浙教版八下第四章平行四边形单元提升卷（含解析）

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八下第四章平行四边形单元提升卷（含解析）
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．一个多边形的外角和是内角和的 ，这个多边形的边数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，已知△ABC与△CDA关于点O中心对称，过点O任作直线分别交AD、BC于点M、N，下列结论：①点M和点N，点B和点D分别关于点O对称；②直线BD必经过点O；③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DMOC和四边形BNOA的面积相等；⑤△AOM和△CON成中心对称.其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，在 中， ， ， .分别以点B、D为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN分别与AD、BC相交于点E、F，则EF的长为（　　）
A． B．4 C． D．
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4 .E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（　　）
A． B．2 C． D．2
6．如图，在 中， 、 是 的中线， 与 相交于点 ，点 、 分别是 、 的中点，连接 .若， ， 则四边形 的周长是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，线段与相交于点E，，则的最小值是（　　）
A． B．5 C． D．
8．如图， 的对角线AC、BD相较于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠ADC＝60°，AB＝ BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；② ；③OA＝OB；④OE＝ BC．其中成立的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为（　　）
A． B． C． D．不确定
10．如图，在平行四边形中，，于E，于F，交于H，、的延长线交于E，给出下列结论：
①； ②；
③； ④若点F是的中点，则；
其中正确的结论有（　　）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．一个正多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的一个内角的度数是　 　度．
12．如图所示，△ABO与△CDO称为“对顶三角形”，其中∠A+∠B=∠C+∠D．利用这个结论，在图2中，∠A十∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= 　 　
13．如图，AB丄CD于点E，且AB = CD = AC，若点I是三角形ACE的角平分线的交点，点F是BD的中点.下列结论：①∠AIC= 135°；②BD = BI，③S△AIC = S△BID ；④IF⊥AC.其中正确的是　 　（填序号）.
14．如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF的最大值与最小值的差为　 　．
15．如图，在平行四边ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是　 　（把所有正确结论的序号都填在横线上）
（ 1 ）∠DCF= ∠BCD，（2）EF=CF；（3）SΔBEC=2SΔCEF；（4）∠DFE=3∠AEF
16．如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 . 为直线 上一动点.以 、 为邻边构造平行四边形 ，连接 ，若 .则 的最小值为　 　.
三、解答题
17．如图，在边长为1的正方形网格中，A(2，4)，B(4，1)，C(-3，4)
（1）平移线段AB到线段CD，使点A与点C重合，写出点D的坐标.
（2）直接写出线段AB平移至线段CD处所扫过的面积.
（3）平移线段AB，使其两端点都在坐标轴上，则点A的坐标为　 　
18．（1）已知一个多边形的每个内角都是144°，求这个多边形的内角和．
（2）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察现实生活世界，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：
①如图1，求∠BCE的度数．
②如图2，已知AE∥CD，求∠CFE的度数．
19．如图，在 ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，点E，G在AC上.
（1）求证：BE∥DG，BE=DG.
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F.若 ABCD的周长为56，EF=6，求△ABC的面积.
20．如图，OC平分∠AOB，P为OC上的一点，∠MPN的两边分别与OA、OB相交于点M、N．
（1）如图1，若∠AOB＝90°，∠MPN＝90°，过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点F，请判断PM与PN的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若∠AOB＝120°，∠MPN＝60°，求证：OP＝OM+ON．
21．如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，，连接和的交点为M，和的交点为N，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，求的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，此时点恰好落在直线上．
（1）求出线以的长度；
（2）求出的函数关系式；
（3）若点是轴上的一个动点，点是线段上的点（不与点、重合），是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，说明理由．
23．下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，点D，E分别是，边的中点．求证：，且．
（1）方法一：证明：如图，延长到点，使，连接，，．
（2）方法二：证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
24．【问题背景】
某“数学学习兴趣小组”在学习了“等腰三角形的性质”和“平行四边形的性质和判定”后，在习题中发现了这样一个问题：如图1，在等腰中，，点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且，过点B作于点F，请写出线段、、之间满足的数量关系式．
同学们经过交流讨论，得到了如下两种解决思路：
解决思路1：如图2，过点P作于点G；
解决思路2：如图3，过点B作，交的延长线于点H；
（1）上述两种解决思路都可以证明一组三角形全等，判定一个四边形为平行四边形，从而可证得线段之间满足的数量关系式为　 　．
（2）【类比探究】
如图4，在等腰中，，点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且，过点B作交于点F，请写出线段之间满足的数量关系式，并说明理由．
（3） 【拓展应用】
如图5，在与中，，，点A、B、P在同一条直线上，若，，则　 　．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
2．【答案】C
【解析】【解答】多边形的外角和为360°，由题可知该多边形内角和为360°× =900°，根据多边形内角和公式=（n-2）×180°=900°，解得n=7.
故答案为：C.
【分析】先根据多边形的外角和为360°及一个多边形的外角和是内角和的 求出多边形的内角和，再根据多边形内角和公式=（n-2）×180° 即可求出这个多边形的边数.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：△ABC与△CDA关于点O对称，则AB＝CD、AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形，
因此点O就是 ABCD的对称中心，则有：
①点M和点N；B和D是关于中心O的对称点，正确；
②直线BD必经过点O，正确；
③四边形ABCD是中心对称图形，正确；
④四边形DMOC与四边形BNOA的面积必相等，正确；
⑤△AOM与△CON成中心对称，正确；
其中正确的个数为5个，
故答案为：D.
【分析】由于△ABC与△CDA关于点O对称，则AB＝CD、AD＝BC，再根据平行四边形的判定得到四边形ABCD是平行四边形，进而得到点O就是 ABCD的对称中心，根据题意逐一判断即可求解.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：由作法得 垂直平分 ，
，
连接 交 于 点，过 点作 于 ，连接 ，如图，则 ， ，
四边形 为平行四边形，
， ， ，
，
在 中， ，
，
设 ，则 ， ，
在 中， ，解得 ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用作图知EF垂直平分BD，利用垂直平分线的性质，可得FB=DF，连接BD交EF于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接DF，可得OB=OD，EF⊥BD； 利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，AD∥BC，同时可求出CD的长及∠DCH的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CH的长及DH的长；设BF=x，可表示出DF，FH的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值及BD的长，即可得到OB的长；利用勾股定理求出OF的长；然后用ASA证△DOE≌△BOF，利用全等三角形的性质可证得OE=OF，即可求出EF的长.
5．【答案】C
6．【答案】A
【解析】【解答】解：依题意可知D，E，F，G分别是AC，AB，BO，CO的中点，
∴DE是△ABC的中位线，FG是△OBC的中位线，EF是△ABO的中位线，DG是△AOC的中位线，
∴DE=FG= BC=2cm，EF=DG= AO= cm，
∴四边形 的周长是DE+EF+FG+DG=7cm，
故答案为：A.
【分析】由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得DE=FG=BC，EF=DG=AO，所以四边形EFGD的周长=DE+EF+FG+DG可求解.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，以AC、AB为邻边构建平行四边形ABFC，过点F作CH⊥CD，
∴AB∥CF，CF=AB=6，FB=AC，
∵∠AEC=60°，∴∠DCF=∠AEC=60°，
∵BD+BF≥DF，∴当D、B、F三点共线时，BD+BF=BD+AC的值最小，即为DF的长，
在Rt△CFH中，∠CFH=30°，∴CH=CF=3，FH=CH=3，
∴DH=CD-CH=1，
∴DF== ，
∴的最小值是；
故答案为：C.
【分析】以AC、AB为邻边构建平行四边形ABFC，过点F作CH⊥CD，由BD+BF≥DF，可知当D、B、F三点共线时，BD+BF=BD+AC的值最小，即为DF的长，利用直角三角形的性质求出FH，再利用勾股定理求出DF即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】 四边形ABCD是平行四边形， ，
，
平分 ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，则结论①成立，
，
，则结论②成立，
在 中，OA是直角边，OB是斜边，
，则结论③不成立，
，
是 的中位线，
，则结论④成立，
综上，结论成立的个数是3个，
故答案为：C．
【分析】①先根据平行四边形的性质可得 ，再根据角平分线的定义可得 ，然后根据等边三角形的判定与性质可得 ， ，又根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得 ，最后根据角的和差即可得；②由①已推得 ，再根据 即可得；③在 中，根据直角边小于斜边即可得；④在 中，利用三角形中位线定理可得 ，再根据 即可得．
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴A1B1∥AC，A1B1= AC，
∴△BA1B1∽△BAC，
∴△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即 ，
又∵四边形ABCD的对角线AC=8，BD=4，AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积是16，
∴SA1B1C1D1= ×16，
∴四边形AnBnCnDn的面积=16× = ．
【分析】根据三角形中位线定理得A1B1=AC，△BA1B1∽△BAC，进而利用相似三角形的性质得△BA1B1和△BAC的面积比等于.再求得四边形ABCD的面积是16，可得四边形A1B1C1D1= ×16，
……，故四边形AnBnCnDn的面积=16×.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵AG⊥BC，
∴∠AGC =90°
又∵∠ACB =45°
∴△ AGC 是等腰直角三角形
∴AG = CG
∴AC=
=
故①正确；
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD // BC ， AB // CD
∵ AG⊥BC， CF⊥AB
∴AG⊥AD ， CF⊥CD
∴ ∠DAH =∠DCH =90°
∴∠D+∠ AHC =360°-90°-90°=180°
∵∠ CHG+∠ AHC=180°
∴∠D=∠ CHG
故②正确；
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠B=∠ D
∴∠ CHG=∠B
∵ AG⊥BC
∴∠AGB=∠AGC=90°
又∵AG = CG
∴△CHG≌△ABG
∴CH=AB
∴CH=CD
故③正确；
连接 BH ，如图：
∵△CHG≌△ABG
∴HG=BG
∴△ BGH 是等腰直角三角形
∴BH=BG
∵点F是AB的中点，CF⊥AB
∴AH=BH=BG
∵BG=HG=AG-AH
∴BG=CG-BG
∴BG=
故④正确；
综上所述：正确的结论有4个，
故答案为：A.
【分析】①根据题意可证△ AGC 是等腰直角三角形，则 AG = CG ，再由勾股定理即可得出结论；
②由平行四边形的性质得AD // BC ， AB // CD ，再根据AG⊥BC， CF⊥AB，∠DAH =∠DCH =90°，再证∠D +∠AHC =180°，进而得出结论；
③证△CHG≌△ABG ( AAS )，得 CH = AB ，即可得出结论；
④连接 BH ，证△ BGH 是等腰直角三角形，得 BH =BG，再证 AH = BH =BG，即可得出结论。
11．【答案】135
【解析】【解答】设多边形的边数为n．
因为正多边形内角和为（n 2） 180°，正多边形外角和为360°，
根据题意得：（n 2） 180°＝360°×3，
解得：n＝8．
∴这个正多边形的每个外角＝ ＝45°，
则这个正多边形的每个内角是180° 45°＝135°，
故答案为：135．
【分析】根据多边形的内角和公式及外角和的关系求解即可。
12．【答案】540
【解析】【解答】解：如图2，连接BE，
由对顶三角形可得，∠C+∠D=∠CBE+∠DEB．∵五边形ABEFG中，∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G=540°，即∠A+∠ABC+∠CBE+∠BED+∠DEF+∠F+∠G=540°，∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=540°．故答案为540．
【分析】解决本题的关键是做辅助线构造“对顶三角形”以及五边形，并得出∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，解题时要注意，五边形的内角和为540°
13．【答案】①③④
【解析】【解答】解：如图，延长IF到G，使得FG=FI，连接DG，BG，延长FI交AC于K.
∵AB⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAC+∠ECA=90°，
∴∠IAC+∠ICA=∠EAC+∠ECB=45°，
∴∠AIC=180°-45°=135°，故①正确；
∵AB=AC，∠IAB=∠IAC，AI=AI，
∴△AIB≌△AIC（SAS），
∴∠AIB=∠AIC=135°，IA=ID，
∴∠BIC=360°-135°-135°=90°，
同法可证：△ICA≌△ICD（SAS），
∴∠AIC=∠CID=135°，IC=ID，
∴∠AID=360°-135°=90°，
∴∠DIB+∠AIC=180°，
∵DF=FB，IF=FG，
∴四边形JBGD是平行四边形，
∴ID=BG=AI，ID∥BG，
∴∠DIB=∠IBG=180°，
∴∠AIC=∠IBG，
∵IA=ID，IC=IB，
∴△AIC≌△GBI（SAS），
∴∠GIB=∠ACI，S△AIC=S△BGI=S平行四边形DGBI=S△BDI，故③正确；
∵∠GIB+∠CIK=90°，
∴∠CIK+∠ICK=90°，
∴∠IKC=90°，即IF⊥AC，故④正确，
不妨设BI=BD，则△BDI是等腰直角三角形，显然ID=IB，即AI=IC，显然题目不满足这个条件，故②错误.
故答案为：①③④.
【分析】 见图，延长IF到G，使得FG=FI，连接DG，BG，延长FI交AC于K，利用全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质一一判断即可.
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD= 120°
∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2
∴AM=DM=DC=2
∴△CDM是等边三角形
∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC
∴∠MAC=∠MCA=30°
∴∠ACD=90°
∴AC=2
在Rt△ACN中，AC=2 ，∠ACN=∠DAC=30°
∴AN= AC=
∵AE=EH，GF=FH
∴EF= AG
∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长
∵AG的最大值为2 ，最小值为
∴EF的最大值为 ，最小值为
∴EF的最大值与最小值的差为 - = ．
故答案为 ．
【分析】取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再证明∠ACD=90°，求出AC=2 、AN= ；然后由三角形中位线定理，可得EF= AG，最后求出AG的最大值和最小值即可．
15．【答案】①②④
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF= ∠BCD，故此选项正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确.
故答案为：①②④.
【分析】根据中点的定义及已知可以推出FD=CD，然后根据等边对等角得出∠DFC=∠DCF，根据平行四边形的性质及平行线的性质得出∠DFC=∠FCB，利用等量代换得出∠DCF=∠BCF，所以∠DCF= ∠BCD，故①正确；延长EF，交CD延长线于M，根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠A=∠MDF，从而利用ASA判断出△AEF≌△DMF，根据全等三角形的性质得出FE=MF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出FC=FM，故②正确；根据等底同高的三角形的面积相等得出S△EFC=S△CFM，根据同高三角形的面积之间的关系就是底之间的关系得出S△BEC＜2S△EFC，故③错误；设∠FEC=x，则∠FCE=x，∠DCF=∠DFC=90°-x，根据三角形的内角和表示出∠EFC=180°-2x，根据角的和差得出∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∠AEF=90°-x，从而即可得出结论.
16．【答案】
【解析】【解答】解：过点Q作QR//AB，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，如图，
∵ ，
∴∠ACM=30°
∵AC=4
∴AM=2
由勾股定理得，CM=
∵
∴∠MCB=45°
∴
∵ 平分
∴
设MN=x，则AN=2+x
在 中，
∴
由勾股定理得，
∴
∴
又在 中，
∴
解得，
∴DN=2
设O为平行四边形DPQB的中心，
∴O在PB上，
过点Q作QT⊥PB于点T，
∵QO=DO，∠TOQ=∠DON，∠QTO=∠DNO
∴
∴QT=DN=2
根据垂线段最短可知，当CQ⊥QR时，CQ最短，此时CQ=CM+QT=
故答案为：
【分析】过点Q作QR//AB，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，求出，设MN=x，则AN=2+x，根据DN的长列出方程，求出x值，设O为平行四边形DPQB的中心，可得O在PB上，过点Q作QT⊥PB于点T， 证明，可得QT=DN=2，根据垂线段最短可知，当CQ⊥QR时，CQ最短，此时CQ=CM+QT，据此求出结论即可.
17．【答案】（1）解：∵平移线段AB到线段CD，使点A与点C重合，A(2，4)，C(-3，4)，
∴坐标变化规律是：横坐标减去5，纵坐标不变，∵B(4，1)，∴点D的坐标为(-1，1)
（2）解：∵平移线段AB到线段CD，∴AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，∴线段AB平移至线段CD处所扫过的面积为：5×3=15
（3）(0，3)或(-2，0)
【解析】【解答】（3）解：分两种情况：①如果平移后A的对应点在y轴上，B的对应点在x轴上，
那么坐标变化规律是：横坐标减去2，纵坐标减去1，
∵A(2，4)，∴平移后点A的坐标为(0，3)
②如果平移后A的对应点在x轴上，B的对应点在y轴上，
那么坐标变化规律是：横坐标减去4，纵坐标减去4，∵A(2，4)，∴平移后点的坐标为(-2，0)；
故答案为(0，3)或(-2，0)
【分析】（1）根据点A与点C的坐标得出坐标变化规律，从而得到点D的坐标；（2）根据平移的性质得出ABDC是平行四边形，根据平行四边形的面积公式列式计算即可；（3）分两种情况：①平移后A的对应点在y轴上，B的对应点在x轴上；②平移后A的对应点在x轴上，B的对应点在y轴上.
18．【答案】（1）解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝144°n，
解得：n＝10，
则（14﹣2）×180°＝1440°，
即这个多边形的内角和是1440°；
（2）解：①由题意可得∠DEF＝45°，∠B＝30°，
则∠BEC＝180°﹣45°＝135°，
那么∠BCE＝180°﹣135°﹣30°＝15°；
②由题意可得∠DCE＝45°，∠B＝30°，
∵AE∥CD，
∴∠BCD＝∠B＝30°，
∴∠BCE＝45°﹣30°＝15°．
∴∠CFE=180°-90°-15°=75°
【解析】【分析】（1）根据多边形的内角和与正多边形边数与内角的关系联立等式求解即可。
（2）①由题知∠DEF=45°，∠B=30°，即可求出∠BEC的度数，再根据三角形内角和公式求解即可。
②由题意可得∠DCE＝45°，∠B＝30°，再根据AE∥CD，求出∠BCD的度数，则∠BCF的度数可求，最后根据三角形内角和求出∠CFE的度数。
19．【答案】（1）证明：在 ABCD中 ，AD∥BC，∠ABC=∠ADC，AD=BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵ BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC ，
∴∠ADG=∠CBE，
∵AD=BC，
∴△DAG≌△BCE（ASA），
∴ BE=DG，∠AGD=∠BEC，
∴∠DGE=∠BEC，
∴ BE∥DG ；
（2）解：如图，过点E作EH⊥BC，
∵ BE平分∠ABC， EF⊥AB
∴EH=EF=6，
∵ ABCD的周长为56 ，
∴AB+BC=28，
∴ △ABC的面积=△ABE的面积+△BEC的面积=AB·EF+ BC·EH
=（AB+BC）·EF=×28×6=84.
【解析】【分析】（1）用ASA证明△DAG≌△BCE，可得BE=DG，∠AGD=∠BEC，根据邻补角的定义可得∠DGE=∠BEC，再根据平行线的判定即证结论；
（2）过点E作EH⊥BC，由角平分线的性质可得EH=EF=6，由平行四边形的性质可得AB+BC=28，根据△ABC的面积=△ABE的面积+△BEC的面积=（AB+BC）·EF进行计算即可.
20．【答案】（1）解：PM＝PN，
理由如下：
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF，∠PEM＝∠PFN＝90°
∵∠AOB＝90°，∠MPN＝90°，
∴∠PMO+∠PNO＝180°，
∵∠PMO+∠PMA＝180°，
∴∠PMA＝∠PNO，
∴在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（AAS），
∴PM＝PN；
（2）解：证明：过点P作PE⊥OA于点E，过点P作PF⊥OB于点F，如图所示
∵OC平分∠AOB，
∴PE＝PF，∠PEM＝∠PFN＝90°，
∵∠AOB＝120°，∠MPN＝60°，
∴∠PMO+∠PNO＝180°，
∵∠PNO+∠PNF＝180°，
∴∠PMO＝∠PNF，
在△PME和△PNF中，
，
∴△PME≌△PNF（AAS）
∴EM＝FN，
∵∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP＝60°，
∴∠EPO＝∠FPO＝30°，
∴OP＝2OE，OP＝2OF，
∴OP＝OE+OF＝OM+ON
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得PE＝PF，根据AAS证明△PEM≌△PFN，可得PM=PN.
（2）过点P作PE⊥OA于点E，过点P作PF⊥OB于点F，证明△PME≌△PNF（AAS），可得EM＝FN，易求∠EPO＝∠FPO＝30°，利用直角三角形的性质可得OP＝2OE，OP＝2OF，继而得解.
21．【答案】（1）证明：∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等可证四边形为平行四边形；
（2）根据一组对边平行且相等可证四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，可得，利用三角形中位线定理及平行四边形的性质可得，据此即得结论.
22．【答案】（1）解：当时，，
，
当时，，
，
；
（2）解：过点作轴交于点，
，
，
，
，
，
，
，，
设，，
，
点在直线上，
，
解得，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
（3）解：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（2）可知，，
设，，，
①当为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
；
②当为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
此时点不存在；
③为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
；
综上所述：点坐标或．
【解析】【分析】（1） 由直线求出A、B的坐标， 再利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）过点作轴交于点，证明 ，可得
，，设，，则 ，将其代入直线AB上，求出t值即得C的坐标，利用待定系数法求出直线BC解析式即可；
（3） 分三种情况：①当为平行四边形的对角线 ②当为平行四边形的对角线 ③为平行四边形的对角线时，据此分别求解即可.
23．【答案】（1）解：方法一
证明：如图，延长到点，使，连接，，．
∵点D，E分别是，边的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，，
∴，
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴，．
又∵，
∴，且．
（2）解：方法二
证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
∵点D，E分别是，边的中点，
∴，．
又∵，
∴．
∴，，
∴．
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，．
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，且．
【解析】【分析】（1）延长到点，使，连接，，，先根据中点得到，，进而根据平行四边形的判定与性质得到，，四边形DBCF是平行四边形，再结合题意即可求解；
（2）取中点，连接并延长到点，使，连接，先根据中点得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，，从而结合平行四边形的判定与性质即可求解。
24．【答案】（1）PD+PE=BF
（2）解：PD+PE=BF，理由如下：
过点P作PM∥AC，
∵，
∴四边形PEFM是平行四边形，
∴PE=MF，∠PMB=∠MFE=∠PEC，
∴∠PDB=∠PMB，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠BPM，
∵PB=PB，
∴△BDP≌△PMB，
∴PD=BM，
∴PD+PE=BM+MF，即PD+PE=BF；
（3）1+
【解析】【解答】解：(1)PD+PE=BF，理由：
图2：∵BF⊥AC，PG⊥BF，
∴∠PGF=∠GFE=∠PEF=90°，
∴四边形PGFE是矩形，PG∥EF，
∴PE=GE，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠GPB，
∵∠BDP=∠BGP=90°，BP=BP，
∴△BDP≌△PGB，
∴BG=DP，
∴DP+PE=BG+GF，即PD+PE=BF；
图3：∵，BF⊥AC，
∴∠H=∠BFE=∠PEF=90°，
∴四边形HBFE是矩形，
∴BF=HE，BH∥EF，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠CBH，
∵∠BDP=∠H=90°，BP=BP，
∴△BDP≌△BHP，
∴PD=PH，
∴PH+PE=PD+PE，即PD+PE=BF；
故答案为：PD+PE=BF；
(3)延长DP至点N，使PN=PC=2，
∵，
∴∠APN=∠APC，
∵AP=AP，
∴△APC≌△APN，
∴∠PAN=∠PAC=75°，
∵∠ABD=75°，
∴∠PAN=∠ABD，
∴AN∥BD，
过点N作NQ∥AB，交BD的延长线于Q，则四边形ABQN是平行四边形，
∴NQ=AB=6，∠PNQ=∠DPB=60°，∠NQB=∠PBD=75°，
过Q作QR⊥ND于点R，
∴∠NQR=30°，
∴NR=NQ=3，
∴PR=1，RQ=，
∵∠RQD=75°-30°=45°，
∴∠D=45°，
∴RD=RQ=，
∴PD=RP+RD=1+，
故答案为：1+．
【分析】（1）根据平行四边形的性质求解即可；
（2）先求出 四边形PEFM是平行四边形， 再求出 ∠DBP=∠C=∠BPM， 最后求解即可；
（3）结合图形，利用全等三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
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