=∠H=∠C=90°
∵
∴∠CDN=∠LDH，且CD=DH，∠H=∠C=90°
∴△CDN≌△HDL（ASA）
∴ND=LD，且四边形DLMN是平行四边形
∴四边形DLMN是菱形
∴
过点M作MK⊥FD于点K，则cm
当时，cm
又
∴cm
∴cm
∴cm
当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角α最小，如图，
设DN=a=BN，则CN=8-a，
∵ND2=CD2+NC2，
∴a2=4+（8-a）2，
∴a=,
∴重叠部分的面积=cm2，
故答案为：cm；cm2
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质.根据∠CDN=∠LDH，且CD=DH，∠H=∠C=90°，由“ASA”可证△CDN≌△LDN，可证ND=DL，结合四边形DLMN是平行四边形可推出四边形DLMN是菱形，当时，过点M作MK⊥FD于点K，可求出MK，KC，从而可求出DM，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角α最小，可求DN，即求出本题答案．
三、解答题
13．（2021八下·武侯期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点E，若BD＝ ，菱形ABCD的周长为20，求菱形ABCD的面积.
【答案】解： 菱形 的周长为20， ，
， ， ， ，
，
，
菱形 的面积 .
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】利用菱形的性质可求出BD的长，同时可得到AB和EB的长；利用勾股定理求出EA的长，即可得到AC的长；然后利用菱形的面积公式求出此菱形的面积.
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°.
（1）求证：△ABF≌△CDE.
（2）连结AE，CF，已知 ▲ (从条件①：∠ABD=30°.条件②：AB=BC中选择一个作为已知，填序号)，请判断四边形AECF的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
∵ BE=EF=FD，
∴BF=DE，
在△ABF和△CDE中
∴ △ABF≌△CDE（AAS）
（2）解：①或②，四边形 AECF 是菱形，
如图，
已知①即 ∠ABD=30° ，
理由：
∵△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，∠AFB=∠CED
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ABD=30°，∠BAF=90°，BE=EF，
∴AE=BF，AF=BF，
∴AE=AF，
∴四边形AECF是菱形；
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠ABF=∠CDE，利用已知可得到BF=DE，再利用AAS可证得结论.
（2）已知①即 ∠ABD=30° ，利用全等三角形的性质及平行线的性质可证得AF=CE，AF∥CE，由此可推出四边形AECF是平行四边形；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半去证明AE=AF，据此可证得四边形AECF是菱形.
15．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC 的垂线，分别交 AB，DC 于点E，F，连结AF，CE.
（1）若 求EF的长.
（2）判断四边形AECF 的形状，并说明理由.
【答案】（1）解： ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AB//CD，DO=BO，AO=CO
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
∴△FDO≌△EBO(AAS).
∴，
∴EF=3.
（2）解：四边形 AECF 是菱形.理由如下：
由（1）得AO=CO，FO=EO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据 ABCD对角线AC，BD相交于点O，得到AB//CD，DO=BO，先利用平行线性质，再利用AAS判断两个三角形全等，于是可得EF的值.
（2）先根据对角线互相平分得到平行四边形，再根据对角线互相垂直证得是菱形.
1 / 12024年浙教版数学八年级下册5.2菱形课后提高练
一、选择题
1．（2023八下·南宁月考）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角互补
2．（2021八下·长丰期末）如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G分别是BC，OB，OC的中点，则四边形EFOG的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·天津市期末）如图，若菱形的周长，则菱形的一边的中点E到对角线交点O的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·兴仁月考）如图，已知菱形的边与轴重合，点，，B(-3，0)若固定点，，将菱形沿箭头方向推，当点落在轴上时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结BD，AD，下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．∠ABC=∠ACB B．AB=AD C．∠BAC=∠DAC D．AC⊥BD
6．如图，四边形ABCD 是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为12和24时，阴影部分的面积为 （ ）
A．144 B．96 C．72 D．48
7．如图，菱形 ABCD的边长为 13，对角线AC=24，E，F分别是边 CD，BC 的中点，连结EF 并延长，与AB的延长线相交于点G，则 EG 的长为（ ）
A．13 B．10 C．12 D．5
8．用直尺和圆规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，添加一个条件 ，即可判定该四边形是菱形.
10．（2023八下·兴仁月考）已知菱形的对角线的长分别是和，则菱形的周长等于 ．
11．已知菱形ABCD的面积为20cm ，对角线AC的长为8cm，则对角线BD的长为 cm.
12．如图，有两张矩形纸片 ABCD和EFGH，AB=EF=2cm，BC=FG=8cm.将两纸片按如图所示的方式叠放，使点D 与点G 重合，且重叠部分为 MNDK.若两张纸片交叉所成的角记为α，则当a=30°时，BM= cm；当α最小时，重叠部分的面积为 cm .
三、解答题
13．（2021八下·武侯期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点E，若BD＝ ，菱形ABCD的周长为20，求菱形ABCD的面积.
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°.
（1）求证：△ABF≌△CDE.
（2）连结AE，CF，已知 ▲ (从条件①：∠ABD=30°.条件②：AB=BC中选择一个作为已知，填序号)，请判断四边形AECF的形状，并说明理由.
15．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC 的垂线，分别交 AB，DC 于点E，F，连结AF，CE.
（1）若 求EF的长.
（2）判断四边形AECF 的形状，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、 菱形、矩形的对边都平行，故不符合题意；
B、 菱形、矩形的对角线都互相平分，故不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，故符合题意；
D、菱形的对角相等、矩形的对角相等且互补，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等，对角相等且互补，菱形的对边平行且四边相等，对角线互相平分且垂直，对角相等，据此逐项判断即可.
2．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，
又∵E是BC的中点，
∴OE＝BE＝CE，
又∵F，G分别是BO，CO的中点，
∴EF⊥OB，EG⊥OC，
∴四边形OGEF是矩形，
∵菱形ABCD的面积为S，
∴AC×BD＝S，即AC×BD＝2S，
∴四边形EFOG的面积＝OG×OF＝OC×OB＝AC×BD＝AC×BD＝×2S＝S．
故答案为：B．
【分析】连接OE，根据菱形的性质及等腰三角形的性质，即可得出EF⊥OB，EG⊥OC，推出四边形OGEF是矩形，再根据菱形的面积即可得出矩形的面积。
3．【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵菱形ABCD，O是菱形对角线的交点，
∴O是AC的中点，
∵E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴，
∵菱形的周长，
∴BC=16÷4=4，
∴OE=BC=2，
故答案为：B.
【分析】先利用菱形的性质可得O是AC的中点，再证出OE是△ABC的中位线，再利用菱形的周长求出边长，最后利用三角形的中位线求出OE=BC=2即可.
4．【答案】B
【知识点】点的坐标；菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AB=AD=BC=5，
∵，，B(-3，0) ，
∴点C的坐标为（-7，3），
∴当点C落在y轴上时，点C的坐标为（0，3），
∴点D的坐标为（5，3），
故答案为：B.
【分析】利用菱形的性质可得CD=AB=AD=BC=5，再求出点C的坐标，再结合当点C落在y轴上时，点C的坐标为（0，3），求出点D的坐标即可.
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；平移的性质
【解析】【解答】解： △ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB=AD时， 四边形ABCD是菱形 ，故选项B不符合题意；
当∠BAC=∠DAC时，
∵AD∥BC，∴，
∴，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形 ，故选项C不符合题意；
当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 ，故选项D不符合题意；
当∠ABC=∠ACB时，AB=AC，不能推出平行四边形ABCD是菱形，故选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】由平移的性质得AB∥CD，AB=CD，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定方法：①一组邻边相等得平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可逐个判断得出答案.
6．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵ 菱形的两条对角线的长分别为12和24，
∴菱形的面积为×12×24=144，
∵点O为菱形对角线的交点，
∴阴影部分的面积=菱形的面积的一半=×144=72.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质可知：阴影部分的面积=菱形的面积的一半，据此计算即可.
7．【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图：
连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，AC=24，
∴AC⊥BD，DC//AB，AO=CO=12.
∴∠ECF=∠GBF，∠CEF=∠BGF.
∵E，F分别是边 CD，BC 的中点，
∴EF是三角形BCD的中位线，CF=BF.
∴.
∵∠ECF=∠GBF，∠CEF=∠BGF，CF=BF，
∴△ECF≌△GBF（AAS）.
∴EF=FG.
∴GE=2EF=BD.
∵Rt△DCO中，DC=13，CO=12，
∴DO=5.
∴GE=BD=2DO=10.
故答案为：B.
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，DC//AB，AO=CO=12.由F为BC中点可得FC=FB.从而有△ECF≌△GBF，于是有EG=2EF.由中位线性质可得，于是有EG=BD.再利用常见勾股数可得OD长，从而得到EG长.
8．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】A、由作图知：AC⊥BD，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意；
B、由作图知：AB=BC，AD=AB，即邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
C、由作图知，只能判定四边形是平行四边形，符合题意；
D、由作图知：AC平分∠BAD、∠DCB，由全等三角形的性质可得AB=BC=CD=AD，即四边相等的四边形是菱形，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的判定方法并结合作图依次判断即可求解.
9．【答案】AB=BC(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【解答】 添加一个条件AB=BC.理由如下：
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
故答案为：AB=BC（答案不唯一）.
【分析】根据平行四边形是判定方法可得四边形ABCD是平行四边形，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断求解（答案不唯一）.
10．【答案】20
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】∵菱形的对角线互相平分且垂直，菱形的对角线的长分别是和，
∴菱形的边长=cm，
∴菱形的周长=4×5=20cm，
故答案为20.
【分析】先利用菱形的性质及勾股定理求出菱形的周长，再利用菱形的周长公式求出答案即可.
11．【答案】5
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵S菱形ABCD=×AC×BD，而S菱形ABCD=20，AC=8，
∴20=×8×BD，解得：BD=5.
故答案为：5.
【分析】根据菱形的性质“菱形的面积=×AC×BD”可得关于BD的方程，解方程可求解.
12．【答案】4-2 ；
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵ABCD和EFGH是矩形，
∴∠ADC=∠HDF=∠H=∠C=90°
∵
∴∠CDN=∠LDH，且CD=DH，∠H=∠C=90°
∴△CDN≌△HDL（ASA）
∴ND=LD，且四边形DLMN是平行四边形
∴四边形DLMN是菱形
∴
过点M作MK⊥FD于点K，则cm
当时，cm
又
∴cm
∴cm
∴cm
当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角α最小，如图，
设DN=a=BN，则CN=8-a，
∵ND2=CD2+NC2，
∴a2=4+（8-a）2，
∴a=,
∴重叠部分的面积=cm2，
故答案为：cm；cm2
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质.根据∠CDN=∠LDH，且CD=DH，∠H=∠C=90°，由“ASA”可证△CDN≌△LDN，可证ND=DL，结合四边形DLMN是平行四边形可推出四边形DLMN是菱形，当时，过点M作MK⊥FD于点K，可求出MK，KC，从而可求出DM，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角α最小，可求DN，即求出本题答案．
13．【答案】解： 菱形 的周长为20， ，
， ， ， ，
，
，
菱形 的面积 .
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】利用菱形的性质可求出BD的长，同时可得到AB和EB的长；利用勾股定理求出EA的长，即可得到AC的长；然后利用菱形的面积公式求出此菱形的面积.
14．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
∵ BE=EF=FD，
∴BF=DE，
在△ABF和△CDE中
∴ △ABF≌△CDE（AAS）
（2）解：①或②，四边形 AECF 是菱形，
如图，
已知①即 ∠ABD=30° ，
理由：
∵△ABF≌△CDE，
∴AF=CE，∠AFB=∠CED
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ABD=30°，∠BAF=90°，BE=EF，
∴AE=BF，AF=BF，
∴AE=AF，
∴四边形AECF是菱形；
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠ABF=∠CDE，利用已知可得到BF=DE，再利用AAS可证得结论.
（2）已知①即 ∠ABD=30° ，利用全等三角形的性质及平行线的性质可证得AF=CE，AF∥CE，由此可推出四边形AECF是平行四边形；再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半去证明AE=AF，据此可证得四边形AECF是菱形.
15．【答案】（1）解： ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AB//CD，DO=BO，AO=CO
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
∴△FDO≌△EBO(AAS).
∴，
∴EF=3.
（2）解：四边形 AECF 是菱形.理由如下：
由（1）得AO=CO，FO=EO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据 ABCD对角线AC，BD相交于点O，得到AB//CD，DO=BO，先利用平行线性质，再利用AAS判断两个三角形全等，于是可得EF的值.
（2）先根据对角线互相平分得到平行四边形，再根据对角线互相垂直证得是菱形.
1 / 1
