第一章三角形初步认识单元测试（含解析）

浙教版全等三角形第一章测试
一．选择题（共10小题，满分32分）
1．（3分）在长为3cm，4cm，5cm，6cm的四条线段中任取3条能作为一个三角形的三条边的概率是（　　）
A． B． C． D．1
2．（3分）如图，△ABC绕点C按顺时针方向旋转57°后得到△DEC，如果DC⊥BC，那么∠A+∠B等于（　　）
A．147° B．90° C．157° D．57°
3．（3分） “两条直线相交成直角，就叫做两条直线互相垂直．”这个语句是（　　）
A．定义 B．命题 C．公理 D．定理
4．（3分）（2008春 招远市期中）下列说法正确的是（　　）
A．所有的命题都有逆命题B．所有的定理都有逆定理
C．若原命题是真命题，则其逆命题也是真命题D．命题都可以看作是定理
5．（3分）（2015 薛城区校级模拟） ( http: / / www.21cnjy.com )某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“902班得冠军，904班得第三”；
乙说：“901班得第四，903班得亚军”；丙说：“903班得第三，904班得冠军”．
赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是（　　）
A．901班 B．902班 C．903班 D．904班
6．（3分）（2015春 泰山区期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）（2015秋 大丰市校级月考）下列说法中，不正确的是（　　）
①全等形的面积相等；②形状相同的两个三角形是全等三角形；
③全等三角形的对应边，对应角相等；
④若两个三角形全等，则其中一个三角形一定是由另一个三角形旋转得到的．
A．①与② B．③与④ C．①与③ D．②与④
8．（3分）（2015 宁波）如图， AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠2
9．（4分）（2015 齐齐哈尔改编）如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM=DN；②S△CDN=S四边形ABDN；③DE=DF；④DE⊥DF．其中错误的结论的个数是（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
10．（4分）（2015 ( http: / / www.21cnjy.com )杭州模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；②四边形C ( http: / / www.21cnjy.com )DFE不可能为正方形；③△CDE与△DAF不可能全等；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．③④⑤ D．①④⑤
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．（3分）（2015 庆阳改编）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．
其中假命题的是　　　　　　．（填写所有真命题的序号）
12．（4分）（2015 临沂）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则=　　　　　　．
13．（4分）（2015春 苏州期末）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠D=25°，∠E=105°，
∠DAC=16°，则∠DGB=　　　　　　．
14．（4分）（2015 鄂尔多斯）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=　　　　　　cm．
15．（4分）（2015 齐齐哈尔 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟）如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：　　　　　　．
16．（5分）（2013 泉州模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，AD交BC边于点M，BD=AC，∠BAC=∠ABD=120°，则
（1）∠C=　　　　　　°；
（2）BM：MC的值是　　　　　　．
( http: / / www.21cnjy.com )第十六题图
三．解答题（共8小题，满分64分）
17．（6分）（2015 济宁）如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角．
实验与操作：
根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）
（1）作∠DAC的平分线AM；
（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE，CF．
猜想并证明：
判断四边形AECF的形状并加以证明．
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18．（8分）（2015春 邢台期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
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（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是　　　　　　；
②当∠BAD=∠ABD时，x=　　　　　　；当∠BAD=∠BDA时，x=　　　　　　．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
　
19．（8分）（2015春 罗平县期末）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，现有以下3句话：①AB∥CD，②∠B=∠C．③∠E=∠F．请以其中2句话为条件，第三句话为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？请加以证明．
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20．（6分）（2015 重庆校级三模）如图已知，AB∥DC，AB=DC，AE=CF．求证：△ABF≌△CDE．
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21．（8分）（2015 ( http: / / www.21cnjy.com )徐州一模）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
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22．（8分）（2015 ( http: / / www.21cnjy.com ) 黄冈模拟）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
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23．（8分）（2015 番禺区一模） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别过点C、B作射线AD的垂线段，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．
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24．（12分）（2015 枣庄校级模 ( http: / / www.21cnjy.com )拟）如图，在等腰三角形ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，点D、E是直线BC上两点且CD=BE，过点C作CM⊥AE交AE于点M，交AB于点F，连接DF并延长交AE于点N．
（1）若AC=2，CD=1，求CM的值；
（2）求证：∠D=∠E．
　
　
浙教版全等三角形第一章测试
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共10小题，满分32分）
1．（3分）（2009 南通模拟）在长为3cm，4cm，5cm，6cm的四条线段中任取3条能作为一个三角形的三条边的概率是（　　）
A． B． C． D．1
考点： 三角形三边关系；随机事件；概率的意义．
专题： 压轴题．
分析： 由四条线段中任意取3条，是一个列举 ( http: / / www.21cnjy.com )法求概率问题，是无放回的问题，共有4×3×2=24种可能结果，每种结果出现的机会相同，每种情况都满足两边之和大于第三边，都可以作为三角形的边，因而任取3条能作为一个三角形的三条边是一个必然事件，概率是1．
解答： 解：任取3条能作为一个三角形的三条边是一个必然事件，概率是1．故选D．
点评： 必然事件的概率是1；构成三角形的基本要求为两小边之和大于最大边．
　
2．（3分）（2009 金台区校级模拟） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，△ABC绕点C按顺时针方向旋转57°后得到△DEC，如果DC⊥BC，那么∠A+∠B等于（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．147° B．90° C．157° D．57°
考点： 三角形内角和定理．
专题： 压轴题．
分析： 由旋转的性质可得∠BCA=∠ECD， ( http: / / www.21cnjy.com )∠BCE=57°，再根据垂直定义知∠BCD=90°，然后求出∠BAC度数，根据三角形的内角和定理即可求出∠A+∠B的值．
解答： 解：∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转57°后得到△DEC，∴∠BCA=∠ECD，∠BCE=57°又∵DC⊥BC，∴∠ECD=90°﹣∠BCE=90°﹣57°=33°，∴∠BCA=∠ECD=33°，∴∠A+∠B=180°﹣∠BCA=180°﹣33°=147°故选：A．
点评： 本题考查图形的旋转变化及三角形的内角和定理．关键是要理解旋转是一种位置变换，旋转前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
　
3．（3分）（2008秋 招远市期末）“两条直线相交成直角，就叫做两条直线互相垂直．”这个语句是（　　）
A．定义 B．命题 C．公理 D．定理
考点： 命题与定理．
专题： 常规题型．
分析： 根据命题、定义、定理、公理的概念进行判断即可．
解答： 解：两条直线相交成直角，就叫做两条直线互相垂直，这是垂直的定义．故选A．
点评： 本题考查了命题和定理，是基础知识比较简单．
　
4．（3分）（2008春 招远市期中）下列说法正确的是（　　）
A．所有的命题都有逆命题
B．所有的定理都有逆定理
C．若原命题是真命题，则其逆命题也是真命题
D．命题都可以看作是定理
考点： 命题与定理．
分析： 本题需先根据逆命题与逆定理的有关定义对每一个命题进行判断，找出说法正确的即可．
解答： 解：A、∵所有的命题都有逆命题，故本选项正确；B、∵不是所有的定理都有逆定理，故本选项错误；C、∵若原命题是真命题，则其逆命题不一定是真命题，故本选项错误；D、∵命题不一定是定理，故本选项错误．故选A．
点评： 本题主要考查了命题与定理的有关知识，在解题时要能对每一项的逆命题进行正确判断是本题的关键．
　
5．（3分）（2015 薛城区校级模拟）某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：
甲说：“902班得冠军，904班得第三”；
乙说：“901班得第四，903班得亚军”；
丙说：“903班得第三，904班得冠军”．
赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是（　　）
A．901班 B．902班 C．903班 D．904班
考点： 推理与论证．
分析： 因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的．
解答： 解：假设甲说的“902班得冠军”是正确的，那么丙说的“904班得冠军”是错误的，“903班得第三”就是正确的，那么乙说的“903班得亚军”是错误的，“901班得第四”是正确的，这样三人都猜对了一半，且没矛盾．故猜测是正确的．故选B．
点评： 本题考查推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾．
　
6．（3分）（2015春 泰山区期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点： 全等三角形的性质．
分析： 根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．
解答： 解：∵△ABC≌△AEF，∴AC=AF，故①正确；∠EAF=∠BAC，∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故②错误；EF=BC，故③正确；∠EAB=∠FAC，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④共3个．故选C．
点评： 本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．
　
7．（3分）（2015秋 大丰市校级月考）下列说法中，不正确的是（　　）
①全等形的面积相等；
②形状相同的两个三角形是全等三角形；
③全等三角形的对应边，对应角相等；
④若两个三角形全等，则其中一个三角形一定是由另一个三角形旋转得到的．
A．①与② B．③与④ C．①与③ D．②与④
考点： 全等图形．
分析： 根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．
解答： 解：能够完全重合的两个图形叫做全等形．①全等形可以完全重合，则其面积一定相等，故①正确；②形状相同、大小相等的两个三角形是全等三角形，故②错误；③全等三角形的对应边，对应角相等，故③正确；④全等三角形仅仅是反映了两个三角形的形状和大小关系，而旋转既需要两个三角形全等，还需要两个三角形有一种特殊的位置关系，故④错误；综上所述，不正确的是②④．故选：D．
点评： 本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．
　
8．（3分）（2015 宁波） ( http: / / www.21cnjy.com )如图， ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠2
考点： 全等三角形的判定；平行四边形的性质．
分析： 利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别得出三角形全等，再进行选择即可．
解答： 解：A、当BE=FD，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；C、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；B、当BF=ED，∴BE=DF，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；D、当∠1=∠2，∵平行四边形ABCD中，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；故选C．
点评： 本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
　
9．（4分）（2015 齐齐哈尔改编）如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM=DN；②S△CDN=S四边形ABDN；③DE=DF；④DE⊥DF．其中错误的结论的个数是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．
专题： 压轴题．
分析： ①首先根据D是BC中点，N是AC中点N，可得DN是△ABC的中位线，判断出DN=；然后判断出EM=，即可判断出EM=DN；②首先根据DN∥AB，可得△CDN∽ABC；然后根据DN=，可得S△CDN=S△ABC，所以S△CDN=S四边形ABDN，据此判断即可．③首先连接MD、FN，判断出DM=FN，∠EMD=∠DNF，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EMD≌△DNF，即可判断出DE=DF．④首先判断出，DM=FA，∠EMD=∠EAF，根据相似计三角形判定的方法，判断出△EMD∽△∠EAF，即可判断出∠MED=∠AEF，然后根据∠MED+∠AED=45°，判断出∠DEF=45°，再根据DE=DF，判断出∠DFE=45°，∠EDF=90°，即可判断出DE⊥DF．
解答： 解：∵D是BC中点，N是AC中点，∴DN是△ABC的中位线，∴DN∥AB，且DN=；∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB交AB于点M，∴M是AB的中点，∴EM=，又∵DN=，∴EM=DN，∴结论①正确；∵DN∥AB，∴△CDN∽ABC，∵DN=，∴S△CDN=S△ABC，∴S△CDN=S四边形ABDN，∴结论②正确；如图1，连接MD、FN， ( http: / / www.21cnjy.com )，∵D是BC中点，M是AB中点，∴DM是△ABC的中位线，∴DM∥AC，且DM=；∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，∴FN=，又∵DM=，∴DM=FN，∵DM∥AC，DN∥AB，∴四边形AMDN是平行四边形，∴∠AMD=∠AND，又∵∠EMA=∠FNA=90°，∴∠EMD=∠DNF，在△EMD和△DNF中，，∴△EMD≌△DNF，∴DE=DF，∴结论③正确；如图2，连接MD，EF，NF， ( http: / / www.21cnjy.com )，∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，∴M是AB的中点，EM⊥AB，∴EM=MA，∠EMA=90°，∠AEM=∠EAM=45°，∴，∵D是BC中点，M是AB中点，∴DM是△ABC的中位线，∴DM∥AC，且DM=；∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，∴FN=，∠FNA=90°，∠FAN=∠AFN=45°，又∵DM=，∴DM=FN=FA，∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD，∠EAF=360°﹣∠EAM﹣∠FAN﹣∠BAC=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣∠AMD）=90°+∠AMD∴∠EMD=∠EAF，在△EMD和△∠EAF中，∴△EMD∽△∠EAF，∴∠MED=∠AEF，∵∠MED+∠AED=45°，∴∠AED+∠AEF=45°，即∠DEF=45°，又∵DE=DF，∴∠DFE=45°，∴∠EDF=180°﹣45°﹣45°=90°，∴DE⊥DF，∴结论④正确．∴正确的结论有4个：①②③④．故选：D．
点评： （1）此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．（2）此题还考查了等腰直角三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径．（3）此题还考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
　
10．（4分）（2015 杭州模拟）如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形； ( http: / / www.21cnjy.com )②四边形CDFE不可能为正方形；③△CDE与△DAF不可能全等；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．①②③ B．①③④ C．③④⑤ D．①④⑤
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
专题： 计算题．
分析： 作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证 ( http: / / www.21cnjy.com )△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形；由割补法可知四边形CDFE的面积保持不变；△DEF是等腰直角三角形DE=DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值4，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积．
解答： 解：连接CF；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形．当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC．由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4．∴DE=DF=4；当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小．此时S△CEF=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8．则结论正确的是①④⑤．故选D ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
　
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．（3分）（2015 庆阳改编）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．
其中假命题的是　③　．（填写所有真命题的序号）
考点： 命题与定理；平行线的判定与性质．
专题： 推理填空题．
分析： 分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解答： 解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，故①正确； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命题，故②正确；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，故③错误；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命题，故④正确．故答案为：①②④．
点评： 本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，难度适中．
　
12．（4分）（2015 临沂）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则=　2　．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 三角形的重心；相似三角形的判定与性质．
分析： 根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍列式进行计算即可求解．
解答： 证明：∵△ABC的中线BD、CE相交于点O，∴点O是△ABC的重心，∴=2．故答案为：2．
点评： 本题主要考查了三角形的重心的性质，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
　
13．（4分）（2015春 苏州期末）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠D=25°，∠E=105°，
∠DAC=16°，则∠DGB=　66°　．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 全等三角形的性质．
分析： 根据全等三角形对应角相等可得∠ACB=∠E，再求出∠ACF，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解答： 解：∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB=∠E=105°，∴∠ACF=180°﹣105°=75°，在△ACF和△DGF中，∠D+∠DGB=∠DAC+∠ACF，即25°+∠DGB=16°+75°，解得∠DGB=66°．故答案为：66°．
点评： 本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
　
14．（4分）（2015 鄂尔多斯）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=　4　cm．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
分析： 如图，作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4．
解答： 解：如图，作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22.5°，∵BG⊥MG，∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠GBH=∠CBM﹣∠ABC=22.5°．∵MD∥AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM为等腰直角三角形∴BD=DM，而∠GBH=22.5°，∴GM平分∠BMD，而BG⊥MG，∴BG=EG，即BG=BE，∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，∴∠MHD=∠E，∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HDM=90°﹣∠E，∴∠GBD=∠HDM，∴在△BED和△MHD中，，∴△BED≌△MHD（AAS），∴BE=MH，∴BG=MH=4．故答案是：4． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．
　
15．（4分）（2015 齐齐哈尔模拟） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：　AE=AF或∠EDA=∠FDA　．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 全等三角形的判定．
专题： 开放型．
分析： 要证两三角形全等的判定，已经有∠EAD=∠FAD，AD=AD，所以再添加一对边或一对角相等即可得证．
解答： 解：①添加条件：AE=AF，证明：在△AED与△AFD中，∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD，∴△AED≌△AFD（SAS），②添加条件：∠EDA=∠FDA，证明：在△AED与△AFD中，∵∠EAD=∠FAD，AD=AD，∠EDA=∠FDA，∴△AED≌△AFD（ASA）．故答案为：AE=AF或∠EDA=∠FDA．
点评： 本题是开放性题目，主要考查三角形全等的判定方法，只要符合题意即可．全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
　
16．（5分）（2013 泉州模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，AD交BC边于点M，BD=AC，∠BAC=∠ABD=120°，则
（1）∠C=　30°　°；
（2）BM：MC的值是　1：3　．
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考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．
专题： 压轴题．
分析： （1）根据题意可判断AB=AC，由等腰三角形的底角相等，可得出∠C的度数；（2）过A点作AN⊥BC于点N，则CN=BN，由含30°角的直角三角形的性质可得AN=，证明△ANM≌△DBM，从而可得BM=NM=，也可得出BM“MC的值．
解答： 解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，又∵∠BAC=120°，∴∠C=∠ABC=30°．（2）过A点作AN⊥BC于点N，则CN=BN， ( http: / / www.21cnjy.com )由（1）得∠C=30°，∴AN=，∵BD=AC，∴AN=BD，又∵∠DBM=∠ABD﹣∠ABC=90°，∴∠ANM=∠DBM，在△ANM和△DBM中，，∴△ANM≌△DBM，∴BM=NM=，∴BM：MC=1：3．故答案为：30°，1：3．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
　
三．解答题（共8小题，满分64分）
17．（6分）（2015 济宁）如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角．
实验与操作：
根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）
（1）作∠DAC的平分线AM；
（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE，CF．
猜想并证明：
判断四边形AECF的形状并加以证明．
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考点： 作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
专题： 作图题．
分析： 先作以个角的交平分线，再作线段的垂直平分线得 ( http: / / www.21cnjy.com )到几何图形，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，由AM平分∠DAC得∠DAM=∠CAM，则利用三角形外角性质可得∠CAM=∠ACB，再根据线段垂直平分线的性质得OA=OC，∠AOF=∠COE，于是可证明△AOF≌△COE，所以OF=OE，然后根据菱形的判定方法易得四边形AECF的形状为菱形．
解答： 解：如图所示，四边形AECF的形状为菱形．理由如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵AM平分∠DAC，∴∠DAM=∠CAM，而∠DAC=∠ABC+∠ACB，∴∠CAM=∠ACB，∴EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOF=∠COE，在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE，∴OF=OE，即AC和EF互相垂直平分，∴四边形AECF的形状为菱形． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种 ( http: / / www.21cnjy.com )基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂直平分线的性质和菱形的判定方法．
　
18．（8分）（2015春 邢台期末） ( http: / / www.21cnjy.com )已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
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（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是　20°　；
②当∠BAD=∠ABD时，x=　120°　；当∠BAD=∠BDA时，x=　60°　．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
考点： 三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质；三角形内角和定理．
专题： 计算题．
分析： 利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．
解答： 解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°∵AB∥ON∴∠ABO=20°②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°故答案为：①20 ②120，60（2）①当点D在线段OB上时，若∠BAD=∠ABD，则x=20 若∠BAD=∠BDA，则x=35 若∠ADB=∠ABD，则x=50②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125． 综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x=20、35、50、125．
点评： 本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．
　
19．（8分）（2015春 罗平县期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，现有以下3句话：①AB∥CD，②∠B=∠C．③∠E=∠F．请以其中2句话为条件，第三句话为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？请加以证明．
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考点： 命题与定理；平行线的判定与性质．
专题： 常规题型．
分析： （1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题；（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假．
解答： 解：（1）由①②得到③；由①③得到②；由②③得到①；（2）∵AB∥CD，∴∠B=∠CDF，∵∠B=∠C，∴∠C=∠CDF，∴CE∥BF，∴∠E=∠F，所以由①②得到③为真命题；∵AB∥CD，∴∠B=∠CDF，∵∠E=∠F，∴CE∥BF，∴∠C=∠CDF，∴∠B=∠C，所以由①③得到②为真命题；∵∠E=∠F，∴CE∥BF，∴∠C=∠CDF，∵∠B=∠C，∴∠B=∠CDF，∴AB∥CD，所以由②③得到①为真命题．
点评： 本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
　
20．（6分）（2015 重庆校级三模）如图已知，AB∥DC，AB=DC，AE=CF．求证：△ABF≌△CDE．
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考点： 全等三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： 根据AB∥DC，可得∠C=∠A，然后由AE=CF，得AE+EF=CF+EF，最后利用SAS判定△ABF≌△CDE．
解答： 解：∵AB∥DC，∴∠C=∠A，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS）．
点评： 本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
　
21．（8分）（2015 徐州一模 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 全等三角形的判定与性质；三角形的外角性质．
专题： 证明题．
分析： ①利用SAS即可得证；②由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数．
解答： ①证明：在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS）；②解：∵△ABE≌△CBD，∴∠AEB=∠BDC，∵∠AEB为△AEC的外角，∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30°+45°=75°，则∠BDC=75°．
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
　
22．（8分）（2015 黄冈模拟） ( http: / / www.21cnjy.com )已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题；探究型．
分析： 要证（1）△BAD≌△CAE，现有AB ( http: / / www.21cnjy.com )=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得．（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE=90°，需证∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供．
解答： （1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD即∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠ADB=∠E．∵∠DAE=90°，∴∠E+∠ADE=90°．∴∠ADB+∠ADE=90°．即∠BDE=90°．∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．
　
23．（8分）（2015 番 ( http: / / www.21cnjy.com )禺区一模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别过点C、B作射线AD的垂线段，垂足分别为E、F．求证：BF=CE．
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考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 求出∠DEC=∠DFB=90°，DB=DC，根据AAS证△BFD≌△CED，根据全等三角形的性质推出即可．
解答： 证明：∵CE⊥AF，FB⊥AF，∴∠DEC=∠DFB=90°，又∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD，在△BFD和△CED中∴△BFD≌△CED（AAS），∴BF=CE．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
　
24．（12分）（2015 ( http: / / www.21cnjy.com ) 枣庄校级模拟）如图，在等腰三角形ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，点D、E是直线BC上两点且CD=BE，过点C作CM⊥AE交AE于点M，交AB于点F，连接DF并延长交AE于点N．
（1）若AC=2，CD=1，求CM的值；
（2）求证：∠D=∠E．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
分析： （1）根据题意可求AC，CE，根据勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com )可得AB的长，再根据三角形的面积公式即可得到CM的值；（2）过点B作BH⊥CB交CM的延长线于点H．通过ASA证明△ACE≌△CBH，得到∠E=∠H，通过SAS证明△DBF≌△HBF，得到∠D=∠H，依此即可求解．
解答： 解：（1）∵CD=BE，CD=1，∴BE=1，又∵AC=CB=2，∴，在Rt△AEC中，AE==，∴；（2）过点B作BH⊥CB交CM的延长线于点H．∴∠HBC=∠CMA=90°，∴∠CAM+∠ACM=90°，∴∠ACM+∠ECM=90°∴∠CAM=∠ECM，又∵BH⊥CB，∴∠CBH=90°，在△ACE和△CBH中，，∴△ACE≌△CBH（ASA），∴CE=BH，∠E=∠H，又∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠CBF=45°，又∵∠CBH=90°，∴∠FBH=45°，∴∠FBH=∠CBF，在△DBF和△HBF中，，∴△DBF≌△HBF（SAS），∴∠D=∠H=∠E． ( http: / / www.21cnjy.com )
点评： 考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，以及等腰直角三角形的性质，综合性较强，有一定的难度．