2024年浙教版数学八年级下册阶段复习基础练第2章一元二次方程
一、选择题
1．（2023八下·长沙期末）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x步，则可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·钟山期末）已知：a，b是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·海曙期末）关于x的一元二次方程有实数根，则a满足（ ）
A．且 B．且
C． D．
4．关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．（2023九上·温岭期中）一元二次方程3x2+4x﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．（2020九上·陈仓期末）关于x的方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜－1 D．k＞－1
7．（2023九上·凉州月考） 已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程的两个根，则此直角三角形斜边长是（ ）
A．13 B．5 C． D．
8．（2024·五华模拟）某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，如果全班同学有名学生，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2024九上·钟山期末）2023年11月，我国某品牌新能源汽车的销量为64万辆，预计2024年1月销量达到81万辆，设该厂销售月平均增长率为x，则 ．
10．（2024九下·深圳开学考）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
11．（2024九上·克孜勒苏柯尔克孜期末）已知x＝2是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ．
12．（2024九上·简阳期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
三、解答题
13．已知关于x的方程是一元二次方程，求m的值．
14．（2024九上·衡东期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根．
（2）当时，求此时方程的根．
15．（2024九上·深圳期末）园林部门计划在公园建一个如图（甲）所示的长方形花圃，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，，建成后所用木栏总长120米，在图（甲）总面积不变的情况下，在花圃内部设计了一个如图（乙）所示的正方形网红打卡点和两条宽度相等的小路，其中，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米.
（1）求长方形花圃的长和宽；
（2）求出网红打卡点的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设宽为x步，由题意得，
故答案为：D
【分析】设宽为x步，根据“一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步”结合题意即可求解。
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】a，b是方程的两个实数根，将方程化为一般式得，
故答案为：A.
【分析】先将方程化为一般式，由根与系数的关系求得a+b，ab的值，从而求解.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，且a≠0，
∴a≥-4且a≠0，
故答案为：B.
【分析】根据题意是一元二次方程所以a≠0，有实数根，所以，列关于a的方程求解即可.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，Δ=22-4×1×1=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根，求出b2-4ac的值即可判断.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵3x2+4x-1=0中，a=3，b=4，c=-1，
∴b2-4ac=16+12=28>0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；确定a，b，c的值，代入根的判别式判断出△的符号即可得出结论.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
即△=（-2）2-4k＞0，解得k＜1
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于k的不等式，解之即可求解.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；勾股定理
【解析】【解答】由题意：解方程 得x=2或x=3，
该直角三角形的两条直角边长分别为2，3，
该直角三角形的斜边为
故答案为：D.
【分析】根据题意先解得方程的两根得到该直角三角形的两直角边边长，再利用勾股定理即可求解.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用；列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：A
【分析】设全班同学有名学生，进而根据“每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言”结合题意即可列出一元二次方程，从而即可求解。
9．【答案】12.5%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】由题意可得
解得（舍去），
该厂销售月平均增长率为 0.125，即12.5%，
故答案为：12.5% .
【分析】根据2023年11月某品牌新能源汽车的销量为64万辆，预计2024年1月销量达到81万辆，设该厂销售月平均增长率为x，利用2024年1月销量=2023年11月的销售量（1+x）2，得到关于x的一元二次方程，解方程取符合题意的x的值即可求解.
10．【答案】m≤1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有实数根，
∴△=b2-4ac≥0，
即4-4m≥0，
解得m≤1.
故答案为：m≤1.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可.
11．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为p，
根据题意可得：2p=-6，
解得：p=-3，
故答案为：-3.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得2p=-6，再求出p的值即可.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】关于的一元二次方程有实数根，
解得，
故答案为： .
【分析】根据一元二次方程有两个实数根，由根的判别式得到进而得到关于m的不等式，解不等式即可求解.
13．【答案】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m+1≠0，m2+1=2，
解得m=1．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】形如“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的方程就是一元二次方程，据此列出混合组，求解即可.
14．【答案】（1）证明：∵关于x的一元二次方程，
∴
，
∴此方程总有两不相等实根．
（2）解：当时．方程为
∴
解得：，．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据二次方程中判别式，即可求出答案；
（2）将m=4代入方程，再解方程即可求出答案.
15．【答案】（1）解：设米，则米，
由题意可列方程为：，
∴，
∴米，米，
答：花圃的长为60米，宽为20米.
（2）解：设网红打卡点边长为m米，
由题意可列方程为：，
∴，（舍），
∴网红打卡点的面积为.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设AB为x米，可得BC=2x米，根据总长为120米列出方程，解方程即可求得；
（2）设网红打卡地点的边长为m米，根据未花卉种植的面积的等量关系，列出方程，解方程可得边长，再根据正方形的面积公式，即可求得.
1 / 12024年浙教版数学八年级下册阶段复习基础练第2章一元二次方程
一、选择题
1．（2023八下·长沙期末）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x步，则可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设宽为x步，由题意得，
故答案为：D
【分析】设宽为x步，根据“一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步”结合题意即可求解。
2．（2024九上·钟山期末）已知：a，b是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】a，b是方程的两个实数根，将方程化为一般式得，
故答案为：A.
【分析】先将方程化为一般式，由根与系数的关系求得a+b，ab的值，从而求解.
3．（2024八上·海曙期末）关于x的一元二次方程有实数根，则a满足（ ）
A．且 B．且
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，且a≠0，
∴a≥-4且a≠0，
故答案为：B.
【分析】根据题意是一元二次方程所以a≠0，有实数根，所以，列关于a的方程求解即可.
4．关于一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，Δ=22-4×1×1=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根，求出b2-4ac的值即可判断.
5．（2023九上·温岭期中）一元二次方程3x2+4x﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵3x2+4x-1=0中，a=3，b=4，c=-1，
∴b2-4ac=16+12=28>0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；确定a，b，c的值，代入根的判别式判断出△的符号即可得出结论.
6．（2020九上·陈仓期末）关于x的方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜－1 D．k＞－1
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
即△=（-2）2-4k＞0，解得k＜1
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于k的不等式，解之即可求解.
7．（2023九上·凉州月考） 已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程的两个根，则此直角三角形斜边长是（ ）
A．13 B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；勾股定理
【解析】【解答】由题意：解方程 得x=2或x=3，
该直角三角形的两条直角边长分别为2，3，
该直角三角形的斜边为
故答案为：D.
【分析】根据题意先解得方程的两根得到该直角三角形的两直角边边长，再利用勾股定理即可求解.
8．（2024·五华模拟）某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言，如果全班同学有名学生，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用；列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：A
【分析】设全班同学有名学生，进而根据“每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了1980份留言”结合题意即可列出一元二次方程，从而即可求解。
二、填空题
9．（2024九上·钟山期末）2023年11月，我国某品牌新能源汽车的销量为64万辆，预计2024年1月销量达到81万辆，设该厂销售月平均增长率为x，则 ．
【答案】12.5%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】由题意可得
解得（舍去），
该厂销售月平均增长率为 0.125，即12.5%，
故答案为：12.5% .
【分析】根据2023年11月某品牌新能源汽车的销量为64万辆，预计2024年1月销量达到81万辆，设该厂销售月平均增长率为x，利用2024年1月销量=2023年11月的销售量（1+x）2，得到关于x的一元二次方程，解方程取符合题意的x的值即可求解.
10．（2024九下·深圳开学考）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
【答案】m≤1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有实数根，
∴△=b2-4ac≥0，
即4-4m≥0，
解得m≤1.
故答案为：m≤1.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可.
11．（2024九上·克孜勒苏柯尔克孜期末）已知x＝2是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ．
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为p，
根据题意可得：2p=-6，
解得：p=-3，
故答案为：-3.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得2p=-6，再求出p的值即可.
12．（2024九上·简阳期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】关于的一元二次方程有实数根，
解得，
故答案为： .
【分析】根据一元二次方程有两个实数根，由根的判别式得到进而得到关于m的不等式，解不等式即可求解.
三、解答题
13．已知关于x的方程是一元二次方程，求m的值．
【答案】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m+1≠0，m2+1=2，
解得m=1．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】形如“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的方程就是一元二次方程，据此列出混合组，求解即可.
14．（2024九上·衡东期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根．
（2）当时，求此时方程的根．
【答案】（1）证明：∵关于x的一元二次方程，
∴
，
∴此方程总有两不相等实根．
（2）解：当时．方程为
∴
解得：，．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据二次方程中判别式，即可求出答案；
（2）将m=4代入方程，再解方程即可求出答案.
15．（2024九上·深圳期末）园林部门计划在公园建一个如图（甲）所示的长方形花圃，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，，建成后所用木栏总长120米，在图（甲）总面积不变的情况下，在花圃内部设计了一个如图（乙）所示的正方形网红打卡点和两条宽度相等的小路，其中，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米.
（1）求长方形花圃的长和宽；
（2）求出网红打卡点的面积.
【答案】（1）解：设米，则米，
由题意可列方程为：，
∴，
∴米，米，
答：花圃的长为60米，宽为20米.
（2）解：设网红打卡点边长为m米，
由题意可列方程为：，
∴，（舍），
∴网红打卡点的面积为.
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设AB为x米，可得BC=2x米，根据总长为120米列出方程，解方程即可求得；
（2）设网红打卡地点的边长为m米，根据未花卉种植的面积的等量关系，列出方程，解方程可得边长，再根据正方形的面积公式，即可求得.
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