2024年浙教版数学八年级下册6.2反比例函数的图像和性质课后培优练
一、选择题
1．下列关于反比例函数的说法，错误的是（ ）
A．它的图象位于第一、三象限 B．点(1，6)在它的图象上
C．它的图象关于原点成中心对称 D．当x >x 时，y 2．若图中反比例函数的表达式均为 则阴影部分面积为 2的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，过点 M 的直线l∥y轴，且分别与反比例函数和 （x＞0，k≠0）的图象相交于 P，Q两点.若，则 k 的值为（ ）
A．38 B．22 C．-7 D．-22
4．如图，在反比例函数 的图象上有点 P ，P ，P ，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段.若图中阴影部分的面积分别记为 S ，S ，且S =3，则 S 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图是同一平面直角坐标系中函数 y1=2x和 的图象.观察图象可得不等式 的解为（ ）
A．-11
C．x<-1或01
6．（2023八下·上虞期末）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
7．（2022八下·镇海区期末）如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，对角线交于原点O，交于点G，反比例函数的图象经过线段的中点E，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·镇海区期中）如图，分别过反比例函数图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），…Pn（n，yn），作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…An，连结A1P2，A2P3，…An-1Pn，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3……，以此类推，则点B20的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx(k <0)与反比例函数的图象相交于A，C两点，D为x轴负半轴上一点，连结CD 并延长，交反比例函数 的图象于点B.若CB =2CD，△CDO的面积为1，则m-n= .
10．（2023八下·余姚期末）如图，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过菱形对角线的中点D和顶点C，若菱形的面积为，则点C的坐标为 ．
11．（2023八下·盐城月考）如图，已知点、、．直线轴，垂足为点．其中，若△与关于直线对称，且△有两个顶点在函数的图象上，则的值为 ．
三、解答题
12．设函数 函数 （k1、k2、b是常熟，k1≠0，k2≠0）.
（1）若函数y1和函数 y 的图象相交于点 A (1，m)，B(3，1)，
①求函数 y ，y 的表达式.
②当2（2）若点 C（2，n）在函数 y 的图像上，点 C 先向下平移 2个单位，再向左平移4 个单位，得点D.若点 D 恰好落在函数 y 的图像上，求 n 的值.
13．如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A(-5，0)，C(0，6)，反比例函数图象 L 对应的函数表达式为 反比例函数图象 L 对应的函数表达式为 把矩形 ABCO内部(不含边界)横、纵坐标均为整数的点称为“整点”.
（1）若 k=-12，则L 和L 之间(不含边界)有 个“整点”.
（2）若L 和L 之间(不含边界)有4个“整点”，求k的取值范围.
14．如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)与函数为y2=(x>0)的图象交于A(4，1)，B(，a )两点
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出满足y1-y2>0时x的取值范围；
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ面积为3，求点P的坐标．
15．（2023八下·灌南期末）如图，一次函数y=mx+1的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D(1，-2)，连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；
（3）设点P是直线AB上一动点，且S△OAP=S菱形OACD，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、∵k=6＞0，∴反比例函数的图象位于第一、三象限，此选项不符合题意；
B、∵k=-1×（-6）=6，∴点（-1，-6）在反比例函数的图象上，此选项不符合题意；
C、反比例函数的图象关于原点对称，此选项不符合题意；
D、∵k=6＞0，∴y随x的增大而减小，此选项符合题意.
故答案为；D.
【分析】根据反比例函数的图象和性质“当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，且y随x的增大而减小；当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，且y随x的增大而增大”并结合反比例函数的图象和系数之间的关系求出已知点的横、纵坐标的积即可判断求解.
2．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：A、阴影面积，不符合题意,A错误；
B、阴影面积，不符合题，B错误
C、阴影面积，不符合题意，C错误；
D、阴影面积，符合题意，D正确；
故选：D．
【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义.的几何意义:过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为.根据几何意义可得：A图中：阴影面积；B图中：阴影面积；C图中：阴影面积；D图中：阴影面积.通过判断D选项符合题意，D正确.
3．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵l∥y轴，
∴l⊥x轴，
∵直线l分别与反比例函数和 的图象相交于 P，Q两点，
∴S△POM=×8=4，S△OMQ=|k|，
∵S△POM+S△OMQ=S△POQ=15
∴4+|k|=15，
∴k=±22，
∵的图象经过第四象限，
∴k＜0，
∴k=-22.
故答案为：D.
【分析】易得l⊥x轴，从而由反比例函数k的几何意义可得S△POM=×8=4，S△OMQ=|k|，进而根据S△POM+S△OMQ=S△POQ建立方程求出k的值，再结合函数所在的象限即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得： P （1，k），P （3，），P （6，），
∴ S =3×=3，
解得k=6
∴ S =1×（k-）=4.
故答案为：B.
【分析】由题意得P （1，k），P （3，），P （6，）， 由 S =3求出k值，利用S =1×（k-）计算即可.
5．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意可得，解得或.
∴函数 y1=2x和 的图象交点横坐标为-1和1.
又∵不等式 ，
∴y1>y2， ∴不等式 的解为函数y1=2x的图象在函数的图象上侧的自变量取值范围.
由图象可得，解为 -11 .
故答案为：D.
【分析】先求出两个函数图象的交点坐标，再观察函数图象，找出函数y1=2x的图象在函数图象的上侧的自变量取值范围即可.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点A的横坐标为m，
∴A（m，）.
令y=-x+b中的x=m，得-m+b=，
∴b=m+，
∴y=-x+m+.
作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，
设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，
∴S△ADM=2S△OEF.
由对称性可得AD=BC，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，△AOM≌△BON，AM=NB=DM=NC，
∴EF=AM=NB，
∴EF为△OBN的中位线，
∴N（2m，0），B（2m，）.
将B（2m，）代入y=-x+m+中可得=-2m+m+，
∴m2=2，
∴m=.
故答案为：B.
【分析】由题意可得A（m，），代入y=-x+b中可得b=m+，则y=-x+m+，作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，推出S△ADM=2S△OEF，由对称性可得AD=BC，OD=OC，AM=NB=DM=NC，进而得到EF为△OBN的中位线，则N（2m，0），B（2m，），然后将点B的坐标代入直线解析式中计算即可.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过E作y轴和x的垂线EM，EN，垂足分别为M，N， 设E（b，a），
∵反比例函数（x＞0）经过点E，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO=BD=4，
∵EN⊥x，EM⊥y，
∴四边形MENO是矩形，
∴，，
∵E为CD的中点， 轴， 连接OE，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
为等边三角形，而
∴
∴DG=AG， 设DG=r，则AG=r，
在Rt△DOG中，DG2=GO2+DO2，
∴，
解得：，
∴AG= .
故答案为：B.
【分析】过E作y轴和x的垂线EM，EN，垂足分别为M，N， 设E（b，a），根据点E在反比例函数图象上可得ab=，根据菱形的性质可得BD⊥AC，DO=BD=4， 易得四边形MENO是矩形， 则ME∥x轴，EN∥y轴，连接OE，则OE=DE=CE，进而推出DM=OM，ON=CN，则DO·CO=4ab=，据此可得CO、CD，由菱形的性质可得AB=AD=BD=8，推出△ABD为等边三角形，得到∠1=∠2=30°，设DG=r，则AG=r，GO=-r，根据勾股定理可得r的值，据此解答.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点 P1（1，y1），P2（2，y2）在反比例函数图象上 ，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点B1的纵坐标是：，即B1（2，6），
同理可得，点B2的纵坐标为：，即，
点B3的纵坐标为：，
...
点Bn的横坐标为：，纵坐标为：，
.
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点 P1 、 P2 的纵坐标，由平行四边形的性质得到B1、 B2的坐标，以此类推得到规律并求出点B20的坐标.
9．【答案】4
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点B、C分别作BM⊥x轴，CN⊥x轴，
∵BC=2CD，
∴CD=BD，
∵∠CDN=∠BDM，∠CND=∠BMD=90°，
∴△CDN≌△BDM，
∴CN=BM，DN=DM，
设点B（b，），C（c，），则点D（，0），则OM=b，ON=-c，OD=-，CN=，BM=，
∵ △CDO的面积为1，
∴OD·CN=1，即·（-）×=1，
∴bn+cn=-4c，
∵CN=BM，
∴=，则bn=-mc，
∴-mc+cn=-4c，
∴m-n=4.
故答案为：4.
【分析】过点B、C分别作BM⊥x轴，CN⊥x轴，由BC=2CD可得CD=BD，可证△CDN≌△BDM，可得CN=BM，DN=DM，设点B（b，），C（c，），则点D（，0），继而表示出OM、ON、OD、CN、BM，利用△CDO的面积为1， 可得bn+cn=-4c①，由CN=BM可得=②，联立①②即可求解.
10．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，作轴，
点在 的图象上，
设，
点是的中点，
，
四边形是菱形，
轴，，
点在 的图象上，
，
，
，
轴，
，，
菱形的面积为，
，
，
，
，
，
，
故答案为：.
【分析】设，利用中点公式表示出点B的坐标，再通过平行的性质表示出点C坐标，进而得到BC的长度，然后由菱形的面积公式求得k的值，最后利用两点之间的距离公式列方程解得a的值得到点C的坐标.
11．【答案】或
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：，
直线l的解析式为x=m，
△与关于直线对称，
点A和点A'到直线x=m的距离相等为5-m，点B和点A的横坐标相同，
点A'和点B'的横坐标为2m-5，点A'纵坐标为3，点B'的纵坐标为6，
，
点C和点C'到直线x=m的距离为8-m，
，
△有两个顶点在函数的图象上，点A'和点B'横坐标相同，不可能同时在函数图象上，
可能为点A'，C'在函数的图象上，或可能为B'，C'在函数的图象上，
，
解得或，
，
或，符合题意，
当时，，故k=，
当时，，故k=.
故答案为：或.
【分析】根据题意求得，，分两种情况点A'，C'在函数的图象上，或可能为B'，C'在函数的图象上，分别求出k值即可.
12．【答案】（1）解：①把B(3，1)代入函数可得k1=3，
∴反比例函数y1的解析式为；
把A (1，m)代入可得m=3，
∴A(1，3)，
把A (1，3)，B(3，1)分别代入y2=k2x+b得
，
解得，
∴一次函数y2的表达式为y2=-x+4；
②当2（2）解：根据点的坐标的平移规律得D(-2，n-2)，
∵点C(2，n)、D(-2，n-2)在函数y 的图像上
∴-2(n-2)=2n，
∴n=1，
∴n得值为1.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）②如图，
当2【分析】（1）①根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积等于比例系数k可得k1=3，从而得到反比例函数的解析式为，再将点A (1，m)代入反比例函数的解析式算出m的值，从而得到点A的坐标；接着将点A、B得坐标分别代入y2=k2x+b可得关于字母k2、b得方程组，求解得出k2及b的值，即可得出一次函数的解析式；
②利用函数图象比较当2（2）根据点的坐标的平移规律得D(-2，n-2)，进而根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积等于比例系数k可得-2(n-2)=2n，求解即可.
13．【答案】（1）4
（2）若L 和L 之间(不含边界)的4个“整点”分别为(-2，5)，(-2，4)，(-3，3)，(-4，2)时，则-12≤k<-10；若 L 和L 之间(不含边界)的4个“整点”分别为(-1，5)，(-1，4)，(-2，2)，(-4，1)时，则-4【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：（1） 当k=-12时，y=经过（-2，6）（-3，4）（-4，3），如图，
由图象可知：L 和L 之间(不含边界)有4个“整点”.
故答案为：4.
【分析】（1）由于y=经过（-2，6）（-3，4）（-4，3），画出函数图象即得结论；
（2）利用图象求出k的范围.
14．【答案】（1）解：∵反比例函数y2 = (x>0)的图象经过点A(4，1)，
∴1=，∴m=4，∴反比例函数的表达式为y2=(x>0)，
把点B(，a )代入y2= (x>0)得a=8，
∴点B坐标为(，8)．
∵一次函数y1 =kx+b的图象经过A(4，1)，B(，8)．
∴
∴
故一次函数的表达式为y1=-2x+9．
（2）解：（3）解：由题意，设P(p，-2p+9)且≤p≤4，∴Q(p，)，
∴PQ=-2p+9- ，
∴S△POQ= ·p=3，
解得p1= ，p2=2，
∴点P的坐标为p(，4)或(2，5)．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）∵ y1-y2>0， ．
∴ y1>y2，即反比例函数值小于一次函数值．
由图象可得，【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式；
（2）根据图象判断：直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；
（3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可．
15．【答案】（1）解：如图，连接AD，
∵四边形AODC是菱形，
∴点A、D关于x轴对称，
∵D(1，-2)，
∴A(1，2)，
将A(1，2)代入直线y=mx+1可得m+1=2，
解得m=1，
将A(1，2)代入反比例函数y=，
解得：k=2；
∴一次函数的解析式为y=x+1；反比例函数的解析式为y=；
（2）解：∵当x=1时，反比例函数的值为2，
∴当反比例函数图象在A点下方时，对应的函数值小于2，
此时x的取值范围为：x＜0或x＞1；
（3）解：∵OC=2OE=2，AD=2DE=4，
∴，
∵S△OAP=S菱形OACD，
∴S△OAP=2，
设P点坐标为(a，a+1)，
在y=x+1中，令x=0，则y=1，
故F(0，1)，
∴OF=1，
，
当P在A的左侧时，∵，
∴此时点P在F的左侧，a<0，
，
解得a=-3，故a+1=-2，
∴P(-3，-2)，
当P在A的右侧时，，
解得a=5，故a+1=6，
∴P(5，6)，
综上所述，点P的坐标为(-3，-2)或(5，6)．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质
【解析】【分析】（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得k和m值.
（2）由(1)可知A点坐标为(1，2)，结合图象可知在A点的下方时，反比例函数的值小于2，可求得x的取值范围.
（3）根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设P点坐标为(a，a+1)，根据条件可得到关于a的方程，可求得P点坐标
1 / 12024年浙教版数学八年级下册6.2反比例函数的图像和性质课后培优练
一、选择题
1．下列关于反比例函数的说法，错误的是（ ）
A．它的图象位于第一、三象限 B．点(1，6)在它的图象上
C．它的图象关于原点成中心对称 D．当x >x 时，y 【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、∵k=6＞0，∴反比例函数的图象位于第一、三象限，此选项不符合题意；
B、∵k=-1×（-6）=6，∴点（-1，-6）在反比例函数的图象上，此选项不符合题意；
C、反比例函数的图象关于原点对称，此选项不符合题意；
D、∵k=6＞0，∴y随x的增大而减小，此选项符合题意.
故答案为；D.
【分析】根据反比例函数的图象和性质“当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，且y随x的增大而减小；当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，且y随x的增大而增大”并结合反比例函数的图象和系数之间的关系求出已知点的横、纵坐标的积即可判断求解.
2．若图中反比例函数的表达式均为 则阴影部分面积为 2的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：A、阴影面积，不符合题意,A错误；
B、阴影面积，不符合题，B错误
C、阴影面积，不符合题意，C错误；
D、阴影面积，符合题意，D正确；
故选：D．
【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义.的几何意义:过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为.根据几何意义可得：A图中：阴影面积；B图中：阴影面积；C图中：阴影面积；D图中：阴影面积.通过判断D选项符合题意，D正确.
3．如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，过点 M 的直线l∥y轴，且分别与反比例函数和 （x＞0，k≠0）的图象相交于 P，Q两点.若，则 k 的值为（ ）
A．38 B．22 C．-7 D．-22
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵l∥y轴，
∴l⊥x轴，
∵直线l分别与反比例函数和 的图象相交于 P，Q两点，
∴S△POM=×8=4，S△OMQ=|k|，
∵S△POM+S△OMQ=S△POQ=15
∴4+|k|=15，
∴k=±22，
∵的图象经过第四象限，
∴k＜0，
∴k=-22.
故答案为：D.
【分析】易得l⊥x轴，从而由反比例函数k的几何意义可得S△POM=×8=4，S△OMQ=|k|，进而根据S△POM+S△OMQ=S△POQ建立方程求出k的值，再结合函数所在的象限即可得出答案.
4．如图，在反比例函数 的图象上有点 P ，P ，P ，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段.若图中阴影部分的面积分别记为 S ，S ，且S =3，则 S 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得： P （1，k），P （3，），P （6，），
∴ S =3×=3，
解得k=6
∴ S =1×（k-）=4.
故答案为：B.
【分析】由题意得P （1，k），P （3，），P （6，）， 由 S =3求出k值，利用S =1×（k-）计算即可.
5．如图是同一平面直角坐标系中函数 y1=2x和 的图象.观察图象可得不等式 的解为（ ）
A．-11
C．x<-1或01
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意可得，解得或.
∴函数 y1=2x和 的图象交点横坐标为-1和1.
又∵不等式 ，
∴y1>y2， ∴不等式 的解为函数y1=2x的图象在函数的图象上侧的自变量取值范围.
由图象可得，解为 -11 .
故答案为：D.
【分析】先求出两个函数图象的交点坐标，再观察函数图象，找出函数y1=2x的图象在函数图象的上侧的自变量取值范围即可.
6．（2023八下·上虞期末）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点A的横坐标为m，
∴A（m，）.
令y=-x+b中的x=m，得-m+b=，
∴b=m+，
∴y=-x+m+.
作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，
设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，
∴S△ADM=2S△OEF.
由对称性可得AD=BC，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，△AOM≌△BON，AM=NB=DM=NC，
∴EF=AM=NB，
∴EF为△OBN的中位线，
∴N（2m，0），B（2m，）.
将B（2m，）代入y=-x+m+中可得=-2m+m+，
∴m2=2，
∴m=.
故答案为：B.
【分析】由题意可得A（m，），代入y=-x+b中可得b=m+，则y=-x+m+，作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，推出S△ADM=2S△OEF，由对称性可得AD=BC，OD=OC，AM=NB=DM=NC，进而得到EF为△OBN的中位线，则N（2m，0），B（2m，），然后将点B的坐标代入直线解析式中计算即可.
7．（2022八下·镇海区期末）如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，对角线交于原点O，交于点G，反比例函数的图象经过线段的中点E，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过E作y轴和x的垂线EM，EN，垂足分别为M，N， 设E（b，a），
∵反比例函数（x＞0）经过点E，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO=BD=4，
∵EN⊥x，EM⊥y，
∴四边形MENO是矩形，
∴，，
∵E为CD的中点， 轴， 连接OE，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
为等边三角形，而
∴
∴DG=AG， 设DG=r，则AG=r，
在Rt△DOG中，DG2=GO2+DO2，
∴，
解得：，
∴AG= .
故答案为：B.
【分析】过E作y轴和x的垂线EM，EN，垂足分别为M，N， 设E（b，a），根据点E在反比例函数图象上可得ab=，根据菱形的性质可得BD⊥AC，DO=BD=4， 易得四边形MENO是矩形， 则ME∥x轴，EN∥y轴，连接OE，则OE=DE=CE，进而推出DM=OM，ON=CN，则DO·CO=4ab=，据此可得CO、CD，由菱形的性质可得AB=AD=BD=8，推出△ABD为等边三角形，得到∠1=∠2=30°，设DG=r，则AG=r，GO=-r，根据勾股定理可得r的值，据此解答.
8．（2023八下·镇海区期中）如图，分别过反比例函数图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），…Pn（n，yn），作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…An，连结A1P2，A2P3，…An-1Pn，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3……，以此类推，则点B20的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点 P1（1，y1），P2（2，y2）在反比例函数图象上 ，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点B1的纵坐标是：，即B1（2，6），
同理可得，点B2的纵坐标为：，即，
点B3的纵坐标为：，
...
点Bn的横坐标为：，纵坐标为：，
.
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点 P1 、 P2 的纵坐标，由平行四边形的性质得到B1、 B2的坐标，以此类推得到规律并求出点B20的坐标.
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx(k <0)与反比例函数的图象相交于A，C两点，D为x轴负半轴上一点，连结CD 并延长，交反比例函数 的图象于点B.若CB =2CD，△CDO的面积为1，则m-n= .
【答案】4
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点B、C分别作BM⊥x轴，CN⊥x轴，
∵BC=2CD，
∴CD=BD，
∵∠CDN=∠BDM，∠CND=∠BMD=90°，
∴△CDN≌△BDM，
∴CN=BM，DN=DM，
设点B（b，），C（c，），则点D（，0），则OM=b，ON=-c，OD=-，CN=，BM=，
∵ △CDO的面积为1，
∴OD·CN=1，即·（-）×=1，
∴bn+cn=-4c，
∵CN=BM，
∴=，则bn=-mc，
∴-mc+cn=-4c，
∴m-n=4.
故答案为：4.
【分析】过点B、C分别作BM⊥x轴，CN⊥x轴，由BC=2CD可得CD=BD，可证△CDN≌△BDM，可得CN=BM，DN=DM，设点B（b，），C（c，），则点D（，0），继而表示出OM、ON、OD、CN、BM，利用△CDO的面积为1， 可得bn+cn=-4c①，由CN=BM可得=②，联立①②即可求解.
10．（2023八下·余姚期末）如图，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过菱形对角线的中点D和顶点C，若菱形的面积为，则点C的坐标为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，作轴，
点在 的图象上，
设，
点是的中点，
，
四边形是菱形，
轴，，
点在 的图象上，
，
，
，
轴，
，，
菱形的面积为，
，
，
，
，
，
，
故答案为：.
【分析】设，利用中点公式表示出点B的坐标，再通过平行的性质表示出点C坐标，进而得到BC的长度，然后由菱形的面积公式求得k的值，最后利用两点之间的距离公式列方程解得a的值得到点C的坐标.
11．（2023八下·盐城月考）如图，已知点、、．直线轴，垂足为点．其中，若△与关于直线对称，且△有两个顶点在函数的图象上，则的值为 ．
【答案】或
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：，
直线l的解析式为x=m，
△与关于直线对称，
点A和点A'到直线x=m的距离相等为5-m，点B和点A的横坐标相同，
点A'和点B'的横坐标为2m-5，点A'纵坐标为3，点B'的纵坐标为6，
，
点C和点C'到直线x=m的距离为8-m，
，
△有两个顶点在函数的图象上，点A'和点B'横坐标相同，不可能同时在函数图象上，
可能为点A'，C'在函数的图象上，或可能为B'，C'在函数的图象上，
，
解得或，
，
或，符合题意，
当时，，故k=，
当时，，故k=.
故答案为：或.
【分析】根据题意求得，，分两种情况点A'，C'在函数的图象上，或可能为B'，C'在函数的图象上，分别求出k值即可.
三、解答题
12．设函数 函数 （k1、k2、b是常熟，k1≠0，k2≠0）.
（1）若函数y1和函数 y 的图象相交于点 A (1，m)，B(3，1)，
①求函数 y ，y 的表达式.
②当2（2）若点 C（2，n）在函数 y 的图像上，点 C 先向下平移 2个单位，再向左平移4 个单位，得点D.若点 D 恰好落在函数 y 的图像上，求 n 的值.
【答案】（1）解：①把B(3，1)代入函数可得k1=3，
∴反比例函数y1的解析式为；
把A (1，m)代入可得m=3，
∴A(1，3)，
把A (1，3)，B(3，1)分别代入y2=k2x+b得
，
解得，
∴一次函数y2的表达式为y2=-x+4；
②当2（2）解：根据点的坐标的平移规律得D(-2，n-2)，
∵点C(2，n)、D(-2，n-2)在函数y 的图像上
∴-2(n-2)=2n，
∴n=1，
∴n得值为1.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）②如图，
当2【分析】（1）①根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积等于比例系数k可得k1=3，从而得到反比例函数的解析式为，再将点A (1，m)代入反比例函数的解析式算出m的值，从而得到点A的坐标；接着将点A、B得坐标分别代入y2=k2x+b可得关于字母k2、b得方程组，求解得出k2及b的值，即可得出一次函数的解析式；
②利用函数图象比较当2（2）根据点的坐标的平移规律得D(-2，n-2)，进而根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积等于比例系数k可得-2(n-2)=2n，求解即可.
13．如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A(-5，0)，C(0，6)，反比例函数图象 L 对应的函数表达式为 反比例函数图象 L 对应的函数表达式为 把矩形 ABCO内部(不含边界)横、纵坐标均为整数的点称为“整点”.
（1）若 k=-12，则L 和L 之间(不含边界)有 个“整点”.
（2）若L 和L 之间(不含边界)有4个“整点”，求k的取值范围.
【答案】（1）4
（2）若L 和L 之间(不含边界)的4个“整点”分别为(-2，5)，(-2，4)，(-3，3)，(-4，2)时，则-12≤k<-10；若 L 和L 之间(不含边界)的4个“整点”分别为(-1，5)，(-1，4)，(-2，2)，(-4，1)时，则-4【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：（1） 当k=-12时，y=经过（-2，6）（-3，4）（-4，3），如图，
由图象可知：L 和L 之间(不含边界)有4个“整点”.
故答案为：4.
【分析】（1）由于y=经过（-2，6）（-3，4）（-4，3），画出函数图象即得结论；
（2）利用图象求出k的范围.
14．如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)与函数为y2=(x>0)的图象交于A(4，1)，B(，a )两点
（1）求这两个函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出满足y1-y2>0时x的取值范围；
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ面积为3，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵反比例函数y2 = (x>0)的图象经过点A(4，1)，
∴1=，∴m=4，∴反比例函数的表达式为y2=(x>0)，
把点B(，a )代入y2= (x>0)得a=8，
∴点B坐标为(，8)．
∵一次函数y1 =kx+b的图象经过A(4，1)，B(，8)．
∴
∴
故一次函数的表达式为y1=-2x+9．
（2）解：（3）解：由题意，设P(p，-2p+9)且≤p≤4，∴Q(p，)，
∴PQ=-2p+9- ，
∴S△POQ= ·p=3，
解得p1= ，p2=2，
∴点P的坐标为p(，4)或(2，5)．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）∵ y1-y2>0， ．
∴ y1>y2，即反比例函数值小于一次函数值．
由图象可得，【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式；
（2）根据图象判断：直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；
（3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可．
15．（2023八下·灌南期末）如图，一次函数y=mx+1的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D(1，-2)，连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；
（3）设点P是直线AB上一动点，且S△OAP=S菱形OACD，求点P的坐标．
【答案】（1）解：如图，连接AD，
∵四边形AODC是菱形，
∴点A、D关于x轴对称，
∵D(1，-2)，
∴A(1，2)，
将A(1，2)代入直线y=mx+1可得m+1=2，
解得m=1，
将A(1，2)代入反比例函数y=，
解得：k=2；
∴一次函数的解析式为y=x+1；反比例函数的解析式为y=；
（2）解：∵当x=1时，反比例函数的值为2，
∴当反比例函数图象在A点下方时，对应的函数值小于2，
此时x的取值范围为：x＜0或x＞1；
（3）解：∵OC=2OE=2，AD=2DE=4，
∴，
∵S△OAP=S菱形OACD，
∴S△OAP=2，
设P点坐标为(a，a+1)，
在y=x+1中，令x=0，则y=1，
故F(0，1)，
∴OF=1，
，
当P在A的左侧时，∵，
∴此时点P在F的左侧，a<0，
，
解得a=-3，故a+1=-2，
∴P(-3，-2)，
当P在A的右侧时，，
解得a=5，故a+1=6，
∴P(5，6)，
综上所述，点P的坐标为(-3，-2)或(5，6)．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质
【解析】【分析】（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得k和m值.
（2）由(1)可知A点坐标为(1，2)，结合图象可知在A点的下方时，反比例函数的值小于2，可求得x的取值范围.
（3）根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设P点坐标为(a，a+1)，根据条件可得到关于a的方程，可求得P点坐标
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