2024年浙教版数学八年级下册5.3正方形课后培优练
一、选择题
1．（2023八下·永定期中）下列命题中，假命题是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．正方形的对角线互相垂直平分
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．有一个角为的平行四边形是矩形
2．（2020八下·昆明期末）在周长为 的正方形 中，点 是 边的中点，点 为对角线 上的一个动点，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2023八下·巩义期末）如图，点M是正方形ABCD内位于对角线BD下方的一点， ，则 为（ ）
A．120° B．130° C．125° D．135°
4．（2023八下·辛集期末）如图，中，，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·承德期末）如图，分别沿长方形纸片和正方形纸片 EFGH 的对角线，剪开，拼成如图2所示的四边形，若中间空白部分四边形恰好是正方形，且四边形的面积为50，则正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·铜仁期末）如图，在正方形中，点、分别是边、上的两个动点不与顶点、、重合，在运动中始终保持，与交于点，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·东阳月考）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为10.5，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·长沙期末）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，CE＝DH，CH交BE于点F，交BD于点G，连接GE．下列结论：①CH＝BE；②CH⊥BE；③S△GCE＝S△GDH；④当E是CD的中点时，；⑤当EC＝2DE时，S正方形ABCD＝6S四边形DEGH．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤
二、填空题
9．（2023九上·江北期中）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，，则大正方形的边长为 ．
10．（2024八下·广州开学考） 年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是由我国古代数学家赵爽的“弦图”演变而来，体现了数学研究中的继承和发展如图是用八个全等的直角三角形拼接而成的“弦图”记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、若正方形的边长为，则 ．
11．（2024九上·盘州期末）如图，正方形的边长为8，点为边上一点，且，点为边上的一个动点，连接，以为一条直角边向右侧作等腰，且使，连接，则的最小值是 ．
12．（2024九下·深圳开学考） 如图正方形的边长为3，E是上一点且，F是线段上的动点．连接，将线段绕点C逆时针旋转 90°得到，连接，则的最小值是 ．
三、解答题
13．（2023九上·滨江开学考）如图，已知在正方形中，，点为线段上一点点不与、重合，连接，过点作交射线于点，以、为邻边作矩形．
（1）求证：；
（2）连接，设，的面积为求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（3）当时，求的度数．
14．（2023八下·新昌期末）如图1，两张纸片正方形与正方形拼在一起，在边上取，沿，分别剪一刀，将拼至，拼至，无缝隙无重叠，如图2．
（1）求证：．
（2）求证：四边形是正方形．
（3）仿照题中的剪拼方法，剪两刀把图3中两个正方形剪拼成一个更大的正方形，在图中作出剪拼线，并完成拼图．
15．（2022八下·鄞州期末）如图1，矩形ABCD中，过对角线AC的中点O画EF⊥AC分别交AB，CD于点E，F，连结AF，CE．
（1）[证明体验]
求证：四边形AECF是菱形．
（2）[基础巩固]
若AB=8，BC=6，求菱形AECF的边长．
（3）[拓展延伸]
如图2，在对角线AC上取点G，H，使得四边形EHFG是正方形，若正方形EHFG的边长为，且AE=5CH，求矩形ABCD的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角线是互相平分的，不是相等的，所以A选项是假命题；
B、正方形的对角线是互相垂直平分的，所以B选项是真命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项是真命题；
D、有一个角为的平行四边形是矩形，所以D选项是真命题；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质可判断A；根据正方形的性质可判断B；根据菱形的判定定理可判断C；根据矩形的判定定理可判断D.
2．【答案】C
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接DE，与AC的交点为P，此时BP＋PE最小，
∵四边形ABCD是正方形，且周长为8，
∴AC⊥BD，BO＝OD，AD＝AB＝2，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BP＝DP，
∴BP＋PE＝DP＋PE＝DE，
∵E是AB的中点，
∴AE＝ AB＝1，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，
∴DE＝ ＝ ，
故答案为：C.
【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接DE交AC于点P，此时BP＋PE最小为线段DE的长，在Rt△DAE中，由勾股定理先计算出DE的长度即可.
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠ABD=45°，
∴∠2+∠ABM=45°，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ABM=45°，
∵∠AMB=180°-∠1-∠ABM，
∴∠AMB=135°．
故答案为：D.
【分析】根据正方形的四个角都是直角，正方形的对角线平分对角可求得∠ABD=∠ABD=45°，结合题意求得∠1+∠ABM=45°，根据三角形的内角和是180°，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】连接PF，设PC交AF于点G，AM交EF于点H，
由题知∠F=∠GAB=90°，AF=BA，∠FAH=∠ABG，∴△AFH≌△BAG，
同理可证得△ABC≌△AFQ，△ABC≌△EBN，△EMH≌△FPG，
∴S1+S3=S2=S4=S△ABC
∵
∴
故B正确，A、C、D错误。
故答案为： B
【分析】利用正方形和直角三角形所具有的性质，论证图中所有的全等三角形，等面积转化可知阴影部分面积是三角形ABC面积的三倍，故可求正确答案。
5．【答案】C
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形EFGH的边长为a，则图2中的PM=PL=RN=RK=a，设图2中得小正方形OPQR的边长为b，所以BC=NQ=a+b，AB=MQ=a-b，根据题意得：S长方形ABCD+S正方形EFGH+S小正方形PQRO=50，
∴（a+b）（a-b）+a2+b2=50，
∴a2-b2+a2+b2=50，
∴2a2=50，
∴a2=25，
即正方形EFGH的面积为25.
故答案为：C。
【分析】设正方形EFGH的边长为a，则图2中的PM=PL=RN=RK=a，设图2中得小正方形OPQR的边长为b，所以BC=NQ=a+b，AB=MQ=a-b，根据题意得：S长方形ABCD+S正方形EFGH+S小正方形PQRO=50，构建方程，即可求得答案。
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】∵ 四边形ABCD为正方形
∴ AB∥DC， AD=AB，∠DAE=∠B=90°，∠BAC=∠DCA=45°
∵AE=BF
∴
∴ ∠DEA=∠AFB=67.5°
∵ AB∥DC
∴ ∠GDC=∠DEA=67.5°
∴ ∠CGD=180°-∠GDC-∠DCA=67.5°
即∠CGD=67.5°
故答案为D
【分析】本题考查正方形的性质和三角形全等的判定。熟悉正方形的性质是解题关键。根据正方形性质及AE=BF，可判定，得到∠DEA=∠AFB=67.5°，结合平行得到的∠GDC=∠DEA=67.5°，可计算出∠CGD=67.5°.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABGF是正方形，
∴∠F=∠FAB=90°，AF=AB，
∵四边形ACDE是正方形，
∴∠ACE=90°，
∴∠FAM+∠FMA=∠FAM+∠ANC=90°，
∴∠ANC=∠FMA，
∴△FAM≌△ABN（AAS），
∴S△FAM=S△ABN，
∴S四边形FNCM+S△ACN=S△ABC+S△ACN
∴S四边形FNCM=S△ABC，
∴空白部分面积=正方形ABGF的面积-S四边形FNCM-S△ABC=正方形ABGF的面积-2S△ABC=10.5，
∴AB2-2AC·BC=10.5①，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵AC+BC=6，
∴（AC+BC）2=AC2+BC2+2AC·BC=36，
∴AB2+2AC·BC=36②，
联立①②得3AB2=57，解得AB=.
故答案为：C.
【分析】利用AAS证明△FAM≌△ABN，可得S△FAM=S△ABN，从而得出S四边形FNCM=S△ABC，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2，由空白部分面积=正方形ABGF的面积-S四边形FNCM-S△ABC=正方形ABGF的面积-2S△ABC=10.5，即得AB2-2AC·BC=10.5①，由AC+BC=6可得AB2+2AC·BC=36②，联立①②求出AB2即可求解.
8．【答案】A
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：在正方形中，，，
，
，
，，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
在正方形对角线上，
到，的距离相等，
，
，
，故③正确；
设正方形的边长为，
，
当是的中点时，．
由勾股定理得：
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当是的中点时，，故④正确，
当时，，
，，
，
，
，
中边上的高与中边上的高相等，，
，
设，则，，
，
，
当时，，
，
，
，
，故⑤不正确，
综上所述：正确结论的序号是①②③④，
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质结合三角形全等的判定与性质证明即可可以判断①；进而证明即可判断②；根据，，结合正方形的性质即可判定③；设正方形的边长为，当是的中点时，，根据相似三角形的判定与性质和勾股定理分别表示出，，进而可以判断④；设，则，，得，所以，当时，，证得，进而结合题意即可判断⑤．
9．【答案】3
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长BF交DC于点N，如图，
设小正方形在DE上的顶点为M，设，
大正方形与小正方形的面积之比为5，
，
，
，
，
化简得，
，
，
∴，，
，，
，
∴，
，
设，则，
，
，
，
∴，
，
又 ，
，
，
，
，
.
故答案为：3.
【分析】延长BF交DC于N，设小正方形在DE上的顶点为M，设，由面积比得，又，求得，利用，得到，，利用，得到，
设，根据相似比求出EF的长，进而求大正方形面积.
10．【答案】30
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：在中，由勾股定理得：，
八个直角三角形全等，四边形，四边形，四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
正方形的边长为，
，
，
故答案为：30．
【分析】在Rt△CFG中，由勾股定理得CG2+CF2=GF2=10，由全等三角形的性质得CG=FM=NG，CF=FN=DG，由正方形面积公式得，，，然后结合GF的长度可求出S1+S2+S3.
11．【答案】
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】过点G作GP⊥AB于点P，GQ⊥BC于点Q，连接BD，如图所示：
根据题意可得：∠ABC=90°，∠PGQ=90°，
∴∠PGF+∠FGQ=∠QGE+∠FGQ=90°，
∴∠PGF=∠QGE，
∵△EFG是等腰直角三角形，且∠FGE=90°，
∴GF=GE，
在△GPF与△GQE中，
，
∴△GPF≌△GQE（AAS），
∴GP=GQ，∠GBP=∠GBE=∠ABC，
∴点G在BD所在的直线上运动，
∵F为AB边上的一个动点，如图所示：
当点F与点B重合时，点G的位置如图所示，
当点F与点A重合时，记点G的位置为G''，
∴点G的运动轨迹为线段GG''，
过点C作CG'⊥BD于点G'，
∴CG的最小值=CG'=BD，
∵正方形的边长为8，
∴BD=，
∴的最小值是BD=，
故答案为：.
【分析】先利用“AAS”证出△GPF≌△GQE，可得GP=GQ，∠GBP=∠GBE=∠ABC，再证出点G的运动轨迹为线段GG''，过点C作CG'⊥BD于点G'，可得CG的最小值=CG'=BD，再结合BD=，求出的最小值是BD=即可.
12．【答案】
【知识点】垂线段最短；正方形的性质；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，作直线BG，
∵四边形ABCD是边长为3的正方形，
∴BC=CD=3，∠BCD=90°，
由旋转的性质得CF=CG，∠FCG=90°，
∴∠BCD-∠ECF=∠FCG-∠ECF，
即∠DCF=∠BCG，
∴△BCG≌△DCF（SAS），
∴∠CBG=∠CDF，
∵∠CDF是定值，
∴点G在直线BG上运动，且，
根据垂线段最短得，当EG⊥BG时，EG的长最短，此时，
设EG=m(m＞0)，则BG=3m，
在Rt△BEG中，∵BE2=BG2+EG2，
∴4=m2+9m2，
解得，
∴EG的最小值为.
故答案为：.
【分析】作直线BG，由正方形的性质得BC=CD=3，∠BCD=90°，由旋转的性质得CF=CG，∠FCG=90°，由同角的余角相等得∠DCF=∠BCG，从而由SAS判断出△BCG≌△DCF，由全等三角形的性质得∠CBG=∠CDF，由于∠CDF是定值，故点G在直线BG上运动，且，根据垂线段最短得，当EG⊥BG时，EG的长最短，此时，设EG=m(m＞0)，则BG=3m，在Rt△BEG中，利用勾股定理建立方程，求解得出m的值，即可得出答案.
13．【答案】（1）证明：如图，作，．
，，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
点是正方形对角线上的点，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）解：四边形是矩形，，
矩形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
的面积
（3）解：如图，当点在线段上时，
四边形是正方形，
，
，，
；
如图，当点在线段的延长线上时，
，，
，
综上，的度数为或．
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形的应用；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】本题主要考查正方形的基本性质、矩形的判定和性质、三角形全等的判定及性质.
（1）作，，结合题意可证得四边形是矩形，然后运用矩形和正方形的性质可得到≌，进而得到答案；
（2）根据矩形和正方形的性质运用等量代换的方法可证得：≌，得到，进而表示出的面积y的表达式；
（3）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行求解即可.
14．【答案】（1）证明：在正方形与正方形中，，，．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴．
∴，
∴
（2）证明：由（1）已证：，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴
∵是由拼成的，
∴
∴．
同理．
∴，四边形是正方形，
（3）如图所示，取，沿，分别剪一刀，
将拼至，拼至．
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质和等量转化即可证明AD=ME，通过三角形全等即可求证DM=MF；
（2）结合第一问的结果，通过等量转化求证，再利用三角形拼成的性质和正方形的四条边都相等即可求证四边形DMFN为正方形；
（3）依照图中的作图方法即可画出图形.
15．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FCO＝∠EAO，∠CFO＝∠AEO，
∵AO=CO，
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴FC=AE，
∵FC∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：设AE=x，则EC=x，BE=8-x，
在Rt△BEC中，
，
，
解得，
∴AE=.
（3）解：连结AF，CE，
由（1）知四边形AECF是菱形，
∵四边形EHFG是正方形，EG=3，
∴OG=OH=OF=OE=3，
∵OA=OC，
∴AG=CH，
∵AE=5CH，
∴AE=5AG，
，
，
解得：AG=1，
∴AE=CE=5，AC=8，
，
，
解得：，
∴矩形ABCD的面积=
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质和平行线的性质求出有关角或边相等，利用AAS证明△AOE≌△COF，得出FC=AE，结合FC∥AE，证出四边形AECF是平行四边形，结合AC⊥EF，则可证明四边形AECF是菱形．
(2)设AE=x，则EC=x，BE=8-x，在Rt△BEC中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答；
(3)连结AF，CE，根据正方形的性质求出OG=OH=OF=OE=3，结合AE=5AG，在Rt△AOE中，根据勾股定理建立方程求出AG，则可求出AE和CE，然后在Rt△CBE和△ABC中，根据勾股定理建立等式求出BE长，最后根据勾股定理求出BC和AB长，即可解答.
1 / 12024年浙教版数学八年级下册5.3正方形课后培优练
一、选择题
1．（2023八下·永定期中）下列命题中，假命题是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．正方形的对角线互相垂直平分
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．有一个角为的平行四边形是矩形
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角线是互相平分的，不是相等的，所以A选项是假命题；
B、正方形的对角线是互相垂直平分的，所以B选项是真命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项是真命题；
D、有一个角为的平行四边形是矩形，所以D选项是真命题；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质可判断A；根据正方形的性质可判断B；根据菱形的判定定理可判断C；根据矩形的判定定理可判断D.
2．（2020八下·昆明期末）在周长为 的正方形 中，点 是 边的中点，点 为对角线 上的一个动点，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接DE，与AC的交点为P，此时BP＋PE最小，
∵四边形ABCD是正方形，且周长为8，
∴AC⊥BD，BO＝OD，AD＝AB＝2，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BP＝DP，
∴BP＋PE＝DP＋PE＝DE，
∵E是AB的中点，
∴AE＝ AB＝1，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，
∴DE＝ ＝ ，
故答案为：C.
【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接DE交AC于点P，此时BP＋PE最小为线段DE的长，在Rt△DAE中，由勾股定理先计算出DE的长度即可.
3．（2023八下·巩义期末）如图，点M是正方形ABCD内位于对角线BD下方的一点， ，则 为（ ）
A．120° B．130° C．125° D．135°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠ABD=45°，
∴∠2+∠ABM=45°，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ABM=45°，
∵∠AMB=180°-∠1-∠ABM，
∴∠AMB=135°．
故答案为：D.
【分析】根据正方形的四个角都是直角，正方形的对角线平分对角可求得∠ABD=∠ABD=45°，结合题意求得∠1+∠ABM=45°，根据三角形的内角和是180°，即可求解.
4．（2023八下·辛集期末）如图，中，，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】连接PF，设PC交AF于点G，AM交EF于点H，
由题知∠F=∠GAB=90°，AF=BA，∠FAH=∠ABG，∴△AFH≌△BAG，
同理可证得△ABC≌△AFQ，△ABC≌△EBN，△EMH≌△FPG，
∴S1+S3=S2=S4=S△ABC
∵
∴
故B正确，A、C、D错误。
故答案为： B
【分析】利用正方形和直角三角形所具有的性质，论证图中所有的全等三角形，等面积转化可知阴影部分面积是三角形ABC面积的三倍，故可求正确答案。
5．（2023八下·承德期末）如图，分别沿长方形纸片和正方形纸片 EFGH 的对角线，剪开，拼成如图2所示的四边形，若中间空白部分四边形恰好是正方形，且四边形的面积为50，则正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形EFGH的边长为a，则图2中的PM=PL=RN=RK=a，设图2中得小正方形OPQR的边长为b，所以BC=NQ=a+b，AB=MQ=a-b，根据题意得：S长方形ABCD+S正方形EFGH+S小正方形PQRO=50，
∴（a+b）（a-b）+a2+b2=50，
∴a2-b2+a2+b2=50，
∴2a2=50，
∴a2=25，
即正方形EFGH的面积为25.
故答案为：C。
【分析】设正方形EFGH的边长为a，则图2中的PM=PL=RN=RK=a，设图2中得小正方形OPQR的边长为b，所以BC=NQ=a+b，AB=MQ=a-b，根据题意得：S长方形ABCD+S正方形EFGH+S小正方形PQRO=50，构建方程，即可求得答案。
6．（2023八下·铜仁期末）如图，在正方形中，点、分别是边、上的两个动点不与顶点、、重合，在运动中始终保持，与交于点，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】∵ 四边形ABCD为正方形
∴ AB∥DC， AD=AB，∠DAE=∠B=90°，∠BAC=∠DCA=45°
∵AE=BF
∴
∴ ∠DEA=∠AFB=67.5°
∵ AB∥DC
∴ ∠GDC=∠DEA=67.5°
∴ ∠CGD=180°-∠GDC-∠DCA=67.5°
即∠CGD=67.5°
故答案为D
【分析】本题考查正方形的性质和三角形全等的判定。熟悉正方形的性质是解题关键。根据正方形性质及AE=BF，可判定，得到∠DEA=∠AFB=67.5°，结合平行得到的∠GDC=∠DEA=67.5°，可计算出∠CGD=67.5°.
7．（2024八上·东阳月考）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分面积为10.5，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABGF是正方形，
∴∠F=∠FAB=90°，AF=AB，
∵四边形ACDE是正方形，
∴∠ACE=90°，
∴∠FAM+∠FMA=∠FAM+∠ANC=90°，
∴∠ANC=∠FMA，
∴△FAM≌△ABN（AAS），
∴S△FAM=S△ABN，
∴S四边形FNCM+S△ACN=S△ABC+S△ACN
∴S四边形FNCM=S△ABC，
∴空白部分面积=正方形ABGF的面积-S四边形FNCM-S△ABC=正方形ABGF的面积-2S△ABC=10.5，
∴AB2-2AC·BC=10.5①，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵AC+BC=6，
∴（AC+BC）2=AC2+BC2+2AC·BC=36，
∴AB2+2AC·BC=36②，
联立①②得3AB2=57，解得AB=.
故答案为：C.
【分析】利用AAS证明△FAM≌△ABN，可得S△FAM=S△ABN，从而得出S四边形FNCM=S△ABC，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2，由空白部分面积=正方形ABGF的面积-S四边形FNCM-S△ABC=正方形ABGF的面积-2S△ABC=10.5，即得AB2-2AC·BC=10.5①，由AC+BC=6可得AB2+2AC·BC=36②，联立①②求出AB2即可求解.
8．（2024九上·长沙期末）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，CE＝DH，CH交BE于点F，交BD于点G，连接GE．下列结论：①CH＝BE；②CH⊥BE；③S△GCE＝S△GDH；④当E是CD的中点时，；⑤当EC＝2DE时，S正方形ABCD＝6S四边形DEGH．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤
【答案】A
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：在正方形中，，，
，
，
，，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
在正方形对角线上，
到，的距离相等，
，
，
，故③正确；
设正方形的边长为，
，
当是的中点时，．
由勾股定理得：
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当是的中点时，，故④正确，
当时，，
，，
，
，
，
中边上的高与中边上的高相等，，
，
设，则，，
，
，
当时，，
，
，
，
，故⑤不正确，
综上所述：正确结论的序号是①②③④，
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质结合三角形全等的判定与性质证明即可可以判断①；进而证明即可判断②；根据，，结合正方形的性质即可判定③；设正方形的边长为，当是的中点时，，根据相似三角形的判定与性质和勾股定理分别表示出，，进而可以判断④；设，则，，得，所以，当时，，证得，进而结合题意即可判断⑤．
二、填空题
9．（2023九上·江北期中）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，，则大正方形的边长为 ．
【答案】3
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长BF交DC于点N，如图，
设小正方形在DE上的顶点为M，设，
大正方形与小正方形的面积之比为5，
，
，
，
，
化简得，
，
，
∴，，
，，
，
∴，
，
设，则，
，
，
，
∴，
，
又 ，
，
，
，
，
.
故答案为：3.
【分析】延长BF交DC于N，设小正方形在DE上的顶点为M，设，由面积比得，又，求得，利用，得到，，利用，得到，
设，根据相似比求出EF的长，进而求大正方形面积.
10．（2024八下·广州开学考） 年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是由我国古代数学家赵爽的“弦图”演变而来，体现了数学研究中的继承和发展如图是用八个全等的直角三角形拼接而成的“弦图”记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、若正方形的边长为，则 ．
【答案】30
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：在中，由勾股定理得：，
八个直角三角形全等，四边形，四边形，四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
正方形的边长为，
，
，
故答案为：30．
【分析】在Rt△CFG中，由勾股定理得CG2+CF2=GF2=10，由全等三角形的性质得CG=FM=NG，CF=FN=DG，由正方形面积公式得，，，然后结合GF的长度可求出S1+S2+S3.
11．（2024九上·盘州期末）如图，正方形的边长为8，点为边上一点，且，点为边上的一个动点，连接，以为一条直角边向右侧作等腰，且使，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】过点G作GP⊥AB于点P，GQ⊥BC于点Q，连接BD，如图所示：
根据题意可得：∠ABC=90°，∠PGQ=90°，
∴∠PGF+∠FGQ=∠QGE+∠FGQ=90°，
∴∠PGF=∠QGE，
∵△EFG是等腰直角三角形，且∠FGE=90°，
∴GF=GE，
在△GPF与△GQE中，
，
∴△GPF≌△GQE（AAS），
∴GP=GQ，∠GBP=∠GBE=∠ABC，
∴点G在BD所在的直线上运动，
∵F为AB边上的一个动点，如图所示：
当点F与点B重合时，点G的位置如图所示，
当点F与点A重合时，记点G的位置为G''，
∴点G的运动轨迹为线段GG''，
过点C作CG'⊥BD于点G'，
∴CG的最小值=CG'=BD，
∵正方形的边长为8，
∴BD=，
∴的最小值是BD=，
故答案为：.
【分析】先利用“AAS”证出△GPF≌△GQE，可得GP=GQ，∠GBP=∠GBE=∠ABC，再证出点G的运动轨迹为线段GG''，过点C作CG'⊥BD于点G'，可得CG的最小值=CG'=BD，再结合BD=，求出的最小值是BD=即可.
12．（2024九下·深圳开学考） 如图正方形的边长为3，E是上一点且，F是线段上的动点．连接，将线段绕点C逆时针旋转 90°得到，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；正方形的性质；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，作直线BG，
∵四边形ABCD是边长为3的正方形，
∴BC=CD=3，∠BCD=90°，
由旋转的性质得CF=CG，∠FCG=90°，
∴∠BCD-∠ECF=∠FCG-∠ECF，
即∠DCF=∠BCG，
∴△BCG≌△DCF（SAS），
∴∠CBG=∠CDF，
∵∠CDF是定值，
∴点G在直线BG上运动，且，
根据垂线段最短得，当EG⊥BG时，EG的长最短，此时，
设EG=m(m＞0)，则BG=3m，
在Rt△BEG中，∵BE2=BG2+EG2，
∴4=m2+9m2，
解得，
∴EG的最小值为.
故答案为：.
【分析】作直线BG，由正方形的性质得BC=CD=3，∠BCD=90°，由旋转的性质得CF=CG，∠FCG=90°，由同角的余角相等得∠DCF=∠BCG，从而由SAS判断出△BCG≌△DCF，由全等三角形的性质得∠CBG=∠CDF，由于∠CDF是定值，故点G在直线BG上运动，且，根据垂线段最短得，当EG⊥BG时，EG的长最短，此时，设EG=m(m＞0)，则BG=3m，在Rt△BEG中，利用勾股定理建立方程，求解得出m的值，即可得出答案.
三、解答题
13．（2023九上·滨江开学考）如图，已知在正方形中，，点为线段上一点点不与、重合，连接，过点作交射线于点，以、为邻边作矩形．
（1）求证：；
（2）连接，设，的面积为求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围；
（3）当时，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，作，．
，，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
点是正方形对角线上的点，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）解：四边形是矩形，，
矩形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
的面积
（3）解：如图，当点在线段上时，
四边形是正方形，
，
，，
；
如图，当点在线段的延长线上时，
，，
，
综上，的度数为或．
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形的应用；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】本题主要考查正方形的基本性质、矩形的判定和性质、三角形全等的判定及性质.
（1）作，，结合题意可证得四边形是矩形，然后运用矩形和正方形的性质可得到≌，进而得到答案；
（2）根据矩形和正方形的性质运用等量代换的方法可证得：≌，得到，进而表示出的面积y的表达式；
（3）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行求解即可.
14．（2023八下·新昌期末）如图1，两张纸片正方形与正方形拼在一起，在边上取，沿，分别剪一刀，将拼至，拼至，无缝隙无重叠，如图2．
（1）求证：．
（2）求证：四边形是正方形．
（3）仿照题中的剪拼方法，剪两刀把图3中两个正方形剪拼成一个更大的正方形，在图中作出剪拼线，并完成拼图．
【答案】（1）证明：在正方形与正方形中，，，．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴．
∴，
∴
（2）证明：由（1）已证：，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴
∵是由拼成的，
∴
∴．
同理．
∴，四边形是正方形，
（3）如图所示，取，沿，分别剪一刀，
将拼至，拼至．
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质和等量转化即可证明AD=ME，通过三角形全等即可求证DM=MF；
（2）结合第一问的结果，通过等量转化求证，再利用三角形拼成的性质和正方形的四条边都相等即可求证四边形DMFN为正方形；
（3）依照图中的作图方法即可画出图形.
15．（2022八下·鄞州期末）如图1，矩形ABCD中，过对角线AC的中点O画EF⊥AC分别交AB，CD于点E，F，连结AF，CE．
（1）[证明体验]
求证：四边形AECF是菱形．
（2）[基础巩固]
若AB=8，BC=6，求菱形AECF的边长．
（3）[拓展延伸]
如图2，在对角线AC上取点G，H，使得四边形EHFG是正方形，若正方形EHFG的边长为，且AE=5CH，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FCO＝∠EAO，∠CFO＝∠AEO，
∵AO=CO，
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴FC=AE，
∵FC∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：设AE=x，则EC=x，BE=8-x，
在Rt△BEC中，
，
，
解得，
∴AE=.
（3）解：连结AF，CE，
由（1）知四边形AECF是菱形，
∵四边形EHFG是正方形，EG=3，
∴OG=OH=OF=OE=3，
∵OA=OC，
∴AG=CH，
∵AE=5CH，
∴AE=5AG，
，
，
解得：AG=1，
∴AE=CE=5，AC=8，
，
，
解得：，
∴矩形ABCD的面积=
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质和平行线的性质求出有关角或边相等，利用AAS证明△AOE≌△COF，得出FC=AE，结合FC∥AE，证出四边形AECF是平行四边形，结合AC⊥EF，则可证明四边形AECF是菱形．
(2)设AE=x，则EC=x，BE=8-x，在Rt△BEC中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答；
(3)连结AF，CE，根据正方形的性质求出OG=OH=OF=OE=3，结合AE=5AG，在Rt△AOE中，根据勾股定理建立方程求出AG，则可求出AE和CE，然后在Rt△CBE和△ABC中，根据勾股定理建立等式求出BE长，最后根据勾股定理求出BC和AB长，即可解答.
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