2024年浙教版数学八年级下册6.3反比例函数的应用课后培优练
一、选择题
1．（2021八下·衢州期末）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表.请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力最接近（ ）
动力臂L（m） 动力F（N）
0.5 600
1.0 302
1.5 200
2.0 a
2.5 120
A．120N B．151N C．300N D．302N
2．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与开机后用时.x(min)成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30℃时，接通电源后，水温y(℃)和时间x(min)的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（ ）
A．27min B．20min C．13min D．7min
3．为了预防流感，某中学用药熏消毒法对教室进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分)成正比例，药物释放完毕后，y与x成反比例，整个过程中y关于x的函数图象如图所示.据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，则从药物释放完毕到学生能够进入教室，至少要经过（ ）
A．4.2小时 B．B.4小时 C．3.8小时 D．D.3.5小时
4．为预防春季流感，学校对教室进行喷雾消毒，喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，喷雾完成后y与x成反比例，其函数关系图象如图所示，已知当每立方米空气中含药量低于 1.6m g时，对人体方能无毒害作用，则下列说法正确的是 （ ）
A．每立方米空气中含药量从6mg上升到8mg需要2min
B．每立方米空气中含药量下降的过程中，y关于x 的函数表达式为
C．为了确保对人体无毒害作用，喷雾完成25 min 后学生才能进入教室
D．每立方米空气中含药量不低于4m g的持续时间为7.5min
5．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式，通过了一片湿泥地，他们发现：当人和木板对湿泥地的压力一定时，人和木板对地面的压强 p(Pa)随着木板面积S(m )的变化而变化，其关系式为 p 如果人和木板对湿泥地的压力 F 合计600 N，那么下列说法正确的是 （ ）
A．p是S的正比例函数
B．当S越来越大时，p也越来越大
C．若压强不超过6000 Pa，则木板面积最大为 0.1m
D．当木板面积为0.2m 时，压强是3000 Pa
6．若电磁波波长λ(m)、频率 f(Hz)满足关系式 则下列关于电磁波的说法中，正确的是 （ ）
A．波长是频率的正比例函数
B．如果波长为 20 000 m，那么 频 率为1 500 Hz
C．如果波长小于 30 000 m，那么频率小于10 000 Hz
D．如果波长大于 50 000 m，那么频率小于6 000 Hz
7．（2020八下·溧水期末）如图，曲线表示温度T（℃）与时间t（h）之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支.当温度T≤2℃时，时间t应（ ）
A．不小于 h B．不大于 h C．不小于 h D．不大于 h
8．（2024九上·馆陶期末）在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的阁象上，则这四种气体的质量最小的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题
9．（2024九上·福州期末）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积的取值范围 ．
10．如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是4：2：1，如果 B面向下放在地上时，地面所受压强为a(Pa)，那么 A面向下放在地上时，地面所受压强为 Pa.
11． 当温度不变时，气球内气体的压强 p(kPa)是气体体积V(m )的函数，下表记录了一组实验数据：
V(m ) 1 1.5 2 2.5 3
p(kPa) 96 64 48 38.4 32
p关于V的函数表达式可能是 。
12．油箱注满 升油后，轿车可行驶的总路程 (单位：千米)与平均耗油量 (单位：升/千米)之间是反比例函数关系 ( 是常数， .已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米0.1升的速度行驶，可行驶700千米.则该轿车可行驶的总路程 与平均耗油量 之间的函数关系式为 .
三、解答题
13．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数图象的一部分．
（1）求点A对应的指标值
（2）王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
14．（2022九上·青岛期中）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
（1）写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；
（2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
（3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？
15．（2023·深圳模拟）【项目式学习】
项目主题：守护生命，“数”说安全．
项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．
（1）任务一：考察测量
如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为4m，则AB＝ m；
（2）任务二：模拟探究
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．
创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当CD＜2AB时（如图1），线段CD能通过直角弯道；
②当CD＝2AB时，必然存在线段CD的中点E与点B重合的情况，线段CD恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，∠ADC的度数是 ；③当CD＞2AB时，线段CD不能通过直角弯道．
（3）如图3，创新小组用矩形PQMN模拟汽车通过宽均为4m的直角弯道，发现当PQ的中点E与点B重合，且PQ⊥AB时，矩形PQMN恰好不能通过该弯道．若PQ＝am，PN＝2m，且矩形PQMN能通过该直角弯道，求a的最大整数值．
（4）任务三：成果迁移
如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数y＝（x＞0）的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线OA上，两边分别与x轴，y轴平行，OA＝2m，AB＝4m．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为bm，宽为2m的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为 ．（参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2，≈2.6）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系，
设方程为：，
从表中任取一个有序数对，
不妨取代入，
解得：，
，
把代入上式，
解得：.
故答案为：B.
【分析】由表可知动力臂与动力成反比的关系，设L=，将（0.5，600）代入可得K的值，据此可得函数解析式，然后令L=2，求出F的值即可.
2．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数关系式为：y＝（k≠0），
将（7，100）代入y＝y＝，得k＝700，
∴y＝，
将y＝35代入y＝，解得x＝20，
∴水温从100℃降到35℃所用的时间是：20﹣7＝13分钟.
故答案为：C.
【分析】观察图象可知：7分钟时，水温为100℃，代入解析式求得k，从而得到反比例函数的解析式，再将y＝35代入反比例函数解析式，求得此时的时间，再减去7分钟即可求得水温从100℃降到35℃所用的时间.
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵药物释放完毕后，y与x成反比例，
∴设，
由图可知，把点（12，9）代入解析式得：，
解得：n=108，
∴（x＞12）
时，，
解得：x＞240，
药物释放后，240-12=228（min），即3.8h.
故答案为：C.
【分析】由题意，设当x＞12时，，把点（12，9）代入解析式可求出n的值，然后根据空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下可得关于x的不等式，解不等式求出时间，减去12分钟即为所求.
4．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设喷雾阶段解析式y=kx，
把（5，8）代入得5k=8，解得k=，即y=x，
当y=6时，6=x，解得x=，
∴ 每立方米空气中含药量从6mg上升到8mg需要时间为5-=min，故A不符合题意；
设喷雾完成后y=，把 （5，8）代入得k1=5×8=40，
∴y=，故B不符合题意；
当y=1.6时，y==1.6，解得x=25，
∴从喷雾消毒开始经过 25 min 后学生才能进入教室 ，故C不符合题意；
D、当y=4时，y=x=4，解得：x=2.5；y==4，解得x=10，
∴ 每立方米空气中含药量不低于4m g的持续时间为10-2.5=7.5min ，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用待定系数法分别求出喷雾阶段和喷雾完成后的函数解析式，据此分别计算出各项中结果，再判断即可.
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：压力一定时，压强和受力面积成反比;
∵ s>0,
∴ 当S越来越大时，p也越来越小，
故选项A，B不符合题意;
当p≤6000时，
故选项D符合题意;
故选: D.
【分析】压力一定时，压强和受力面积成反比，根据压力为600N写出解析式，根据解析式即可判定
各个选项.
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、∵函数关系λf=3×108，∴电磁波波长是频率的反比例函数，故A选项错误，不符合题意；
B、当λ=20000米时，f==15000赫兹，故B选项错误，不符合题意；
C、∵f=，∴f随着λ的增大而减小，∴当电磁波波长小于30000米时，频率大于10000赫兹，故C选项错误，不符合题意；
D、当电磁波波长大于50000米时，此时频率小于6000赫兹，故D选项正确，符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据函数关系λf=3×108确定得出电磁波波长是频率的反比例函数，从而利用其增减性来解题，然后根据自变量的取值范围确定函数的取值范围即可解答．
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：假设反比例函数关系式为： （其中 为常数且不为零， 为正数），
由图可知点(1，3)在反比例函数上，故将点代入函数可得： ，故 .
∵ ，
∴ ，
解上述不等式得： ，即时间 不小于 .
故答案为：C.
【分析】本题首先利用待定系数法确定反比例函数解析式，继而根据题目已知列不等式关系，最后求解不等式解答本题.
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，的值即为该气体的质量，
∵描述乙、丁两该气体的质量的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两该气体的质量相同，
∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面，
∴丙该气体的质量值最大，甲气体的质量的值最小．
故答案为：A
【分析】根据题意可知的值即为该气体的质量，再根据反比例函数图象上点的坐标特点并结合图像可知丙气体的质量最多，甲气体的质量最少，乙、丁两气体的质量相同。
9．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，
∴设
∴
∴
∴在第一象限内，y随x增大而减小，
当时，
∴为了安全起见，气体的体积的取值范围：，
故答案为：.
【分析】根据题意设然后把代入解析式即可得到：令，即可求解.
10．【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设砖的质量为m，则PS=mg；
∵如果B面向下放在地上时，地面所受压强为a ， A，B，C三个面的面积比是4：2：1
∴A面向下放在地上时，地面所受压强为：P=
故答案为：.
分析】根据压强×面积=质量，而质量是定值，即压强与面积成反比，据此列代数式直接计算即可.
11．【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：观察表格可得：VP＝1×96＝1.5×64＝2×48＝2.5×38.4＝3×32＝96，
故P与V的函数关系式为P，
故答案为：．
【分析】观察表格发现VP＝96，从而可得出P是V的反比例函数，即可确定两个变量之间的关系．
12．【答案】
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得
k=0.1×700=70，
∴s与t的函数解析式为.
故答案为：.
【分析】利用已知以平均耗油量为每千米0.1升的速度行驶，可行驶700千米，将a=0.1，S=700代入求出k的值，即可得到函数解析式.
13．【答案】（1）设当20≤x≤45时，反比例函数的表达式为y= " ，将C(20，45)代入，得45=-
，解得k= 900，
∴反比例函数的表达式为y=
当x=45时，y= = 20，
∴D(45 ，20)，∴A(0，20) ，即点A对应的指标值为20．
（2）解：设当0≤x<10时，AB的表达式为y=mx+n，将A(0，20) ，B(10，45)代入，得，解得∴AB的表达式为y= x+20．
当y≥36时，x+20≥36，解得x≥，∴≤x<10．
当10≤x<20时，y显然大于36．
当20≤x≤45时，由(1)得反比例函数的表达式为y= ，
当y≥36时，≥36 ，解得x≤25，∴20≤x≤25．
综上，当≤x≤25时，注意力指标都不低于36，
而25- = >17，
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出当20≤x≤45时，反比例函数的表达式，再求出x=45时y值，即得D的坐标，从而求出A对应的指标值；
（2）利用待定系数法求出当0≤x<10时，直线AB的表达式， 然后求出当y≥36时x的范围， 由(1)知y= ， 据此求出y≥36时x的范围，综上可知当≤x≤25时，注意力指标都不低于36，而25- = >17，继而得解.
14．【答案】（1）解：根据题意可知：
当时，设y与x的函数解析式为，
∴，
解得：，
∴；
当时，设y与x的函数解析式为，
∴，
解得：
∴
综上所述，该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式为：；．
（2）解：当时，
令，
解得：，
∴，
∴销量不到36万件的天数为8天；
当时，
令，
解得： （不符合题意），
∴上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数为8天；
（3）解：当时，
令，
解得：
∴，
∴销量超过100万件的天数为6天，
当时，
令，
解得：
∴，
销量超过100万件的天数为6天，
综上所述，销售量不低于100万件，并且持续天数为12天，广告设计师可以拿到“特殊贡献奖”．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）风两段考虑： ①当时，②当时， 根据待定系数法分别求解析式即可；
（2）分别利用两个函数值小于36即可求出x范围，从而确定天数即可；
（3）分别求出销售量不低于100万件的天数，相加后大于等于10天即可拿到特殊贡献奖，否则不能.
15．【答案】（1）
（2）45°
（3）解：解法一、如图3（1），设AB与MN相交于点G，根据题意得：∠ANM＝∠NAG＝45°，
∴∠AGN＝∠AGM＝90°，
又∵AG＝AG，∠MAG＝∠NAG＝45°，
∴△AGM≌△AGN（ASA），
∴GM＝GN，
∴MN＝2AG，
又∵AB＝4，NP＝BG＝2，
∴MN＝2AG＝2（AB﹣BG）＝
∴PQ=
∵≈1.4，
∴8﹣4≈7.2，
∴根据实际情况可得：a的最大整数值为7．
解法二：如图3（2），设直线PQ分别与直线AM，AN相交于点I，H，
根据题意得：
∵NPQM为矩形，
∴PQ∥MN，
∴∠IHA＝∠MNA＝45°，
又∵∠MAN＝90°，
∴IH＝2AB＝8，IQ＝MQ＝2，PH＝PN＝2，
∴PQ＝HI﹣IQ－PH＝8﹣4，
∵≈1.4，
∴8﹣4≈7.2，
∴根据实际情况可得：a的最大整数值为7m．
（4）10
【知识点】反比例函数的实际应用；三角形全等的判定；正方形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）如图：
过B作BE⊥AM于点E，作BF⊥AN于点F，
由题意得：BE=BF=4m，∠FAE=90°，
∴四边形AEBF是正方形.
∴AE=BE=4m，AB平分∠FAE.
∴m.
故答案为：.
（2）如图：
由题意得：∠CAD=90°，△CAD是直角三角形.
当CD=2AB时，CD中点为点B，
∴AB=CB=BD.
由（1）知，AB平分∠CAD，
∴∠BAD=45°，
∴∠ADC=45°.
故答案为：45°.
（4）如图：
过点N作x轴的平行线，过点M作y轴的平行线，交于点C.
∴∠MCN=90°，OB平分∠MCN.
∴MN=2CG=2（OA+AB－OC－GB）=.
∵线段OB在反比例函数的对称轴上，
∴OB为x轴与y轴的角平分线.
∵OA=2m，∴点A的坐标为，
反比例函数表达式为.
设N点坐标为，
∴M点坐标为，C点坐标为
∴，
，
∴
∴
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴根据实际情况可得：b的最大整数值为10m．
故答案为：10.
【分析】（1）根据题意得到AB平分外墙，两侧墙之间距离是4m，即可求出对角线AB的长；
（2）根据平分得∠CAB=∠DAB=45°，CB=AB=BD，即可求出∠ADC的度数；
（3）根据∠ANM＝∠NAG＝45°，得AG⊥MN，于是可证△AGM和△AGN全等，从而得到MN=2MG=2AG=2（AB－PN），代入数据，求得最大整数值；也可利用直线QP，得QP=HI-IQ－HP，利用MQ长求出IQ和PH的长，从而得PQ的长；
（4）根据对称轴和OA=2求出反比例函数表达式，设点N坐标，表示出M和C的坐标，从而表示是OC，CN的长，进一步利用等腰直角三角形性质表示出MN的长；再利用MN=2CG=2（OA+AB－OC－GB）表示出MN的长，建立关于m的方程求解.最后代入求得MN的长，再按要求求最大整数解.
1 / 12024年浙教版数学八年级下册6.3反比例函数的应用课后培优练
一、选择题
1．（2021八下·衢州期末）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表.请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力最接近（ ）
动力臂L（m） 动力F（N）
0.5 600
1.0 302
1.5 200
2.0 a
2.5 120
A．120N B．151N C．300N D．302N
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系，
设方程为：，
从表中任取一个有序数对，
不妨取代入，
解得：，
，
把代入上式，
解得：.
故答案为：B.
【分析】由表可知动力臂与动力成反比的关系，设L=，将（0.5，600）代入可得K的值，据此可得函数解析式，然后令L=2，求出F的值即可.
2．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与开机后用时.x(min)成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30℃时，接通电源后，水温y(℃)和时间x(min)的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（ ）
A．27min B．20min C．13min D．7min
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数关系式为：y＝（k≠0），
将（7，100）代入y＝y＝，得k＝700，
∴y＝，
将y＝35代入y＝，解得x＝20，
∴水温从100℃降到35℃所用的时间是：20﹣7＝13分钟.
故答案为：C.
【分析】观察图象可知：7分钟时，水温为100℃，代入解析式求得k，从而得到反比例函数的解析式，再将y＝35代入反比例函数解析式，求得此时的时间，再减去7分钟即可求得水温从100℃降到35℃所用的时间.
3．为了预防流感，某中学用药熏消毒法对教室进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分)成正比例，药物释放完毕后，y与x成反比例，整个过程中y关于x的函数图象如图所示.据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，则从药物释放完毕到学生能够进入教室，至少要经过（ ）
A．4.2小时 B．B.4小时 C．3.8小时 D．D.3.5小时
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵药物释放完毕后，y与x成反比例，
∴设，
由图可知，把点（12，9）代入解析式得：，
解得：n=108，
∴（x＞12）
时，，
解得：x＞240，
药物释放后，240-12=228（min），即3.8h.
故答案为：C.
【分析】由题意，设当x＞12时，，把点（12，9）代入解析式可求出n的值，然后根据空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下可得关于x的不等式，解不等式求出时间，减去12分钟即为所求.
4．为预防春季流感，学校对教室进行喷雾消毒，喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，喷雾完成后y与x成反比例，其函数关系图象如图所示，已知当每立方米空气中含药量低于 1.6m g时，对人体方能无毒害作用，则下列说法正确的是 （ ）
A．每立方米空气中含药量从6mg上升到8mg需要2min
B．每立方米空气中含药量下降的过程中，y关于x 的函数表达式为
C．为了确保对人体无毒害作用，喷雾完成25 min 后学生才能进入教室
D．每立方米空气中含药量不低于4m g的持续时间为7.5min
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设喷雾阶段解析式y=kx，
把（5，8）代入得5k=8，解得k=，即y=x，
当y=6时，6=x，解得x=，
∴ 每立方米空气中含药量从6mg上升到8mg需要时间为5-=min，故A不符合题意；
设喷雾完成后y=，把 （5，8）代入得k1=5×8=40，
∴y=，故B不符合题意；
当y=1.6时，y==1.6，解得x=25，
∴从喷雾消毒开始经过 25 min 后学生才能进入教室 ，故C不符合题意；
D、当y=4时，y=x=4，解得：x=2.5；y==4，解得x=10，
∴ 每立方米空气中含药量不低于4m g的持续时间为10-2.5=7.5min ，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用待定系数法分别求出喷雾阶段和喷雾完成后的函数解析式，据此分别计算出各项中结果，再判断即可.
5．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式，通过了一片湿泥地，他们发现：当人和木板对湿泥地的压力一定时，人和木板对地面的压强 p(Pa)随着木板面积S(m )的变化而变化，其关系式为 p 如果人和木板对湿泥地的压力 F 合计600 N，那么下列说法正确的是 （ ）
A．p是S的正比例函数
B．当S越来越大时，p也越来越大
C．若压强不超过6000 Pa，则木板面积最大为 0.1m
D．当木板面积为0.2m 时，压强是3000 Pa
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：压力一定时，压强和受力面积成反比;
∵ s>0,
∴ 当S越来越大时，p也越来越小，
故选项A，B不符合题意;
当p≤6000时，
故选项D符合题意;
故选: D.
【分析】压力一定时，压强和受力面积成反比，根据压力为600N写出解析式，根据解析式即可判定
各个选项.
6．若电磁波波长λ(m)、频率 f(Hz)满足关系式 则下列关于电磁波的说法中，正确的是 （ ）
A．波长是频率的正比例函数
B．如果波长为 20 000 m，那么 频 率为1 500 Hz
C．如果波长小于 30 000 m，那么频率小于10 000 Hz
D．如果波长大于 50 000 m，那么频率小于6 000 Hz
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、∵函数关系λf=3×108，∴电磁波波长是频率的反比例函数，故A选项错误，不符合题意；
B、当λ=20000米时，f==15000赫兹，故B选项错误，不符合题意；
C、∵f=，∴f随着λ的增大而减小，∴当电磁波波长小于30000米时，频率大于10000赫兹，故C选项错误，不符合题意；
D、当电磁波波长大于50000米时，此时频率小于6000赫兹，故D选项正确，符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据函数关系λf=3×108确定得出电磁波波长是频率的反比例函数，从而利用其增减性来解题，然后根据自变量的取值范围确定函数的取值范围即可解答．
7．（2020八下·溧水期末）如图，曲线表示温度T（℃）与时间t（h）之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支.当温度T≤2℃时，时间t应（ ）
A．不小于 h B．不大于 h C．不小于 h D．不大于 h
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：假设反比例函数关系式为： （其中 为常数且不为零， 为正数），
由图可知点(1，3)在反比例函数上，故将点代入函数可得： ，故 .
∵ ，
∴ ，
解上述不等式得： ，即时间 不小于 .
故答案为：C.
【分析】本题首先利用待定系数法确定反比例函数解析式，继而根据题目已知列不等式关系，最后求解不等式解答本题.
8．（2024九上·馆陶期末）在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的阁象上，则这四种气体的质量最小的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，的值即为该气体的质量，
∵描述乙、丁两该气体的质量的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两该气体的质量相同，
∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面，
∴丙该气体的质量值最大，甲气体的质量的值最小．
故答案为：A
【分析】根据题意可知的值即为该气体的质量，再根据反比例函数图象上点的坐标特点并结合图像可知丙气体的质量最多，甲气体的质量最少，乙、丁两气体的质量相同。
二、填空题
9．（2024九上·福州期末）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积的取值范围 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，
∴设
∴
∴
∴在第一象限内，y随x增大而减小，
当时，
∴为了安全起见，气体的体积的取值范围：，
故答案为：.
【分析】根据题意设然后把代入解析式即可得到：令，即可求解.
10．如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是4：2：1，如果 B面向下放在地上时，地面所受压强为a(Pa)，那么 A面向下放在地上时，地面所受压强为 Pa.
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设砖的质量为m，则PS=mg；
∵如果B面向下放在地上时，地面所受压强为a ， A，B，C三个面的面积比是4：2：1
∴A面向下放在地上时，地面所受压强为：P=
故答案为：.
分析】根据压强×面积=质量，而质量是定值，即压强与面积成反比，据此列代数式直接计算即可.
11． 当温度不变时，气球内气体的压强 p(kPa)是气体体积V(m )的函数，下表记录了一组实验数据：
V(m ) 1 1.5 2 2.5 3
p(kPa) 96 64 48 38.4 32
p关于V的函数表达式可能是 。
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：观察表格可得：VP＝1×96＝1.5×64＝2×48＝2.5×38.4＝3×32＝96，
故P与V的函数关系式为P，
故答案为：．
【分析】观察表格发现VP＝96，从而可得出P是V的反比例函数，即可确定两个变量之间的关系．
12．油箱注满 升油后，轿车可行驶的总路程 (单位：千米)与平均耗油量 (单位：升/千米)之间是反比例函数关系 ( 是常数， .已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米0.1升的速度行驶，可行驶700千米.则该轿车可行驶的总路程 与平均耗油量 之间的函数关系式为 .
【答案】
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得
k=0.1×700=70，
∴s与t的函数解析式为.
故答案为：.
【分析】利用已知以平均耗油量为每千米0.1升的速度行驶，可行驶700千米，将a=0.1，S=700代入求出k的值，即可得到函数解析式.
三、解答题
13．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数图象的一部分．
（1）求点A对应的指标值
（2）王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【答案】（1）设当20≤x≤45时，反比例函数的表达式为y= " ，将C(20，45)代入，得45=-
，解得k= 900，
∴反比例函数的表达式为y=
当x=45时，y= = 20，
∴D(45 ，20)，∴A(0，20) ，即点A对应的指标值为20．
（2）解：设当0≤x<10时，AB的表达式为y=mx+n，将A(0，20) ，B(10，45)代入，得，解得∴AB的表达式为y= x+20．
当y≥36时，x+20≥36，解得x≥，∴≤x<10．
当10≤x<20时，y显然大于36．
当20≤x≤45时，由(1)得反比例函数的表达式为y= ，
当y≥36时，≥36 ，解得x≤25，∴20≤x≤25．
综上，当≤x≤25时，注意力指标都不低于36，
而25- = >17，
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出当20≤x≤45时，反比例函数的表达式，再求出x=45时y值，即得D的坐标，从而求出A对应的指标值；
（2）利用待定系数法求出当0≤x<10时，直线AB的表达式， 然后求出当y≥36时x的范围， 由(1)知y= ， 据此求出y≥36时x的范围，综上可知当≤x≤25时，注意力指标都不低于36，而25- = >17，继而得解.
14．（2022九上·青岛期中）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
（1）写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；
（2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
（3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？
【答案】（1）解：根据题意可知：
当时，设y与x的函数解析式为，
∴，
解得：，
∴；
当时，设y与x的函数解析式为，
∴，
解得：
∴
综上所述，该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式为：；．
（2）解：当时，
令，
解得：，
∴，
∴销量不到36万件的天数为8天；
当时，
令，
解得： （不符合题意），
∴上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数为8天；
（3）解：当时，
令，
解得：
∴，
∴销量超过100万件的天数为6天，
当时，
令，
解得：
∴，
销量超过100万件的天数为6天，
综上所述，销售量不低于100万件，并且持续天数为12天，广告设计师可以拿到“特殊贡献奖”．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）风两段考虑： ①当时，②当时， 根据待定系数法分别求解析式即可；
（2）分别利用两个函数值小于36即可求出x范围，从而确定天数即可；
（3）分别求出销售量不低于100万件的天数，相加后大于等于10天即可拿到特殊贡献奖，否则不能.
15．（2023·深圳模拟）【项目式学习】
项目主题：守护生命，“数”说安全．
项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．
（1）任务一：考察测量
如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为4m，则AB＝ m；
（2）任务二：模拟探究
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．
创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当CD＜2AB时（如图1），线段CD能通过直角弯道；
②当CD＝2AB时，必然存在线段CD的中点E与点B重合的情况，线段CD恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，∠ADC的度数是 ；③当CD＞2AB时，线段CD不能通过直角弯道．
（3）如图3，创新小组用矩形PQMN模拟汽车通过宽均为4m的直角弯道，发现当PQ的中点E与点B重合，且PQ⊥AB时，矩形PQMN恰好不能通过该弯道．若PQ＝am，PN＝2m，且矩形PQMN能通过该直角弯道，求a的最大整数值．
（4）任务三：成果迁移
如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数y＝（x＞0）的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线OA上，两边分别与x轴，y轴平行，OA＝2m，AB＝4m．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为bm，宽为2m的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为 ．（参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2，≈2.6）
【答案】（1）
（2）45°
（3）解：解法一、如图3（1），设AB与MN相交于点G，根据题意得：∠ANM＝∠NAG＝45°，
∴∠AGN＝∠AGM＝90°，
又∵AG＝AG，∠MAG＝∠NAG＝45°，
∴△AGM≌△AGN（ASA），
∴GM＝GN，
∴MN＝2AG，
又∵AB＝4，NP＝BG＝2，
∴MN＝2AG＝2（AB﹣BG）＝
∴PQ=
∵≈1.4，
∴8﹣4≈7.2，
∴根据实际情况可得：a的最大整数值为7．
解法二：如图3（2），设直线PQ分别与直线AM，AN相交于点I，H，
根据题意得：
∵NPQM为矩形，
∴PQ∥MN，
∴∠IHA＝∠MNA＝45°，
又∵∠MAN＝90°，
∴IH＝2AB＝8，IQ＝MQ＝2，PH＝PN＝2，
∴PQ＝HI﹣IQ－PH＝8﹣4，
∵≈1.4，
∴8﹣4≈7.2，
∴根据实际情况可得：a的最大整数值为7m．
（4）10
【知识点】反比例函数的实际应用；三角形全等的判定；正方形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）如图：
过B作BE⊥AM于点E，作BF⊥AN于点F，
由题意得：BE=BF=4m，∠FAE=90°，
∴四边形AEBF是正方形.
∴AE=BE=4m，AB平分∠FAE.
∴m.
故答案为：.
（2）如图：
由题意得：∠CAD=90°，△CAD是直角三角形.
当CD=2AB时，CD中点为点B，
∴AB=CB=BD.
由（1）知，AB平分∠CAD，
∴∠BAD=45°，
∴∠ADC=45°.
故答案为：45°.
（4）如图：
过点N作x轴的平行线，过点M作y轴的平行线，交于点C.
∴∠MCN=90°，OB平分∠MCN.
∴MN=2CG=2（OA+AB－OC－GB）=.
∵线段OB在反比例函数的对称轴上，
∴OB为x轴与y轴的角平分线.
∵OA=2m，∴点A的坐标为，
反比例函数表达式为.
设N点坐标为，
∴M点坐标为，C点坐标为
∴，
，
∴
∴
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴根据实际情况可得：b的最大整数值为10m．
故答案为：10.
【分析】（1）根据题意得到AB平分外墙，两侧墙之间距离是4m，即可求出对角线AB的长；
（2）根据平分得∠CAB=∠DAB=45°，CB=AB=BD，即可求出∠ADC的度数；
（3）根据∠ANM＝∠NAG＝45°，得AG⊥MN，于是可证△AGM和△AGN全等，从而得到MN=2MG=2AG=2（AB－PN），代入数据，求得最大整数值；也可利用直线QP，得QP=HI-IQ－HP，利用MQ长求出IQ和PH的长，从而得PQ的长；
（4）根据对称轴和OA=2求出反比例函数表达式，设点N坐标，表示出M和C的坐标，从而表示是OC，CN的长，进一步利用等腰直角三角形性质表示出MN的长；再利用MN=2CG=2（OA+AB－OC－GB）表示出MN的长，建立关于m的方程求解.最后代入求得MN的长，再按要求求最大整数解.
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