第4章 平行四边形 单元检测B卷(提升卷）（含解析）

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第4章 平行四边形 单元检测B卷(提升卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭于2023年10月26日成功发射升空，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A．航天神舟 B．中国行星探测C．中国火箭D．中国探月
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝2∠A，则∠D的度数为（　　）
A．140° B．120° C．110° D．100°
3．如图，已知点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，△ABC的周长为12，则△DEF的周长是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
4．如图，∠1、∠2、∠3，∠4是六边形ABCDEF的四个外角，延长FA．CB交于点H．若∠1+∠2+∠3+∠4＝224°，则∠AHB的度数为（　　）
A．24° B．34° C．44° D．54°
5．平行四边形的一边长为6，则两对角线长可能是（　　）
A．12和2 B．4和5 C．18和3 D．4和6
6．如图，在周长是10cm的 ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，点E在AD边上，且OE⊥BD，则△ABE的周长是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
7．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是6和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（　　）
A．32 B．28 C．16或14 D．32或28
8．已知四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD是平行四边形，给出下列四种说法：①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；③如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法是（　　）
A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④
9．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BD⊥AD，E为CD中点，若 ABCD的周长为32，△COD的周长比△BOC的周长多4，则BE的长为（　　）
A．3 B．5 C．4 D．
10．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB AC；③OB＝AB；④；⑤∠AEO＝60°．其中成立的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，△AOD的周长是　 　．
12．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”，应当先假设这个三角形中　 　．
13．如图，在 ABCD中，AE⊥BC、AF⊥CD，垂足分别为E、F，若∠B＝50°，则∠FAE的度数是 　 　．
14．如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，DE＝4．则CE的长是 　 　．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8cm，BC＝12cm，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F．若动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿BC向终点C运动；与此同时，动点Q以2cm/s的速度从点C出发，沿CB向终点B运动；当有其中一点到达终点时，另一点也将停止运动．当点P运动　 　秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
16．在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AE为边BC上的高，，CE＝2，则平行四边形ABCD的周长为 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，将 ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BF＝DE．求证：四边形AECF是平行四边形．
18．如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
19．如图， ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别与AD，BC相交于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AB＝4，BC＝7，OE＝3，试求四边形EFCD的周长．
20．如图，在 ABCD中，AD＝4，DC＝6，∠B＝120°，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F．求阴影部分的面积（结果保留根号的形式）．
21．如图1，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AD，BC的中点，点G，H在对角线BD上，且BG＝DH．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形．
（2）如图2，连AC交BD于点O，若AC＝6，HG＝2BH，求HF的长．
22．如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C，点E为AB延长线上一点，∠CBE的平分线交DE于点F．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若DE平分∠ADC，试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
（3）如图②，连接BD，若∠1＝∠2，∠BDF：∠BFD＝1：2，求∠BDF的度数．
23．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
（2）佳佳求的是几边形的内角和？
（3）错当成内角和那个外角为多少度？
24．【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．
求证：BD＝AC．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭于2023年10月26日成功发射升空，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A．航天神舟 B．中国行星探测C．中国火箭D．中国探月
【点拨】根据中心对称图形的定义解答即可．
【解析】解：由题意可知，选项C的图形能绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、C的图形不是中心对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝2∠A，则∠D的度数为（　　）
A．140° B．120° C．110° D．100°
【点拨】根据平行四边形对角相等，邻角互补即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B，∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝2∠A，
∴∠B＝120°，
∴∠D＝120°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答此题的关键．
3．如图，已知点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，△ABC的周长为12，则△DEF的周长是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
【点拨】由三角形中位线定理推出EF＝AB，FD＝BC，DE＝AC，得到FE+FD+DE＝（AB+BC+AC）即可求出△DEF的周长＝×12＝6．
【解析】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE，EF，DF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB，FD＝BC，DE＝AC，
∴FE+FD+DE＝（AB+BC+AC）
∵△ABC的周长为12，
∴△DEF的周长＝×12＝6．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，关键是掌握掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
4．如图，∠1、∠2、∠3，∠4是六边形ABCDEF的四个外角，延长FA．CB交于点H．若∠1+∠2+∠3+∠4＝224°，则∠AHB的度数为（　　）
A．24° B．34° C．44° D．54°
【点拨】先利用多边形的外角和求出∠HAB+∠ABH的度数，再利用三角形的内角和定理得结论．
【解析】解：∵多边形的外角和恒为360°，
即∠1+∠2+∠3+∠4+∠HAB+∠ABH＝360°，
∴∠HAB+∠ABH＝136°．
∵∠AHB+∠HAB+∠ABH＝360°，
∴∠AHB＝44°．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，掌握“三角形的内角和是180°”、“多边形的外角和是360°”等知识点是解决本题的关键．
5．平行四边形的一边长为6，则两对角线长可能是（　　）
A．12和2 B．4和5 C．18和3 D．4和6
【点拨】由平行四边形的性质对角线互相平分与三角形的三边关系，即可求得答案．
【解析】解：如图，BC＝6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝BD，OC＝AC；
A、若AC＝2，BD＝12，
则OC＝1，OB＝6，
∵1，6，6能组成三角形，
故本选项正确；
B、若AC＝4，BD＝5，
则OC＝2，OB＝2.5，
∵2+2.5＜6，不能组成三角形，
故本选项错误；
C、若AC＝3，BD＝18，
则OC＝1.5，OB＝9，
∵1.5+6＜9，不能组成三角形，
故本选项错误．
D、若AC＝4，BD＝6，
则OC＝2，OB＝3，
∵2+3＜6，不能组成三角形，
故本选项错误；
故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
6．如图，在周长是10cm的 ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，点E在AD边上，且OE⊥BD，则△ABE的周长是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【点拨】根据平行四边形的性质求出AB+AD＝5cm，根据线段的垂直平分线求出DE＝BE，求出△ABE的周长等于AB+AD，代入求出即可．
【解析】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD＝BC，AB＝CD，OB＝OD，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
∵平行四边形ABCD的周长是10cm，
∴2AB+2AD＝10cm，
∴AB+AD＝5cm，
∴△ABE的周长是AB+AE+BE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝5cm，
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质和平行四边形的性质的应用，关键是求出AD+AB的长和求出△ABE的周长＝AB+AD，题目具有一定的代表性，难度也不大，是一道比较好的题目．
7．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是6和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（　　）
A．32 B．28 C．16或14 D．32或28
【点拨】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC＝6+4＝10，AD∥BC，再证AB＝BE，然后分两种情况，由AB、AD的长可求出平行四边形的周长．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝6+4＝10，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，BC＝BE+EC，
①当BE＝6，EC＝4时，AB＝6，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）＝2（6+10）＝32．
②当BE＝4，EC＝6时，AB＝4，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）＝2（4+10）＝28．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明AB＝BE是解答本题的关键．
8．已知四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD是平行四边形，给出下列四种说法：①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；③如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法是（　　）
A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④
【点拨】根据已知，结合题意，画出图形，再根据平行四边形的判定，逐一判断即可．
【解析】解：①也可能是等腰梯形．
②∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝180°
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．故正确．
③∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，
∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故正确．
④也可能是等腰梯形．
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定，属于中考常考题型．
9．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BD⊥AD，E为CD中点，若 ABCD的周长为32，△COD的周长比△BOC的周长多4，则BE的长为（　　）
A．3 B．5 C．4 D．
【点拨】由题意知，DO＝BO，∠CBD＝∠ADB＝90°，由E为CD中点，可得，由 ABCD的周长为32，可得2（BC+CD）＝32，即BC+CD＝16①，由△COD的周长比△BOC的周长多4，可得CD+DO+CO﹣（CO+BO+BC）＝4，即CD﹣BC＝4②，①+②得，2CD＝20，求解CD的值，进而可得BE的值．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD⊥AD，
∴DO＝BO，∠CBD＝∠ADB＝90°，
∵E为CD中点，
∴，
∵ ABCD的周长为32，
∴2（BC+CD）＝32，即BC+CD＝16①，
∵△COD的周长比△BOC的周长多4，
∴CD+DO+CO﹣（CO+BO+BC）＝4，即CD﹣BC＝4②，
①+②得，2CD＝20，解得CD＝10，
∴BE＝5，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．解题的关键在于确定线段之间的数量关系．
10．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB AC；③OB＝AB；④；⑤∠AEO＝60°．其中成立的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】由平行四边形ABCD中，∠ADC＝60°，易得△ABE是等边三角形，又由AB＝BC，证得①∠CAD＝30°；继而证得AC⊥AB，得②S平行四边形ABCD＝AB AC；根据AB＝BC，OB＝BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；可得OE是三角形的中位线，证得④OE＝BC；由等边三角形的性质得到∠AEC＝120°，根据等腰三角形的性质可得∠AEO＝∠AEC＝60°．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝EB，
∵∠ABE＝∠ADC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，
∵AB＝BC，
∴BE＝BC，
∴BE＝CE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝2∠ECA＝60°，
∴∠ECA＝30°，
∴∠CAD＝∠ECA＝30°，
故①正确；
∵∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°，
∴∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝90°，
∴AC⊥AB，
∴S ABCD＝AB AC，
故②正确；
AB⊥OA，
∴OB＞AB，
∴OB≠AB，
故③错误；
∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD//BC，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE，
∴BE＝CE，
∵OA＝OC，
∴OE＝AB＝BC，
故④正确；
∵△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠AEC＝120°，
∵CE＝AE，OA＝OC，
∴∠AEO＝∠CEO＝∠AEC＝60°，
故⑤正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，△AOD的周长是　21　．
【点拨】根据平行四边形的性质可得AD＝BC＝10，AO＝CO＝AC＝4，BO＝DO＝BD＝7，即可求△AOD的周长．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC＝10，AO＝CO＝AC＝4，BO＝DO＝BD＝7
∴△AOD的周长＝AD+AO+DO＝21
故答案为21
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质解决问题是本题的关键．
12．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”，应当先假设这个三角形中　三角形中每一个内角都小于60°　．
【点拨】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案．
【解析】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都小于60°．
故答案为：三角形中每一个内角都小于60°．
【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
13．如图，在 ABCD中，AE⊥BC、AF⊥CD，垂足分别为E、F，若∠B＝50°，则∠FAE的度数是 　50°　．
【点拨】先根据平行四边形的性质求出∠C＝130°，再由垂直的定义得到∠AEC＝∠AFC＝90°，由此即可利用四边形内角和定理求出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣∠B＝130°，
∵AE⊥BC、AF⊥CD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴∠FAE＝360°﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠C＝50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，四边形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
14．如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，DE＝4．则CE的长是 　4　．
【点拨】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD＝BC＝EB＝5，根据勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°，再根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝8，∠EDC＝90°，根据勾股定理可求CE的长．
【解析】解：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝5，
∵EA＝3，ED＝4，
在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，
在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8cm，BC＝12cm，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F．若动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿BC向终点C运动；与此同时，动点Q以2cm/s的速度从点C出发，沿CB向终点B运动；当有其中一点到达终点时，另一点也将停止运动．当点P运动　秒或　秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【点拨】由平行四边形的性质得AB＝CD＝8cm，AD＝BC＝12cm，AD∥BC，再证AB＝AE＝8cm，同理CD＝DF＝8cm，求出EF＝4cm，当PQ＝EF时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，设当点P运动时间为t秒，①当四边形PQEF是平行四边形时，12﹣t﹣2t＝4，解得t＝s；②当四边形QPEF是平行四边形时，2t+t﹣12＝4，解得t＝s，即可得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝8cm，AD＝BC＝12cm，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，∠BCF＝∠DFC，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝8cm，
∵CF是∠BCD的平分线，
∴∠BCF＝∠DCF，
∴∠DCF＝∠DFC，
∴CD＝DF＝8cm，
∴EF＝AE+DF﹣AD＝8+8﹣12＝4（cm），
∵AD∥BC，
∴EF∥PQ，
∴当PQ＝EF时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
设当点P运动t秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
①当四边形PQEF是平行四边形时，
12﹣t﹣2t＝4，
解得：t＝（s）；
②当四边形QPEF是平行四边形时，
2t+t﹣12＝4，
解得：t＝（s）；
综上所述，当点P运动秒或秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、分类讨论等知识，证明AB＝AE，CD＝DF是解题的关键．
16．在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AE为边BC上的高，，CE＝2，则平行四边形ABCD的周长为 　14或22　．
【点拨】分两种情况，由锐角的正弦求出AB长，由直角三角形的性质求出BE长，得到BC长，由平行四边形的性质即可得到答案．
【解析】解：当E在BC上时，如图，
∵∠AHB＝90°，∠B＝60°，
∴sinB＝，
∴AB＝＝＝6，
∵BE＝AB＝3，
∴BC＝BE+CE＝3+2＝5，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（6+5）＝22；
当E在BC延长线上时，如图，
由以上解答知：AB＝6，BE＝3，
∴BC＝BE﹣CE＝3﹣2＝1，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（6+1）＝14，
∴平行四边形ABCD的周长是14或22．
故答案为：14或22．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解直角三角形，关键是要分两种情况讨论．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，将 ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BF＝DE．求证：四边形AECF是平行四边形．
【点拨】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质可得∠CDB＝∠ABD，从而得到∠CDF＝∠ABE，由BF＝DE可得DF＝BE，通过证明△CDF≌△ABE（SAS），得到AE＝CF，∠CFD＝∠AEB，由平行线的判定可得AE∥CF，从而即可得证．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠CDB＝∠ABD，
∵∠CDB+∠CDF＝180°，∠ABD+∠ABE＝180°，
∴∠CDF＝∠ABE，
∵BF＝DE，
∴BF﹣BD＝DE﹣BD，
∴DF＝BE，
在△CDF和△ABE中，
，
∴△CDF≌△ABE（SAS），
∴AE＝CF，∠CFD＝∠AEB，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
18．如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【点拨】（1）平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【解析】解：（1）甲图：平行四边形，
（2）乙图：等腰梯形，
（3）丙图：正方形．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握几个常见的四边形是哪类图形是关键：①平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；②等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；③矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．
19．如图， ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别与AD，BC相交于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AB＝4，BC＝7，OE＝3，试求四边形EFCD的周长．
【点拨】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，OA＝OC，证出∠EAO＝∠FCO，根据ASA可证明△AOE≌△COF；
（2）由全等三角形的性质得出OF＝OE＝3，AE＝CF，求出CD＝4，然后求四边形的周长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）解：∵△AOE≌△COF，
∴OF＝OE＝3，AE＝CF．
又∵CD＝AB＝4，
∴ED+CF＝AD＝BC＝7，
∴四边形EFCD的周长为ED+CF+CD+EF＝7+4+3×2＝17．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．如图，在 ABCD中，AD＝4，DC＝6，∠B＝120°，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F．求阴影部分的面积（结果保留根号的形式）．
【点拨】根据平行四边形的性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD＝AB，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝120°，
∴∠A＝∠C＝60°，
∵AD＝4，DC＝6，
∴AE＝AD＝2，CF＝DC＝3，
∴DE＝2，DF＝3，
∴S△ADE＝AE DE＝，
S△DCF＝＝，
∵S平行四边形ABCD＝AB DE＝6×2＝12，
∴阴影部分的面积＝S平行四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△DCF
＝12﹣2﹣
＝．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，熟练掌握平行四边形的面积是解题的关键．
21．如图1，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AD，BC的中点，点G，H在对角线BD上，且BG＝DH．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形．
（2）如图2，连AC交BD于点O，若AC＝6，HG＝2BH，求HF的长．
【点拨】（1）证△DEH≌△BFG（SAS），得EH＝FG，∠EHD＝∠FGB，则∠EHG＝∠FGH，再证EH∥FG，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得OA＝OC＝3，OB＝OD，再证BH＝OH，然后证HF是△OBC的中位线，即可解决问题．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EDH＝∠FBG，
∵E、F分别为 ABCD的边AD、BC的中点，
∴DE＝BF，
在△DEH与△BFG中，
∴△DEH≌△BFG（SAS），
∴EH＝FG，∠EHD＝∠FGB，
∴∠EHG＝∠FGH，
∴EH∥FG，
∴四边形EHFG是平行四边形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD，
∵BG＝DH，
∴BG﹣GH＝DH﹣GH，
即BH＝DG，
∴OB﹣BH＝OD﹣DG，
即OH＝OG，
∵HG＝2BH，
∴BH＝OH，
∵F为BC的中点，
∴HF是△OBC的中位线，
∴HF＝OC＝．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22．如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C，点E为AB延长线上一点，∠CBE的平分线交DE于点F．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若DE平分∠ADC，试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
（3）如图②，连接BD，若∠1＝∠2，∠BDF：∠BFD＝1：2，求∠BDF的度数．
【点拨】（1）利用平行线的性质和判定方法进行解答即可；
（2）根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理进行解答即可；
（3）根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，列方程求解即可．
【解析】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
（2）BF⊥DE，理由：
∵BF平分∠CBE，DE平分∠ADC，
∴∠CBF＝∠EBF＝∠CBE，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A＝∠CBE，∠A+∠ADC＝180°，
∴∠E+∠EBF＝×180°＝90°，
∴∠BFE＝180°﹣90°＝90°，
∴BF⊥DE；
（3）∵AD∥BC，
∴∠2＝∠DBC，
∵CD∥AB，
∴∠1＝∠E，
∵BF平分∠CBE，
∴∠EBF＝∠CBF，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠E＝∠DBC＝∠CBF＝∠EBF，
∠BDF：∠BFD＝1：2，可设∠BDF＝x，则∠BFD＝2x，
∵∠BFD＝∠E+∠EBF，
∴∠E＝∠EBF＝∠1＝∠2＝∠E＝∠DBC＝∠CBF＝x，
∴x+3x+x＝180°，
解得x＝36°，
即∠BDF＝36°．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理以及角平分线的定义，掌握平行线的判定和性质，三角形内角和是180°以及角平分线的定义是正确解答的关键．
23．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：
（1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
（2）佳佳求的是几边形的内角和？
（3）错当成内角和那个外角为多少度？
【点拨】（1）根据多边形内角和公式判断即可；
（2）根据多边形内角和公式判断即可；
（3）由（2）即可得出答案．
【解析】解：（1）由多边形内角和180°（n﹣2）可知，多边形内角和是180的倍数，而2020不是180的倍数，故不可能是多边形内角和；
（2）由多边形内角和180°（n﹣2）可知，2020÷180＝11……40，所以n﹣2＝11，所以n＝13，故多边形是十三边形；
（3）由（2）计算可知余数为40°，所以多加的外角为40°．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟记多边形内角和180°（n﹣2）是解题的关键．
24．【三角形中位线定理】
已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系；
【应用】
如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数；
【拓展】
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．
求证：BD＝AC．
【点拨】【三角形中位线定理】根据三角形中位线定理即可得到结论；
【应用】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可；
【拓展】取DC的中点H，连接MH、NH，则MH、NH分别是△ACD、△BCD的中位线，由中位线的性质定理可得MH∥AC且MH＝AC，NH∥BD且NH＝BD，根据等腰三角形的性质即可得结论．
【解析】解：【三角形中位线定理】DE∥BC，DE＝BC；
理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC；
【应用】连接BD，如图所示，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，
∴∠ADB＝∠AFE＝45°，
∵BC＝5，CD＝3，
∴BD2+CD2＝25，BC2＝25，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°；
【拓展】证明：取DC的中点H，连接MH、NH．
∵M、H分别是AD、DC的中点，
∴MH是△ADC的中位线，
∴MH∥AC且MH＝AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），
同理可得NH∥BD且NH＝BD．
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠EGF，
∵MH∥AC，NH∥BD，
∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM，
∴∠HMN＝∠HNM，
∴MH＝NH，
∴AC＝BD．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
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