第4章 平行四边形 单元检测A卷(基础卷）（含解析）

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第4章 平行四边形 单元检测A卷(基础卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．已知 ABCD中，∠A+∠C＝130°，则∠D的度数是（　　）
A．50° B．65° C．115° D．130°
4．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是（　　）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．OB＝OD D．∠ABC＝∠BAC
5．如图，在 ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，则△BOC的周长是（　　）
A．21 B．22 C．25 D．32
6．如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，则EC等于（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
7．如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线上两点，在条件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AFB＝∠CED中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（　　）
A．两个锐角都大于45° B．两个锐角都小于45°
C．两个锐角都不大于45° D．两个锐角都等于45°
9．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（　　）
A．24 B．36 C．40 D．48
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　）
A．2 B． C．3 D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则从这个多边形的一个顶点出发共有 　 　条对角线．
12．在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个适当的条件 　 　，使四边形ABCD是平行四边形．（写出一个即可）
13．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，若∠C＝60°，则∠D的大小为 　 　（度）．
14．如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝15米，则A、B间的距离是 　 　米．
15．如图，在 ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AB⊥AC，则BD的长度为 　 　cm．
16．在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AE为边BC上的高，，CE＝2，则平行四边形ABCD的周长为 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°，而乙同学说，θ也能取630°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，请确定x的值．
18．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，AE＝CF，连接DE，BE，BF，求证：四边形DEBF是平行四边形．
19．如图，在方格中，正方形被分成4个全等的直角三角形，请你用这4个全等的直角三角形在下面三个方格中分别重新拼接成一个新的四边形，要求新的四边形是中心对称图形．
20．如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，点E在点F的左侧．
（1）求证：AF＝DE；
（2）若EF＝1， ABCD的周长为46，求BC的长．
21．如图，①四边形ABCD是平行四边形，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，②EF⊥AC，③AO＝CO．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）爱动脑筋的小明发现：在本题①、②、③三个已知条件中，有一个多余条件，去掉这个条件，四边形AFCE是平行四边形的结论依然成立，可以去掉的这个条件是 　 　（直接写出这个条件的序号），并证明四边形AFCE是平行四边形．
22．在△ABC中，AB，BC，CA的中点分别是E，F，G，AD是高，求证：∠EDG＝∠EFG．
23．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）求证：AE平分∠DAB；
（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
24．如图，△ABC中AB＝AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；
（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
【解析】解：A、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．
2．一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【点拨】根据多边形的内角和公式列式求解即可．
【解析】解：设这个多边形的边数是n，则
（n﹣2） 180°＝1260°，
解得n＝9．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键，是基础题，比较简单．
3．已知 ABCD中，∠A+∠C＝130°，则∠D的度数是（　　）
A．50° B．65° C．115° D．130°
【点拨】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质平行四即可求出∠A，进而可求出∠D．
【解析】解：在 ABCD中，∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°，
∵∠A+∠C＝130°，
∴∠A＝∠C＝65°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝115°，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质平行四即可求出∠A，进而可求出∠D．
4．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是（　　）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．OB＝OD D．∠ABC＝∠BAC
【点拨】因为四边形ABCD是平行四边形，但不一定是菱形或矩形，所以AC与BD不一定垂直，AC与BD不一定相等，可判断A不符合题意，B不符合题意；由平行四边形ABCD的对角线交于点O，得OB＝OD，可判断C符合题意；由AB与BC不一定相等，可知∠ABC与∠BAC不一定相等，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，但不一定是菱形或矩形，
∴AC与BD不一定垂直，AC与BD不一定相等，
故A不符合题意，B不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，
∴OB＝OD，
故C符合题意；
∵AC与BC不一定相等，
∴∠ABC与∠BAC不一定相等，
故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质，正确理解一般平行四边形与特殊平行四边形的联系与区别是解题的关键．
5．如图，在 ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，则△BOC的周长是（　　）
A．21 B．22 C．25 D．32
【点拨】构建平行四边形的性质对角线互相平分，求出OC、OB即可解决问题．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝8，BD＝14，
∴AO＝OC＝4，OD＝OB＝7，
∵BC＝10，
∴△BOC的周长为BC+OB+OC＝10+7+4＝21．
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形周长等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线相互平分，属于基础题，中考常考题型．
6．如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，则EC等于（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【点拨】根据平行四边形的性质及AE为角平分线可得：BC＝AD＝DE＝6，又有CD＝AB＝8，可求EC的长．
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6．CD∥AB，
∵∠DAB的平分线AE交CD于E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠AED．
∴ED＝AD＝6，
∴EC＝CD﹣ED＝8﹣6＝2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
7．如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线上两点，在条件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AFB＝∠CED中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【点拨】通过证明三角形全等，得出四边形DEBF的一组对边平行且相等，即可得出是平行四边形．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠DAE＝∠BCF，∠DCF＝∠BAE，
①DE＝BF时，不能证明△ADE≌△CBF，
不能证明四边形DEBF是平行四边形；
②∠ADE＝∠CBF时，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
③AF＝CE时，AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
④当∠AFB＝∠CED时，则∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∵∠AEB＝∠CFD，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
8．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（　　）
A．两个锐角都大于45°B．两个锐角都小于45°C．两个锐角都不大于45° D．两个锐角都等于45°
【点拨】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【解析】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，
应先假设两个锐角都大于45°．
故选：A．
【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
9．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（　　）
A．24 B．36 C．40 D．48
【点拨】设BC＝x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行四边形的面积公式列式进而求出x＝12，即可得出结论．
【解析】解：设BC＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD的周长为40，
∴BC+CD＝20，
∴CD＝20﹣x，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∵ ABCD的面积＝BC AE＝CD AF，
∴4x＝6（20﹣x），
解得：x＝12，
∴ ABCD的面积＝BC AE＝12×4＝48．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　）
A．2 B． C．3 D．
【点拨】连接CM，当CM⊥AB时，DM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CM，根据三角形的中位线得出DE＝CM即可．
【解析】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，
理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴AC BC＝，
∴＝，
∴CM＝，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝CM＝＝，
即DE的最小值是，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三角形的中位线和勾股定理等知识点，熟练垂线段最短和三角形的中位线性质是解此题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则从这个多边形的一个顶点出发共有 　5　条对角线．
【点拨】首先设这个多边形有n条边，由题意得方程（n﹣2）×180＝360×2，再解方程可得到n的值，然后根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线可得答案．
【解析】解：设这个多边形有n条边，由题意得：
（n﹣2）×180＝360×3，
解得n＝8，
从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是8﹣3＝5，
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和外角，以及对角线，关键是掌握多边形的内角和公式．
12．在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个适当的条件 　AB＝CD（或AD∥CB）　，使四边形ABCD是平行四边形．（写出一个即可）
【点拨】在四边形ABCD中，已经有AB∥CD这一条件，如果再添加条件AB＝CD，则可以根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形；如果再添加条件AD∥CB，则可以根据平行四边形的定义证明四边形ABCD是平行四边形，于是得到问题的答案．
【解析】解：AB＝CD，
理由：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
答案不唯一，如AD∥CB，
理由：∵AB∥CD，AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：AB＝CD（或AD∥CB）．
【点睛】此题重点考查平行四边形的定义和判定定理，熟练掌握平行四边形的定义和判定定理是解题的关键．
13．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，若∠C＝60°，则∠D的大小为 　120　（度）．
【点拨】先证四边形ABCD是平行四边形，得AD∥BC，再由平行线的性质得∠D+∠C＝180°，即可得出结论．
【解析】解：∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：120．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
14．如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝15米，则A、B间的距离是 　30　米．
【点拨】根据D、E是OA、OB的中点，即DE是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．
【解析】解：∵D、E是OA、OB的中点，即DE是△OAB的中位线，
∴DE＝AB，
∴AB＝2DE＝2×15＝30（米）．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解题的关键．
15．如图，在 ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AB⊥AC，则BD的长度为 　　cm．
【点拨】设AC与BD交点为M，根据勾股定理先求出AC，再根据平行四边形的性质求出AM，然后根据勾股定理求出BM，根据平行四边形的性质即可得答案．
【解析】解：设AC与BD交点为M，如图所示：
∵AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm，
∴，
∴，
在Rt△BAM中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16．在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AE为边BC上的高，，CE＝2，则平行四边形ABCD的周长为 　14或22　．
【点拨】分两种情况，由锐角的正弦求出AB长，由直角三角形的性质求出BE长，得到BC长，由平行四边形的性质即可得到答案．
【解析】解：当E在BC上时，如图，
∵∠AHB＝90°，∠B＝60°，
∴sinB＝，
∴AB＝＝＝6，
∵BE＝AB＝3，
∴BC＝BE+CE＝3+2＝5，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（6+5）＝22；
当E在BC延长线上时，如图，
由以上解答知：AB＝6，BE＝3，
∴BC＝BE﹣CE＝3﹣2＝1，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（6+1）＝14，
∴平行四边形ABCD的周长是14或22．
故答案为：14或22．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解直角三角形，关键是要分两种情况讨论．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°，而乙同学说，θ也能取630°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，请确定x的值．
【点拨】（1）根据多边形内角和公式可得n边形的内角和是180°的倍数，依此即可判断，再根据多边形内角和公式即可求出边数n；
（2）根据等量关系：若n边形变为（n+x）边形，内角和增加了360°，依此列出方程，解方程即可确定x．
【解析】解：（1）∵360°÷180°＝2，
630°÷180°＝3…90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°+2
＝2+2
＝4．
答：甲同学说的边数n是4；
（2）依题意有
（n+x﹣2）×180°﹣（n﹣2）×180°＝360°，
解得x＝2．
故x的值是2．
【点睛】考查了多边形内角与外角，此题需要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程是解题关键解．
18．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，AE＝CF，连接DE，BE，BF，求证：四边形DEBF是平行四边形．
【点拨】首先连接BD，交AC于点O，由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA＝OC，OB＝OD，又由AE＝CF，可得OE＝OF，然后根据对角线互相相平分的四边形是平行四边形．
【解析】证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
19．如图，在方格中，正方形被分成4个全等的直角三角形，请你用这4个全等的直角三角形在下面三个方格中分别重新拼接成一个新的四边形，要求新的四边形是中心对称图形．
【点拨】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此解答即可．
【解析】解：如图所示：
【点睛】本题考查了中心对称图形，正确把握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
20．如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，点E在点F的左侧．
（1）求证：AF＝DE；
（2）若EF＝1， ABCD的周长为46，求BC的长．
【点拨】（1）由平行线的性质和角平分线的性质可得∠ABF＝∠FBC＝∠AFB，∠DCE＝∠BCE＝∠DEC，可证AB＝AF＝DC＝DE；
（2）由题意可得AD+AB＝23，2AB﹣AD＝EF＝1，即可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD的平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，∠DEC＝∠BCE，
∵BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABF＝∠FBC＝∠AFB，∠DCE＝∠BCE＝∠DEC，
∴AB＝AF，DC＝DE，
∴AF＝DE；
（2）解：∵ ABCD的周长为46，
∴AD+AB＝23，
∵EF＝1，
∴2AB﹣AD＝EF＝1，
∴AB＝8，AD＝15，
∴BC＝15．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，二元一次方程组的应用，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
21．如图，①四边形ABCD是平行四边形，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，②EF⊥AC，③AO＝CO．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）爱动脑筋的小明发现：在本题①、②、③三个已知条件中，有一个多余条件，去掉这个条件，四边形AFCE是平行四边形的结论依然成立，可以去掉的这个条件是 　②　（直接写出这个条件的序号），并证明四边形AFCE是平行四边形．
【点拨】（1）根据题意证明△AOE≌△COF，可得AE＝CF即可得到；
（2）条件②多余，再利用
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：在本题①、②、③三个已知条件中，去掉②条件，四边形AFCE是平行四边形的结论依然成立，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
故答案为：②．
【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，平行四边形性质及判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
22．在△ABC中，AB，BC，CA的中点分别是E，F，G，AD是高，求证：∠EDG＝∠EFG．
【点拨】证明四边形AEFG是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等边对等角，即可证得．
【解析】证明：∵AD是高，且E是AB的中点，
∴DE＝BE＝AE，
∴∠B＝∠BDE，∠EAD＝∠ADE．
同理，∠DAG＝∠ADG，∠CDG＝∠C．
又∵AB、BC、CA的中点分别是E，F，G，
∴EF∥AC，FG∥AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴∠EFG＝∠EAG＝∠EAD+∠DAG＝∠ADE+∠ADG＝∠EDG，即：∠EDG＝∠EFG．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理以及直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，和等腰三角形的性质，理解定理是关键．
23．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）求证：AE平分∠DAB；
（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
【点拨】（1）由平行四边形的性质，根据AAS可判定△ADE≌△FCE；
（2）根据全等三角形的性质可得AE＝FE，根据BE⊥AF．利用线段垂直平分线的性质可得BA＝BF，进而可得结论；
（3）结合（1）根据∠DAB＝60°，AB＝4，利用30度角的直角三角形可得AE和BE的长，根据△ADE≌△FCE，可得△ADE的面积＝△FCE的面积，所以 ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积，即可得结论．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠EFC，
∵点E是CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS）；
（2）证明：∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE，
∵BE⊥AF，
∴BA＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA，
∵∠DAE＝∠BFA，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴AE平分∠DAB；
（3）解：∵∠DAB＝60°，AB＝4，
∴∠DAE＝∠BAF＝30°，
∵BE⊥AF，
∴BE＝AB＝2，
∴AE＝BE＝2，
∵△ADE≌△FCE，
∴△ADE的面积＝△FCE的面积，
∴ ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积＝2××AE BE＝2×2＝4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．
24．如图，△ABC中AB＝AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；
（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论．
【点拨】（1）由题意得出BD＝CE，由平行线的性质得出∠DGB＝∠ACB，由等腰三角形的性质得出∠B＝∠ACB，得出∠B＝∠DGB，证出BD＝GD＝CE，即可得出结论；
（2））①点D在线段BA上时，由（1）得：BD＝GD＝CE，由等腰三角形的三线合一性质得出BM＝GM，由平行线得出GF＝CF，即可得出结论；
②点D在线段BA延长线上时，解法同①．
【解析】解：（1）四边形CDGE是平行四边形．理由如下：
作DG∥AE交BC于G，如图1所示：
∵D、E移动的速度相同，
∴BD＝CE，
∵DG∥AE，
∴∠DGB＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠DGB，
∴BD＝GD＝CE，
又∵DG∥CE，
∴四边形CDGE是平行四边形；
（2）①点D在线段BA上时，BM+CF＝MF；理由如下：
作DG∥AE交BC于G，如图2所示：
由（1）得：BD＝GD＝CE，
∵DM⊥BC，
∴BM＝GM，
∵DG∥AE，
∴GF＝CF，
∴BM+CF＝GM+GF＝MF；
②点D在线段BA延长线上时，MF+CF＝BM；理由如下：
作DG∥AE交BC于G，如图3所示：
由（1）得：BD＝GD＝CE，
∵DM⊥BC，
∴BM＝GM，
∵DG∥AE，
∴GF＝CF，
∴MF+CF＝MF+GF＝GM＝BM．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
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