2024年浙教版数学八年级下册阶段复习培优练第4章平行四边形
一、选择题
1．（2023八上·丰南期中） 已知一个多边形的每个外角都等于，则从这个多边形的某个顶点画对角线，可以画出几条（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于，
∴这个多边形为8边形，
∴这个多边形的某个顶点画对角线，可以画出5条，
故答案为：A
【分析】先根据题意计算出该多边形的边数，进而结合多边形的对角线即可求解。
2．（2024八上·长春月考）用反证法证明：若a≥b>0、则a≥b2．应先假设（ ）
A．a【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“若a≥b>0、则a≥b2”的第一步是假设a2故答案为：C.
【分析】利用反证法的定义及书写要求求解即可.
3．（2023八上·桦甸期中）如图是用边长相等的等边三角形和正边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：n=12，
∴正边形的内角和为：，
故答案为：A.
【分析】利用多边形的内角和公式计算求解即可。
4．（2023八上·武鸣期中） 如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=100°，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（ ）
A．220° B．240° C．260° D．280°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：连接，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，根据三角形内角和求出，再利用四边形内角和减去和的和，即可得到结果．
5．（2023八上·怀宁期中） 一个三角形的三个外角之比为3：4：5，则这个三角形三个内角之比是（ ）
A．5：4：3 B．3：2：1 C．4：3：2 D．5：3：1
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵ 一个三角形的三个外角之比为3：4：5，
∴三个外角的度数分别为：360°×=90°，360°×=120°，360°×=150°，
∴三角形的三个内角分别为：90°，60°，30°，
∴三角形三个内角之比是 3：2：1 .
故答案为：B.
【分析】根据三角形的外角形和为360°，且三个外角之比为3：4：5，算出三个外角的度数，进而可算出三个内角的度数，即可求解.
6．（2021八上·无锡月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为 （ ）
A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图作点O关于直线AB的对称点O’，作 OC∥MN且OC=MN=2 ，连接O'C交AB于点D，连接MC，MO'，
∴四边形MNOC为平行四边形，
∴ ，
，
∴ ，
在
中，
，即
，
当点M到点D的位置时，即当O’、M、C三点共线，
取得最小值，
∵ ，
，
设
，则
，
，
解得：
，
即：
，
，
，
解得：
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在
中，
，
即：
，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】作点O关于直线AB的对称点O′，作OC∥MN且OC=MN=2，连接O′C交AB于点D，连接ON，MO，则四边形MNOC为平行四边形，OM+ON=O′M+MC，结合三角形的三边关系可得OM+ON>O′C，当O′、M、C三点共线，OM+ON取得最小值，设OB=x，则AB=2x，根据勾股定理求出x，得到BO、AB，然后根据△AOB的面积公式求出OF，进而得到O′O，在Rt△O′OC中，由勾股定理求出O′C，据此解答.
7．（2021八上·太和月考）将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．730°
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：①将长方形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和：180°+180°=360°；
②将长方形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；
③将长方形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：180°+540°=720°，
④将长方形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，其内角和为：180°+540°=720°，
故答案为：D.
【分析】分四种情况：①将长方形沿对角线剪开，得到两个三角形；②将长方形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形；③将长方形沿一组对边剪开，得到两个四边形；④将长方形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，据此分别求解再判断即可.
8．（2021八上·肇源期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30° ②③S平行四边形ABCD=AB AC ④ ，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①符合题意；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=AB=，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，Rt△EOC中，OC==，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD==，
∴BD=2OD=，
故②符合题意；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S ABCD=AB AC，
故③符合题意；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB，
∵AB=BC，
∴OE=BC=AD，
故④符合题意；
正确的有：①②③④，
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线求解即可。
二、填空题
9．（2021八上·交城期中）已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是 边形．
【答案】五或六或七
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设内角和为 的多边形的边数是 ，
，
解得： ，
包装盒的底面是六边形，
如图1所示，截线不过顶点和对角线，则原来的多边形是五边形；
如图2所示，截线过一个顶点，则来的多边形是六边形；
如图3所示，截线过一条对角线，则来的多边形是七边形．
故答案为：五或六或七．
【分析】根据多边形的内角和定理求出多边形的边的数量，继而判断得到答案即可。
10．（2021八上·霞山月考）如图所示，△ABO与△CDO称为“对顶三角形”，其中∠A+∠B=∠C+∠D．利用这个结论，在图2中，∠A十∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=
【答案】540
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图2，连接BE，
由对顶三角形可得，∠C+∠D=∠CBE+∠DEB．∵五边形ABEFG中，∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G=540°，即∠A+∠ABC+∠CBE+∠BED+∠DEF+∠F+∠G=540°，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=540°．故答案为540．
【分析】解决本题的关键是做辅助线构造“对顶三角形”以及五边形，并得出∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，解题时要注意，五边形的内角和为540°
11．（2020八上·龙凤期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF的最大值与最小值的差为 ．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD= 120°
∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2
∴AM=DM=DC=2
∴△CDM是等边三角形
∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC
∴∠MAC=∠MCA=30°
∴∠ACD=90°
∴AC=2
在Rt△ACN中，AC=2 ，∠ACN=∠DAC=30°
∴AN= AC=
∵AE=EH，GF=FH
∴EF= AG
∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长
∵AG的最大值为2 ，最小值为
∴EF的最大值为 ，最小值为
∴EF的最大值与最小值的差为 - = ．
故答案为 ．
【分析】取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再证明∠ACD=90°，求出AC=2 、AN= ；然后由三角形中位线定理，可得EF= AG，最后求出AG的最大值和最小值即可．
12．（2023八上·浙江期中）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点P在AC的延长线上，且AC=CP=4，将△ABC沿AB方向平移得到△A'B'C'，连结PA'，PC'，则△PA'C'的周长的最小值为 .
【答案】+4
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：由题意可得AC=A'C'=CP=4且AC//A'C'//CP，因为PA'C'的周长=PA'+A'C'+C'P=4+PA'+C'P，当PA'+C'P最小时，PA'C'的周长最小。
连结A'C，
因为A'C'=CP且A'C'//CP，所以四边形A'CPC'是平行四边形。所以A'C=C'P，即A'C+A'P取最小值。
过B点作C关于AB'的对称点E，连结A'E，即A'E=A'C，当E、A'、P在同一直线上时，A'C+A'P最短，A'C+A'P=EP===4.
所以
故答案为： △4+4 .
【分析】利用平行四边形的条件把C'P转换到A'C，再利用作对称点求出最小值。
三、解答题
13． 知识背景：
过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分.
（1）如图1，直线m 经过 ABCD对角线的交点 O，则 (填“〉”“〈”或“=”).
（2）将两个正方形按如图2 所示的方式摆放，O为小正方形对角线的交点，作过点 O 且将整个图形分成面积相等的两部分的直线.
（3）将8个大小相同的正方形按如图3 所示的方式摆放，作将整个图形分成面积相等的两部分的直线（用三种不同的方法）.
【答案】（1）=
（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（1）∵ 点O为 ABCD的对称中心，且直线m经过点O，
∴ 则；
故答案为：=；
【分析】（1） 过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分，即可求得；
（2）先找到正方形的中心，然后过中心作直线即可；
（3）先分成两个矩形，分别找到中心，过两个中心作直线即可；找到图形的对称轴.
14．（2023八上·开江期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝ɑ，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）若α＝46°，求∠ADE的度数；
（2）以AB、AE为边作平行四边形ABFE．
①如图2，若点F恰好落在DE上．求证：BD＝CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上．求证：BD＝CF．
【答案】（1）解：∵AB＝AC，∠ABC＝α=46°，
∴∠ABC＝∠ACB＝α=46°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+2∠ABC＝180°，
∵∠DAE+∠BAC＝180°
∴∠DAE＝2∠ABC＝92°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED44°
（2）证明：①∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF，
∴∠ABC＝∠EDC＝α，
∵∠DAE+∠BAC＝180°，2∠ABC+∠BAC＝180°，2∠ADE+∠DAE＝180°，
∴∠ABC+∠ADE＝90°，
∴∠EDC+∠ADE＝90°，
∴AD⊥BC，且AB＝AC，
∴BD＝CD；
②∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF，AE＝BF，
∴∠EAC＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∴∠EAC＝α，
∵∠DAE＝2∠ABC＝2α，
∴∠DAC＝∠ACB＝α，
∴AD＝CD，且AD＝AE，
∴BF＝AE＝AD＝CD，
∴BD＝CF．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得∠ABC＝∠ACB＝α，根据三角形的内角和定理得∠BAC+2∠ABC＝180°，结合已知可得∠DAE＝2∠ABC＝92°，由等腰三角形的性质可求∠ADE的度数；
（2）①由平行四边形的性质可得AB∥EF，可得∠ABC＝∠EDC＝α，由三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求∠EDC+∠ADE＝90°，即AD⊥BC，再根据等腰三角形的三线合一可得BD＝CD；
②由平行四边形的性质可得AE∥BF，AE＝BF，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得BF＝AE＝AD＝CD，可证BD＝CF．
15．（2022八下·衢州期中）【发现与证明】
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H是各边中点，对角线AC、BD相交于点O，I、J是AC、BD的中点，连接EF、EH、HG、GF、EI、GI、EJ、FJ、IJ、GJ、IH.
结论1：四边形EFGH是平行四边形；
结论2：四边形EJGI是平行四边形；
结论3：；
……
（1）请选择其中一个结论，加以证明（只需证明一个结论）.
（2）【探究与应用】（★温馨提示：以下问题可以直接使用上述结论）
①如图1，在四边形ABCD中，F、H分别为边AB，DC的中点，连结HF.已知，，线段HF的取值范围是 ▲ .
②如图2，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，FH交于点O，cm，cm，，求.
【答案】（1）解：结论1：四边形EFGH是平行四边形；
证明：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H是各边中点，
∴EF为 ABD的中位线，
∴EF∥BD，EF=，
同理可得GH∥BD，GH=，
∴GH∥EF，GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形；
结论2：四边形EJGI是平行四边形；
证明：∵E、J、G、I分别为DA，DB，BC，AC中点，
∴EJ为 ABD的中位线，
∴EJ∥AB，EJ=，
同理可得IG∥AB，IG=，
∴EJ∥IG，EJ=IG，
∴四边形EJGI是平行四边形；
结论3：S四边形EFGH=S四边形ABCD；
证明：由结论1证明可得，EF=，GH=，
∴ AEF的高为 ADB高的一半， CHG的高为 BCD高的一半，
∴，，
同理：，，
∴=；
（2）解：①连接AC，取AC的中点E，连接FE，HE，
∵点E、F为AC，AB的中点，
∴EF=，
同理：EH=，
∴EH-EF即1故答案为：1②如图所示，连接EFGH，由结论1可得四边形EFGH为平行四边形，
如图所示，过点E作EM∥FH交GH延长线于点M，过点G作GN⊥EM，
∵EF∥GM，EM∥FH，
∴四边形FHME为平行四边形，
∴FH=EM=6，∠EOF=∠GEM=60°，FE=HM，
∴∠EGN=30°，
∴EN=，
∴，
∴，
由图可得，
由结论3可得：.
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）结论1：四边形EFGH是平行四边形；由题意可得EF为 ABD的中位线，则EF∥BD，EF=BD，同理可得GH∥BD，GH=BD，推出GH∥EF，GH=EF，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
结论2：四边形EJGI是平行四边形，同理证明即可；
结论3：S四边形EFGH=S四边形ABCD；由结论1证明可得，EF=BD，GH=BD，则S△AEF=S△ADB，S△CHG=S△CDB，同理可得S△DEH=S△DAC，S△BFG=S△BCA，据此证明；
（2）①连接AC，取AC的中点E，连接FE，HE，由中位线的性质可得EF=BC=2，EH=AD=3，然后根据三角形的三边关系进行解答；
②连接EFGH，由结论1可得四边形EFGH为平行四边形，过点E作EM∥FH交GH延长线于点M，过点G作GN⊥EM，则四边形FHME为平行四边形，FH=EM=6，∠EOF=∠GEM=60°，FE=HM，∠EGN=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得EN，利用勾股定理可得GN，根据三角形的面积公式可得S△EGM，由图可得S四边形EFGH=4S△EGM，据此求解.
1 / 12024年浙教版数学八年级下册阶段复习培优练第4章平行四边形
一、选择题
1．（2023八上·丰南期中） 已知一个多边形的每个外角都等于，则从这个多边形的某个顶点画对角线，可以画出几条（ ）
A．5条 B．6条 C．7条 D．8条
2．（2024八上·长春月考）用反证法证明：若a≥b>0、则a≥b2．应先假设（ ）
A．a3．（2023八上·桦甸期中）如图是用边长相等的等边三角形和正边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·武鸣期中） 如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=100°，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（ ）
A．220° B．240° C．260° D．280°
5．（2023八上·怀宁期中） 一个三角形的三个外角之比为3：4：5，则这个三角形三个内角之比是（ ）
A．5：4：3 B．3：2：1 C．4：3：2 D．5：3：1
6．（2021八上·无锡月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为 （ ）
A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋
7．（2021八上·太和月考）将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．730°
8．（2021八上·肇源期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30° ②③S平行四边形ABCD=AB AC ④ ，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2021八上·交城期中）已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是 边形．
10．（2021八上·霞山月考）如图所示，△ABO与△CDO称为“对顶三角形”，其中∠A+∠B=∠C+∠D．利用这个结论，在图2中，∠A十∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=
11．（2020八上·龙凤期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF的最大值与最小值的差为 ．
12．（2023八上·浙江期中）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点P在AC的延长线上，且AC=CP=4，将△ABC沿AB方向平移得到△A'B'C'，连结PA'，PC'，则△PA'C'的周长的最小值为 .
三、解答题
13． 知识背景：
过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分.
（1）如图1，直线m 经过 ABCD对角线的交点 O，则 (填“〉”“〈”或“=”).
（2）将两个正方形按如图2 所示的方式摆放，O为小正方形对角线的交点，作过点 O 且将整个图形分成面积相等的两部分的直线.
（3）将8个大小相同的正方形按如图3 所示的方式摆放，作将整个图形分成面积相等的两部分的直线（用三种不同的方法）.
14．（2023八上·开江期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝ɑ，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）若α＝46°，求∠ADE的度数；
（2）以AB、AE为边作平行四边形ABFE．
①如图2，若点F恰好落在DE上．求证：BD＝CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上．求证：BD＝CF．
15．（2022八下·衢州期中）【发现与证明】
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H是各边中点，对角线AC、BD相交于点O，I、J是AC、BD的中点，连接EF、EH、HG、GF、EI、GI、EJ、FJ、IJ、GJ、IH.
结论1：四边形EFGH是平行四边形；
结论2：四边形EJGI是平行四边形；
结论3：；
……
（1）请选择其中一个结论，加以证明（只需证明一个结论）.
（2）【探究与应用】（★温馨提示：以下问题可以直接使用上述结论）
①如图1，在四边形ABCD中，F、H分别为边AB，DC的中点，连结HF.已知，，线段HF的取值范围是 ▲ .
②如图2，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，FH交于点O，cm，cm，，求.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于，
∴这个多边形为8边形，
∴这个多边形的某个顶点画对角线，可以画出5条，
故答案为：A
【分析】先根据题意计算出该多边形的边数，进而结合多边形的对角线即可求解。
2．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“若a≥b>0、则a≥b2”的第一步是假设a2故答案为：C.
【分析】利用反证法的定义及书写要求求解即可.
3．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：n=12，
∴正边形的内角和为：，
故答案为：A.
【分析】利用多边形的内角和公式计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：连接，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，根据三角形内角和求出，再利用四边形内角和减去和的和，即可得到结果．
5．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵ 一个三角形的三个外角之比为3：4：5，
∴三个外角的度数分别为：360°×=90°，360°×=120°，360°×=150°，
∴三角形的三个内角分别为：90°，60°，30°，
∴三角形三个内角之比是 3：2：1 .
故答案为：B.
【分析】根据三角形的外角形和为360°，且三个外角之比为3：4：5，算出三个外角的度数，进而可算出三个内角的度数，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图作点O关于直线AB的对称点O’，作 OC∥MN且OC=MN=2 ，连接O'C交AB于点D，连接MC，MO'，
∴四边形MNOC为平行四边形，
∴ ，
，
∴ ，
在
中，
，即
，
当点M到点D的位置时，即当O’、M、C三点共线，
取得最小值，
∵ ，
，
设
，则
，
，
解得：
，
即：
，
，
，
解得：
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在
中，
，
即：
，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】作点O关于直线AB的对称点O′，作OC∥MN且OC=MN=2，连接O′C交AB于点D，连接ON，MO，则四边形MNOC为平行四边形，OM+ON=O′M+MC，结合三角形的三边关系可得OM+ON>O′C，当O′、M、C三点共线，OM+ON取得最小值，设OB=x，则AB=2x，根据勾股定理求出x，得到BO、AB，然后根据△AOB的面积公式求出OF，进而得到O′O，在Rt△O′OC中，由勾股定理求出O′C，据此解答.
7．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：①将长方形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和：180°+180°=360°；
②将长方形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；
③将长方形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：180°+540°=720°，
④将长方形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，其内角和为：180°+540°=720°，
故答案为：D.
【分析】分四种情况：①将长方形沿对角线剪开，得到两个三角形；②将长方形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形；③将长方形沿一组对边剪开，得到两个四边形；④将长方形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，据此分别求解再判断即可.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①符合题意；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=AB=，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，Rt△EOC中，OC==，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD==，
∴BD=2OD=，
故②符合题意；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S ABCD=AB AC，
故③符合题意；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB，
∵AB=BC，
∴OE=BC=AD，
故④符合题意；
正确的有：①②③④，
故答案为：D．
【分析】利用平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线求解即可。
9．【答案】五或六或七
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设内角和为 的多边形的边数是 ，
，
解得： ，
包装盒的底面是六边形，
如图1所示，截线不过顶点和对角线，则原来的多边形是五边形；
如图2所示，截线过一个顶点，则来的多边形是六边形；
如图3所示，截线过一条对角线，则来的多边形是七边形．
故答案为：五或六或七．
【分析】根据多边形的内角和定理求出多边形的边的数量，继而判断得到答案即可。
10．【答案】540
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图2，连接BE，
由对顶三角形可得，∠C+∠D=∠CBE+∠DEB．∵五边形ABEFG中，∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G=540°，即∠A+∠ABC+∠CBE+∠BED+∠DEF+∠F+∠G=540°，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=540°．故答案为540．
【分析】解决本题的关键是做辅助线构造“对顶三角形”以及五边形，并得出∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，解题时要注意，五边形的内角和为540°
11．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD= 120°
∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2
∴AM=DM=DC=2
∴△CDM是等边三角形
∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC
∴∠MAC=∠MCA=30°
∴∠ACD=90°
∴AC=2
在Rt△ACN中，AC=2 ，∠ACN=∠DAC=30°
∴AN= AC=
∵AE=EH，GF=FH
∴EF= AG
∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长
∵AG的最大值为2 ，最小值为
∴EF的最大值为 ，最小值为
∴EF的最大值与最小值的差为 - = ．
故答案为 ．
【分析】取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再证明∠ACD=90°，求出AC=2 、AN= ；然后由三角形中位线定理，可得EF= AG，最后求出AG的最大值和最小值即可．
12．【答案】+4
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：由题意可得AC=A'C'=CP=4且AC//A'C'//CP，因为PA'C'的周长=PA'+A'C'+C'P=4+PA'+C'P，当PA'+C'P最小时，PA'C'的周长最小。
连结A'C，
因为A'C'=CP且A'C'//CP，所以四边形A'CPC'是平行四边形。所以A'C=C'P，即A'C+A'P取最小值。
过B点作C关于AB'的对称点E，连结A'E，即A'E=A'C，当E、A'、P在同一直线上时，A'C+A'P最短，A'C+A'P=EP===4.
所以
故答案为： △4+4 .
【分析】利用平行四边形的条件把C'P转换到A'C，再利用作对称点求出最小值。
13．【答案】（1）=
（2）解：如图所示，
（3）解：如图所示，
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：（1）∵ 点O为 ABCD的对称中心，且直线m经过点O，
∴ 则；
故答案为：=；
【分析】（1） 过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分，即可求得；
（2）先找到正方形的中心，然后过中心作直线即可；
（3）先分成两个矩形，分别找到中心，过两个中心作直线即可；找到图形的对称轴.
14．【答案】（1）解：∵AB＝AC，∠ABC＝α=46°，
∴∠ABC＝∠ACB＝α=46°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+2∠ABC＝180°，
∵∠DAE+∠BAC＝180°
∴∠DAE＝2∠ABC＝92°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED44°
（2）证明：①∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF，
∴∠ABC＝∠EDC＝α，
∵∠DAE+∠BAC＝180°，2∠ABC+∠BAC＝180°，2∠ADE+∠DAE＝180°，
∴∠ABC+∠ADE＝90°，
∴∠EDC+∠ADE＝90°，
∴AD⊥BC，且AB＝AC，
∴BD＝CD；
②∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF，AE＝BF，
∴∠EAC＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∴∠EAC＝α，
∵∠DAE＝2∠ABC＝2α，
∴∠DAC＝∠ACB＝α，
∴AD＝CD，且AD＝AE，
∴BF＝AE＝AD＝CD，
∴BD＝CF．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得∠ABC＝∠ACB＝α，根据三角形的内角和定理得∠BAC+2∠ABC＝180°，结合已知可得∠DAE＝2∠ABC＝92°，由等腰三角形的性质可求∠ADE的度数；
（2）①由平行四边形的性质可得AB∥EF，可得∠ABC＝∠EDC＝α，由三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求∠EDC+∠ADE＝90°，即AD⊥BC，再根据等腰三角形的三线合一可得BD＝CD；
②由平行四边形的性质可得AE∥BF，AE＝BF，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得BF＝AE＝AD＝CD，可证BD＝CF．
15．【答案】（1）解：结论1：四边形EFGH是平行四边形；
证明：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H是各边中点，
∴EF为 ABD的中位线，
∴EF∥BD，EF=，
同理可得GH∥BD，GH=，
∴GH∥EF，GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形；
结论2：四边形EJGI是平行四边形；
证明：∵E、J、G、I分别为DA，DB，BC，AC中点，
∴EJ为 ABD的中位线，
∴EJ∥AB，EJ=，
同理可得IG∥AB，IG=，
∴EJ∥IG，EJ=IG，
∴四边形EJGI是平行四边形；
结论3：S四边形EFGH=S四边形ABCD；
证明：由结论1证明可得，EF=，GH=，
∴ AEF的高为 ADB高的一半， CHG的高为 BCD高的一半，
∴，，
同理：，，
∴=；
（2）解：①连接AC，取AC的中点E，连接FE，HE，
∵点E、F为AC，AB的中点，
∴EF=，
同理：EH=，
∴EH-EF即1故答案为：1②如图所示，连接EFGH，由结论1可得四边形EFGH为平行四边形，
如图所示，过点E作EM∥FH交GH延长线于点M，过点G作GN⊥EM，
∵EF∥GM，EM∥FH，
∴四边形FHME为平行四边形，
∴FH=EM=6，∠EOF=∠GEM=60°，FE=HM，
∴∠EGN=30°，
∴EN=，
∴，
∴，
由图可得，
由结论3可得：.
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）结论1：四边形EFGH是平行四边形；由题意可得EF为 ABD的中位线，则EF∥BD，EF=BD，同理可得GH∥BD，GH=BD，推出GH∥EF，GH=EF，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
结论2：四边形EJGI是平行四边形，同理证明即可；
结论3：S四边形EFGH=S四边形ABCD；由结论1证明可得，EF=BD，GH=BD，则S△AEF=S△ADB，S△CHG=S△CDB，同理可得S△DEH=S△DAC，S△BFG=S△BCA，据此证明；
（2）①连接AC，取AC的中点E，连接FE，HE，由中位线的性质可得EF=BC=2，EH=AD=3，然后根据三角形的三边关系进行解答；
②连接EFGH，由结论1可得四边形EFGH为平行四边形，过点E作EM∥FH交GH延长线于点M，过点G作GN⊥EM，则四边形FHME为平行四边形，FH=EM=6，∠EOF=∠GEM=60°，FE=HM，∠EGN=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得EN，利用勾股定理可得GN，根据三角形的面积公式可得S△EGM，由图可得S四边形EFGH=4S△EGM，据此求解.
1 / 1
