2024年浙教版数学八年级下册阶段复习培优练第1章二次根式
一、选择题
1．（【全效核心素养评估卷】浙教版数学八下第1章）把根号外的因式化到根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 （ ）
A．x≥2 B．x>2 C．x<2 D．x≤2
3．（【全效核心素养评估卷】浙教版数学八下第1章）若则（ ）
A． B．2 C．±2 D．±
4．（【全效核心素养评估卷】浙教版数学八下第1章）若则代数式的值为（ ）
A．7 B．6 C．6 D．7
5．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形(长为，宽为4cm)的盒子底部(如图2)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是 （ ）
A． B．16 cm C． D．
6．（新人教版数学八年级下册16.1二次根式同步练习）若 ，则 的值为： （ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
7．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）若等腰三角形的两边长分别为 和 ，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． 或 C． D．
8．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.3二次根式的运算(2)）已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
二、填空题
9．（2023八下·安达期末）已知，，则代数式的值是 ．
10．（2020八下·龙口期中）已知实数a满足|2014-a|+ =a，那么a-20142+1的值是 ．
11．（2021八下·合肥期末）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为 ．
12．（新人教版数学八年级下册16.1二次根式同步练习）若x、y都为实数，且 ，则 = .
三、解答题
13．（2019八下·中山期中）阅读下面材料，回答问题：
（1）在化简 的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下： = = =
小李的化简如下： = = =
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
（2）请你利用上面所学的方法化简：① ；② ．
14．（2023八下·雄县期中）在算式“”中，“”表示被开方数，“”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号．
（1）当“”表示“”时，运算结果为，求“”表示的数．
（2）如果“”表示的是（1）中所求的数，请通过计算说明当“”表示哪一种运算符号时，算式的结果最大．
15．（2023八下·大化期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：
∴
∴原式
（1） 【启发应用】
按照上面的解法，试化简；
（2） 【类比迁移】
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：；
（3）已知a，b，c为的三边长．化简：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由被开方数是非负数，得﹣a≥0．==.
故答案为：B．
【分析】二次根式的性质与化简.根据被开方数是非负数可得：，可得a的取值范围，根据二次根式的性质可得：=，根据二次根式的运算法则可求出答案．
2．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
【解答】根据题意得，x-2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
故选A
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
3．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】已知则
所以
所以
又因为所以
所以
故
因此
故答案为：A.
【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的应用.已知对式子两边同时进行平方可得：化简可得：.再应用完全平方展开可得：，将代入上式可得：，开方可得：，最后根据讨论的符号可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】∵，
∴
.
故选：B.
【分析】本题考查整式的化简求值，二次根式的运算. 先将配方：加上一次项系数一半的平方，使式中出现完全平方式，再减去一次项系数一半的平方可得：代数式，将代入代数式，通过化简可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；二次根式的应用
【解析】【解答】解：设小长方形的长、宽分别为a、b，
根据题意得：a+2b=，
∴ 图2中两块阴影部分的周长和为 2+2(4-2b)+2(4-a)
= 2+8-4b+8-2a= 2+16-2(a+2b)
=2+16+2×=16.
故答案为：B.
【分析】设小长方形的长、宽分别为a、b，则a+2b=，图2中两块阴影部分的周长和为 2+2(4-2b)+2(4-a)，然后整理代入计算即可.
6．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由，得x-1=0，x+y=0，解得x=1，y=-1，所以 = + =1-1=0，故选A．
【分析】由二次根式的非负性，判断如果两个二次根式的和为零，则此两个二次根式都为0，从而得到x、y的值，进行正确的计算．
7．【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】设此等腰三角形腰长为 或 ，由三角形的三边关系判断此两个等腰三角形都存在，故其周长为 + = 或 + = ，故选B．
【分析】能够根据题意判断等腰三角形的腰长取值，要求用到三角形三边的数量关系，求解周长要求正确进行根式的加法运算．
8．【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。
9．【答案】4
【知识点】分式的化简求值；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：因为，，所以xy=3-1=2，x+y=2，所以=
故答案为：4.
【分析】将代数式通分后，分别求出和的值，再代入求值.
10．【答案】2016
【知识点】代数式求值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵a-2015≥0，
∴ ，
∴原式可变形为：a-2014+ a，
∴a-2015=20142，
∴a=20142+2015，
∴a-20142+1=20142+2015-20142+1=2016.
故答案为：2016.
【分析】直接利用二次根式有意义的条阿金以及结合绝对值的性质将已知化简，进而求出答案。
11．【答案】3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，
故答案为：3．
【分析】将原式化为，然后根据题中材料所给结论，可得3，即可求解.
12．【答案】26
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由题意，x-50，5-x0，所以x-5=0所以x=5，y=1，所以x2 +y=25+1=26．
【分析】无论式子多么复杂，找出其中二次根式隐含条件，求出x、y值，是一个常用的方法．
13．【答案】（1）小李化简正确，小张的化简结果错误．
因为 =| |= ；
（2）①
②原式= = = ﹣1．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据原题的中的被开方数可知，最终的结果应该为正，即可判断正误。
（2）分别将被开方数根据完全平方公式的形式进行展开化简，计算结果即可。
14．【答案】（1）解：设“ ”表示的数为 ，则 ，
∴ ，
∴“ ”表示的数为 ；
（2）解：依题意，原式为 ，
当“ ”表示“ ”时， ，
当“ ”表示“ ”时， ，
当“ ”表示“ ”时， ，
当“ ”表示“ ”时， ，
∵ ，
∴
∴当“ ”表示“ ”时，算式的结果最大．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的应用
【解析】【分析】
（1）本题考查二次根式的混合运算；
（2）本题考查二次根式的混合运算以及分类讨论思想。
15．【答案】（1）解：隐含条件解得：，
，
原式
；
（2）解：观察数轴得隐含条件：，，，
，，
原式
；
（3）解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，，
，，，
原式
．
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，从而得出x-3＜0，根据二次根式的性质化简即可；
（2）由数轴可知，，，从而得出，，根据二次根式的性质及绝对值进行化简即可；
（3）由三角形的三边关系可得，，，根据二次根式的性质化简即可.
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一、选择题
1．（【全效核心素养评估卷】浙教版数学八下第1章）把根号外的因式化到根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由被开方数是非负数，得﹣a≥0．==.
故答案为：B．
【分析】二次根式的性质与化简.根据被开方数是非负数可得：，可得a的取值范围，根据二次根式的性质可得：=，根据二次根式的运算法则可求出答案．
2．若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 （ ）
A．x≥2 B．x>2 C．x<2 D．x≤2
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
【解答】根据题意得，x-2≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
故选A
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
3．（【全效核心素养评估卷】浙教版数学八下第1章）若则（ ）
A． B．2 C．±2 D．±
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】已知则
所以
所以
又因为所以
所以
故
因此
故答案为：A.
【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的应用.已知对式子两边同时进行平方可得：化简可得：.再应用完全平方展开可得：，将代入上式可得：，开方可得：，最后根据讨论的符号可得出答案.
4．（【全效核心素养评估卷】浙教版数学八下第1章）若则代数式的值为（ ）
A．7 B．6 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】∵，
∴
.
故选：B.
【分析】本题考查整式的化简求值，二次根式的运算. 先将配方：加上一次项系数一半的平方，使式中出现完全平方式，再减去一次项系数一半的平方可得：代数式，将代入代数式，通过化简可求出答案.
5．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形(长为，宽为4cm)的盒子底部(如图2)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是 （ ）
A． B．16 cm C． D．
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；二次根式的应用
【解析】【解答】解：设小长方形的长、宽分别为a、b，
根据题意得：a+2b=，
∴ 图2中两块阴影部分的周长和为 2+2(4-2b)+2(4-a)
= 2+8-4b+8-2a= 2+16-2(a+2b)
=2+16+2×=16.
故答案为：B.
【分析】设小长方形的长、宽分别为a、b，则a+2b=，图2中两块阴影部分的周长和为 2+2(4-2b)+2(4-a)，然后整理代入计算即可.
6．（新人教版数学八年级下册16.1二次根式同步练习）若 ，则 的值为： （ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由，得x-1=0，x+y=0，解得x=1，y=-1，所以 = + =1-1=0，故选A．
【分析】由二次根式的非负性，判断如果两个二次根式的和为零，则此两个二次根式都为0，从而得到x、y的值，进行正确的计算．
7．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）若等腰三角形的两边长分别为 和 ，则这个三角形的周长为（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】设此等腰三角形腰长为 或 ，由三角形的三边关系判断此两个等腰三角形都存在，故其周长为 + = 或 + = ，故选B．
【分析】能够根据题意判断等腰三角形的腰长取值，要求用到三角形三边的数量关系，求解周长要求正确进行根式的加法运算．
8．（【精彩练习】初中数学浙教八下1.3二次根式的运算(2)）已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。
二、填空题
9．（2023八下·安达期末）已知，，则代数式的值是 ．
【答案】4
【知识点】分式的化简求值；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：因为，，所以xy=3-1=2，x+y=2，所以=
故答案为：4.
【分析】将代数式通分后，分别求出和的值，再代入求值.
10．（2020八下·龙口期中）已知实数a满足|2014-a|+ =a，那么a-20142+1的值是 ．
【答案】2016
【知识点】代数式求值；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵a-2015≥0，
∴ ，
∴原式可变形为：a-2014+ a，
∴a-2015=20142，
∴a=20142+2015，
∴a-20142+1=20142+2015-20142+1=2016.
故答案为：2016.
【分析】直接利用二次根式有意义的条阿金以及结合绝对值的性质将已知化简，进而求出答案。
11．（2021八下·合肥期末）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为 ．
【答案】3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，
故答案为：3．
【分析】将原式化为，然后根据题中材料所给结论，可得3，即可求解.
12．（新人教版数学八年级下册16.1二次根式同步练习）若x、y都为实数，且 ，则 = .
【答案】26
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】由题意，x-50，5-x0，所以x-5=0所以x=5，y=1，所以x2 +y=25+1=26．
【分析】无论式子多么复杂，找出其中二次根式隐含条件，求出x、y值，是一个常用的方法．
三、解答题
13．（2019八下·中山期中）阅读下面材料，回答问题：
（1）在化简 的过程中，小张和小李的化简结果不同；
小张的化简如下： = = =
小李的化简如下： = = =
请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由．
（2）请你利用上面所学的方法化简：① ；② ．
【答案】（1）小李化简正确，小张的化简结果错误．
因为 =| |= ；
（2）①
②原式= = = ﹣1．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据原题的中的被开方数可知，最终的结果应该为正，即可判断正误。
（2）分别将被开方数根据完全平方公式的形式进行展开化简，计算结果即可。
14．（2023八下·雄县期中）在算式“”中，“”表示被开方数，“”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号．
（1）当“”表示“”时，运算结果为，求“”表示的数．
（2）如果“”表示的是（1）中所求的数，请通过计算说明当“”表示哪一种运算符号时，算式的结果最大．
【答案】（1）解：设“ ”表示的数为 ，则 ，
∴ ，
∴“ ”表示的数为 ；
（2）解：依题意，原式为 ，
当“ ”表示“ ”时， ，
当“ ”表示“ ”时， ，
当“ ”表示“ ”时， ，
当“ ”表示“ ”时， ，
∵ ，
∴
∴当“ ”表示“ ”时，算式的结果最大．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的应用
【解析】【分析】
（1）本题考查二次根式的混合运算；
（2）本题考查二次根式的混合运算以及分类讨论思想。
15．（2023八下·大化期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：
∴
∴原式
（1） 【启发应用】
按照上面的解法，试化简；
（2） 【类比迁移】
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：；
（3）已知a，b，c为的三边长．化简：．
【答案】（1）解：隐含条件解得：，
，
原式
；
（2）解：观察数轴得隐含条件：，，，
，，
原式
；
（3）解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，，
，，，
原式
．
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，从而得出x-3＜0，根据二次根式的性质化简即可；
（2）由数轴可知，，，从而得出，，根据二次根式的性质及绝对值进行化简即可；
（3）由三角形的三边关系可得，，，根据二次根式的性质化简即可.
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