2024年浙教版数学八年级下学期阶段训练-特殊平行四边形
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（新人教版数学八年级下册第十八章 平行四边形《平行四边形的性质》同步练习）如图，平行四边形ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.3，则四边形BCEF的周长为（ ）
A．8.3 B．9.6 C．12.6 D．13.6
2．（2022八下·扬州期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
3．（2017八下·萧山期中）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）．
A．12 B．11 C．10 D．9
4．（2021八下·慈溪期中）如图，已知 OABC的顶点A，C分别在直线 和 上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2019八下·湖州期中）已知点D与点 A(8，0)，B（0，6），C（a，-a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6
6．（2021八下·襄州期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①四边形BEFG是平行四边形；②BE⊥AC；③EG=FG；④EA平分∠GEF。其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
7．（2023八下·保定期末）如图，在中，，D、E分别为、的中点，平分，交于点F，若，，则的长为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
8．在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CEBD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②B0=BF；③CA=CH；④BE=3ED；正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022八下·诸暨期中）如图，两个全等的矩形AEFG，矩形ABCD如图所示放置．CD所在直线与AE，GF分别交于点H，M．若AB＝3，BC＝ ，CH＝MH．则线段MH的长度是（ ）
A． B． C． D．2
10．（2017八下·萧山期中）如图，在矩形 中， ， 的平分线交边 于点 ， 于点 ，连接 并延长交边 于点 ，连接 交 于点 .给出下列命题：① ；② ；③ ；④ .其中正确命题为（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
11．（2020八下·兴城期末）如图，在矩形 中，点 在 边上， 于 ，若 ， ，则线段 的长是（ ）
A．5 B．4 C． D．
12．（2021八下·苏州期末）如图，在 中， ， ， .分别以点B、D为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN分别与AD、BC相交于点E、F，则EF的长为（ ）
A． B．4 C． D．
二、填空题（每题3分，共45分）
13．（北师大版数学八年级下册6.2平行四边形的判定同步练习）如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有 个
14．（2017八下·宝丰期末）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=3，则DF的长为 ．
15．（2017八下·萧山期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，中线CE＝5.延长AB到点D，使BD＝AB，则CD的长 .
16．（2020八下·惠州期末）如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是 .
17．（2022八下·海曙期末）如图， 中， ，以AB为边在三角形外的 的对角线交于点F，AE=2，AB=5，则CF的最大值是 ．
18．（2022八下·拱墅期中）如图，在 中， 是对角线， ，点 是 的中点， 平分 ， 于点 ，连接 已知 ， ，则 的长为 .
19．（2020八下·温州期中）如图在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，四条内角平分线围成四边形EFGH面积为 ， 则平行四边形ABCD面积为
20．（2023八下·文成期中）如图，在中，点，分别为，的中点，平分，交于点，连接并延长交于，已知，，，则 ．
21．（2023八下·宝安期末）如图，在平行四边形ABCD中，，对角线AC、BD交于点，经过点的直线交AD于点，且平分的周长，则 .
22．（2017八下·常熟期中）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，∠AOB=60°，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE，则∠COE= ．
23．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为 ．
24．（2021八下·长兴期末）如图，在矩形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME=15°，则∠ABE=
25．（2020八下·南京期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F，若BE=3，AF=5，则AC的长为 .
26．（2024八下·长兴月考）如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边(纸条不重叠)如图③，正方形美术作品的面积为 .
27．（2024八下·长兴月考）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”.例如：与是“同族二次方程”.现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 .
三、解答题（共2题，共10分）
28．（2017八下·林甸期末）如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．
29．（2015八下·嵊州期中）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=24cm，DC=10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒3cm，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？
四、综合题（共3题，共29分）
30．如图
（1）如图1，在 ABCD中，AE平分∠BAD交CD边于点E，已知AB=5cm，AD=3cm，则EC等于 cm。
（2）如图2，在 ABCD中，若AE，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，点E在DC边上，且AB=4，则ABCD的周长为 。
（3）如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线。求证：DF=EC
（4）在（3）的条件下，如果AD=3，AB=5，则EF的长为 。
31．（2022八下·沂南期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．
32．（2024八下·长兴月考）阅读材料：
已知a，b为非负实数，
，当且仅当“”时，等号成立.
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用.
例：已知，求代数式最小值.
解：令，则由，得.
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6.
根据以上材料解答下列问题：
（1）【灵活运用】
已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 .
（2）已知，求代数式的最小值.
（3）【拓展运用】
某校要对操场的一个区域进行改造，利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的围栏至少为多少米
（4）如图2，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点和的面积分别是4和12，求四边形ABCD面积的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】根据平行四边形的性质：对边平行且相等来解答．通过图形结合题意，我们不难看出，DE＝BF，则CE＋BF＝CE＋DE＝CD＝AB＝4．同时，OF＝OE＝ EF，所以EF＝2×1.3＝2.6．为此，不难算出四边形BCEF的周长，所以选B
【分析】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形对边平行且相等的性质，就能解答本题
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴，
在△ABO和△MBO中，
，
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF＝AM＝8.
故答案为：B.
【分析】设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，由平行四边形的性质以及平行线的性质得∠ABC+∠DCB+180°，根据角平分线的概念得∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，则∠CBE+∠BCF＝90°，根据平行线的性质得∠AOE＝∠BHC＝90°，∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，则AB＝AE＝5，利用勾股定理求出AO，证明△ABO≌△MBO，得到AO＝OM＝4，则AM＝8，推出四边形AMCF是平行四边形，据此解答.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵BD⊥DC，BD=4，CD=3，
由勾股定理得： ，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
， ，
∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH=2×(2.5+3)=11.
答案为：B.
【分析】先用勾股定理求出BC，利用中位线定理得 E F = B C = 2.5， EH=FG=AD=3，进而求出周长.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC.
∵直线x=1与直线x=4均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD.
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC.
在△OAF和△BCD中，∠FOA=∠DBC，OA=BC，∠OAF=∠BCD，
∴△OAF≌△BCD，
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=.
由于OE的长不变，所以当BE最小时，OB取得最小值，最小值为OB=OE=5.
故答案为：C.
【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，易得四边形ANCM是平行四边形，进而推出∠FOA=∠DBC，然后证明△OAF≌△BCD，求出OE的值，由OB=知BE最小时，OB取得最小值，据此解答即可.
5．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：有两种情况：
①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD=
②CD是平行四边形的一条对角线，
过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，则∠BND=∠DFA=∠CMA=∠QFA=90°，∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=AC，∠C=∠D，BD∥AC，
∴∠BDF=∠FQA，
∴∠DBN=∠CAM，
在△DBN和△CAM中
∵∠BND=∠AMC，∠DBN=∠CAM，BD=AC，
∴△DBN≌△CAM，
∴DN=CM=a，BN=AM=8-a，
则D（8-a，6+a），
由勾股定理得：CD2=(8-a-a)2+(6+a+a)2=8a2-8a+100=8(a-)2+98，
当a=时，CD有最小值，是
∵＜10，
∴CD的最小值是 7
故答案为：B。
【分析】分情况讨论：当CD是平行四边形的一条边时，有AB=CD，求出CD的一个值；当CD是平行四边形的一条对角线，过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，则∠BND=∠DFA=∠CMA=∠QFA=90°，∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°；利用AAS先证明△DBN≌△CAM，则DN=CM=a，BN=AM=8-a，D（8-a，6+a），由勾股定理得：建立方程，根据函利用二次函数的性质求出CD的最小值，然后与第一种情况比较求出最小值即可。
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，
∴，EF为△OCD的中位线，
∴，EF∥CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴BG∥EF，BG=EF，
∴四边形BEFG为平行四边形，
故①符合题意；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，AD=BC，
∵BD=2AD，
∴OB=BC，
∵E为OC中点，
∴BE⊥AC，
故②符合题意；
∵G为Rt△ABE斜边上的中点，
∴，
∴EG=EF，
但无法证明EG=FG，
故③不符合题意；
∵EF∥CD∥AB，
∴∠FEA=∠BAC，
∵AG=GE，
∴∠GAE=∠GEA，
∴∠GEA=∠AEF，
∴EA平分∠GEF，
故④符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据中位线定理结合平行四边形的判定与性质即可判断①；依据平行四边形的性质结合等腰三角形的性质即可判断②；依据直角三角形的性质即可判断③；根据平行线的性质结合等腰三角形的性质即可判断④.
7．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=
=
=10
∵D、E分别为CA、CB的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE=AB=5，DE//AB
∴∠AFD=∠BAF
∵AF平分∠BAC
∴∠DAF=∠BAF
∴∠DAF=∠AFD
∴DF=AD=AC=×6=3
∴EF=DE-DF=5-3=2
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形中位线定理求出DE的长和DE∥AB，然后根据平行线的性质并结合角平分线的定义看得到∠DAF=∠DFA，进而得到DF=AD，即可求出EF的长。
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据矩形的性质可得OA=OB=OC=OD，由AD=，AB=1根据特殊角的锐角三角函数值可求出∠ADB=30°，即得∠ABO=60°，从而可证得△ABO是等边三角形，即得AB=BO=AO=OD=OC=DC，推出BF=AB，求出∠H=∠CAH=15°，求出DE=EO，再依次分析各小题即可作出判断．
根据已知条件不能推出AF=FH，故①错误；
【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AD=，AB=1，
∴tan∠ADB=，
∴∠ADB=30°，
∴∠ABO=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∵AB=BO，
∴BF=BO，故②正确；
∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，
∴∠CAH=15°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEO=90°，
∵∠EOC=60°，
∴∠ECO=30°，
∴∠H=∠ECO-∠CAH=30°-15°=15°=∠CAH，
∴AC=CH，故③正确；
∵△AOB是等边三角形，
∴AO=OB=AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，
∴DC=OC=OD，
∵CE⊥BD，
∴DE=EO=DO=BD，
∴BE=3ED，故④正确；
∴正确的有3个，
故选C．
【点评】本题知识点较多，综合性强，是中考常见题，一般是中考压轴题，难度较大，需特别注意.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】如图，过点H作HQ⊥GF，
∴∠HQM=90°，
∵矩形AEFG和矩形ABCD全等，
∴AD=EF=HQ，∠ADH=∠MQH=∠QHA=90°，
∴∠QHM+∠AHD=∠QHM+∠QMH，
∴∠AHD=∠QHM，
∴△ADH≌MQH（AAS），
∴AH=MH，
∵AB=3，
∴设DH=x，则CH=MH=AH=3-x，
∵BC=，
∴AD=，
在Rt△ADH中，AD2+DH2=AH2，
∴3+x2=（3-x）2，
整理，解得：x=1，
∴MH=3-1=2.
故答案为：D.
【分析】如图，过点H作HQ⊥GF，则∠HQM=90°，再由矩形AEFG和矩形ABCD全等及矩形性质可得AD=EF=HQ，∠ADH=∠MQH=∠QHA=90°，从而得到∠AHD=∠QHM，进而证出△ADH≌MQH，即得AH=MH，设DH=x，则CH=MH=AH=3-x，再由勾股定理可列关于x方程，即3+x2=（3-x）2，解得x值即可求得MH的长度.
10．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】在矩形ABCD中， ，
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=45°，
∵AD⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形， ，∴AH=AB=CD.
∵△DEC是等腰直角三角形， ，∴AD=DE，∴∠AED=67.5°，
∴∠AEB=180° 45° 67.5°=67.5°，∴∠AED=∠AEB.
故①正确；
设DH=1，
则AH=DH=1， ， ， ，故②错误；
∵∠AEH=67.5°，∴∠EAH=22.5°.
∵DH=CD，∠EDC=45°，∴∠DHC=67.5°，∴∠OHA=22.5°，
∴∠OAH=∠OHA，∴OA=OH，∴∠AEH=∠OHE=67.5°，∴OH=OE，
，故③正确；
∵AH=DH，CD=CE，
在△AFH与△CHE中，
∵∠AHF=∠HCE=22.5°，∠FAH=∠HEC=45°，AH=CE，∴△AFH≌△CHE，∴AF=EH.
在△ABE与△AHE中，
∵AB=AH，∠BEA=∠HEA，AE=AE，∴△ABE≌△AHE，∴BE=EH，
∴BC BF=(BE+CE) (AB AF)=(CD+EH) (CD EH)=2EH，
故④错误，
所以①，③正确，
答案为：B
【分析】利用等腰直角三角形的三边关系，斜边等于直角边的倍，D E = C D=BC=AD，进而∠AED=67.5°，∠AED=∠AEB；进一步可得△ABE≌△AHE，BE=EH，设DH=1，可求出HE =2 H E = 2 ( 1 ) ≠ 1；可证得OA=OH，得出∠AEH=∠OHE=67.5°，所以OH=OE，OH=AE；BC BF=(BE+CE) (AB AF)=(CD+EH) (CD EH)=2EH
11．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BCD=90°，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DF⊥AE，
∴∠DFE=90°，
∵FE=CE，
∵DE=DE，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），
∴∠FED=∠DEC，
∴∠FED=∠ADE，
∴AE=AD，
∴BE=BC-EC=AE-EC，
在Rt△ABE中，设AE为x，由勾股定理可得：AB2+BE2=AE2，
即32+（x-1）2=x2，
解得：x=5，
所以AE=5，
∴AF=AE-EF=5-1=4，
故答案为：B.
【分析】根据四边形ABCD是矩形，EF=CE，DF⊥AE，证明△DFE≌△DCE，即可得到∠FED=∠DEC，进而得出AE=AD，Rt△ABE中利用勾股定理解答即可.
12．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由作法得 垂直平分 ，
，
连接 交 于 点，过 点作 于 ，连接 ，如图，则 ， ，
四边形 为平行四边形，
， ， ，
，
在 中， ，
，
设 ，则 ， ，
在 中， ，解得 ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用作图知EF垂直平分BD，利用垂直平分线的性质，可得FB=DF，连接BD交EF于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接DF，可得OB=OD，EF⊥BD； 利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，AD∥BC，同时可求出CD的长及∠DCH的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CH的长及DH的长；设BF=x，可表示出DF，FH的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值及BD的长，即可得到OB的长；利用勾股定理求出OF的长；然后用ASA证△DOE≌△BOF，利用全等三角形的性质可证得OE=OF，即可求出EF的长.
13．【答案】3n
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A1C1∥AB1A1B1∥BC1A1C1∥B1C
A1C1=AB1A1B1=BC1A1C1=B1C，
∴四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C是平行四边形，共有3个．
在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，
同理可证：四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C、A2B2C2B1、A2B2A1C2、A2C2B2C1是平行四边形，共有6个．
…
按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．
【分析】根据平行四边形的判断定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．在图（1）中，有3个平行四边形；在图（2）中，有6个平行四边形；…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．
14．【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长CF交AB于G，
∵AE是角平分线，CF⊥AE，
∴△AGC是等腰三角形，
∴AG=AC=3，CF=GF，
∴BG=AB﹣AG=5﹣3=2，
∵AD是中线，
∴BD=CD，
∴DF是△BCG的中位线，
∴DF= BG= ×2=1．
故答案为：1．
【分析】延长CF交AB于G，由对称性判断出△AGC是等腰三角形，求出AG=AC，CF=GF，再求出BG，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF= BG．
15．【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】取AC的中点F，连接BF，
∵AB=AC，点E，F分别是AB，AC的中点，∴AE=AF.
∵∠A=∠A，AB=AC，∴△ABF≌△ACE(SAS)，∴BF=CE.
∵BD=AB，AF=CF，∴DC=2BF，∴DC=2CE=10.
故答案为10.
【分析】运用中位线定理，构造出中位线，再利用全等得出BF=AE，进而得出DC=2CE=10.
16．【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【解答】解：在平行四边想PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O
∴O为DC的中点
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H
∵AD∥BC
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDC=∠DCQ+∠QCH
∵PD∥CQ
∴∠PDC=∠DCQ
∴∠ADP=∠QCH
又∵PD=CQ
∴直角三角形ADP≌直角三角形HCQ
∴AD=HC
∵AD=1，BC=3
∴BH=4
∴当PQ⊥AB时，PQ的值最小，即为4.
【分析】根据题意，结合平行四边形的性质以及中点的性质证明得到△ADP≌△HCQ，根据全等三角形的性质即可得到答案。
17．【答案】3.5
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，取AB中点O，连结FO，CO，
∵ AEDB，AE=2，AB=5，
∴BD=2，AO=BO=2.5，AF=DF，
∴OF是△ABD的中位线，
∴FO=1，
又∵∠ACB=90°，
∴OC=2.5，
在△FOC中，CF＜FO+OC，
∴当F、O、C三点共线时，CF最大，
∴CFmax=FO+OC=1+2.5=3.5.
故答案为：3.5.
【分析】如图，取AB中点O，连结FO，CO，由平行四边形性质得BD=2，AO=BO=2.5，AF=DF，可证出OF是△ABD的中位线，即得FO=1，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得OC=2.5，在△FOC中，由三边关系得CF＜FO+OC，因此当F、O、C三点共线时，CF最大，求得CF值即可.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长AB 、 CF交于点H ，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
，
点E是BC的中点， ，
，
故答案为： .
【分析】如图，延长AB、CF交于点H，由平行四边形的性质可得AB∥CD，由平行线的性质可得∠ACD=∠BAC=90°，用勾股定理可求得AC的值，由角平分线定义可得∠BAF=∠CAF，结合已知用角边角可证ΔAFH≌ΔAFC，则AC=AH，HF=CF，由线段的构成BH=AH-AB可求得BH的值，然后根据三角形中位线定理得EF=BH可求解.
19．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥BC交BC于M，延长AF交BC于N，连接EF
∵ABCD 为平行四边形 ，AN平分∠BAD
∴∠BNA=∠DAN，∠BAN=∠DAN
∴∠BNA=∠BAN
∵∠ABC=60°
∴△ABN为等边三角形
∴AN=NB=AB=4
∵AM⊥BC
∴AM=
∵BE平分∠ABC，CG平分∠BCD
∴∠EBC=30°，∠NCG=60°
∵∠BNA=60°
∴∠BEN=90°，EN//HC
同理可得BH//DF
∴四边形EFGH为矩形
∵四边形EFGH面积为
∴EF=1，FG=
∴EG=2
∵EN//GC，EN=GC
∴四边形ENCG为平行四边形
∴NC=EG=2
∴BC=4+2=6
∴平行四边形ABCD面积 =BC×AM=6×
故答案为：
【分析】本题考查了平行四边形的综合运用。解题的关键在于根据角平分线和平行的性质得到△ABN为等边三角形，根据等边三角形的性质解得AM的值，接下来就是证明四边形EFGH为矩形，然后根据三角形的中位线得到F为EN的中点，从而得到EF的值，然后根据四边形EFGH面积得到EG的值，最后根据对边平行且相等得到四边形ENCG为平行四边形，得到NC的值，根据四边形的面积=底×高即可得到答案.
20．【答案】2
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∴∠EFC=∠ACF.
∵CF平分∠ACB，
∴∠ECF=∠ACF，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EC=EF.
∵EB=EC，
∴EF=EB=EC，
∴∠CFB=90°，
∴BC==5.
∵∠FCG=∠FCB，CF=CF，∠CFG=∠CFB，
∴△CFG≌△CFB（ASA），
∴CG=CB=5，
∴AG=AC-CG=7-5=2.
故答案为：2.
【分析】由题意可得DE为△ABC的中位线，则DE∥AC，根据平行线的性质可得∠EFC=∠ACF，由角平分线的概念可得∠ECF=∠ACF，进而推出EC=EF，结合EB=EC可得EF=EB=EC，推出∠CFB=90°，利用勾股定理可得BC的值，根据ASA证明△CFG≌△CFB，得到CG=CB=5，然后根据AG=AC-CG进行计算.
21．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长DA至H，使AH=AB，连接BH，过点A作AN⊥BH于N
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ODOB
∵OE平分△ABD的周长
∴AE+ABOB=OD+DE
∴AH+AE=DE，即HE=DE
又∵BO=DO
∴BH=2OE
∵AH=AB，∠BAD=60°
∴∠H=∠ABH=30°
∵AH⊥BH
∴AN=AB=2，HN=BN=AN=
∴BH=
∴OE=.
故答案为：.
【分析】由三角形的中位线定理可得BH=2OE，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得BH=，从而可以求得OE=.
22．【答案】75°
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=60°，
∴∠DOC=∠AOB=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，AC=BD，AC=2CO，BD=2OD，
∴OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴DC=OC，∠ACD=60°，
∴∠ACB=90°﹣60°=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠DEC，
∴DC=CE，
∴CE=OC，
∵∠OCE=30°，
∴∠COE= （180°﹣30°）=75°；
故答案为：75°．
【分析】根据矩形的性质得出∠DCB=90°，AC=BD，AC=2CO，BD=2OD，求出OC=OD，得出△COD是等边三角形，求出∠ACB=30°，求出OC=CE，即可求出答案．
23．【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB=3，AD=4，
∴BD= = =5，
S△ABD= AB AD= BD AG，
即 ×3×4= ×5×AG，
解得AG= ，
在矩形ABCD中，OA=OD，
∵S△AOD= OA PE+ OD PF= OD AG，
∴PE+PF=AG= ．
故答案为： ．
【分析】对角线将平行四边形分为四个面积相等的小三角形，利用等面积法即可证得PE+PF=AG，从而可求得其值.
24．【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质；反证法
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∴△MBC≌△MEB≌△DMA
∴AM=MB∴∠MAB=∠MBA
同理，∠EBM=∠MBC， ∠C=∠E，
又∵∠EMA=15°，
设AM交EB于点F，
∴∠EFM=∠AFB=75°
设∠CBM=x，
∴∠CBM=∠MBE=∠MAD，
∴∠MAB=90°-x， ∠EBA=90°-2x，
∴90-x+90-2x=75，
解得，x=25°，
∴∠ABE=90-2×25=40°
故答案为：40°.
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，知道△MBC、△MEB和△DMA全等，根据三角形内角和的性质，设∠CBM，列出等式，求出∠CBM，再根据∠ABE和∠CBM的关系，求出∠ABE的值。
25．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接AE，设 相交于点 ，
∵EF垂直平分AC，
∴∠AOF=∠COE=90°，AO=CO，AE=CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B=90°，AD=BC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，
∵∠FAO＝∠ECO，AO＝CO，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE，
∴AE=AF，
∵BE=3，AF=5，
∴CE=5，
∴AE=5，BC=BE+CE=8，
由勾股定理得：
，
故答案为： .
【分析】根据题意和矩形的性质、线段垂直平分线的性质，可以证明△AOF≌△COE，从而可以得到AE和AB的长，然后利用勾股定理，即可得到AC的长.
26．【答案】
【知识点】二次根式的应用；矩形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，
∴∠B=∠C=45°，
∵四边形CDHG是矩形，且CD= ，
∴HG=CD= ，∠BGH=90°，
∴∠B=∠BHG=45°，
∴GB=GH=，
∴CG=DH=BC-BG=cm，
∵四边形CDHG是矩形，
∴DH∥BC，
∴∠B=∠DHN=45°，
∵四边形DENM是矩形，且DE=，
∴MN=ED= ，∠NMH=90°，
∴∠MNH=∠MHN=45°，
∴MN=MH=，
∴DM=EN=DN-MH=cm；
同理FQ=PE=，
∵AF=AC-CD-DE-EF=，
∴这样的长方形纸条只能裁出三条，
这三条的总长度为：CG+DM+EN=cm，
∴美术作品的边长为：cm，
∴这个美术作品的面积为：cm2.
故答案为：.
【分析】由等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=45°，由矩形的性质得HG=CD= ，∠BGH=90°，从而可推出△BHG是等腰直角三角形，得GB=GH=，CG=DH=BC-BG=cm，同理可求出DM、PE得长，可得到裁剪出的矩形纸条的总长度，进而结合图③找出美术作品的边长，最后根据正方形面积计算方法计算可得答案.
27．【答案】2019
【知识点】偶次方的非负性；定义新运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵关于x得一元二次方程(m+2)x2+(n-4)x+8=0与2(x-1)2+1=0为同族二次方程，
∴(m+2)x2+(n-4)x+8=(m+2)(x-1)2+1，
∴(m+2)x2+(n-4)x+8=(m+2)x2-2(m+2)x+m+3，
∴，
解得，
∴mx2+nx+2024=5x2-10x+2024=5(x-1)2-5+2024=5(x-1)2+2019，
∴当x=1时，代数式mx2+nx+2024的最小值为2019.
故答案为：2019.
【分析】根据 “同族二次方程” 得定义可得(m+2)x2+(n-4)x+8=(m+2)(x-1)2+1，然后将方程的右边展开与左边比较可得关于字母m、n得方程组，求解得出m、n得值，再代入待求代数式，利用配方法将代数式配成一个式子的完全平方与一个常数的和的形式，进而结合偶数次幂的非负性即可得出答案.
28．【答案】解：在△AGF和△ACF中， ，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG=AC=6，GF=CF，则BG=AB﹣AG=8﹣6=2．又∵BE=CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF= BG=1．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】先根据ASA证明△AGF≌△ACF，利用全等三角形性质易得AG=AC=6、GF=CF，然后求得BG，最后根据中位线定理求得EF。
29．【答案】解：①以PQAD构成四边形
设X秒成为平行四边形
根据题意得：
x=24﹣3x
∴x=6
∴当运动6s时成为平行四边形；
②以PQBC构成四边形
设Y秒成为平行四边形
根据题意得：
10﹣y=3y
∴y=2.5
∴当运动2.5s时也成为平行四边形．
③四边形PAQC、四边形PDQB其实也可能成为平行四边形，其中，PDQB是错误的，四边形PAQC成为平行四边形时是7秒．
故答案为6秒、2.5秒、7秒
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】根据题意P，Q和梯形ABCD的两个顶点构成平行四边形，分两种情况讨论：①可以构成四边形PQAD；②可以构成四边形PQBC两种．
30．【答案】（1）2
（2）12
（3）证明：∵在ABCD中，CD∥AB，
∠DFA=∠FAB.
又∵AF是∠DAB的平分线
∠DAF=∠FAB，
∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF，同理可得EC=BC.
∵AD=BC，
DF=EC
（4）1
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5cm，AB∥CD，
∴∠AED=∠BAE，
∵AE平分∠BAD交CD边于点E，
∴∠BAE=∠DAE，
∴DA=DE=3cm，
∴EC=CD-DE=5-3=2cm，
故答案为：2.
(2)由(1)得DE=AD，同理CE=CB，
∴AD+BC=ED+EC=AB=4，
∴ABCD的周长=AB+CD+AD+BC=4+4+4=12.
故答案为：12.
（4）由（3）可得，AD=DF=BC=EC=3.
∵AB=CD=5，
EF=DF+EC-CD=3+3-5=1.
故答案为1
【分析】(1)根据平行四边形的性质求出CD长，再根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出∠BAE=∠DAE，则可求出DE长，即可解答；
(2)由(1)得出AD=DE，BC=EC，然后根据平行四边形的性质求出CD长，根据线段间的和差关系求出AB和BC的长度之和，从而求出ABCD的周长；
(3)根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出∠BAE=∠DAE，则可求出AD=DF，EC=BC，结合AD=BC，则可得出DF=EC ；
(4)由(3)求出DF和EC的长，结合AB=CD，利用线段间的和差关系即可解答.
31．【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴，
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC
∴，
∴四边形ADFE是平行四边形
∵AE⊥BC
∴四边形ADFE是矩形；
（2）解： 由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝6，
∵EC＝4，
∴BE＝CF＝2，
∴BF＝8，
在Rt△ABE中，∠ABF＝，
∴AB＝2BE＝4，
∴DF＝AE＝，
∴BD＝，
∵四边形ABCD是平行四边形中，对角线AC，BD交于点O，
∴O是BD中点，
∴．
又∵四边形ADFE是矩形，
∴，
∴
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形ADFE是平行四边形，再结合AE⊥BC，即可得到四边形ADFE是矩形；
（2）先证明∠BFD为直角，再利用勾股定理求出BD的长，最后利用直角三角形斜边上中线的性质可得。
32．【答案】（1）；
（2）解：∵
设a=2x，b=，
∵，
∴，
∴当时，即时，代数式取到最小值，为，
∴代数式的最小值为；
（3）解：设花圃的宽为x米，则长为米，所用围栏的总长度为(4x+)米，
令a=4x，b=，
由，得4x+≥，
当且仅当4x=时，即时，代数式4x+取到最小值，最小值为，
∴ 所用的围栏至少为米；
（4）解：如图，作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∵三角形AOD与△BOC的面积分别是4和12，
∴OD×AE=4，OB×CF=12，
∴OD=，OB=，
∵S△AOB=OB×AE，S△COD=OD×CF，
∴S四边形ABCD=S△AOB+S△AOD+S△BOC+S△COD=OB×AE+OD×CF+16=，
设a=，b=，
由，得，
当且仅当时，即时，代数式取到最小值，最小值为，
∴得最小值是，
∴四边形ABCD面积的最小值是.
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用
【解析】【解答】解：（1）设a=x，b=，
∵，
∴，
∴当且仅当时，即x=时，代数式取到最小值，最小值为；
故答案为：；；
【分析】（1）模仿阅读材料提供的例题方法解题即可；
（2）根据，故模仿阅读材料提供的例题方法求出的最小值即可求解；
（3）设花圃的宽为x米，则长为米，所用围栏的总长度为(4x+)米，模仿阅读材料提供的例题方法求出4x+的最小值即可求解；
（4）作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，根据三角形的面积计算公式结合三角形AOD与△BOC的面积分别是4和12，可求得OD=，OB=，然后根据S四边形ABCD=S△AOB+S△AOD+S△BOC+S△COD可得S四边形ABCD=OB×AE+OD×CF+16=，模仿阅读材料提供的例题方法求出的最小值即可求解.
1 / 12024年浙教版数学八年级下学期阶段训练-特殊平行四边形
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（新人教版数学八年级下册第十八章 平行四边形《平行四边形的性质》同步练习）如图，平行四边形ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.3，则四边形BCEF的周长为（ ）
A．8.3 B．9.6 C．12.6 D．13.6
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】根据平行四边形的性质：对边平行且相等来解答．通过图形结合题意，我们不难看出，DE＝BF，则CE＋BF＝CE＋DE＝CD＝AB＝4．同时，OF＝OE＝ EF，所以EF＝2×1.3＝2.6．为此，不难算出四边形BCEF的周长，所以选B
【分析】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形对边平行且相等的性质，就能解答本题
2．（2022八下·扬州期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴，
在△ABO和△MBO中，
，
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF＝AM＝8.
故答案为：B.
【分析】设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，由平行四边形的性质以及平行线的性质得∠ABC+∠DCB+180°，根据角平分线的概念得∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，则∠CBE+∠BCF＝90°，根据平行线的性质得∠AOE＝∠BHC＝90°，∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，则AB＝AE＝5，利用勾股定理求出AO，证明△ABO≌△MBO，得到AO＝OM＝4，则AM＝8，推出四边形AMCF是平行四边形，据此解答.
3．（2017八下·萧山期中）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）．
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵BD⊥DC，BD=4，CD=3，
由勾股定理得： ，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
， ，
∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH=2×(2.5+3)=11.
答案为：B.
【分析】先用勾股定理求出BC，利用中位线定理得 E F = B C = 2.5， EH=FG=AD=3，进而求出周长.
4．（2021八下·慈溪期中）如图，已知 OABC的顶点A，C分别在直线 和 上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC.
∵直线x=1与直线x=4均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD.
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC.
在△OAF和△BCD中，∠FOA=∠DBC，OA=BC，∠OAF=∠BCD，
∴△OAF≌△BCD，
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=.
由于OE的长不变，所以当BE最小时，OB取得最小值，最小值为OB=OE=5.
故答案为：C.
【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，易得四边形ANCM是平行四边形，进而推出∠FOA=∠DBC，然后证明△OAF≌△BCD，求出OE的值，由OB=知BE最小时，OB取得最小值，据此解答即可.
5．（2019八下·湖州期中）已知点D与点 A(8，0)，B（0，6），C（a，-a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：有两种情况：
①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD=
②CD是平行四边形的一条对角线，
过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，则∠BND=∠DFA=∠CMA=∠QFA=90°，∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=AC，∠C=∠D，BD∥AC，
∴∠BDF=∠FQA，
∴∠DBN=∠CAM，
在△DBN和△CAM中
∵∠BND=∠AMC，∠DBN=∠CAM，BD=AC，
∴△DBN≌△CAM，
∴DN=CM=a，BN=AM=8-a，
则D（8-a，6+a），
由勾股定理得：CD2=(8-a-a)2+(6+a+a)2=8a2-8a+100=8(a-)2+98，
当a=时，CD有最小值，是
∵＜10，
∴CD的最小值是 7
故答案为：B。
【分析】分情况讨论：当CD是平行四边形的一条边时，有AB=CD，求出CD的一个值；当CD是平行四边形的一条对角线，过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，则∠BND=∠DFA=∠CMA=∠QFA=90°，∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°；利用AAS先证明△DBN≌△CAM，则DN=CM=a，BN=AM=8-a，D（8-a，6+a），由勾股定理得：建立方程，根据函利用二次函数的性质求出CD的最小值，然后与第一种情况比较求出最小值即可。
6．（2021八下·襄州期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①四边形BEFG是平行四边形；②BE⊥AC；③EG=FG；④EA平分∠GEF。其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，
∴，EF为△OCD的中位线，
∴，EF∥CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴BG∥EF，BG=EF，
∴四边形BEFG为平行四边形，
故①符合题意；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，AD=BC，
∵BD=2AD，
∴OB=BC，
∵E为OC中点，
∴BE⊥AC，
故②符合题意；
∵G为Rt△ABE斜边上的中点，
∴，
∴EG=EF，
但无法证明EG=FG，
故③不符合题意；
∵EF∥CD∥AB，
∴∠FEA=∠BAC，
∵AG=GE，
∴∠GAE=∠GEA，
∴∠GEA=∠AEF，
∴EA平分∠GEF，
故④符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据中位线定理结合平行四边形的判定与性质即可判断①；依据平行四边形的性质结合等腰三角形的性质即可判断②；依据直角三角形的性质即可判断③；根据平行线的性质结合等腰三角形的性质即可判断④.
7．（2023八下·保定期末）如图，在中，，D、E分别为、的中点，平分，交于点F，若，，则的长为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=
=
=10
∵D、E分别为CA、CB的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE=AB=5，DE//AB
∴∠AFD=∠BAF
∵AF平分∠BAC
∴∠DAF=∠BAF
∴∠DAF=∠AFD
∴DF=AD=AC=×6=3
∴EF=DE-DF=5-3=2
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形中位线定理求出DE的长和DE∥AB，然后根据平行线的性质并结合角平分线的定义看得到∠DAF=∠DFA，进而得到DF=AD，即可求出EF的长。
8．在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，过C点作CEBD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②B0=BF；③CA=CH；④BE=3ED；正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据矩形的性质可得OA=OB=OC=OD，由AD=，AB=1根据特殊角的锐角三角函数值可求出∠ADB=30°，即得∠ABO=60°，从而可证得△ABO是等边三角形，即得AB=BO=AO=OD=OC=DC，推出BF=AB，求出∠H=∠CAH=15°，求出DE=EO，再依次分析各小题即可作出判断．
根据已知条件不能推出AF=FH，故①错误；
【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AD=，AB=1，
∴tan∠ADB=，
∴∠ADB=30°，
∴∠ABO=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∵AB=BO，
∴BF=BO，故②正确；
∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，
∴∠CAH=15°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEO=90°，
∵∠EOC=60°，
∴∠ECO=30°，
∴∠H=∠ECO-∠CAH=30°-15°=15°=∠CAH，
∴AC=CH，故③正确；
∵△AOB是等边三角形，
∴AO=OB=AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，
∴DC=OC=OD，
∵CE⊥BD，
∴DE=EO=DO=BD，
∴BE=3ED，故④正确；
∴正确的有3个，
故选C．
【点评】本题知识点较多，综合性强，是中考常见题，一般是中考压轴题，难度较大，需特别注意.
9．（2022八下·诸暨期中）如图，两个全等的矩形AEFG，矩形ABCD如图所示放置．CD所在直线与AE，GF分别交于点H，M．若AB＝3，BC＝ ，CH＝MH．则线段MH的长度是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】如图，过点H作HQ⊥GF，
∴∠HQM=90°，
∵矩形AEFG和矩形ABCD全等，
∴AD=EF=HQ，∠ADH=∠MQH=∠QHA=90°，
∴∠QHM+∠AHD=∠QHM+∠QMH，
∴∠AHD=∠QHM，
∴△ADH≌MQH（AAS），
∴AH=MH，
∵AB=3，
∴设DH=x，则CH=MH=AH=3-x，
∵BC=，
∴AD=，
在Rt△ADH中，AD2+DH2=AH2，
∴3+x2=（3-x）2，
整理，解得：x=1，
∴MH=3-1=2.
故答案为：D.
【分析】如图，过点H作HQ⊥GF，则∠HQM=90°，再由矩形AEFG和矩形ABCD全等及矩形性质可得AD=EF=HQ，∠ADH=∠MQH=∠QHA=90°，从而得到∠AHD=∠QHM，进而证出△ADH≌MQH，即得AH=MH，设DH=x，则CH=MH=AH=3-x，再由勾股定理可列关于x方程，即3+x2=（3-x）2，解得x值即可求得MH的长度.
10．（2017八下·萧山期中）如图，在矩形 中， ， 的平分线交边 于点 ， 于点 ，连接 并延长交边 于点 ，连接 交 于点 .给出下列命题：① ；② ；③ ；④ .其中正确命题为（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】在矩形ABCD中， ，
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=45°，
∵AD⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形， ，∴AH=AB=CD.
∵△DEC是等腰直角三角形， ，∴AD=DE，∴∠AED=67.5°，
∴∠AEB=180° 45° 67.5°=67.5°，∴∠AED=∠AEB.
故①正确；
设DH=1，
则AH=DH=1， ， ， ，故②错误；
∵∠AEH=67.5°，∴∠EAH=22.5°.
∵DH=CD，∠EDC=45°，∴∠DHC=67.5°，∴∠OHA=22.5°，
∴∠OAH=∠OHA，∴OA=OH，∴∠AEH=∠OHE=67.5°，∴OH=OE，
，故③正确；
∵AH=DH，CD=CE，
在△AFH与△CHE中，
∵∠AHF=∠HCE=22.5°，∠FAH=∠HEC=45°，AH=CE，∴△AFH≌△CHE，∴AF=EH.
在△ABE与△AHE中，
∵AB=AH，∠BEA=∠HEA，AE=AE，∴△ABE≌△AHE，∴BE=EH，
∴BC BF=(BE+CE) (AB AF)=(CD+EH) (CD EH)=2EH，
故④错误，
所以①，③正确，
答案为：B
【分析】利用等腰直角三角形的三边关系，斜边等于直角边的倍，D E = C D=BC=AD，进而∠AED=67.5°，∠AED=∠AEB；进一步可得△ABE≌△AHE，BE=EH，设DH=1，可求出HE =2 H E = 2 ( 1 ) ≠ 1；可证得OA=OH，得出∠AEH=∠OHE=67.5°，所以OH=OE，OH=AE；BC BF=(BE+CE) (AB AF)=(CD+EH) (CD EH)=2EH
11．（2020八下·兴城期末）如图，在矩形 中，点 在 边上， 于 ，若 ， ，则线段 的长是（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BCD=90°，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DF⊥AE，
∴∠DFE=90°，
∵FE=CE，
∵DE=DE，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），
∴∠FED=∠DEC，
∴∠FED=∠ADE，
∴AE=AD，
∴BE=BC-EC=AE-EC，
在Rt△ABE中，设AE为x，由勾股定理可得：AB2+BE2=AE2，
即32+（x-1）2=x2，
解得：x=5，
所以AE=5，
∴AF=AE-EF=5-1=4，
故答案为：B.
【分析】根据四边形ABCD是矩形，EF=CE，DF⊥AE，证明△DFE≌△DCE，即可得到∠FED=∠DEC，进而得出AE=AD，Rt△ABE中利用勾股定理解答即可.
12．（2021八下·苏州期末）如图，在 中， ， ， .分别以点B、D为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN分别与AD、BC相交于点E、F，则EF的长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由作法得 垂直平分 ，
，
连接 交 于 点，过 点作 于 ，连接 ，如图，则 ， ，
四边形 为平行四边形，
， ， ，
，
在 中， ，
，
设 ，则 ， ，
在 中， ，解得 ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用作图知EF垂直平分BD，利用垂直平分线的性质，可得FB=DF，连接BD交EF于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接DF，可得OB=OD，EF⊥BD； 利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，AD∥BC，同时可求出CD的长及∠DCH的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CH的长及DH的长；设BF=x，可表示出DF，FH的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值及BD的长，即可得到OB的长；利用勾股定理求出OF的长；然后用ASA证△DOE≌△BOF，利用全等三角形的性质可证得OE=OF，即可求出EF的长.
二、填空题（每题3分，共45分）
13．（北师大版数学八年级下册6.2平行四边形的判定同步练习）如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有 个
【答案】3n
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A1C1∥AB1A1B1∥BC1A1C1∥B1C
A1C1=AB1A1B1=BC1A1C1=B1C，
∴四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C是平行四边形，共有3个．
在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，
同理可证：四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C、A2B2C2B1、A2B2A1C2、A2C2B2C1是平行四边形，共有6个．
…
按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．
【分析】根据平行四边形的判断定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．在图（1）中，有3个平行四边形；在图（2）中，有6个平行四边形；…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有3n个．
14．（2017八下·宝丰期末）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=3，则DF的长为 ．
【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长CF交AB于G，
∵AE是角平分线，CF⊥AE，
∴△AGC是等腰三角形，
∴AG=AC=3，CF=GF，
∴BG=AB﹣AG=5﹣3=2，
∵AD是中线，
∴BD=CD，
∴DF是△BCG的中位线，
∴DF= BG= ×2=1．
故答案为：1．
【分析】延长CF交AB于G，由对称性判断出△AGC是等腰三角形，求出AG=AC，CF=GF，再求出BG，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF= BG．
15．（2017八下·萧山期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，中线CE＝5.延长AB到点D，使BD＝AB，则CD的长 .
【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】取AC的中点F，连接BF，
∵AB=AC，点E，F分别是AB，AC的中点，∴AE=AF.
∵∠A=∠A，AB=AC，∴△ABF≌△ACE(SAS)，∴BF=CE.
∵BD=AB，AF=CF，∴DC=2BF，∴DC=2CE=10.
故答案为10.
【分析】运用中位线定理，构造出中位线，再利用全等得出BF=AE，进而得出DC=2CE=10.
16．（2020八下·惠州期末）如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是 .
【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【解答】解：在平行四边想PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O
∴O为DC的中点
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H
∵AD∥BC
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDC=∠DCQ+∠QCH
∵PD∥CQ
∴∠PDC=∠DCQ
∴∠ADP=∠QCH
又∵PD=CQ
∴直角三角形ADP≌直角三角形HCQ
∴AD=HC
∵AD=1，BC=3
∴BH=4
∴当PQ⊥AB时，PQ的值最小，即为4.
【分析】根据题意，结合平行四边形的性质以及中点的性质证明得到△ADP≌△HCQ，根据全等三角形的性质即可得到答案。
17．（2022八下·海曙期末）如图， 中， ，以AB为边在三角形外的 的对角线交于点F，AE=2，AB=5，则CF的最大值是 ．
【答案】3.5
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，取AB中点O，连结FO，CO，
∵ AEDB，AE=2，AB=5，
∴BD=2，AO=BO=2.5，AF=DF，
∴OF是△ABD的中位线，
∴FO=1，
又∵∠ACB=90°，
∴OC=2.5，
在△FOC中，CF＜FO+OC，
∴当F、O、C三点共线时，CF最大，
∴CFmax=FO+OC=1+2.5=3.5.
故答案为：3.5.
【分析】如图，取AB中点O，连结FO，CO，由平行四边形性质得BD=2，AO=BO=2.5，AF=DF，可证出OF是△ABD的中位线，即得FO=1，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得OC=2.5，在△FOC中，由三边关系得CF＜FO+OC，因此当F、O、C三点共线时，CF最大，求得CF值即可.
18．（2022八下·拱墅期中）如图，在 中， 是对角线， ，点 是 的中点， 平分 ， 于点 ，连接 已知 ， ，则 的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长AB 、 CF交于点H ，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
，
点E是BC的中点， ，
，
故答案为： .
【分析】如图，延长AB、CF交于点H，由平行四边形的性质可得AB∥CD，由平行线的性质可得∠ACD=∠BAC=90°，用勾股定理可求得AC的值，由角平分线定义可得∠BAF=∠CAF，结合已知用角边角可证ΔAFH≌ΔAFC，则AC=AH，HF=CF，由线段的构成BH=AH-AB可求得BH的值，然后根据三角形中位线定理得EF=BH可求解.
19．（2020八下·温州期中）如图在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，四条内角平分线围成四边形EFGH面积为 ， 则平行四边形ABCD面积为
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥BC交BC于M，延长AF交BC于N，连接EF
∵ABCD 为平行四边形 ，AN平分∠BAD
∴∠BNA=∠DAN，∠BAN=∠DAN
∴∠BNA=∠BAN
∵∠ABC=60°
∴△ABN为等边三角形
∴AN=NB=AB=4
∵AM⊥BC
∴AM=
∵BE平分∠ABC，CG平分∠BCD
∴∠EBC=30°，∠NCG=60°
∵∠BNA=60°
∴∠BEN=90°，EN//HC
同理可得BH//DF
∴四边形EFGH为矩形
∵四边形EFGH面积为
∴EF=1，FG=
∴EG=2
∵EN//GC，EN=GC
∴四边形ENCG为平行四边形
∴NC=EG=2
∴BC=4+2=6
∴平行四边形ABCD面积 =BC×AM=6×
故答案为：
【分析】本题考查了平行四边形的综合运用。解题的关键在于根据角平分线和平行的性质得到△ABN为等边三角形，根据等边三角形的性质解得AM的值，接下来就是证明四边形EFGH为矩形，然后根据三角形的中位线得到F为EN的中点，从而得到EF的值，然后根据四边形EFGH面积得到EG的值，最后根据对边平行且相等得到四边形ENCG为平行四边形，得到NC的值，根据四边形的面积=底×高即可得到答案.
20．（2023八下·文成期中）如图，在中，点，分别为，的中点，平分，交于点，连接并延长交于，已知，，，则 ．
【答案】2
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∴∠EFC=∠ACF.
∵CF平分∠ACB，
∴∠ECF=∠ACF，
∴∠EFC=∠ECF，
∴EC=EF.
∵EB=EC，
∴EF=EB=EC，
∴∠CFB=90°，
∴BC==5.
∵∠FCG=∠FCB，CF=CF，∠CFG=∠CFB，
∴△CFG≌△CFB（ASA），
∴CG=CB=5，
∴AG=AC-CG=7-5=2.
故答案为：2.
【分析】由题意可得DE为△ABC的中位线，则DE∥AC，根据平行线的性质可得∠EFC=∠ACF，由角平分线的概念可得∠ECF=∠ACF，进而推出EC=EF，结合EB=EC可得EF=EB=EC，推出∠CFB=90°，利用勾股定理可得BC的值，根据ASA证明△CFG≌△CFB，得到CG=CB=5，然后根据AG=AC-CG进行计算.
21．（2023八下·宝安期末）如图，在平行四边形ABCD中，，对角线AC、BD交于点，经过点的直线交AD于点，且平分的周长，则 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长DA至H，使AH=AB，连接BH，过点A作AN⊥BH于N
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ODOB
∵OE平分△ABD的周长
∴AE+ABOB=OD+DE
∴AH+AE=DE，即HE=DE
又∵BO=DO
∴BH=2OE
∵AH=AB，∠BAD=60°
∴∠H=∠ABH=30°
∵AH⊥BH
∴AN=AB=2，HN=BN=AN=
∴BH=
∴OE=.
故答案为：.
【分析】由三角形的中位线定理可得BH=2OE，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得BH=，从而可以求得OE=.
22．（2017八下·常熟期中）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，∠AOB=60°，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE，则∠COE= ．
【答案】75°
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=60°，
∴∠DOC=∠AOB=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，AC=BD，AC=2CO，BD=2OD，
∴OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴DC=OC，∠ACD=60°，
∴∠ACB=90°﹣60°=30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠DEC，
∴DC=CE，
∴CE=OC，
∵∠OCE=30°，
∴∠COE= （180°﹣30°）=75°；
故答案为：75°．
【分析】根据矩形的性质得出∠DCB=90°，AC=BD，AC=2CO，BD=2OD，求出OC=OD，得出△COD是等边三角形，求出∠ACB=30°，求出OC=CE，即可求出答案．
23．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.1.1 矩形的性质 同步练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB=3，AD=4，
∴BD= = =5，
S△ABD= AB AD= BD AG，
即 ×3×4= ×5×AG，
解得AG= ，
在矩形ABCD中，OA=OD，
∵S△AOD= OA PE+ OD PF= OD AG，
∴PE+PF=AG= ．
故答案为： ．
【分析】对角线将平行四边形分为四个面积相等的小三角形，利用等面积法即可证得PE+PF=AG，从而可求得其值.
24．（2021八下·长兴期末）如图，在矩形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME=15°，则∠ABE=
【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质；反证法
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∴△MBC≌△MEB≌△DMA
∴AM=MB∴∠MAB=∠MBA
同理，∠EBM=∠MBC， ∠C=∠E，
又∵∠EMA=15°，
设AM交EB于点F，
∴∠EFM=∠AFB=75°
设∠CBM=x，
∴∠CBM=∠MBE=∠MAD，
∴∠MAB=90°-x， ∠EBA=90°-2x，
∴90-x+90-2x=75，
解得，x=25°，
∴∠ABE=90-2×25=40°
故答案为：40°.
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，知道△MBC、△MEB和△DMA全等，根据三角形内角和的性质，设∠CBM，列出等式，求出∠CBM，再根据∠ABE和∠CBM的关系，求出∠ABE的值。
25．（2020八下·南京期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC、AD于点E、F，若BE=3，AF=5，则AC的长为 .
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接AE，设 相交于点 ，
∵EF垂直平分AC，
∴∠AOF=∠COE=90°，AO=CO，AE=CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B=90°，AD=BC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，
∵∠FAO＝∠ECO，AO＝CO，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE，
∴AE=AF，
∵BE=3，AF=5，
∴CE=5，
∴AE=5，BC=BE+CE=8，
由勾股定理得：
，
故答案为： .
【分析】根据题意和矩形的性质、线段垂直平分线的性质，可以证明△AOF≌△COE，从而可以得到AE和AB的长，然后利用勾股定理，即可得到AC的长.
26．（2024八下·长兴月考）如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边(纸条不重叠)如图③，正方形美术作品的面积为 .
【答案】
【知识点】二次根式的应用；矩形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，
∴∠B=∠C=45°，
∵四边形CDHG是矩形，且CD= ，
∴HG=CD= ，∠BGH=90°，
∴∠B=∠BHG=45°，
∴GB=GH=，
∴CG=DH=BC-BG=cm，
∵四边形CDHG是矩形，
∴DH∥BC，
∴∠B=∠DHN=45°，
∵四边形DENM是矩形，且DE=，
∴MN=ED= ，∠NMH=90°，
∴∠MNH=∠MHN=45°，
∴MN=MH=，
∴DM=EN=DN-MH=cm；
同理FQ=PE=，
∵AF=AC-CD-DE-EF=，
∴这样的长方形纸条只能裁出三条，
这三条的总长度为：CG+DM+EN=cm，
∴美术作品的边长为：cm，
∴这个美术作品的面积为：cm2.
故答案为：.
【分析】由等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=45°，由矩形的性质得HG=CD= ，∠BGH=90°，从而可推出△BHG是等腰直角三角形，得GB=GH=，CG=DH=BC-BG=cm，同理可求出DM、PE得长，可得到裁剪出的矩形纸条的总长度，进而结合图③找出美术作品的边长，最后根据正方形面积计算方法计算可得答案.
27．（2024八下·长兴月考）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”.例如：与是“同族二次方程”.现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 .
【答案】2019
【知识点】偶次方的非负性；定义新运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵关于x得一元二次方程(m+2)x2+(n-4)x+8=0与2(x-1)2+1=0为同族二次方程，
∴(m+2)x2+(n-4)x+8=(m+2)(x-1)2+1，
∴(m+2)x2+(n-4)x+8=(m+2)x2-2(m+2)x+m+3，
∴，
解得，
∴mx2+nx+2024=5x2-10x+2024=5(x-1)2-5+2024=5(x-1)2+2019，
∴当x=1时，代数式mx2+nx+2024的最小值为2019.
故答案为：2019.
【分析】根据 “同族二次方程” 得定义可得(m+2)x2+(n-4)x+8=(m+2)(x-1)2+1，然后将方程的右边展开与左边比较可得关于字母m、n得方程组，求解得出m、n得值，再代入待求代数式，利用配方法将代数式配成一个式子的完全平方与一个常数的和的形式，进而结合偶数次幂的非负性即可得出答案.
三、解答题（共2题，共10分）
28．（2017八下·林甸期末）如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．
【答案】解：在△AGF和△ACF中， ，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG=AC=6，GF=CF，则BG=AB﹣AG=8﹣6=2．又∵BE=CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF= BG=1．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】先根据ASA证明△AGF≌△ACF，利用全等三角形性质易得AG=AC=6、GF=CF，然后求得BG，最后根据中位线定理求得EF。
29．（2015八下·嵊州期中）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=24cm，DC=10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒3cm，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？
【答案】解：①以PQAD构成四边形
设X秒成为平行四边形
根据题意得：
x=24﹣3x
∴x=6
∴当运动6s时成为平行四边形；
②以PQBC构成四边形
设Y秒成为平行四边形
根据题意得：
10﹣y=3y
∴y=2.5
∴当运动2.5s时也成为平行四边形．
③四边形PAQC、四边形PDQB其实也可能成为平行四边形，其中，PDQB是错误的，四边形PAQC成为平行四边形时是7秒．
故答案为6秒、2.5秒、7秒
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】根据题意P，Q和梯形ABCD的两个顶点构成平行四边形，分两种情况讨论：①可以构成四边形PQAD；②可以构成四边形PQBC两种．
四、综合题（共3题，共29分）
30．如图
（1）如图1，在 ABCD中，AE平分∠BAD交CD边于点E，已知AB=5cm，AD=3cm，则EC等于 cm。
（2）如图2，在 ABCD中，若AE，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，点E在DC边上，且AB=4，则ABCD的周长为 。
（3）如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线。求证：DF=EC
（4）在（3）的条件下，如果AD=3，AB=5，则EF的长为 。
【答案】（1）2
（2）12
（3）证明：∵在ABCD中，CD∥AB，
∠DFA=∠FAB.
又∵AF是∠DAB的平分线
∠DAF=∠FAB，
∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF，同理可得EC=BC.
∵AD=BC，
DF=EC
（4）1
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5cm，AB∥CD，
∴∠AED=∠BAE，
∵AE平分∠BAD交CD边于点E，
∴∠BAE=∠DAE，
∴DA=DE=3cm，
∴EC=CD-DE=5-3=2cm，
故答案为：2.
(2)由(1)得DE=AD，同理CE=CB，
∴AD+BC=ED+EC=AB=4，
∴ABCD的周长=AB+CD+AD+BC=4+4+4=12.
故答案为：12.
（4）由（3）可得，AD=DF=BC=EC=3.
∵AB=CD=5，
EF=DF+EC-CD=3+3-5=1.
故答案为1
【分析】(1)根据平行四边形的性质求出CD长，再根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出∠BAE=∠DAE，则可求出DE长，即可解答；
(2)由(1)得出AD=DE，BC=EC，然后根据平行四边形的性质求出CD长，根据线段间的和差关系求出AB和BC的长度之和，从而求出ABCD的周长；
(3)根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出∠BAE=∠DAE，则可求出AD=DF，EC=BC，结合AD=BC，则可得出DF=EC ；
(4)由(3)求出DF和EC的长，结合AB=CD，利用线段间的和差关系即可解答.
31．（2022八下·沂南期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．
【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴，
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC
∴，
∴四边形ADFE是平行四边形
∵AE⊥BC
∴四边形ADFE是矩形；
（2）解： 由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝6，
∵EC＝4，
∴BE＝CF＝2，
∴BF＝8，
在Rt△ABE中，∠ABF＝，
∴AB＝2BE＝4，
∴DF＝AE＝，
∴BD＝，
∵四边形ABCD是平行四边形中，对角线AC，BD交于点O，
∴O是BD中点，
∴．
又∵四边形ADFE是矩形，
∴，
∴
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形ADFE是平行四边形，再结合AE⊥BC，即可得到四边形ADFE是矩形；
（2）先证明∠BFD为直角，再利用勾股定理求出BD的长，最后利用直角三角形斜边上中线的性质可得。
32．（2024八下·长兴月考）阅读材料：
已知a，b为非负实数，
，当且仅当“”时，等号成立.
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用.
例：已知，求代数式最小值.
解：令，则由，得.
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6.
根据以上材料解答下列问题：
（1）【灵活运用】
已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 .
（2）已知，求代数式的最小值.
（3）【拓展运用】
某校要对操场的一个区域进行改造，利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为的花圃，所用的围栏至少为多少米
（4）如图2，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点和的面积分别是4和12，求四边形ABCD面积的最小值.
【答案】（1）；
（2）解：∵
设a=2x，b=，
∵，
∴，
∴当时，即时，代数式取到最小值，为，
∴代数式的最小值为；
（3）解：设花圃的宽为x米，则长为米，所用围栏的总长度为(4x+)米，
令a=4x，b=，
由，得4x+≥，
当且仅当4x=时，即时，代数式4x+取到最小值，最小值为，
∴ 所用的围栏至少为米；
（4）解：如图，作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∵三角形AOD与△BOC的面积分别是4和12，
∴OD×AE=4，OB×CF=12，
∴OD=，OB=，
∵S△AOB=OB×AE，S△COD=OD×CF，
∴S四边形ABCD=S△AOB+S△AOD+S△BOC+S△COD=OB×AE+OD×CF+16=，
设a=，b=，
由，得，
当且仅当时，即时，代数式取到最小值，最小值为，
∴得最小值是，
∴四边形ABCD面积的最小值是.
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用
【解析】【解答】解：（1）设a=x，b=，
∵，
∴，
∴当且仅当时，即x=时，代数式取到最小值，最小值为；
故答案为：；；
【分析】（1）模仿阅读材料提供的例题方法解题即可；
（2）根据，故模仿阅读材料提供的例题方法求出的最小值即可求解；
（3）设花圃的宽为x米，则长为米，所用围栏的总长度为(4x+)米，模仿阅读材料提供的例题方法求出4x+的最小值即可求解；
（4）作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，根据三角形的面积计算公式结合三角形AOD与△BOC的面积分别是4和12，可求得OD=，OB=，然后根据S四边形ABCD=S△AOB+S△AOD+S△BOC+S△COD可得S四边形ABCD=OB×AE+OD×CF+16=，模仿阅读材料提供的例题方法求出的最小值即可求解.
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