2024年浙教版数学八年级下册阶段复习提高练第2章一元二次方程
一、选择题
1．（2023九上·金华月考）已知二次方程的两根为和5，则一次函数图象不经过第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+bx+c=0的两根为-1和5，
∴-1+5=-b，-1×5=c，
∴b=-4，c=-5，
∴一次函数的解析式为y=-4x-5，
∵一次函数中自变量的系数为-4＜0，常数项为-5＜0，
∴图象经过第二、三、四象限，
∴该一次函数的图象不经过第一象限.
故答案为：A.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，可求出b、c的值，从而可得出一次函数的解析式，进而根据一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，进行判断得出答案.
2．（2023九上·滨江开学考）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：去括号为：移项得：合并同类项得：即.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式及多项式的运算等式的性质，根据多项式的运算及等式的性质求解即可.
3．（2019九上·江都月考）一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】△=4﹣4×1×（-1）=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根.故答案为：A.
【分析】先计算根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.
4．（2022八下·靖西期中）用配方法解一元二次方程x2-8x+5=0，将其化成（x+a）2=b的形式，则变形正确的是（ ）
A．（x+4）2=11 B．（x-4）2=21 C．（x-8）2=11 D．（x-4）2=11
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
，
，
故答案为：D.
【分析】首先将常数项移至等号的右边，然后给两边同时加上16，再利用完全平方公式对左边的式子进行分解即可.
5．（2024九上·铜仁期末） 把一元二次方程化为一般式，当二次项为时，一次项和常数项分别为（ ）
A．， B．，1 C．， D．，1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 化为一般式为，
二次项为 ，
一次项和常数项分别为 ，1.
故答案为：D.
【分析】将原方程转化为即可求解.
6．（2024·新市区模拟）扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度（花带等宽）．设花带的宽度为，则可列方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设花带的宽度为，由题意得，
故答案为：B
【分析】设花带的宽度为，根据图片结合题意即可列出一元二次方程，进而即可求解。
7．（2024九上·盘州期末）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中随处可见．例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长10米，主持人从舞台一侧进人，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割；列一元二次方程
【解析】【解答】设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，
根据题意可得：，
故答案为：A.
【分析】 设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，根据黄金分割的性质可得.
8．（2024九下·深圳开学考）下列说法正确的是
A．对角线垂直的平行四边形是矩形
B．方程有两个相等的实数根
C．抛物线的顶点为
D．函数，随的增大而增大
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质；菱形的判定；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、 对角线垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误，不符合题意；
B、方程x2+4x+16=0中，a=1，b=4，c=16，∴b2-4ac=42-4×1×16=-48＜0，∴此方程没有实数根，故此选项错误，不符合题意；
C、∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴该抛物线的顶点坐标为(1，4)，故此选项错误，不符合题意；
D、在反比例函数中，k=-2＜0，∴图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由对角线垂直的平行四边形是菱形，可判断A选项；对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，
据此算出该方程根的判别式，可判断B选项；利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，得到其顶点坐标，可判断C选项；反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此可判断D选项.
二、填空题
9．（2023九上·滨江开学考）若是方程的一个根，则代数式的值为 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根 ,∴即∴
故答案为：2.
【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义，根据题意可得然后整体带入即可求解.
10．（2023九上·房山开学考） 若关于的方程有两个相等的实数根，则 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴4-4m=0，
解得：m=1，
故答案为：1.
【分析】根据方程有两个相等的实数根求出4-4m=0，再计算求解即可。
11．某网络学习平台2021年的新注册用户数为100万，2023年的新注册用户数为64万，设新注册用户数的年平均下降率为，则 (用百分数表示).
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意得：100（1-x）2=64，
解得：x1=0.2=20%，x2=-1.8（不符合题意，舍去），
∴x的值为20%；
故答案为：20%.
【分析】利用2023年的新注册用户数=2021年的新注册用户数×（1-新注册用户数的年平均下降率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可求解.
12．（2024·巧家模拟）定义新运算：．若关于x的方程有两个实数根，则实数k的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得☆，
又∵方程☆有两个实数根，
有两个实数根．
△，
．
故答案为：．
【分析】先根据新定义运算得到☆，进而根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
三、解答题
13．（2024·湖北模拟）若关于x的一元二次方程x2+bx-6=0有一个根是x=2，求b的值及方程的另一个根.
【答案】解：设方程另一个根是，则
即的值为1，方程的另一个根为-3.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系，代入两根，建立方程，求解即可.
14．（2024九上·石家庄期末）已知关于的二次三项式．
（1）若有两个相等的实数根，求的值；
（2）嘉琪将其变形为的形式，用含的式子表示．
【答案】（1）解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得；
（2）解：
，
∴．
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求出m；
（2）根据配方法结合题意变形，进而即可得到n。
15．（2024九上·盘州期末）第19届亚洲运动会于2023年9月23日晚在浙江省杭州市隆重开幕．亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，由“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”共同组成“江南忆”组合，三个吉祥物造型形象生动，深受大家的喜爱．某网店购进一批亚运会吉祥物“宸宸”和“琮琮”，进货价和销售价如下表：
吉祥物 价格 宸宸 琮琮
进货价（元/个） 59 66
销售价（元/个） 79 88
（1）该网店第一次用3160元购进“宸宸”和“踪琮”共50个，求购进“宸宸”和“琮琮”各多少个；
（2）第一次购进的“宸宸”和“琮琮”售完后，该网店再次购进“宸宸”和“琮琮”共80个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于4900元，若进货后能全部售出，则应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少：
（3）亚运会临近结束时，该网店打算把“宸宸”调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，将销售价定为每个多少元时，才能使“宸宸”平均每天销售利润为288元．
【答案】（1）解：设“宸宸”购进个，“琮琮”购进个，依题意得：
解得：
则“宸宸”购进20个，“琮琮”购进30个
（2）解：设“宸宸”购进个，则“琮琮”购进个，设销售利润为，依题意得：
随的增大而减小
解这个不等式得：
取整数
最小为55
则
则“宸宸”购进55个，“琮琮”购进25个，全部销售后，可获得最大利润1650元
（3）解：设“宸宸”降价元，则“宸宸”的售价为（79-a）元，依题意得：
整理得：
解得：
则
将销售价定为71元时，才能使“宸宸”平均每天销售利润为288元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“宸宸”购进个，“琮琮”购进个，再根据“第一次用3160元购进“宸宸”和“踪琮”共50个”列出方程组求解即可；
（2）设“宸宸”购进个，则“琮琮”购进个，设销售利润为，根据题意列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可；
（3）设“宸宸”降价元，则“宸宸”的售价为（79-a）元，根据“使“宸宸”平均每天销售利润为288元”列出方程，再求解即可.
1 / 12024年浙教版数学八年级下册阶段复习提高练第2章一元二次方程
一、选择题
1．（2023九上·金华月考）已知二次方程的两根为和5，则一次函数图象不经过第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
2．（2023九上·滨江开学考）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019九上·江都月考）一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．（2022八下·靖西期中）用配方法解一元二次方程x2-8x+5=0，将其化成（x+a）2=b的形式，则变形正确的是（ ）
A．（x+4）2=11 B．（x-4）2=21 C．（x-8）2=11 D．（x-4）2=11
5．（2024九上·铜仁期末） 把一元二次方程化为一般式，当二次项为时，一次项和常数项分别为（ ）
A．， B．，1 C．， D．，1
6．（2024·新市区模拟）扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度（花带等宽）．设花带的宽度为，则可列方程为
A． B．
C． D．
7．（2024九上·盘州期末）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中随处可见．例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长10米，主持人从舞台一侧进人，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024九下·深圳开学考）下列说法正确的是
A．对角线垂直的平行四边形是矩形
B．方程有两个相等的实数根
C．抛物线的顶点为
D．函数，随的增大而增大
二、填空题
9．（2023九上·滨江开学考）若是方程的一个根，则代数式的值为 ．
10．（2023九上·房山开学考） 若关于的方程有两个相等的实数根，则 ．
11．某网络学习平台2021年的新注册用户数为100万，2023年的新注册用户数为64万，设新注册用户数的年平均下降率为，则 (用百分数表示).
12．（2024·巧家模拟）定义新运算：．若关于x的方程有两个实数根，则实数k的取值范围为 ．
三、解答题
13．（2024·湖北模拟）若关于x的一元二次方程x2+bx-6=0有一个根是x=2，求b的值及方程的另一个根.
14．（2024九上·石家庄期末）已知关于的二次三项式．
（1）若有两个相等的实数根，求的值；
（2）嘉琪将其变形为的形式，用含的式子表示．
15．（2024九上·盘州期末）第19届亚洲运动会于2023年9月23日晚在浙江省杭州市隆重开幕．亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，由“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”共同组成“江南忆”组合，三个吉祥物造型形象生动，深受大家的喜爱．某网店购进一批亚运会吉祥物“宸宸”和“琮琮”，进货价和销售价如下表：
吉祥物 价格 宸宸 琮琮
进货价（元/个） 59 66
销售价（元/个） 79 88
（1）该网店第一次用3160元购进“宸宸”和“踪琮”共50个，求购进“宸宸”和“琮琮”各多少个；
（2）第一次购进的“宸宸”和“琮琮”售完后，该网店再次购进“宸宸”和“琮琮”共80个（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于4900元，若进货后能全部售出，则应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少：
（3）亚运会临近结束时，该网店打算把“宸宸”调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，将销售价定为每个多少元时，才能使“宸宸”平均每天销售利润为288元．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+bx+c=0的两根为-1和5，
∴-1+5=-b，-1×5=c，
∴b=-4，c=-5，
∴一次函数的解析式为y=-4x-5，
∵一次函数中自变量的系数为-4＜0，常数项为-5＜0，
∴图象经过第二、三、四象限，
∴该一次函数的图象不经过第一象限.
故答案为：A.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，可求出b、c的值，从而可得出一次函数的解析式，进而根据一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，进行判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：去括号为：移项得：合并同类项得：即.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式及多项式的运算等式的性质，根据多项式的运算及等式的性质求解即可.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】△=4﹣4×1×（-1）=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根.故答案为：A.
【分析】先计算根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.
4．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
，
，
故答案为：D.
【分析】首先将常数项移至等号的右边，然后给两边同时加上16，再利用完全平方公式对左边的式子进行分解即可.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 化为一般式为，
二次项为 ，
一次项和常数项分别为 ，1.
故答案为：D.
【分析】将原方程转化为即可求解.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设花带的宽度为，由题意得，
故答案为：B
【分析】设花带的宽度为，根据图片结合题意即可列出一元二次方程，进而即可求解。
7．【答案】A
【知识点】黄金分割；列一元二次方程
【解析】【解答】设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，
根据题意可得：，
故答案为：A.
【分析】 设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，根据黄金分割的性质可得.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质；菱形的判定；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、 对角线垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误，不符合题意；
B、方程x2+4x+16=0中，a=1，b=4，c=16，∴b2-4ac=42-4×1×16=-48＜0，∴此方程没有实数根，故此选项错误，不符合题意；
C、∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴该抛物线的顶点坐标为(1，4)，故此选项错误，不符合题意；
D、在反比例函数中，k=-2＜0，∴图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由对角线垂直的平行四边形是菱形，可判断A选项；对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，
据此算出该方程根的判别式，可判断B选项；利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，得到其顶点坐标，可判断C选项；反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此可判断D选项.
9．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根 ,∴即∴
故答案为：2.
【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义，根据题意可得然后整体带入即可求解.
10．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴4-4m=0，
解得：m=1，
故答案为：1.
【分析】根据方程有两个相等的实数根求出4-4m=0，再计算求解即可。
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意得：100（1-x）2=64，
解得：x1=0.2=20%，x2=-1.8（不符合题意，舍去），
∴x的值为20%；
故答案为：20%.
【分析】利用2023年的新注册用户数=2021年的新注册用户数×（1-新注册用户数的年平均下降率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可求解.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得☆，
又∵方程☆有两个实数根，
有两个实数根．
△，
．
故答案为：．
【分析】先根据新定义运算得到☆，进而根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
13．【答案】解：设方程另一个根是，则
即的值为1，方程的另一个根为-3.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系，代入两根，建立方程，求解即可.
14．【答案】（1）解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得；
（2）解：
，
∴．
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求出m；
（2）根据配方法结合题意变形，进而即可得到n。
15．【答案】（1）解：设“宸宸”购进个，“琮琮”购进个，依题意得：
解得：
则“宸宸”购进20个，“琮琮”购进30个
（2）解：设“宸宸”购进个，则“琮琮”购进个，设销售利润为，依题意得：
随的增大而减小
解这个不等式得：
取整数
最小为55
则
则“宸宸”购进55个，“琮琮”购进25个，全部销售后，可获得最大利润1650元
（3）解：设“宸宸”降价元，则“宸宸”的售价为（79-a）元，依题意得：
整理得：
解得：
则
将销售价定为71元时，才能使“宸宸”平均每天销售利润为288元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“宸宸”购进个，“琮琮”购进个，再根据“第一次用3160元购进“宸宸”和“踪琮”共50个”列出方程组求解即可；
（2）设“宸宸”购进个，则“琮琮”购进个，设销售利润为，根据题意列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可；
（3）设“宸宸”降价元，则“宸宸”的售价为（79-a）元，根据“使“宸宸”平均每天销售利润为288元”列出方程，再求解即可.
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