2024年浙教版数学八年级下册5.3正方形课后基础练
一、选择题
1．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
B．矩形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
2．下列说法正确的是 （ ）
A．矩形的对角线相等且互相垂直 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线相等 D．菱形的四个角都是直角
3．如图，在正方形 ABCD中，E是AC 上的一点，且 AB=AE，则∠EBC的度数为 （ ）
A．37.5° B．30° C．22.5° D．12.5°
4．（2023八下·晋安期末）下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
5．（2023八下·铁东期末）如图，正方形中，以对角线为一边作菱形，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·夏津期末）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ）
A．25 B．49 C．81 D．100
7．（2023八下·大同期中）化简二次根式除了利用二次根式的运算法则外，还可以借助图形解译和验证．如化简，我们可以构造如图所示的图形，其中图1是一个面积为8的正方形，图2是一个面积为2的正方形，根据两图的关系我们可以得到．这种分析问题的方法所体现的数学思想是（ ）
A．分类讨论思想 B．从一般到特殊思想
C．数形结合思想 D．类比思想
8．（2022八下·乐亭期末）如图，在矩形中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
二、填空题
9．（2023八下·乾安期末）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是 ．（只填一个条件即可，答案不唯一）
10．（2022八下·淮安开学考）如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为 .
11．（2021八下·象州期中）已知正方形的一条对角线长是，则它的面积等于 .
12．（2020八下·秦淮期末）如图，两个正方形Ⅰ，Ⅱ和两个矩形Ⅲ，Ⅳ拼成一个大正方形，已知正方形Ⅰ，Ⅱ的面积分别为10和3，那么大正方形的面积是 .
三、解答题
13．如图，在正方形 ABCD中，点 E 在 BC 边的延长线上，点 F 在 CD 边的延长线上，且 CE=DF，连结 AE和BF.求证：AE=BF.
14．（华师大版数学八年级下册第十九章第三节19.3正方形同步练习）已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．
15．（2022八下·西昌月考）如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，CE=BC，求证：∠AFE是直角.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，是真命题；
B、矩形的对角线相等，是真命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项是假命题；
D、对角线相等的菱形是正方形，是真命题.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的面积公式、矩形的性质、菱形和正方形的判定并根据真假命题的定义依次判断即可求解.
2．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等但不互相垂直，故此选项错误；
B、菱形的对角线相互垂直，故此选项错误；
C、正方形的对角线相等且垂直，故此选项正确；
D、菱形的四个角不一定都是直角，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分；菱形的对角线互相平分且垂直；正方形的对角线相等、互相平分且垂直，即可逐项判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠ABC=90°，∠BAE=45°，
∵ AB=AE，
∴ ∠ABE=67.5°，
∴ ∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-67.5°=22.5°.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可得∠ABC=90°，∠BAE=45°，由等腰三角形的性质可得∠ABE=67.5°，最后根据∠EBC=∠ABC-∠ABE即可求得.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故此选项不正确，不符合题意；
B、 对角线相等的平行四边形才是矩形，故此选项不正确，不符合题意；
C、 有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不正确，不符合题意；
D、 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，据此可判断A选项；对角线相等的平行四边形是矩形，据此可判断B选项；有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此可判断C选项；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此可判断D选项.
5．【答案】A
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形
∴∠CAB=45°
∵ 四边形CAEF为菱形
∴ ∠FAB=∠CAF=
∴ ∠FAB=22.5°
故答案为：A.
【分析】本题考查正方形、菱形性质——对角线平分对角。熟悉其性质是解题关键。
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：由勾股定理可得A=36+64=100，
故答案为：D.
【分析】由图形知数字36和64代表两个小正方形的面积是直角三角形两直角边的平方，而正方形A的面积是直角三角形斜边的平方，根据勾股定理即可求解.
7．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】由图可知：
面积为8的正方形的边长等于面积为2的正方形边长的2倍，
即
显然，在题目描述过程中，构造了相应边长的正方形，将数字变化为图像来研究，这样的方法体现了数形结合思想。
故答案为：C。
【分析】理解并熟练运用数形结合思想
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接BE，如图，
由题意知，BE=BC=25，
四边形ABCD是矩形，
，AB=DC=24， AD=BC=25，
在中，
．
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理求出AE的长即可。
9．【答案】∠BAD＝90°或AC＝BD．
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：根据题意，添加一个对角线相等或者有一个角是直角，可以使菱形ABCD成为正方形，
即∠BAD＝90°或AC＝BD．
故答案为：∠BAD＝90°或AC＝BD．.
【分析】根据菱形的性质，添加一个对角线相等或者有一个角是直角，即可求解．
10．【答案】(-2，2)
【知识点】正方形的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】 解： 正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2）
点D的坐标为(-2，2).
故答案为：（-2，2）.
【分析】由正方形的对称性可得A、D两点关于y轴对称，然后根据关于y轴对称的坐标特点“横坐标互为相反数，纵坐标不变”求解即可.
11．【答案】16
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的一条对角线长是，
∴它的面积=，
故答案为：16.
【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积为对角线乘积的一半进行计算.
12．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形Ⅰ的面积为10，故，其边长为 ，
正方形Ⅱ的面积为3，故，其边长为 ，
∴大正方形的边长为 ，
∴大正方形的面积= ，
故答案为： .
【分析】已知正方形面积可以求出正方形的边长，进而求出大正方形的边长即可解答.
13．【答案】证明：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AB=BC=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
∵ CE=DF，
∴ BC+CE=CD+DF，即BE=CF，
∴ △ABE≌△BCF（SAS），
∴ AE=BF.
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据正方形的性质得AB=BC=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，推出BE=CF，依据SAS判定△ABE≌△BCF，根据全等三角形的对应边相等即可求得.
14．【答案】解答：证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC∴∠DEB＝∠DFB＝90°，又∵∠ABC＝90°，∴四边形BEDF为矩形，∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴矩形BEDF为正方形．
【知识点】角平分线的性质；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
15．【答案】证明：连接AE，
设CE=a，则BC=4a，DF=2a，BE=3a，
由勾股定理可得，
AF2=AD2+DF2=20a2，EF2=FC2+EC2=5a2，AE2=AB2+BE2=25a2，
∴AE2=AF2+EF2，
∴△AEF为直角三角形且∠AFE是直角.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质
【解析】【分析】连接AE，设CE=a，在直角三角形ADF、直角三角形EFC、直角三角形ABE中，用勾股定理可将AF2、EF2、AE2用含a的代数式表示出来，根据表示的结果并结合勾股定理的逆定理可判断△AEF为直角三角形且∠AFE是直角.
1 / 12024年浙教版数学八年级下册5.3正方形课后基础练
一、选择题
1．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
B．矩形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，是真命题；
B、矩形的对角线相等，是真命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此选项是假命题；
D、对角线相等的菱形是正方形，是真命题.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的面积公式、矩形的性质、菱形和正方形的判定并根据真假命题的定义依次判断即可求解.
2．下列说法正确的是 （ ）
A．矩形的对角线相等且互相垂直 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线相等 D．菱形的四个角都是直角
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等但不互相垂直，故此选项错误；
B、菱形的对角线相互垂直，故此选项错误；
C、正方形的对角线相等且垂直，故此选项正确；
D、菱形的四个角不一定都是直角，故此选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分；菱形的对角线互相平分且垂直；正方形的对角线相等、互相平分且垂直，即可逐项判断得出答案.
3．如图，在正方形 ABCD中，E是AC 上的一点，且 AB=AE，则∠EBC的度数为 （ ）
A．37.5° B．30° C．22.5° D．12.5°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠ABC=90°，∠BAE=45°，
∵ AB=AE，
∴ ∠ABE=67.5°，
∴ ∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-67.5°=22.5°.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可得∠ABC=90°，∠BAE=45°，由等腰三角形的性质可得∠ABE=67.5°，最后根据∠EBC=∠ABC-∠ABE即可求得.
4．（2023八下·晋安期末）下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故此选项不正确，不符合题意；
B、 对角线相等的平行四边形才是矩形，故此选项不正确，不符合题意；
C、 有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不正确，不符合题意；
D、 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，据此可判断A选项；对角线相等的平行四边形是矩形，据此可判断B选项；有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此可判断C选项；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此可判断D选项.
5．（2023八下·铁东期末）如图，正方形中，以对角线为一边作菱形，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形
∴∠CAB=45°
∵ 四边形CAEF为菱形
∴ ∠FAB=∠CAF=
∴ ∠FAB=22.5°
故答案为：A.
【分析】本题考查正方形、菱形性质——对角线平分对角。熟悉其性质是解题关键。
6．（2023八下·夏津期末）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ）
A．25 B．49 C．81 D．100
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：由勾股定理可得A=36+64=100，
故答案为：D.
【分析】由图形知数字36和64代表两个小正方形的面积是直角三角形两直角边的平方，而正方形A的面积是直角三角形斜边的平方，根据勾股定理即可求解.
7．（2023八下·大同期中）化简二次根式除了利用二次根式的运算法则外，还可以借助图形解译和验证．如化简，我们可以构造如图所示的图形，其中图1是一个面积为8的正方形，图2是一个面积为2的正方形，根据两图的关系我们可以得到．这种分析问题的方法所体现的数学思想是（ ）
A．分类讨论思想 B．从一般到特殊思想
C．数形结合思想 D．类比思想
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】由图可知：
面积为8的正方形的边长等于面积为2的正方形边长的2倍，
即
显然，在题目描述过程中，构造了相应边长的正方形，将数字变化为图像来研究，这样的方法体现了数形结合思想。
故答案为：C。
【分析】理解并熟练运用数形结合思想
8．（2022八下·乐亭期末）如图，在矩形中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接BE，如图，
由题意知，BE=BC=25，
四边形ABCD是矩形，
，AB=DC=24， AD=BC=25，
在中，
．
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理求出AE的长即可。
二、填空题
9．（2023八下·乾安期末）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是 ．（只填一个条件即可，答案不唯一）
【答案】∠BAD＝90°或AC＝BD．
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：根据题意，添加一个对角线相等或者有一个角是直角，可以使菱形ABCD成为正方形，
即∠BAD＝90°或AC＝BD．
故答案为：∠BAD＝90°或AC＝BD．.
【分析】根据菱形的性质，添加一个对角线相等或者有一个角是直角，即可求解．
10．（2022八下·淮安开学考）如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为 .
【答案】(-2，2)
【知识点】正方形的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】 解： 正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2）
点D的坐标为(-2，2).
故答案为：（-2，2）.
【分析】由正方形的对称性可得A、D两点关于y轴对称，然后根据关于y轴对称的坐标特点“横坐标互为相反数，纵坐标不变”求解即可.
11．（2021八下·象州期中）已知正方形的一条对角线长是，则它的面积等于 .
【答案】16
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的一条对角线长是，
∴它的面积=，
故答案为：16.
【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积为对角线乘积的一半进行计算.
12．（2020八下·秦淮期末）如图，两个正方形Ⅰ，Ⅱ和两个矩形Ⅲ，Ⅳ拼成一个大正方形，已知正方形Ⅰ，Ⅱ的面积分别为10和3，那么大正方形的面积是 .
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形Ⅰ的面积为10，故，其边长为 ，
正方形Ⅱ的面积为3，故，其边长为 ，
∴大正方形的边长为 ，
∴大正方形的面积= ，
故答案为： .
【分析】已知正方形面积可以求出正方形的边长，进而求出大正方形的边长即可解答.
三、解答题
13．如图，在正方形 ABCD中，点 E 在 BC 边的延长线上，点 F 在 CD 边的延长线上，且 CE=DF，连结 AE和BF.求证：AE=BF.
【答案】证明：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AB=BC=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
∵ CE=DF，
∴ BC+CE=CD+DF，即BE=CF，
∴ △ABE≌△BCF（SAS），
∴ AE=BF.
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据正方形的性质得AB=BC=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，推出BE=CF，依据SAS判定△ABE≌△BCF，根据全等三角形的对应边相等即可求得.
14．（华师大版数学八年级下册第十九章第三节19.3正方形同步练习）已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．
【答案】解答：证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC∴∠DEB＝∠DFB＝90°，又∵∠ABC＝90°，∴四边形BEDF为矩形，∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴矩形BEDF为正方形．
【知识点】角平分线的性质；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
15．（2022八下·西昌月考）如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，CE=BC，求证：∠AFE是直角.
【答案】证明：连接AE，
设CE=a，则BC=4a，DF=2a，BE=3a，
由勾股定理可得，
AF2=AD2+DF2=20a2，EF2=FC2+EC2=5a2，AE2=AB2+BE2=25a2，
∴AE2=AF2+EF2，
∴△AEF为直角三角形且∠AFE是直角.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质
【解析】【分析】连接AE，设CE=a，在直角三角形ADF、直角三角形EFC、直角三角形ABE中，用勾股定理可将AF2、EF2、AE2用含a的代数式表示出来，根据表示的结果并结合勾股定理的逆定理可判断△AEF为直角三角形且∠AFE是直角.
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